高考数学一轮复习 2几个重要不等式的证明及其应用课件 文 湘教版选修4-5
湘教版高中数学选修4-5：不等式选讲-第5章 三个重要不等式 复习课件
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专题二：利用柯西不等式求最值。
• [考情分析] • 柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式
子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一 工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进 行配凑，以保证出现常数结果。高考一般在选考题 中考查。
[高考冲浪]
1．设 x，y，z∈R，且满足 x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝ 14，
解析：由柯西不等式，得 (a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36 ∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12 答案：12
3．已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最 小值为 4.
（1）求 a＋b＋c 的值． （2）求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．① 同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．② 综合①②，原不等式成立．
（2）由题设及（1），知 a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)． 由排序不等式，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a) ＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c －b)＋ca(a－c)，①
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b) ＋cb(b－c)．②
将①和②相加再除以2，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
专题四：贝努利不等式的应用。
∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， ∴f(x)的最小值等于3，即a＝3. （2）证明：由(1)知p＋q＋r＝3， 又∵p，q，r是正实数， ∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3.
高考数学一轮复习2几个重要不等式的证明及其应用课时达标训练文湘教版选修4-5
2016届高考数学一轮复习 2几个重要不等式的证明及其应用课时达标训练 文 湘教版选修4-5一、选择题1.(2013·鸡西模拟)若实数x 、y 满足，则x 2＋2y 2有() A.最大值3＋2 B.最小值3＋2C.最大值6D.最小值6【解析】由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·＝3＋≥3＋2， 当且仅当＝时，等号成立，故选B.【答案】B2. 已知a 、b ∈（0，+∞），且a ＋b ＝1，则4141a b +++的最大值是( )A ．26B ．23C.6 D.12 解析：()()224141141141a b a b +++=⨯++⨯+ ()()2211414112a b ≤++++=.答案：B3.(2013·广东调研)已知a ，b 为实数，且a>0，b>0.则的最小值为()A.7B.8C.9D.10【解析】因为a>0，b>0，所以≥3＝3>0.① 同理可证：≥3=3>0.②由①②及不等式的性质得≥3×3＝9.【答案】C 4.设a>b>c ，n ∈N，且11--a b b c +≥-n a c 恒成立，则n 的最大值是 （ ）A.2B.3C.4D.6解析： ----a c a c a b b c a b b c a b b c a b b c ---+--+-+=+=2+--b c a b a b b c--+≥4, ∴11--a b b c +≥4-a c， 而11--a b b c +≥-n a c成立， 得n ≤4，故选C.答案： C5.设a 、b 、c 均为正数，且a+b+c=1，若M=111-1)(-1)(-1)a b c （，则必有 ( )A.0≤M<18B. 18≤M<1 C.1≤M<8 D.M ≥8解析： M=-1)(-1)(-1)a b c a b c a b c a b c++++++（ =()()()8(-1)b c a c a b bc ac ab abc abc+++≥（=8.答案： D6. 设a 、b 、c 、d ∈（0，+∞），则三个数1a b +，1b c +，1c a +( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析：假设1a b +，1b c+，1c a +都小于2. 则()111()6a b c a b c+++++<.① ∵12a a +≥，12b b +≥，12c c +≥， 即()111()6a b c a b c+++++≥，这与①式矛盾． ∴三个数中至少有一个不小于2.答案： D二、填空题7.已知2224x y kz ++=36(其中k>0)且t=x+y+z 的最大值是7，则k= . 答案： 98.已知x ，y ，z 为正实数，且，则x ＋4y ＋9z 的最小值为 .【解析】方法一由柯西不等式， 得x ＋4y ＋9z ＝≥＝36.当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，此时x＝6，y＝3，z＝2.所以当x＝6，y＝3，z＝2时，x＋4y＋9z取得最小值36.方法二∵，∴x＋4y＋9z＝(x＋4y＋9z)，即x＋4y＋9z＝≥14＋2＋2＋2＝36.(当且仅当x＝2y＝3z时取“＝”)，即x＝6，y＝3，z＝2时，(x＋4y＋9z)min＝36.故填36.【答案】369.已知两正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为 . 【解析】z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2. 令t＝xy，则0<t＝xy≤＝.由f(t)＝t＋2t在(0，上单调递减，故当t ＝时f(t)＝t ＋2t 有最小值，所以当x ＝y ＝时，z 有最小值. 【答案】10.若a ≥1，则（填“＞”或“＜”或“=”或“≤”或“≥”）【解析】 ∵∴.【答案】＜三、解答题11.已知a>0,求证：221122a a a a+-≥+-. 证明： 要证原不等式成立， 221122a a a a ++≥++即证22221144a a a a++++ ≥211()22()2a a a a++++, 22112()()a a a a +≥+g , 即证2222112)2a a a a +≥++（, 只需证2212a a+≥. 由基本不等式知2212a a+≥,上式显然成立.∴原不等式成立.12.(2013·南昌调研)已知x＋y>0，且xy≠0.(1)求证：x3＋y3≥x2y＋y2x；(2)如果恒成立，试求实数m的取值范围或值.【解析】(1)证明：∵x3＋y3－(x2y＋y2x)＝x2(x－y)－y2(x－y)＝(x＋y)(x－y)2，且x＋y>0，(x－y)2≥0，∴x3＋y3－(x2y＋y2x)≥0.∴x3＋y3≥x2y＋y2x.(2)①若xy<0，则等价于又∵即<－3，∴m>－6；②若xy>0，则等价于＝.又∵≥＝1，即≥1，∴m≤2.综上所述，实数m的取值范围是(－6,2］.13.已知正数x、y、z满足5x+4y+3z=10.求证：222 25169 433554x y zy z z x x y+++++≥5.解析：方法一：()()() 4335544y z z x x y++++++22225169433554x y z y z z x x y +++++=22543434x y z y z +++ +221635954354544y z x z x y z x x y +++++++（）（） ≥5x+4y+3z ，即222543251692433554x y z x y z y z z x x y++++++++（） ≥5x+4y+3z ，故22225169433554x y z y z z x x y+++++≥5. 方法二：根据柯西不等式，得［（4y+3z ）+(3z+5x)+(5x+4y)］·［22225169433554x y z y z z x x y+++++］≥(5x+4y+3z)2. 因为5x+4y+3z=10, 所以22225169433554x y z y z z x x y +++++≥21020=5.。
高三理科数学第一轮复习选修4-5§2：几个重要不等式的证明及其应用
选修4-5：不等式选讲 §2：几个重要不等式的证明及其应用
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2020高考数学大一轮复习不等式选讲2第2讲不等式的证明课件理(选修4_5)
a＋b
2．已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab) 2 .
证明：
a－b
abbaa＋b＝ab－
a+b 2
ba－
a+b 2
＝ba
2
.
（ab） 2
a－b
当 a＝b 时，ba 2 ＝1；
当 a>b>0 时，0<ba<1，
a－2 b>0，ba
a－b 2
<1.
放缩法证明不等式(师生共研) 若 a，b∈R，求证：1＋|a＋|a＋b|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|.
【证明】 当|a＋b|＝0 时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 由 0＜|a＋b|≤|a|＋|b| ⇒|a＋1 b|≥|a|＋1 |b|，
所以1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 b1|＋1≤1＋|a1|＋1 |b| ＝1＋|a||＋a|＋|b||b| ＝1＋|a|a|＋| |b|＋1＋|a|b|＋| |b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|. 综上，原不等式成立．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
若 a>b>1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则 x 与 y 的大小关系是( )
A．x>y
B．x<y
C．x≥y
D．x≤y
解析：选
A.x
－
y
＝
a
＋
1 a
－
b＋1b
＝
a
－
b
＋
b－a ab
＝
（a－b）（ab－1） ab
.
由
a>b>1
得
ab>1 ， a － b>0 ， 所 以
高考数学一轮复习 第2节 不等式的证明与应用课件 文5高三选修45数学课件
12/11/2021
第六页，共三十六页。
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2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2 ＋d2)≥ (ac＋bd)2 (当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α||β|≥|α·β|， 当且仅当 α 或 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ(α，β 为非零向 量)时，等号成立．
(4)放缩法 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被 减12/11/式2021 (或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．
第十页，共三十六页。
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[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．
第十一页，共三十六页。
答案 栏目导航
2．(教材改编)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ba
＋ab≥2，其中恒成立的是( )
A．①③
B．②③
C．①②③
D．①②
12/11/2021
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解析答案
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D [由①得 x2＋3－3x＝x－322＋34＞0，所以 x2＋3＞3x；对于 ②，因为 a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成 立；对于③，因为当 ab＜0 时，ba＋ab－2＝a－abb2＜0，即ba＋ab＜2， 故选 D．]
3 2.
[证明]
由
柯
西
不
等
式
及
题
意
得
，
x2 x＋2y＋3z
【创新设计】高考数学一轮总复习 选修4-5 不等式选讲(22张ppt)课件 理 湘教版
考向一 含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
－x－5
x＜－12，
解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝3x－3 －12≤x＜4，
x＋5 x≥4.
当 x＜－12时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7；
解得 5＜b＜7.
答案 (5,7)
5．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立， 则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案 [－2,4]
－1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 故k的取值范围是[1，＋∞)．
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值 的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然 后利用数形结合解决，是常用的思想方法． (2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
【训练3】 (2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[－3,0]．
考向二 绝对值不等式的证明
所以aa－ ＋33＝ ＝－ 5，1， 解得 a＝2.
新高考数学一轮总复习课件选修4-5第二节证明不等式的基本方法
【解析】(1)①当 x≥3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 x－3＜x＋1，不等式恒成立， 所以 x≥3； 当 x＜3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 3－x＜x＋1，即 x＞1，所以 1＜x＜3， 综上可知，不等式 f(x)＜x＋1 的解集为 M＝{x|x＞1}．
②因为(a2＋1)(b2＋1)－(2a2＋2b2) ＝(ab)2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2 ＝(ab)2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)， 又因为 a，b∈M，所以 a＞1，b＞1， 因此 a2＞1，b2＞1，a2－1＞0，b2－1＞0， 所以(a2－1)(b2－1)＞0， 所以原不等式(a2＋1)(b2＋1)＞2a2＋2b2 成立．
(2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
【变式训练】 当 p，q 都是正数且 p＋q＝1 时，试比较(px＋qy)2 与 px2＋qy2 的大小．
【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2) ＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p. 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当 x＝y时，等号成立．
第二节 证明不等式的基本方法
梳理自测 通必备知识
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_2_a_b_，当且仅当_a_＝__b_时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么 a b ab ，当且仅当a__＝_b__时，等号成立，即两
2
个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：选修4-5 不等式选讲 第二节
选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
当 1+ab≥0 时, 要证 1+ab< 1 + ������2 1 + ������2, 只需证(1+ab)2<(1+a2)(1+b2), 即证 1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2, 即证 2ab<a2+b2, 因为 a≠b, 所以不等式 2ab<a2+b2 成立, 所以原不等式成立.
分析法证明不等式的书写格式 分析法论证“若 A 则 B”这个命题的书写格式是: 要证命题 B 为真, 只需证明 B1 为真,从而有…… 这只需证明 B2 为真,从而又有…… 这只需证明 A 为真, 而已知 A 为真,故命题 B 必为真.
第二节 不等式的证明
选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
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考纲概述
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方 法:比较法、综合法、分析法.
考查热点
不等式的综 合法证明 不等式的分 析法证明
考查频 备考指导
次
★★★ ★
熟悉不等式的各种证明方法以及解题步骤,同时要注意 根据不等式的特征确定证明方法.
选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
(2)因为 b2+c2≥2bc,a2≥0, 所以 a2(b2+c2)≥2a2bc. 同理 b2(a2+c2)≥2ab2c, c2(a2+b2)≥2abc2.
①②③相加,
得 2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2, 从而 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c), 由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0,
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的充分条件. 分析法和综合法是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻
找解题思路，综合法便于叙述，因而在解题中经常结合使用.
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已知
a,b,c∈（0，+∞）,求证：2
a
2
b
ab
3
a
b 3
c
3
abc
.
证明：
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方法二
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【变式训练】 1.(2010·四川卷)设a b c 0，则2a2+ 1 + ab
1 -10ac+25c2 的最小值( ) a(a b)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析： 2a2+ 1 + 1 -10ac +25c2
ab a(a b)
=(a 5c)2+a2-ab+ab+ 1 + 1 ab a(a b)
ab 又 x＞y＞0，知 xb＞ya 显然成立. 故原不等式成立.
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1.证明不等式除了比较法、综合法、分析法，还可运用 反证法、放缩法、数学归纳法等.证明不等式时既可探 索新的方法，也可一题多证开阔思路. 2.运用柯西不等式的关键是巧妙地构造两组数，并向柯 西不等式的形式进行转化.
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【变式训练】 3. 已知 a、b、x、y∈（0，+∞），且 1 1 ， x y. ab
求证： x y . x+a y b
证明： 证法一（作差比较法） ∵ x y bx ay ，又 1 1 且 a、b∈(0,+∞)，
x a y b (x a)( y b) a b
4-5.2 几个重要不等式的证明及其应用
1. 三个正数的算术—几何平均不等式
定理：如果 a、b、c∈R*，则a3 b3 c3 ≥3abc(当且仅当 a=b=c时取“=”).
推论：如果 a、b、c∈R*，则 a bc 3 abc (当且仅当 a=b=c时取“=”). 3
2．一般形式的平均值不等式
如果
欲证 2
a
2
b
3
a
b 3
c
3
abc
，
只需证a b 2 ab a b c 33 abc ，
即证c 2 ab 33 abc ，
∵a,b,c∈（0，+∞），
∴c 2 ab c ab ab 33 c • ab
∴c 2 ab 33 abc 成立， 故原不等式成立.
ab 33 abc ，
a a a a1 a2 an
2 2
1
2
2 n
n
n
(当且仅当 a1 a2 =…= an 时取“=”).
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2
4.柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式
a a b b 若a1、a2、b1、b2 R，则
2 2
1
2
2
1
2 2
≥
a1b1 a2b2
2
(当且仅当
a1b2 = a2b1时取“=”). (2)一般形式的柯西不等式
ab
当 b = a 即 a=b= 1 时“=”成立，故选 B.
ab
2
答案： B
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用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值，实质上就是利用基本不等式 进行放缩，在放缩过程中要注意两点，一是要注意“放” 或“缩”的结果是否为常数，二是要注意“放”或“缩” 的过程中等号成立的条件是否满足.
=(a 5c)2+ab+ 1 +a(a-b)+ 1
ab
a(a b)
≥0+2+2=4.
当且仅当 a-5c=0，ab=1，a(a-b)=1 时等号成立，如取
a= 2 ,b= 2 ,c= 2 满足条件，故选 D.
2
5
答案： D
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不等式证明
1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要方法之一，可分 为差值比较(作差法)和商值(作商法)比较. 2.综合法：从不等式的性质和有关定理、已知成立的不等式出发经 过逻辑推理，最后达到要证明的结论. 3.分析法：从待证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直 至找到一个明显成立的结论. 分析法要注意叙述的形式：“要证A，只需证B”，这里B是A成立
a∈R*（n=1,2,…,n），则
a1
a2
n
an
n
a1
a2
an (当且仅当a1 =a2
=…= an 时取“=”).
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3.平均值不等式的变形
如果 ai ∈R*（n=1,2,…,n），则
n
≤
1 1 1
a1 a2
an
a a a 2 2 2
1
2
n
n
(当且仅当 a1 a2 =…= an 时取“=”).
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从近几年全国及湖北省命题来看，不等式的证明方法大多与其它 章节习题综合出题，单独命题时大多是填空或选择题，属中档或 容易题.湖北省作为必考内容，在考试中应该有体现，复习时注意 引起重视.
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若 a1, a2, an,b1,b2, bn 都是实数，则
a a a b b b 2 2 2
1
2
n
2
1
2
2
2 n
a1b1 a2b2 anbn
2
当且仅当bi =0(i=1,2,3，…，n),或存在实数 k，使ai =kbi (i=1,2,3，…，
n)时，等号成立.
5.证明不等式的基本方法 证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法等.
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已知 x 2y 1, x, y 0,,求 x2 y 的最大值.
解析：（1）∵ x, y 0,,
∴ x2 y
1 4
x
x
4y
1 4
x x 4y 3 3
1 4
2
x 2y 3 4
2, 27
当 x 4y ,即 x 2 , y 1 时取等号. 36
∴ x2 y 的最大值为 2 . 27
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3
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4
2.设a 0,b 0，若 3 是3a 与3b 的等比中项，则 1 1 的最 ab
小值为 ( )
A.8
B.4
C.1
D. 1
4
解析： 因为3a ·3b =3，所以 a+b=1，
1 1 =(a+b)( 1 1 )=2+ b + a ≥2+2 b a =4，当且仅
ab
ab a b
∴b＞a＞0.又 x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴ bx ay 0，即 x y .
(x a)( y b)
xa yb
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证法二（分析法） ∵x、y、a、b∈（0，+∞）， ∴要证 x y ，
xa yb 只需证明 x( y b) y(x a)，即证 xb＞ya. 而由 1 1 0，∴b＞a＞0.