2017-2018学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷

2017-2018 学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4 分）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都会改变B．图形中线段的长度与角的大小都保持不变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变2．（4 分）已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）A．C．D．3．（4 分）在下列4×4 的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图中△ABC 相似的三角形所在的网格图是（）4．（4 分）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了10 米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB 的长为（）A．B．C．D．B．A ．10cosa 米B ．10sina 米C ．10cota 米D ．10tana 米5．（4 分）下列判断不正确的是（ ）A ．如果 = ，那么| |=| |C ．如果非零向量 =k• （k ≠0），那么 ∥D ．+ =06．（4 分）如图，已知点 D 、E 分别在△ABC 边 AB 、AC 上，DE ∥BC ，BD=2AD ，那么 S △DBE ：S △EBC 等于（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：3二、填空题（每题4分） 7．（4 分）如果，那么．8．（4 分）如果两个相似三角形的面积之比是 16：9，那么它们对应的角平分线之比是 ．9．（4 分）如图，已知在△ABC 中，点 D 、E 、F 分别是边 AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且 AD ：DB=3：5，那么 CF ：CB 等于．10．（4 分）如图，AB 与 CD 相交于点 O ，AD ∥BC ，AD ：BC=1：3，AB=10，则=B． + =+11．（4 分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点，如果那么△ADE 与△ABC 周长的比是．12．（4 分）在△ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上，∠AED=∠B ，如果 AE=2， △ADE 的面积为 4，四边形 BCED 的面积为 5，那么 AB 的长为．13．（4 分）如图，四边形 DEFG 是△ABC 的内接矩形，其中 D 、G 分别在边 AB ， AC 上，点 E 、F 在边 BC 上，DG=2DE ，AH 是△ABC 的高，BC=20，AH=15，那么14．（4 分）求值：sin60°•tan30°=．15．（4 分）△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且 sinA=cosB=，则△ABC 是三角形．16．（4 分）如图，在△ABC 中，点 G 是重心，设向量，那么向量=，矩形 DEFG的周长是 ．==，AO的长是 ．=（结果用 、 表示）．17．（4 分）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan ∠BA 1C=1，tan ∠BA 2C=，tan ∠BA 3C=，…按此规律，写出 tan ∠BA n C= （用含 n 的代数式表示）．18．（4 分）如图，在△ACB 中，∠CAB=90°，AC=AB=3，将△ABC 沿直线 BC 平移，顶点 A 、C 、B 平移后分别记为 A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积三、解答题19．（10分）计算：= ．（1） （用 来表示）；（2）求作向量 在 、 方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）2 ，则 CB 1 =．．20 ． （ 10 分）如图，已知 AB ∥ C D ∥ E F ， A B ： C D ： E F=2 ： 3 ： 5，21．（10 分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，AD 是∠BAC 的角平分线，过点D 作DE⊥AD，垂足为点D，交AB 于点E，且．（1）求线段BD 的长；（2）求∠ADC 的正切值．22．（10 分）已知：如图，在△ACB 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，点P 在线段AB 上，联结CP，且cot∠APC=，（1）求CP 的长；（2）求∠BCP 的正弦值．23．（12 分）小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论：（1）如图1，已知锐角△ABC．求证：；（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰△ABC 中，AB=AC=12 厘米，点P 从A 点出发，沿着边AB 移动，点Q 从C 点出发沿着边CA 移动，点Q 的速度是1 厘米/秒，点P 的速度是点Q 速度的 2 倍，若它们同时出发，设移动时间为t 秒，问：当t 为何值时，？24．（12 分）已知：如图，在等腰直角△ABC 中，AC=BC，过点C 作射线CP∥AB，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B、C 重合），且∠DAE=45°，AC 与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果△COD 与△BEA 相似，求CE：BE 的值．25．（14 分）已知，在△ABC 中，AB=4，AC=5，，点D 是边AC 上的点，点E 是边AB 上的点，且满足∠AED=∠A，DE 的延长线交射线CB 于点F，设AD=x，EF=y．（1）如图1，用含x 的代数式表示线段AE 的长；（2）如图1，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域；（3）连接 EC ，如图 2，求当 x 为何值时，△AEC 与△BEF 相似？2017-2018 学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．（4 分）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A ．图形中线段的长度与角的大小都会改变B ．图形中线段的长度与角的大小都保持不变C ．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【分析】直接利用相似图形的性质分析得出答案．【解答】解：对一个图形进行放缩时，图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变．故选：D ．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的性质是解题关键．2．（4 分）已知点 C 是线段 AB 上的一个点，且满足 AC 2=BC•AB ，则下列式子成立的是（ ） A ．C ．D ．【分析】把 AB 当作已知数求出 AC ，求出 BC ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．【解答】解：AC 2=BC•AB ， AC 2﹣BC•AB=0， AC 2﹣（AB ﹣AC ）AB=0， AC 2+AB•AC ﹣AB 2=0，AC=，B ．∵边长为正值， ∴，即选项 A 、C 、D 错误，只有选项 B 正确；故选：B ．【点评】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，主要考查学生的计算能力．3．（4 分）在下列 4×4 的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是 1，三角形的顶点都在格点上，那么与图中△ABC 相似的三角形所在的网格图是（ ）【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【解答】解：根据勾股定理，AB== ，BC=所以，夹直角的两边的比为观各选项，只有 B 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B ． 【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 4．（4 分）如图，小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离，沿着与 AB 垂直的方向走了 10 米，到达点 C ，测得∠ACB=α，那么 AB 的长为（ ）=2，A ．B ．C ．D ．∴ A C=AB ， B C=AB ﹣ A C=，== ， = = = ， = ==2，A ．10cosa 米B ．10sina 米C ．10cota 米D ．10tana 米【分析】在直角△ABC 中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．【解答】解：在直角△ABC 中，tanα=，∴AB=10•tanα．故选：D ．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度不大，注意掌握三角函数的基本概念，及正切的概念和运算．5．（4 分）下列判断不正确的是（ ）A ．如果 = ，那么| |=| |C ．如果非零向量 =k• （k ≠0），那么 ∥D ．+ =0【分析】根据模的定义，可确定 A 正确；根据平面向量的交换律，可判定 B 正确，又由如果非零向量非零向量 =k• （k ≠0），那么 ∥ ，可得 C 正确；利用相反向量的知识，可判定 D 错误． 【解答】解：A 、如果= ，那么| |=| |，故此选项正确；B 、 + = + ，故本选项正确；C 、 如果非零向量 =k• （k ≠0），那么 ∥ ，故此选项正确；D 、 + = ，故此选项错误； 故选：D ．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意理解平面向量有关的定义是关键．B ． + =+6．（4 分）如图，已知点 D 、E 分别在△ABC 边 AB 、AC 上，DE ∥BC ，BD=2AD ，那么 S △DBE ：S △EBC 等于（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：3【分析】根据 BD=2AD ，求出 AD ：AB 的值，在根据相似三角形的性质求得 DE ： BC ，最后再根据面积之比即可求解． 【解答】解：∵BD=2AD ， ∴AD ：AB=1：3， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴∴DE ：BC=1：3．∵△DBE 和△EBC 的高相同，设这个高为 h ，∴S △DBE ：S △EBC h=故选：B ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．二、填空题（每题4分） 7．（4 分）如果 ，那么．【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．，== = ，= ，∴【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8．（4 分）如果两个相似三角形的面积之比是 16：9，那么它们对应的角平分线之比是 4：3 ．【分析】先根据相似三角形面积的比求出其相似比，再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是 16：9，∴这两个相似三角形的相似比是 4：3，∵其对应角平分线的比等于相似比，∴它们对应的角平分线比是 4：3．故答案为 4：3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．9．（4 分）如图，已知在△ABC 中，点 D 、E 、F 分别是边 AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且 AD ：DB=3：5，那么 CF ：CB 等于 5：8 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 DE ∥BC 得到 AE ：EC=AD ：DB=3：5，则利用比例性质得到 CE ：CA=5：8，然后利用 EF ∥AB 可得到 CF ：CB=5：8．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴AE ：EC=AD ：DB=3：5，∴CE ：CA=5：8，【解答】 解： ∵= =． 故答案为： ．∵EF ∥AB ，∴CF ：CB=CE ：CA=5：8．故答案为5：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段成比例．10．（4 分）如图，AB 与 CD 相交于点 O ，AD ∥BC ，AD ：BC=1：3，AB=10，则【分析】由 AD ∥BC ，根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△AOD ∽△BOC ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 AO 的长．【解答】解：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△BOC ，∴AD ：BC=OA ：OB=1：3，∵AB=10．OA +OB=AB ，∴AO=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．11．（4 分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点，如果那么△ADE 与△ABC 周长的比是 1：3 ．【分析】根据已知条件可证明△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质即可得到==， AO 的长是．△ADE 与△ABC 的周长之比．【解答】解：∵AD：DB=AE：EC=1：2，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∴∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；∴△ADE 与△ABC 的周长之比=1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的周长比等于相似比是解答此题的关键．12．（4 分）在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么AB 的长为 3 ．【分析】由∠AED=∠B，∠A 是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，即可求得AB 的长．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A 是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，∴△ABC 的面积为9，∵AE=2，∴，解得：AB=3．故答案为：3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．（4 分）如图，四边形 DEFG 是△ABC 的内接矩形，其中 D 、G 分别在边 AB ， AC 上，点 E 、F 在边 BC 上，DG=2DE ，AH 是△ABC 的高，BC=20，AH=15，那么矩形 DEFG 的周长是 36 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．【解答】解：∵DG ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥DG ，△ADG ∽△ABC ，∴，∴DE=6，∴DG=2DE=12，∴矩形 DEFG 的周长=2×（6+12）=36．故答案为：36．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．（4 分）求值：sin60°•tan30°= ．，即【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式=×=．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 15．（4 分）△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且 sinA=cosB=，则△ABC 是 直角 三角形．【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=cosB=，得 ∠A +∠B=90°，故答案为：直角．【点评】本题考查了余角，利用直角三角形的判定是解题关键．16．（4 分）如图，在△ABC 中，点 G 是重心，设向量，那么向量=【分析】根据三角形的重心的定义知 AG=2GD ，BD=DC ；然后根据向量加法的三角形法则进行计算即可．【解答】解：∵在△ABC 中，点 G 是重心，，（结果用 、 表示 ） ． ，∴ =3 ， =2 ；又∵= ，∴ =2（3 ﹣ ）=﹣ +6 ；故答案是：﹣ +6 ．【点评】本题考查了平面向量、三角形的重心．注意，向量是既有大小又有方向的．17．（4 分）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan ∠BA 1C=1，tan∠BA 2C=，tan ∠BA 3C=，…按此规律，写出 tan ∠BA n C=（用含 n的代数式表示）．【分析】作 CH ⊥BA 4于 H ，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出 CH 、A 4H ，根据正切的概念求出 tan ∠BA 4C ，总结规律解答．【解答】解：作 CH ⊥BA 4于 H ，由勾股定理得，BA = ，A 4C=， 1=12﹣1+1， 3=22﹣2+1，7=32﹣3+1，4△ B A 4 C的面积 =4 ﹣ 2 ﹣ = ， ∴ × × C H=，解得， C H= ，则 A 4 H =，∴ t an ∠ B A 4 C =，= ﹣ ，【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．18．（4 分）如图，在△ACB 中，∠CAB=90°，AC=AB=3，将△ABC 沿直线 BC 平移，顶点 A 、C 、B 平移后分别记为 A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积【分析】应分△ACB 向左平移或向右平移两种情况讨论，根据重合部分是等腰直角三角形，即可求得斜边的长，据此即可求解．【解答】解：在△ACB 中，∠CAB=90°，AC=AB=3，则BC=3，当△ABC 沿直线 BC 平移，向左平移时：△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分是等腰直角三角形，设直角边CD 是 a ，则a 2=2，解得：a=2，则 CB 1=2．当△ABC 沿直线 BC 平移，向右平移时：同理可得：C 1B=2，则 CC 1=3 ﹣2 = ，则 CB 1=CC 1+C 1B 1= +3 =4 ．故CB 1=．或 2 ，则 CB 1 = 或．∴ t an ∠ B A n C =， 故答案为：，=（用来表示）；故答案是：．【点评】本题考查了图形的平移，注意到重合部分是等腰直角三角形，以及两种情况进行讨论是关键．三、解答题19．（10 分）计算：．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=|2×﹣1|+= ﹣1+1﹣= ﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10 分）如图，已知AB∥CD∥EF，AB：CD：EF=2：3：5，= ．（1）（2）求作向量在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）或【分析】（1）首先过点 B 作 BG ∥AE ，交 EF 于点 G ，易得四边形 ABGE 是平行四边形，又由 AB ：CD ：EF=2：3：5，即可得 BD ：BF=DH ：FG=1：3，继而求得答案；（2）由四边形 ABGE 是平行四边形，可得 = ，继而求得答案．【解答】解：（1）过点 B 作 BG ∥AE ，交 EF 于点 G ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴四边形 ABGE 是平行四边形，∴AB=CH=EG ，∵AB ：CD ：EF=2：3：5，∴DH ：FG=1：3，∵BD ：BF=DH ：FG ，∴（2）如图，∵四边形 ABGE 是平行四边形，∴∴向量 在 、 方向上的分向量分别为： ， ．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握平行四边形法则的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．= ， ==；故答案为：．21．（10 分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，AD 是∠BAC 的角平分线，过点D 作DE⊥AD，垂足为点D，交AB 于点E，且．（1）求线段BD 的长；（2）求∠ADC 的正切值．【分析】（1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到△BED ∽△BDA，由相似三角形的性质得到BD2=BE•BA，即可得到结论；（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED，根据余角的性质得到= ，根据三角形函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB=4，∴BE=1．∵DE⊥AD，∠ACB=90°．∴∠CAD+∠ADC=∠BDE+∠ADC．∴∠CAD=∠BDE．∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAD=∠BAD∴∠BAD=∠BDE∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAD．BD2=BE•BA，∵AB=4，，∴BE=1，∴BD2=1×4=4，∴BD=2；（2）∵DE ⊥AD ，∴∠ADE=∠C=90°，∵∠CAD=∠DAB ，∵△ACD ∽△ADE ，∴∵△BED ∽△BDA ，∴=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（10 分）已知：如图，在△ACB 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，点 P 在线段 AB 上，联结 CP ，且 cot ∠APC=，（1）求 CP 的长；（2）求∠BCP 的正弦值．【分析】（1）过点 C 作 CH ⊥AB 于点 H ，在 Rt △ACH 中求出 CH ，再由 cot ∠APC=，可求出 HP ，在 Rt △CHP 中，利用勾股定理可求出 CP ；∴ t an ∠ A DC=tan ∠ A ED== = ， = ，（2）先求出 BH ，继而得出 PB ，在 Rt △PGB 中求出 PG ，从而可求出∠BCP 的正弦值．【解答】解：（1）过点 C 作 CH ⊥AB 于点 H ，∵∠A=30°，AC=8，∴CH=4，∵在 Rt △CHP 中，cot ∠APC=，∴PH=3，∴CP==5． （2）∵在 Rt △CHB 中，∠B=45°，CH=4，∴BH=4，∴PB=BH ﹣HP=1，过点 P 作 PG ⊥BC 于点 G ，∵在 Rt △PGB 中，∠B=45°，PB=1，∴PG=，．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义．23．（12 分）小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论：（1）如图 1，已知锐角△ABC ．求证：；（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图 2，在等腰△ABC 中，AB=AC=12 厘米，点 P 从 A 点出发，沿着边 AB 移动，点 Q 从 C 点出发沿∴ 在 Rt △ P GC 中， s in ∠ B CP=着边 CA 移动，点 Q 的速度是 1 厘米/秒，点 P 的速度是点 Q 速度的 2倍，若它们同时出发，设移动时间为 t 秒，问：当 t 为何值时，？【分析】（1）首先过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，则 sinA=，进而得出 EC 的长，即可得出答案； （2）首先表示出△APQ 的面积，进而得出△ABC 的面积，进而利用求 出 t 的值即可．【解答】解：（1）如图 1，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ， sinA=， ∴EC=ACsinA ，S △ABC =EC ×AB=AB ×ACsinA ；（2）如图 2，过点 P 作 PE ⊥AC 于点 E ，过点 B 作 BF ⊥AC 于点 F ，设移动时间为 t 秒，则 AP=2t ，CQ=t ，∴PE=APsinA ，BF=12sinA ，S AQ ×PE= ×（12﹣t ）×APsinA=×（12﹣t ）×2t ×sinA=t （12﹣t ）sinA ， S BF ×AC= ×12×12sinA=72sinA ，△ A PQ =△ A BC =，= ，当∴∴整理得出：t2﹣12t+27=0，解得：t1=3，t2=9（不合题意舍去），∴当t=3 秒时，．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用和一元二次方程的解法，根据已知表示出△APQ 的面积是解题关键．24．（12 分）已知：如图，在等腰直角△ABC 中，AC=BC，过点C 作射线CP∥AB，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B、C 重合），且∠DAE=45°，AC 与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果△COD 与△BEA 相似，求CE：BE 的值．【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明△ADE∽△ACB；（2）首先确定△COD∽△BEA，然后证明AE 为角平分线；如答图3，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，∴∠CAD=∠BAE ；∵CP ∥AB ，∴∠ACD=∠CAB=45°．∴△ACD ∽△ABE ，∴又∵∠DAE=∠CAB=45°，∴△ADE ∽△ACB ．（2）解：在△COD 与△BEA 中，∠DCO=∠B=45°，∠DOC 与∠AEB 均为钝角， ∴如果△COD 与△BEA 相似，只能是△COD ∽△BEA ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠AED +∠3=45°+∠3，∠AEC=∠B +∠2=45°+∠2，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2=∠3，∴CE=CD ．∵CP ∥AB ，∴∠DCE +∠B=180°，∴∠DCE=180°﹣∠B=135°，∴∠1=∠2=∠3=（180°﹣∠DCE ）=22.5°，如答图 2，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，则 EG=CE ，且△BEG 为等腰直角三角形． ∴EG=BG=CE=CD ，BE=EG ，∴∠ 2= ∠ C AB ，即 AE为角平分线．= ，即 = ，∴CE：BE=．【点评】本题考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．25．（14 分）已知，在△ABC 中，AB=4，AC=5，，点D 是边AC 上的点，点E 是边AB 上的点，且满足∠AED=∠A，DE 的延长线交射线CB 于点F，设AD=x，EF=y．（1）如图1，用含x 的代数式表示线段AE 的长；（2）如图1，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域；（3）连接EC，如图2，求当x 为何值时，△AEC 与△BEF 相似？【分析】（1）过点 D 作DH⊥AE，垂足为点H．根据等腰三角形的性质和三角函数的定义可得含x 的代数式表示线段AE 的长；（2）过点 D 作DG∥AB，交BC 于点G．根据平行线分线段成比例可得y 关于x 的函数解析式及函数的定义域；（3）当△AEC 与△BEF 相似时，有两种情况：①∠A=∠FEB，；②∠A=∠FEB，；根据相似三角形的性质可得x 的值．【解答】解：（1）过点 D 作DH⊥AE，垂足为点H．∵∠A=∠AED，∴AD=ED，∴，∵，AD=x ，∴，∴．（2） 过点 D 作 DG ∥AB ，交 BC 于点 G ．∴，∵AB=4，AC=5，∴∴，∵AB ∥DG ，∴ ∵∴∴．（3）∵∠AED=∠FEB ，∠AED=∠A ， ∴∠A=∠FEB ，当△AEC 与△BEF 相似时，有两种情况：，∴又∵y=10﹣3x ，∴； ，，，， E F=y ，，①∠ A = ∠ F EB ，，∴又∵y=10﹣3x ，∴（舍）．【点评】考查了相似形综合题，其中包括等腰三角形的性质、三角函数、平行线分线段成比例、相似三角形的性质，其中第三问要分两种情况讨论，综合性较强，有一定的难度．综上所述，当时， △ A EC 与 △ B EF 相似．②∠ A = ∠ F EB，，。