2019高中数学必修1教案§3.1.1方程的根与函数的零点
高中数学必修1教案 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1 方程的根与函数的零点『教材分析』：1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。
培养学生函数和方程结合思想的能力。
3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。
难点。
关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。
理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图像之间的联系。
『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+= 通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。
（反馈课前作业，抽学生回答。
）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。
2． 根据函数图像和方程对应的实根，观察可得到：方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）；方程0122=+-x x 的 根为121==x x ，函数122+-=x x y 与x轴的交点坐标为（1，0）；方程0322=+-x x 无实根，函数 322+-x x 与x 轴没有交点坐标。
高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计 (1)
教学设计3.1.1方程的根与函数零点一、教材分析：函数与方程思想是中学数学的重要思想。
本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础． 因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要．二、学情分析：在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。
但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。
因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。
三、教学目标（一）认知目标：1．理解函数的零点与方程的根的联系.2. 掌握简单函数零点的求解方法3．理解并会用零点存在定理判断函数的零点．4. 初步学会利用函数的性质求解方程的根的个数问题.（二）过程与方法目标：由一元二次方程与对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系。
在课堂探究中体会数形结合的数学思想，培养学生的观察能力。
（三）情感目标：通过本节课的学习，体会由特殊到一般的研究问题的方法，体验事物之间等价转化的意义与价值，以及分析问题解决问题的能力，培养思维的严谨性和执着的探究精神。
教学重点:掌握求函数零点的方法，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在定理，用函数的性质求解方程的根的个数。
四、教学过程（一） 问题导入问题1：请问下列方程有实根吗？有几个实根?04)1(2=-x 0221)2(=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x学生活动：思考并回答教师活动：第二个方程的根，目前所学的知识无法判断。
前面我们学习过基本函数，这节课我们通过研究函数来解决方程的根的问题。
3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)
《方程的根与函数的零点》的助学案高一（8）班 授课教师学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x轴交点个数？○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y探究案：探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。
练习：求函数x x y 43-=的零点是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点∆>0∆=0∆<0探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0（＜或＞）．○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？○5()()d f a f • 0（＜或＞）。
【高中数学教学设计】3.1.1 方程的根与函数的零点
§3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标：1、理解函数零点的意义；2、了解函数零点与方程根的关系；3、掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。
二、教学重难点1、重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，零点存在的判断。
2、难点：方程的根与函数零点的关系，零点存在判定方法的探究及应用三、教学过程（一）发现问题，引出课题问题 1 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。
（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0有实数根y=f（x）的图象与x函数y=f （x ）有零点（零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的）。
例1、求下列函数的零点求零点方法总结：代数法：令f （x ）=0；解方程f(x)=0；写出零点.几何法：找出函数图象与x 轴交点的横坐标.3、观察下面函数)(x f y =的图象判断()()()()()()f a f o f b f c f d f e 、、、、、的值得符号。
判断()()f a f b 、()()f b f c 、()()f a f e 、()()f o f b 、()()f c f d 、()()f b f e 的值得符号。
思考：若函数)(x f y =满足()()0f a f b •<，在区间（a ，b ）上一定有零点吗？ 若函数)(x f y =满足()()0f a f b •>，在区间(a,b)上一定有零点吗？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？零点存在定理：如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则 f （x ）在区间（a ，b ）上一定存在零点(,)x c a b =∈使得f （c ）=0。
高中数学教学设计：3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点——第2课时判断函数零点个数●教学目标1．知识与技能(1)结合二次函数的图象，理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件，学会判断函数零点的存在性及零点的个数，从而体会函数的零点与方程的根的联系；(2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2．过程与方法培养学生观察、思考、分析、猜测、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．3．情感、态度与价值观从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．●教学重点难点重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．难点：探究发现函数零点的存在性．重难点的突破：以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，表达了“化归〞和“数形结合〞的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．【复习导入】知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使________ 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．温馨提示：函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二一元二次方程及相应的二次函数零点、函数的图象与x轴交点的关系.知识点三 方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有________⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有_______ ⇔函数y ＝f(x)有________ ．题型一 判断函数的零点个数【典例1】 )103)(1()(2-+-=x x x x f 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【思路引导】 直接解方程f (x )＝0的根，即为函数的零点．【变式训练1】 )1ln()(-=x x x f 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【思路引导】 优先考虑定义域．【典例2】 ⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(2x x x x x x f 的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【思路引导】 数形结合，利用函数图象判断．【典例3】 求函数2log )(2+-=x x x f 的零点个数．【思路引导】 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程F(x)= f(x)-g(x)=0的实数根，也就可以转换为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点.【变式训练2】 ⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 30,32)(22x x x x x x x f 的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【思路引导】 转换为求函数y=h(x)与y=g(x)的图象的交点.判断函数零点个数的3个方法(1)直接法〔代数法〕：直接求出函数的所有零点进行判断．(2)图象法〔数形结合〕：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断．假设函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a ，b)上有且仅有一个零点，如下图．题型二 根据函数f(x)零点个数确定参数的取值范围【典例4】假设函数k x x x x f --+-=)1(|1|)(有三个零点，则k 的取值范围为〔 〕A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛45,1B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,1C.(0,1)D. (-1,1)【思路引导】 结合函数图象分析．【变式训练3】 (1)函数b x f x --=|22|)(有两个零点，则实数b 的取值范围为___________(2)a x x x f --=|2|)(2有四个零点，则a 的取值范围为___________题型三 根据二次函数f(x)零点分布情况求参数范围【典例5】 假设函数f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m 的取值范围.【思路引导】解决有关根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(3)写出由题意得到的不等式．(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意．这类问题充分表达了函数与方程的思想，也表达了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性．。
(高中数学教案)高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教a版必修1
“方程的根与函数的零点”【教学目标】一、知识与技能1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系,让学生领会方程的根与函数零点之间的联系,了解零点的概念.2、以具体函数在某区间上存在零点的特点,探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数,理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.二、过程与方法1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点.由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口,探究方程的根与函数的零点的关系,以探究的方法发现函数零点存在的条件.2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律,渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想,培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.三、情感、态度、价值观努力营造平等、民主的课堂气氛,以学生为主体,营造学习氛围,使学生产生热爱学习数学的积极心理,引导学生进行积极主动的学习,培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想,培养学生的辨证思维能力,以及分析问题解决问题的能力．从易到难,使学生体会到学习数学的成功感,体验规律发现的快乐．【教学重点】1、体会函数的零点与方程根之间的联系；2、掌握函数零点存在的判定方法.【教学难点】函数零点存在的判定方法及其运用.【教学方式与手段】电脑,多媒体,黑板．【教学过程设计】（一）设问激疑,引出新知方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题,古今中外的数学家已经作了大量的工作,取得辉煌的成果,比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》,比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”,此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年,挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.随着计算机技术的发展,方程的数值解法得到了广泛的运用,如二分法,牛顿法、弦截法等,今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图：了解数学史,激发学生学习兴趣.】 问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ； （2）0652=+-x x ； （3）062ln =-+x x .问题2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并写出函数图象与x 轴交点的坐标.提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？ 结论：方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立？【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备.】（二）总结归纳,形成概念 1、函数的零点：对于函数y=f （x ）,我们把使方程f （x ）=0的实数x 叫做函数y=f （x ）的零点.辨析练习：函数223y x x =--的零点是：（ ）A ．（-1,0）,（3,0）；B ．x=-1；C ．x=3；D ．-1和3． 问：零点是一个点吗？说明：①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】2、你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？ 等价关系：方程f （x ）=0有实数根函数y=f （x ）的图象与x 轴有交点 函数y=f （x ）有零点【设计意图：引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感悟其中的思想方法；通过引导,学生自己归纳出三者之间的关系,并且明确提出转化思想.】 3、归纳函数的零点与方程根的关系函数的零点与方程的根有什么联系和区别？联系：（1）数值上相等：求函数零点就是求方程的根. （2）存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点区别：零点对于函数而言,根对于方程而言．【设计意图：进一步理解零点的概念,灵活运用三者之间的关系.以上关系说明：函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础．】 （三）初步运用,示例练习例1：求函数)1lg()(-=x x f 的零点. 求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点变式练习：求下列函数的零点.(1)65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=xx f【设计意图：让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．】 （四）实例探究,发现定理 重温《小马过河的故事》问题4：观察下列三组画面,请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？①②③【设计意图：通过形象的生活问题,为引出函数零点存在性定理做准备.】问题5：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下,函数y ＝f(x) 观察下面函数)(x f y =的图象1、在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(f2、在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．3、在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 函数零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[b a ,]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间（b a ,）内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f .这个c 也就是方程0)(=x f 的根.【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手,引导学生结合函数图象,通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系.总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析.】 定理辨析与灵活运用：练习：判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例.（1）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内有且仅有一个零点.（ ）（2）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且0)()(>⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内没有零点.（ ）（3）已知函数)(x f y =在区间[b a ,]上连续,且在区间（b a ,）内存在零点,则有0)()(<⋅b f a f .（ ）（4）已知函数)(x f y =在区间[b a ,] 满足0)()(<⋅b f a f ,则f(x)在区间（b a ,）内存在零a bcxyO d点. （ ）函数零点存在定理的四个注意点： （1）函数是连续的. （2）定理不可逆.（3）至少存在一个零点,不排除更多.（4）在零点存在性定理的条件下,如果函数具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点.【设计意图：通过对定理中条件的改变,将几种容易产生的误解正面给出,在第一时间加以纠正,从而促进对定理本身的准确理解.】 （五）观察感知,例题学习例2（教材第88页）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数. （1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则f (2) f (3)<0,这说明函数f (x )在区间(2,3)内有零点． 又由于函数f (x )在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负,可得如下表格：f (－ － ＋ ＋x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.-1.31.13.45.67.89.912.114.2结合函数的单调性,f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ,分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图,从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在的区间,即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2,3)内有唯一的零点．【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．通过例题分析,能根据零点存在性定理,使用多种方法确定零点所在的区间,并且结合函数性质,判断零点个数．解法3作为选讲内容,视学生基础而定.】试一试：你能判断出方程 3ln 2+-=x x 实数根的个数吗？ 【设计意图：学以致用,练习强化学生的解题能力.】 小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数()y f x =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．口诀：函数零点方程根,形数本是同根生.是否存在端点判,函数连续要记清. 【设计意图：归纳总结函数零点的求法,通过口诀加深对本节内容的理解记忆.】 基础检测1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续,且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定 3、方程10x x-=的一个实数解的存在区间为（ ） A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(1,2) 4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数,且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .能力提升（可供学生课外做作业）6. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）m 为何值时,函数的图象与x 轴有两个零点； （2）若函数至少有一个零点在原点右侧,求m 值. 思考题：方程x x=-2在区间______内有解,如何求出这个解的近似值？请预习下一节．【设计意图：练习强化学生解题能力,并利用拓展延伸对于零点存在取件进一步精确化,为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．】 （六）反思小结,提升能力学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！ 1．函数零点的定义2．等价关系 函数Y=f(x)的零点函数Y=f(x)的图象与X 轴交点的横坐标方程f(x)＝0实数根3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断【设计意图：引导学生从知识和数学思想上去归纳总结.让学生对本节课有个完整的,系统的认识.培养他们的概括能力,同时也对本节课起到反馈的作用.及时评价与反馈,注重个体差异性.】 （七）板书设计。
高中数学教材必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感、态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教学过程】（一）抛转引玉浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）（二）溯本逐源（设计意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）在《几何画板》下展示如下函数的图象： ()()()21226y x x x =-+-、28x y =-、()2y ln x =-，比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系. 函数()y f x =的图象与x 轴交点，即当()0f x =，该方程有几个根，()y f x =的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数.）1．函数零点概念对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．2．方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础． （三）顺藤摸瓜浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？（学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么这一时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.）（设计意图：通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学．）给出零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.（四）牛刀小试1. 10x x -=３试判断方程＋３是否有根？2．求函数26f (x )x x =+-ln 的零点的个数．(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．)（五）抽丝剥茧问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？问题2.若()()0f a f b >，函数()y f x =在区间在[]a,b 上一定没有零点吗？一定有零点吗？问题3.若()()0f a f b <，函数()y f x =在区间在[]a,b 上只有一个零点吗？可能有几个？问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数()y f x =在区间在[]a,b 上只有一个零点？(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．)（六）再接再厉1.已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个2.函数()376f x x x =--在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗?(设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。
3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)
3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书 A 版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数 零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理， 是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 二、教学目标【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点难点：重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 三 教学环节设计 【教学过程】（一）创设情境，感知概念 实例引入解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表： 填空：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根函数 y =x 2-2x -3 y =x 2-2x +1 y =x 2-2x +3图象图象与x 轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0Δ＝0 Δ＜042-2-4 3 -1 1 2 Oxy 4 2-2 -43 -1 1 2 Ox y 4 2-23 -1 1 2 Ox y方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 两个不相等的实数根x 1、x 2有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象与x 轴的交点 两个交点： (x 1,0)，(x 2,0) 一个交点：(x 1,0) 无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点. 练习2：函数f (x )=x 2-4的零点为（ ） A ．(2，0) B ．2C ．(–2，0)，(2，0)D ．–2，2练习3：求下列函数的零点O xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y（1）f(x)=-x2+3x+4 （2）f(x)=lg(x2+4x-4)小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言. （四）实例探究，归纳定理 零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理 定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点．（ × ） 例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．x1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2c bd ax O y由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4 f (x ) － － ＋ ＋结合函数的单调性，f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 23 9 －7 11 －5 －12 －26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）（七）布置作业：习题3.1A 组 26O xy 2 1 3 4g (x )h (x )。
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第三章 函数的应用
一、课程要求
本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .
1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.
2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.
3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .
4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.
二、 编写意图和教学建议
1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.
2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配
方法、待定分数法等数学思想方法.
3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，
利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生
动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.
4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.
5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .
三、教学内容与课时的安排建议
全章教学时间约需9课时.
3.1 函数与方程 3课时
3.2函数模型及其应用 4课时
实习作业 1课时
小结 1课时
§3.1.1方程的根与函数的零点
一、教学目标
1． 知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
②培养学生的观察能力．
③培养学生的抽象概括能力．
2． 过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识．
3． 情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
二、教学重点、难点
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学法与教学用具
1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教
学目标。
2． 教学用具：投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2
+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
（用投影仪给出）
①方程0322=--x x 与函数322--=x x y
②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y
③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y
1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．。