2020-2021石家庄二中高一数学下期末试卷(含答案)
河北省石家庄二中2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
则 ， ，但 与 不平行(píngxíng)，命题②错误；
对于命题③④，若 ， ，则 ，
，则过直线 的平面 与平面 的交线 满足 ， ，
， ，命题③正确，命题④错误.
故选：A.
【点睛】本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题.
12.三棱锥 中， 互相垂直， ， 是线段 上一动点，若直线 与平面 所成角的正切的最大值是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
是线段 上一动点，连接 ，∵ 互相垂直，∴ 就是直线 与平面 所成角，当 最短时，即 时直线 与平面 所成角的正切的最大．
此时 ， ，在直角△ 中， ．
④若 ， ，且 ，则 ．
其中正确的命题是（）
A.①③B.②④C.③④D.①④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断①③④的正误；举反例可判断②错误.
【详解】对于命题①，若 ， ，且 ，则 或 ，，
， ，又 ， .命题(mìng tí)①正确；
10.设点 是函数(hánshù) 图象上的任意(rènyì)一点，点 满足(mǎnzú) ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案(dá àn)】B
【解析(jiě xī)】
【分析】
函数 表示圆 位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．
【详解】函数 化简得 ．圆心坐标 ,半径为2.
【详解】
故选A
【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题．
石家庄市2020新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C ．3V a h =，3V r h π=，a rπ= D ．3V a h =，3Vr h π=，a rπ= 2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为 A ．1B ．45-C ．34-D ．03．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C +=，则2223a b c++的最小值是（ ） A ．5B ．8C ．7D ．64．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC ∆是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．电视台某节目组要从2019名观众中抽取100名幸运观众．先用简单随机抽样从2019人中剔除19人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取100人，则在2019人中，每个人被抽取的可能性（ ） A ．都相等，且为1002019B ．都相等，且为120C ．均不相等D ．不全相等6．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD QD ．m ⊥平面11ABB A7．等差数列{}n a ，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ）． A ．160B ．180C ．200D ．2208．在ABC ∆中，已知2cos a B c =，21sin sin (2cos )sin 22C A B C -=+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形9．已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A ．7-或1- B ．7或1C ．7-D ．1-10．已知函数sin 3xy π=在区间[]0t ，上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．911．为了得到函数sin(2)5y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移10π个单位D ．向右平移10π个单位12．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53二、填空题：本题共4小题13．用秦九韶算法求多项式()543252328f x x x x x x =++-+-当2x =时的值的过程中：05v =，3v =__．14．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.15．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=_______.16．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自 动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄， 某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年石家庄二中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年石家庄二中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知{a n}为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=()A. 24B. 27C. 15D. 542.将半径为R的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是()A. B. C. D.3.已知x>0，y>0且y−x>1，则1−yx ，1+3xy的值满足()A. 1−yx ，1+3xy都大于1 B. 1−yx，1+3xy至少有一个小于1C. 1−yx ，1+3xy都小于1 D. 以上说法都不正确4.在中，已知那么满足条件的()A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定5.已知log a x>log a y(0<a<1)，则下列不等式恒成立的是()A. y2<x2B. tan x<tan yC. 1y <1xD. √y<√x6.关于椭圆x24+y2=1和双曲线y2−x22=1两曲线下列说法正确的是()A. 与y轴交点相同B. 有相同焦点坐标C. 有四个交点D. 离心率互为倒数7.过点P(1,−3)的直线既与抛物线y=x2相切，又与圆(x−2)2+y2=5相切，则切线的斜率为()A. −6B. −2C. −1D. 38.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{a n}的公比为q的值等于()A. −2或1B. −1或2C. −2D. 19.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系是( )A. AB//CDB. AB ⊥CDC. 异面且成90°角D. 异面且成60°角10. 过点(−4,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A. x +y −1=0或3x +4y =0B. x +y −1=0或3x −4y =0C. x +y +1=0或3x −4y =0D. x +y +1=0或3x +4y =011. 椭圆{x =3+3cosθy =−1+5sinθ(θ为参数)的两个焦点坐标是( ) A. (−3,5)，(−3,−3) B. (3,3)，(3,−5) C. (1,1)，(−7,1)D. (7,−1)，(−1,−1)12. 已知a 1=1，a n+1−a n =n ，则a 6=( )A. 16B. 15C. 14D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知x ，y >0，且x +y +1x +12y =194，则3x −716y 的最小值是______． 14. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．15. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a =√2，A =45°，B =60°，那么△ABC 的面积S △ABC = ______ ．16. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅18. 已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；(1)求数列的通项公式；(2)已知()，记，若对于恒成立，求实数的范围。
2020-2021学年河北省石家庄市高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为( )A. 25、15、5B. 20、15、10C. 30、10、5D. 15、15、152. 已知i 是虚数单位，复数z =i 20211−i，则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是( )A. 如果m//α，n//α，那么m//nB. 如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥nC. 如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥βD. 如果α//β，直线m 与α所成的角和直线n 与β所成的角相等，那么m//n4. 一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是( )A. 17.2，3.6B. 54.8，3.6C. 17.2，0.4D. 54.8，0.45. 已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S.若asinA+C 2=bsinA ，2S =√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形6. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于( )A.81π8B.81π2C.121π8D.121π27. 已知函数g(x)=√3sin(ωx +φ)，g(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则ω等于( )A. π12B. π6C. π4D. π28. 已知菱形ABCD 边长为1，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，将菱形ABCD 沿对角线BD 折成平面角为θ的二面角，若θ∈[60°,120°]，则折后点O 到直线AC 距离的最值为( )A. 最小值为√34，最大值为32 B. 最小值为√34，最大值为34 C. 最小值为14，最大值为√34D. 最小值为34，最大值为√32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列命题不正确的是( )A. 若z =a +bi(a,b ∈R)，则当a =0时，z 为纯虚数B. 若z 1，z 2∈C ，z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0C. 若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系D. 若|z +√3+i|=1，则|z|的最大值为310. 已知向量a⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，则( ) A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. 向量a⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量是−√102b ⃗ C. |a ⃗ +2b ⃗ |=5D. 与向量a⃗ 共线的单位向量是(2√55,√55) 11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3,−3√3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y =f(t)=Rsin(ωt +φ)(t ≥0,ω>0,|φ|<π2)，则下列叙述正确的是( )A. φ=−π3B. 当t ∈[0,60]时，函数y =f(t)单调递增C. 当t ∈[0,60]时，点P 到x 轴的距离的最大值为3√3D. 当t =100时，|PA|=612. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =BB 1，D 是AC 的中点，O 为A 1C 的中点.点P是BC 1上的动点，则下列说法正确的是( )A. 当点P 运动到BC 1中点时，直线A 1P 与平面A 1B 1C 1所成的角的正切值为√55B. 无论点P 在BC 1上怎么运动，都有A 1P ⊥OB 1C. 当点P 运动到BC 1中点时，才有A 1P 与OB 1相交于一点，记为Q ，且PQQA 1=13 D. 当点P 在BC 1上运动时，直线A 1P 与AB 所成角可以是30°三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 复数2+i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的一个根，则复数|a +bi|= ______ ．14. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是线段BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m = ______ ．15. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是1600003cm 3，则正方体石块的棱长是______ cm ；若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是______ cm 3．16. 设定义在区间(0,π2)上的函数y =2cosx 的图象与y =3tanx 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y =sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=1，|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |(k>0,k∈R)．(1)求a⃗⋅b⃗ 关于k的解析式f(k)；(2)若a⃗//b⃗ ，求实数k的值；(3)求向量a⃗与b⃗ 夹角的最大值．)(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：18.已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)的图象平移得到；③函数f(x)图①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y=√2sin(x−π4象的相邻两条对称轴之间的距离为π．2(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；(2)求方程f(x)+1=0在区间[−π,π]上所有解的和．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．(1)求证：PB//平面ACE；(2)若平面ABE与侧棱PC交于点F.且PA=PD=AD=2，求四棱锥P−ABFE的体积．20.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表：周跑量[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55) (km/周)人数100120130180220150603010(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；(2)根据以上图表数据，试求样本的中位数(保留一位小数)(3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格(单位：元)250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？21.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(Ⅰ)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(Ⅱ)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值．22.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=1，BC=2，E、F分别为腰AD、BC的中点．将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFC′D′⊥平面ABFE，如图2，H，M别线段EF、AB的中点．(Ⅰ)求证：MH⊥平面EFC′D′；(Ⅱ)请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面D′HM垂直，并给出证明：(Ⅲ)若N为线段C′D′中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ//面D′HM？如果存在，求出线段NQ 的长度，如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：每个个体被抽到的概率等于45900=120，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为400×120=20，300×120=15，200×120=10，故选：B．先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z=i 20211−i =i2020⋅i1−i=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，∴z−=−12−12i，z−对应点的坐标为(−12,−12)，在第三象限．故选：C．由z=i20211−i ，得z==−12+12i，然后根据共轭复数的定义，得到z−，再确定z−在复平面内对应的点所在的象限．本题考查复数运算，共轭复数和复数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：如果m//α，n//α，那么m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；如果m⊥α，则m与平行于α的所有直线垂直，又n//α，那么m⊥n，故B正确；如果m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n//α，又n//β，那么α//β或α与β相交，故C错误；如果α//β，且直线m与α所成的角和直线n与β所成的角相等，可得m、n与平面α成等角，则m//n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：B．由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由线面垂直可得直线与直线的位置关系判定B；由线线垂直及线面垂直可得两直线的位置关系判定C；由直线与平面所成角的概念判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设原来的数据为x i ， 则3x i −50的平均数是1.6，方差是3.6， ∴{3x i −−50=1.69D(x i )=3.6， 解得x i −=17，2，D(x i )=0.4．∴原来数据的平均数和方差分别是17.2，0.4． 故选：C ．设原来的数据为x i ，则3x i −50的平均数是1.6，方差是3.6，由此列出方程能求出原来数据的平均数和方差． 本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：因为asinA+C 2=bsinA ，所以asin(π2−B2)=acos B2=bsinA ， 由正弦定理可得sinAcos B2=sinBsinA ， 因为sinA ≠0，可得cos B2=sinB =2sin B2cos B2， 因为B ∈(0,π)，B2∈(0,π2)，cos B2≠0， 所以可得sin B2=12，可得B2=π6，可得B =π3，又2S =√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12bcsinA =√3⋅bccosA ，即tanA =√3， 因为A ∈(0,π)，可得A =π3，所以C =π−A −B =π3，则△ABC 的形状是正三角形． 故选：C ．由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sin B2=12，进而可求得B 的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A 的值，利用三角形内角和定理可求C 的值，即可判断得解．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，设母线为l ，所以12×2π3×l 2=3π，所以母线长为：l =3，圆锥的底面周长为2π，底面半径为r =1，圆锥的高为：2√2， 设球的半径为：R ，可得R 2=(2√2−R)2+12， 解得R =94√2，球O 的表面积：4π×8132=818π．故选：A ．利用已知条件求出圆锥的母线以及底面半径，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查学生逻辑思维能力以及直观想象的数学素养，是中档题．7.【答案】A【解析】解：已知函数g(x)=√3sin(ωx +φ)，g(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，则f(x)=√3sin(2ωx +φ)，由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，得−|AB||BC|cos∠ABC =|AB|2， ∵2|AB|=|BC|， cos∠ABC =−12， 则∠ABC =120°， 过B 作BE ⊥x 轴于E ， 则BE =√3，AE =3，即周期T=12，即2π2ω=12，得ω=π12，故选：A．根据条件求出g(x)的解析式，利用向量关系建立方程，求出函数的周期，利用周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数的图像和性质，求出函数的解析式，利用向量关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由二面角的定义知∠AOC=θ，θ∈[60°,120°]，在△AOC中解决点到直线的距离的最值，因为AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC=θ，θ∈[60°,120°]，因为菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，所以AO=CO=√32，点O到AC的距离d=√32⋅cos12∠AOC，当∠AOC=θ=60°时，d取得最大值√32×√32=34，当∠AOC=θ=120°时，d取得最大值√32×12=√34，故选：B．由二面角的定义知∠AOC=θ，θ∈[60°,120°]，再在△AOC中解决点到直线的距离的最值，本题考查立体几何中二面角，点到直线的距离，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对于A，当a=0，b≠0时，z为纯虚数，故A错误；对于B，令z1=1，z2=i，则z12+z22=0，但不满足z1=z2=0，故B错误；对于C，当a=0时，不满足，故C错误；对于D，|z+√3+i|=1的几何意义是复数对应的点到(−√3,−1)的距离为1，即z的轨迹为以(−√3,−1)为圆心，1为半径的圆，则|z|的最大值为1+√(√3)2+1=3，所以D正确；故选：ABC ．根据复数的定义及其运算性质逐一判断各选项即可． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：因为向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，故a ⃗ ⋅b ⃗ =−5，对于A ，a ⃗ +b ⃗ =(−1,2)，所以(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =2×(−1)+2×1=0，所以(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，故A 正确； 对于B ，向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量是|a ⃗ |cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=|a ⃗ |⋅a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |⋅b⃗ |b⃗ |=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |2⋅b ⃗ =−5(−3)2+1b ⃗ =−12b ⃗ ，(注：θ是向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角)，故B 错误；对于C ，a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，所以|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+32=5，故C 正确； 对于D ，a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |，即(2√55,√55)或(−2√55,−√55)，故D 错误．故选：AC ．根据向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式、模的计算公式以及单位向量的求法逐项判断即可． 本题考查平面向量数量积的定义，两向量的夹角、垂直，单位向量的求法等知识和方法，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：由题意，R =√32+(−3√3)2=6，T =120，所以ω=2πT=π60；又点A(3,−3√3)代入f(x)可得−3√3=6sinφ，解得sinφ=−√32；又|φ|<π2，所以φ=−π3.A 正确；所以f(t)=6sin(π60t −π3)，当t ∈[0,60]时，π60t −π3∈[−π6,2π3]，所以函数f(x)先增后减，B 错误；t ∈[0,60]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，C 错误； 当t =100时，π60t −π3=4π3，P 的纵坐标为y =−3√3，横坐标为x =−3，所以|PA|=6，D 正确．故选：AD ．求出圆的半径R ，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，对于A：当点P运动到BC1的中点是，有E为B1C1中点，连接A1E，EP，如下所示：即EP⊥平面A1B1C1，所以直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值，tan∠PA1E=EPAE，因为EP=12BB1，AE=√A1B12+B1E2=√52BB1，所以tan∠PA1E=√55，故A正确；对于B：连接B1C，与BC1交于点E，并连接A1B，如下图所示：由题意知，B1BCC1为正方程，即有B1C⊂面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1，又A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥面A1B1C，OB1⊂面A1B1C，故BC 1⊥OB1，同理可证：A1B⊥OB1，又A1B∩BC1=B，所以OB1⊥面A1BC1，又A1P⊂面A1BC1，即有A1P⊥OB1，故B正确；对于C：点P运动到BC1的中点时，即在△A1B1C中A1P，OB1均为中位线，所以Q为中位线的交点，所以根据中位线的性质有PQQA1=12，故C错误；对于D：由于A1B1//AB，直线A1P与直线AB所成的角为A1B1与A1P所成的角，即∠B1A1P，结合下图分析知，点P在BC1上运动时，当P在B或C1上是，∠B1A1P最大为45°，当P在BC1的中点时，∠B1A1P最小为arctan√22>arctan√33=30°，所以∠B1A1P不可能是30°，故D正确．故选：ABD．构造线面角∠PA1E，由已知线段的等量关系求tan∠PA1E=EPAE的值即可判断A是否正确；利用线面垂直的性质，可证明A 1P ⊥OB 1，即可判断B 是否正确；由中位线的性质有PQ QA 1=12可知C 是否正确；由直线的平行关系构造线线角为∠B 1A 1P ，结合动点P 分析角度范围，即可判断D 是否正确． 本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值，线面位置关系，属于中档题．13.【答案】√41【解析】解：∵2+i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的一个根， ∴2−i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的另一个根， 则{(2+i)+(2−i)=−a (2+i)(2−i)=b ，解得a =−4，b =5． ∴|a +bi|=|−4+5i|=√(−4)2+52=√41． 故答案为：√41．由已知利用根与系数的关系列式求解a 与b 的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理，考查根与系数关系的应用，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15×3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +35AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为点B ，P ，N 三点共线，所以m +35=1，则m =25， 故答案为：25．由已知可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后将向量AP 化简为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +35AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用B ，P ，N 三点共线即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的性质，属于基础题．15.【答案】4032000π3【解析】解：设正方体石块的棱长为a ，则每个截去的四面体的体积为13×12×a 2×a 2×a2=a 348，由题意可得8×a 348+1600003=a 3，解得a =40．故正方体石块的棱长为40cm；当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时，球形石凳的表面积最大，此时正方体的棱长正好是球的直径，此时石凳的最大体积是V=43π×(402)3=32000π3cm3．故答案为：40cm；32000π3cm3．设正方体石块的棱长为a，可得每个截去的四面体的体积，再由截去的八个四面体的体积加上石凳的体积等于正方体的体积列式求解a值；求出正方体内切球的体积，即为球形石凳的最大体积．本题考查多面体体积及多面体内切球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】12【解析】【解答】解：设P(x,y)，则2cosx=3tanx=3sinxcosx ，∴sinx=2cos2x3，∵sin2x+cos2x=1，∴49cos4x+cos2x=1，解得cos2x=34，或cos2x=−3(舍)．∵0<x<π2，∴sinx=√1−cos2x=12．∴P1P2=sinx=12．故答案为：12．【分析】令2cosx=3tanx，利用同角三角函数的关系解出sin x即为线段P1P2的长．本题考查了三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |，∴(k a⃗+b⃗ )2=3(a⃗−k b⃗ )2，∵|a⃗|=|b⃗ |=1，∴k2+2k a⃗⋅b⃗ +1=3(1−2k a⃗⋅b⃗ +k2)∴8k a⃗⋅b⃗ =2+2k2，∵k>0，k∈R，∴a⃗⋅b⃗ =14(k+1k).∴f(k)=14(k+1k)，(2)∵a⃗//b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =±|a⃗||b⃗ |=±1，∴k+1k=±4，∴k=2±√3或−2±√3，(3)设a⃗，b⃗ 夹角为θ，则根据数量积公式，得cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=14(k+1k)≥14×2√k⋅1k=12，∴0≤θ≤π3，∴向量a⃗与b⃗ 夹角θ的最大值π3．【解析】(1)结合|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |，得到(k a⃗+b⃗ )2=3(a⃗−k b⃗ )2，然后，展开整理即可；(2)直接根据共线的条件进行求解即可；(3)设a⃗，b⃗ 夹角为θ，则根据数量积公式，结合基本不等式进行求解．本题重点考查了平面向量的基本运算、向量的模计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+π6)满足条件为①③：理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f(x)=Asin(ωx+π6)满足的条件之一．由③可知：T=π，所以ω=2．故②不合题意．所以函数f(x)=Asin(ωx+π6)满足条件为①③：由①知：A=2．所以f(x)=2sin(2x+π6)．(2)由于f(x)+1=0．所以sin(2x+π6)=−12，所以2x+π6=−π6+2kπ或2x+π6=7π6+2kπ(k∈Z)，解得：x=−π6+kπ或π2+kπ(k∈Z)，由于x∈[−π,π]，所以x的取值为−π6,5π6,−π2,π2．所以方程f(x)+1=0的所有的解的和为2π3．【解析】(1)直接利用①③得到函数的解析式．(2)利用三角函数的方程的应用求出所有的x的值，进一步求出它们的和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】(1)证明：连接BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点，连接OE，∵E为PD的中点，O为BD的中点，∴OE//PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB//平面ACE；(2)解：由ABCD是正方形，可得CD//平面ABE，CD⊂平面PCD，设平面PCD∩平面ABE=EF，F∈PC，∴CD//EF，而E为PD的中点，则F为PC的中点，EF//CD且EF=12CD，在正方形ABCD中，AB//CD且AB=CD，∴AB//EF，EF=12AB，则四边形ABFE为梯形，∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，可得CD⊥AE，而CD//EF，∴EF⊥AE，可得四边形ABFE为直角梯形．EF=12CD=1，AE=√32×2=√3，∴S梯形ABFE =12×(2+1)×√3=3√32，由CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，得CD⊥PD，从而EF⊥PD，在正三角形PAD中，E是PD的中点，则AE⊥PD，又AE∩EF=E，AE、EF⊂平面ABFE，∴PD⊥平面ABFE，∵PE=12PD=1，∴V P−ABFE=13S ABFE⋅PE=13×3√32×1=√32．【解析】(1)连接BD，设BD∩AC=O，连接OE，可得OE//PB，由直线与平面平行的判定可得PB//平面ACE；(2)证明四边形ABFE为梯形，进一步证明四边形ABFE为直角梯形，求其面积，再证明PD⊥平面ABFE，可得PE=12PD=1，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：(2)由频率分布直方图得：[10,25)的频率为：(0.02+0.024+0.026)×5=0.35，[25,30)的频率为0.036×5=0.18，设样本的中位数为x，则0.35+(x−25)×0.036=0.5，解得x≈29.2．∴样本的中位数约为29.2．(3)依题意知休闲跑者共有：(5×0.02+5×0.024)×1000=220人，核心跑者共有：(5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030)×1000=680人，精英跑者共有：1000−220−680=100人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：11000(220×2500+680×4000+100×4500)=3720(元)．【解析】(1)由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．(2)由频率分布直方图能求出样本的中位数．(3)分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．本题考查频率分布直方图的作法，考查样本的中位数、平均数的求法，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由平行四边形OMPN得，在△OPN中，∠ONP=120°，∠OPN=60°−θ，则ONsin∠OPN =OPsin∠ONP=PNsin∠PON，即ONsin(60∘−θ)=60sin120∘=PNsinθ，所以ON=40√3sin(60°−θ),PN=40√3sinθ，则停车场面积S=ON⋅PN⋅sin∠ONP=2400√3sinθsin(60°−θ)，即S=2400√3sinθsin(60°−θ)，其中0°<θ<60°．(Ⅱ)由(Ⅰ)得S=2400√3sinθsin(60°−θ)=2400√3sinθ(√32cosθ−12sinθ)，即S=3600sinθcosθ−1200√3sin2θ=1800sin2θ+600√3cos2θ−600√3，则S=1200√3sin(2θ+30°)−600√3，因为0°<θ<60°，所以30°<2θ+30°<150°，则2θ+30°=90°,S max=1200√3×1−600√3=600√3平方米．故当θ=30°时，停车场最大面积为600√3平方米．【解析】(Ⅰ)在△OPN中，由正弦定理可求出ON=40√3sin(60°−θ),PN=40√3sinθ，再根据S=ON⋅PN⋅sin∠ONP可求停车场面积S关于θ的函数关系式，结合图象可得θ的取值范围；(Ⅱ)化简得到S=1200√3sin(2θ+30°)−600√3，结合三角函数的单调性可求最大值．本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数的性质，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，点H为EF的中点，点M为AB的中点，∴MH⊥EF，∵平面EFC′D′⊥平面ABFE，平面EFC′D′∩平面ABFE=EF，∴MH⊥平面EFC′D′．(Ⅱ)解：在图2中，C′，E这两个点，使得这两点所在直线与平面D′HM垂直．证明：连结C′E，D′H，∵C′E⊂平面EFC′D′，∴MH⊥C′E，∵C′D′−//EH，且C′D′=D′E，∴四边形C′D′EH是菱形，∴C’E⊥D′H，∵MH∩D′H=H，∴C′，E这两点所在直线与平面D′HM垂直．(Ⅲ)解：N为线段C′D′中点，假设在直线BF上存在点Q，使得NQ//面D′HM．在线段MB上取点P，使得MP=0.5，连结线段CP，交EF于点L，由题意得平面NLC//平面D′HM，∴NC//平面D′HM，∴C就是所求的点，NQ=√7．2【解析】(Ⅰ)由已知可证MH⊥EF，利用面面垂直的性质即可证明MH⊥平面EFC′D′．(Ⅱ)连结C′E，D′H，通过证明四边形C′D′EH是菱形，可证C’E⊥D′H，又MH∩D′H=H，可得C′，E这两点所在直线与平面D′HM垂直．(Ⅲ)假设在直线BF上存在点Q，使得NQ//面D′HM.在线段MB上取点P，使得MP=0.5，连结线段CP，交EF于点L，利用面面平行的性质可得NC//平面D′HM，即可求解．本题主要考查了面面垂直的性质，面面平行的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．第21页，共21页。
河北省石家庄市高一数学下学期期末考试试题(1)
2021-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷一.选择题（每题5分，共60分）1．直线y=﹣x+1的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135°D．150°2．不等式x2+3x﹣4＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1，或x＞4}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|x＜﹣4，或x＞1}D．{x|﹣4＜x＜1}3．过点（2，0）且与直线x﹣2y﹣1=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣2=0B．x﹣2y+2=0C．2x﹣y﹣4=0D．x+2y﹣2=04．实数a，b，c知足a＞b＞c，ac＜0，以下不等式必然成立的是（）A．c（b﹣a）＜0B．a b2＞cb2C．c（a﹣c）＞0D．a b＞ac5．已知Rt△ABC的两条直角边的边长别离为3和4，假设以其中一条直角边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积为（）A．16πB．12π或16πC．36πD．36π或48π6．在等比数列{a n}中，a3=，其前三项的和S3=，那么数列{a n}的公比等于（）A．﹣B．C．﹣或1D．或17．已知变量x、y知足条件，那么2x+y的最大值是（）A．3B．6C．9D．128．设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．假设一束光线从点P（1，0）射出后，经直线x﹣y+1=0反射后恰好于点Q（2，1），在这一进程中，光线从P到Q所通过的最短路程是（）A．2B．2+C．D．2+10．某几何体的三视图及其尺寸如下图，那么该几何体的表面积是（）A．30+6B．28+6C．56+12D．60+1211．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，AB边上点P到边AC、BC的距离乘积的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，3]C．[0，4]D．[0，]12．设等差数列{a n}的前n项和S n，假设S15＞0，S16＜0，那么数列{}的前15项中最大的项是（）A．第1项B．第8项C．第9项D．第15项13．设等差数列{a n}的前n项和S n，假设S13=26，S14=﹣14，那么S n取最大值时，n的值为（）A．7B．8C．9D．14二.填空题（每题5分，共20分）14．在△ABC中，假设sin2A+sin2B＜sin2C，那么该△ABC是_________ 三角形（请你确信其是锐角三角形、直角三角形仍是钝角三角形）．15．假设不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集为空集，那么实数a的取值范围时_________ ．16．设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=n，那么数列{}前15项的和为_________ ．17．（2021•商丘二模）在△ABC中，D为边BC上的中点，AB=2，AC=1，∠BAD=30°，那么AD= _________ ．18．已知过点（2，1）直线与x，y轴的正半轴别离交于A，B两点，O为坐标原点，那么△ABC的最小面积为_________ ．三.解答题（共6小题，共70分）19．（10分）已知等差数列{a n}，公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{2﹣1}的前n项和S n．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长别离为a、b、c，其面积为，且c+2acosC=2b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）假设a=，求b，c的值．21．（12分）已知△ABC的极点C在直线3x﹣y=0上，极点A、B的坐标别离为（4，2），（0，5）．（Ⅰ）求过点A且在x，y轴上的截距相等的直线方程；（Ⅱ）假设△ABC的面积为10，求极点C的坐标．22．（12分）某海域设立东西方向两个观测点A、B，相距海里．现接到一艘渔船发出的求救讯号，测出该船位于点A北偏东30°，点B北偏西60°的C点．立刻通知位于B观测点南偏西60°且与B点相距16海里的D处的救援船前去营救，假设救援船以28海里/小时的航速前去，问需要多长时刻抵达C处？23．（12分）如图，△ABC是等边三角形，PA⊥平面ABC，DC∥PA，且DC=AC=2PA=2，E是BD的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥BC；（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离．24．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+c（a，c∈R），知足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=（k∈R），对任意x∈[1，2]，存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x）＜f（x0）求k的取值范围．石家庄市2021～2021学年度第二学期期末考试试卷 高一数学答案 一．选择题1.C2.D3.A4.D5.B6.D7.C8.B9.C 10.A11.A 12.示范B ；普通A二．填空题13．钝角三角形 14．(－6，2) 15．158 16．示范32； 一般4三．解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知a 32＝a 1a 9即 (2＋2 d )2＝2×(2＋8d )……………………3分d 2－2d ＝0 ∴ d ＝2或d ＝0（舍）∴ a n ＝2n ． …………5分（Ⅱ）数列{2an －1}的通项为2an －1＝22n －1＝4n －1，…………………7分 ∴S n ＝41＋42＋43＋··＋4n－n ＝43×(4n －1)－n ． …………10分18. 解：（Ⅰ）由c ＋2a cos C ＝2b 得c ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝2b ，……………………2分即bc ＝b 2＋c 2－a 2 ∴ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝ 12，……………………4分∴ A ＝60°． …………6分（Ⅱ）由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 b 2＋c 2－bc ＝7 ①又S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝332得 bc ＝6 ② …………10分由①②得：b =2，c =3或b =3，c =2． …………12分19. 解：（Ⅰ）ⅰ)假设所求直线过原点时k ＝ 1 2，∴ y ＝ 12x ，即x －2y ＝0；ⅱ)截距不为0时，k ＝－1，∴ y －2＝－(x －4) ， 即x ＋y －6＝0． ∴所求直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0． …………5分 （Ⅱ）由极点C 在直线3x －y ＝0上，可设C (x 0，3x 0)，可求直线AB 的方程为3x ＋4y －20＝0， …………7分 那么极点C 到直线AB 的距离d ＝|3x 0＋4×3x 0－20|32＋42 ＝|3x 0－4|，且|AB |＝42＋(2－5)2＝5； …………10分∴S △ABC ＝ 1 2|AB |·d ＝10，即|3x 0－4|＝4，∴x 0＝0或x 0＝ 83，故极点C 的坐标为(0，0)或( 83，8)． …………12分20. 解：如图：由题意知△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90，…2分 AB ＝2033，∴BC ＝AB cos30°＝10， …………4分 又∵BD ＝16，∠CBD ＝60， 在△BCD 中，依照余弦定理得：DC 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos60°＝102＋162－2×10×16×12＝196，……8分 ∴DC ＝14（海里），那么需要的时刻为 t ＝ DC28＝0.5小时． …………12分21. （Ⅰ）证明：取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，那么EF ∥DC ，………2分 ∵DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥BC ，那么EF ⊥BC ； 由△ABC 是等边三角形知，AF ⊥BC ， ∴BC ⊥平面AEF ，……………………4分 ∵AE 平面AEF ，∴AE ⊥BC ． ……6分ADC30°606016ABDP C E F（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接BH ， ∴BH ⊥AC ，又∵平面PACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面PACD ，且BH ＝3；又PA ⊥平面ABC ，PA ∥DC ，DC ⊥平面ABC ，那么，PA ⊥AC ， …………8分 由AB ＝AC ＝DC ＝2PA ＝2知，S △PCD ＝ 12DC ·AC ＝2，∴V B -PCD ＝ 13S △PCD ·BE ＝ 13×2×3＝233在Rt △PAF 中，可求PF ＝2，S △PBC ＝1 2BC ·PF ＝2； …………10分设点D 到平面PBC 的距离为h ，由V D -PBC ＝V B -PCD 得： 1 3S △PBC ·h ＝233，∴h ＝3，即点D 到平面PBC 的距离为3． …………12分22. 解：（Ⅰ）依照f (2)＝9，得4a ＋c ＝17由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，方程ax 2－4x ＋c ＝0，判别式△＝0，即 ac ＝4，………………4分 又f (c )＜a ，∴ac 2－4c ＋c ＜a ，即c ＜a ，解得：a ＝4，c ＝1，因此f (x )＝4x 2－4x ＋1． …………6分 （Ⅱ）当x ∈[－1，1]时，f (x )∈[0，9]，对任意x ∈[1，2]，存在x 0∈[－1，1]，使得g (x )＜f (x 0)，即g (x )＝4x 2－4x ＋1＋kx －3 x＜9，即4x 2＋(k －13)x －2＜0对任意x ∈[1，2]恒成立．…………8分设h (x )＝4x 2＋(k －13)x －2，那么⎩⎨⎧h (1)<0，h (2)<0，即⎩⎨⎧k <11k <6， …………10分 ∴k 的取值范围是(－∞，6)． …………12分。
河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数32i32i+=-z，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用除法运算可得512i1313z=+，然后根据复数的几何意义即得.【详解】由题可知232i(32i)512i32i(32i)(32i)1313z++===+--+，所以其在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.2.下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（）①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①系统抽样，②分层抽样D.①②都用分层抽样【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样及简单随机抽样的概念结合条件分析即得.【详解】由题可知对①，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；对②，从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围；所以宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样．故选：B.3.一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱12AA '=．若侧面AA B B ''水平放置时，如图所示，水面恰好过AC 、BC 、A C ''、B C ''的中点，那么，当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设ABC 的面积为a ，底面ABC 水平放置时，水面高为h ，由题可知侧面AA B B ''水平放置时，水的体积为3312944ABC V S AA a a '=⋅=⋅= ，当底面ABC 水平放置时，水的体积为ABC V S h ah =⋅= ，于是9ah a =，解得9h =，所以当底面ABC 水平放置时，水面高为9.故选：D.4.已知向量(1,)a m = ，(0,2)b =- ，且()a b b +⊥，则实数m 等于（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】A 【解析】【分析】先求出a b +，然后利用向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得：(1,2)a b m +=- ，又因为()a b b +⊥，所以()02(2)0a b b m +=--=，解得：2m =，故选：A.5.已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//αβ，//a α，b β//，则//a bB.若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC .若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥ D.若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则//a b【答案】C 【解析】【分析】举例说明判断ABD ；推理判断C 作答.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -，令平面ABCD 是平面α，对于A ，若平面1111D C B A 为平面β，直线11A B 为直线a ，直线BC 为直线b ，显然//αβ，//a α，b β//，此时直线,a b 是异面直线，A 错误；对于B ，若平面11CDD C 为平面β，直线AB 为直线a ，直线11C D 为直线b ，显然a α⊂，b β⊂，//a b ，此时平面α与β相交，B 错误；对于D ，若平面11CDD C 为平面β，直线1BB 为直线a ，直线11B C 为直线b ，显然a α⊥，b β⊥，αβ⊥，此时直线,a b 相交，D 错误；对于C ，在直线a 上取点A ，过A 作直线//c b ，相交直线,a c 确定平面γ，由a α⊥知，γ与α相交，令交线为l ，显然a l ⊥，由//c b ，a b ⊥r r，得a c ⊥，而,,a c l γ⊂，于是////l c b ，又b β⊥，从而l β⊥，而l ⊂α，所以αβ⊥，C 正确.故选：C6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为（）A.5B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得c =则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，222R ==，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.7.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A.79 B.79-C.29D.29-【答案】B 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】πππ2πsin 2cos 2cos 26623ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π172sin 121339α⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B8.在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，若四面体ABCD 的体积3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A.20πB.18πC.16πD.12π【答案】C 【解析】【分析】根据锥体的体积公式求出AD ，再求出底面ABC 外接圆的直径，从而求出外接球的半径，即可得解.【详解】依题意1122222ABC S AB AC =⋅=⨯⨯= ，133ABCD ABC V A S D ⋅== ，所以AD =又底面ABC 为直角三角形，所以外接圆的直径即为斜边BC ==设四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则()2222R BC AD =+，即((222416R =+=，所以外接球的表面积24π16πS R ==.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是（）成绩（分）606568707376818387899293频数57910111354a 443A.5a = B.学生成绩的众数是76C.学生的成绩的平均分大于76 D.学生成绩的极差为33【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的概念结合条件可得()6444380%64a ++++⨯=，然后根据众数，极差及平均数的概念结合条件即得.【详解】因为学生成绩的第80百分位数是85，8387852+=，又5791011135464+++++++=，所以()6444380%64a ++++⨯=，即5a =，故A 正确；所以参赛学生的人数为80，学生成绩的众数是76，学生成绩的极差为33，故BD 正确；学生的成绩的平均分为()60565768970107311761381583487589492493375.412580⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误.故选：ABD.10.函数()sin()(0,π)f x A x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π3ϕ=-C.()f x 图象的对称中心为5ππ,0()12k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D.()f x 图象的对称轴方程为ππ()122k x k =-+∈Z【答案】AD 【解析】【分析】由图知2A =且33π44T =求ω，根据五点法求参数ϕ，即可得()f x 的解析式，再由正弦型函数的性质求对称中心、对称轴方程，即可判断各选项的正误.【详解】由图可得：2A =且311ππ3π41264T =-=，∴πT =，则2π2Tω==，A 正确；由11π11π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11π5π2π62k ϕ+=+（Z k ∈），得2π2π3k ϕ=+，Z k ∈，又π<ϕ，所以23ϕπ=，B 错误；所以，有()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由2π2π3x k +=，Z k ∈，得ππ,Z 23k x k =-∈，所以函数()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 23k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，C 错误；由2π2π32πx k +=+，Z k ∈，得ππ122k x =-+，Z k ∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 122k x k =-+∈，D 正确.故选：AD.11.在△ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，CM 与BN 交于P 点，若3177AP AB AC =+，则（）A.AM MB=B.2AM MB=C.3AN NC=D.13AN NC= 【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.【详解】设AM mAB = ，AN nAC = ，由3177AP AB AC =+ ，可得3177AP AM AC m =+，3177AP AB AN n=+ ．因为C ，P ，M 共线，所以31177m +=，解得12m =．因为N ，P ，B 共线，所以31177n +=，解得14n =．故12AM AB = ，14AN AC = ，即AM MB = ，13AN NC = ．故选：AD ．12.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 为线段1BC 上的一个动点，则下列说法正确的有（）A.线段1A G 长度的最小值为B.11cos B A G ∠的最大值为63C.点G 在线段1BC 上运动时，始终有1//A G 面1ACDD.1GC GD +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】根据垂直时线段最短判断A ，由直角三角形中的余弦值及A 选项判断B ，根据面面平行的性质判断C ，由展开图利用余弦定理计算判断D.【详解】对A ，连接11111,,,A C BC A B A G ，如图，当11A G BC ⊥时，1A G 最短，由正方体棱长为6，所以1111A C BC A B ===，所以11211142A BC S BC A G =⨯=⋅△，可得1A G =，故A 错误；对于B ，连接1B G，如图，由正方体可知11A B ⊥平面11BCC B ，又1B G ⊂平面11BCC B ，所以111A B B G ⊥，故1111116cos A B B A G A G A G ∠==，由A 知，1A G的最小值为，故11cos B A G ∠的最大值为3，故B 正确；对于C ，连接11111,,,,AC A B CD AD AC，如图，在正方体中，11A C ∥AC ，11AC ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B ，所以AC ∥平面11A C B ，同理可得1CD ∥平面11A C B ，又1AC CD C = ，1,AC CD ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD ∥平面11A C B ，又1A G ⊂平面11A C B ，所以1//A G 面1ACD ，故C 正确；对于D ，把平面11AD C B 沿1BC 展开到平面11BCC B 所在平面，如图，连接1CD 交1BC 于G ，此时1GC GD +最小，最小值为1CD ,在11CC D △中，111114590135,6CC D CC C D ∠=︒+︒=︒==，由余弦定理得1CD =，故D 正确.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式i e cos isin x x x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得iπe =________．【答案】1-【解析】【分析】由已知公式直接计算即得.【详解】i e cos isin x x x =+Q ，iπcos n e πisi π1∴+=-=.故答案为：1-.14.已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，且1BC = ，则t =________．【答案】3【解析】【分析】先求出向量BC的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.【详解】由已知得()1,3BC B t AC A -==-，1BC =，()2131t ∴+-=，解得3t =.故答案为：3.15.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是11AB 和11BC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为___________.【答案】45##0.8【解析】【分析】取11A D 的中点G ，连AG 、GF 、GE ，利用平行四边形可得//BF AG ，可得EAG ∠是异面直线AE 与BF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取11A D 的中点G ，连AG 、GF 、GE ，E ，F 依次是11A B 和11B C 的中点，，所以//AB GF 且AB GF =，所以四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，EAG ∴∠是异面直线AE 与BF 所成角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则AE AG ===，GE =4cos5EAG ∴=∠．∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为45．故答案为：45．16.已知ABC 中，BC =，π3A =，点P 是ABC 外接圆圆周上的一个动点，则PB PC ⋅ 取值范围是________．【答案】[]2,6-【解析】【分析】根据正弦定理可知ABC 外接圆的半径2R =，设D 为BC 的中点，根据向量的线性表示及数量积的运算可得22PB PC PD DB ⋅=- ，然后根据圆的性质可得[]1,3PD ∈，进而即得.【详解】设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2324s π3sin in BC R A ===，所以2R =，如图设ABC 外接圆的圆心为O ，D 为BC 的中点，连接,,,OD OB PD 则,2,3OD BC OB DB ⊥==所以1OD =，因为,PB PD DB PC PD DC PD DB =+=+=- ，所以()()2223PB PC PD DB PD DB PD DB PD ⋅=+⋅-=-=- ，由圆的性质可知2121PD -≤≤+，即[]1,3PD ∈，所以[]232,6PD -∈- ，即PB PC ⋅ 取值范围是[]2,6-.故答案为：[]2,6-.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数2(1i)3i 2iz ++-=-，复数1z 与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，（1）求1z ；（2）若复数2i(,)z a b a b =+∈R ，且21i z az b ++=-，求12z z -．【答案】（1）11i z =-+；（213【解析】【分析】（1）根据复数的运算可得1i z =+，结合条件可得1z ；（2）根据复数的运算及复数相等的条件可得234i z =-+，然后利用模长的求法即得.【小问1详解】由已知复数2(1i)3i 2i 3i 3i (3i)(2i)1i 2i 2i 2i (2i)(2i)z ++-+-+++=====+----+,因为复数1z 与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以11i z =-+；【小问2详解】因为21i z az b ++=-，所以2i)(1i)1i (1a b ++++=-，整理得i 1i (2)a b a ++=+-，所以121a b a +=⎧⎨+=-⎩，解得3a =-，4b =，所以复数234i z =-+，所以1223i z z -=-，故1223i z z -=-=．18.从①(2)cos cos a c B b C +=-，②()sin ()(sin sin )a c A b c B C +=-+，③sin sin sin c a b a A B C +-=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积．注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．【答案】（1）2π3B =；（2）4.【解析】【分析】（1）利用正余弦定理，三角恒等变换及特殊角的三角函数结合条件即得；（2）利用余弦定理及三角形面积公式即得.【小问1详解】选①因为(2)cos cos a c B b C +=-，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C +=-,所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =--=-+=-,因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠,所以1cos 2B =-,又因为(0,π)B ∈，所以2π3B =；选②因为()sin ()(sin sin )a c A b c B C +=-+，由正弦定理，得()()()a c a b c b c +=-+，所以222a c b ac +-=-，即2cos ac B ac =-，因为0a >，0c >，所以1cos 2B =-，又因为(0,π)B ∈，所以2π3B =；选③因为sin sin sin a c b a A B C+-=+，由正弦定理，得()()()a c c b a a b +=-+，所以222a c b ac +-=-，即2cos ac B ac =-，因为0a >，0c >，所以1cos 2B =-，又因为(0,π)B ∈，所以2π3B =；【小问2详解】由余弦定理得22222cos ()6449b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-=，解得15ac =，故1153sin 24ABC S ac B == ．19.已知,cos )a x x =- ，(cos ,cos )b x x = ，函数()21f x a b =⋅+ ．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）π5π[π,π]36k k ++，k ∈Z ；（2）[-.【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得()π2sin(2)6f x x =-，然后根据正弦函数的性质即得；（2）根据三角函数的图形和性质结合条件即得.【小问1详解】因为,cos )a x x =- ，(cos ,cos )b x x =，所以2()21sin 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅+=-+=- π2sin(2)6x =-,令ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，则π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以函数的单调递减区间为π5π[π,π]36k k ++，k ∈Z ．【小问2详解】因为ππ[,34x ∈-，所以π5ππ2[,]663x -∈-，所以πsin(2[6x -∈-，所以函数()f x 在区间ππ[,]34-上的最大值为2-，即()f x 在区间ππ[,34-上的值域为[-．20.某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并整理得到如下频率分布直方图，已知在[)70,80的人数等于在[)60,70和[)80,90的人数的算术平均数．（1）求a ，b 的值（结果保留三位小数）；（2）估计这100名学生的中位数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数）；（3）已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？【答案】（1）0.030a =，0.020=b ；（2）中位数为72，平均成绩73；（3）60人．【解析】【分析】（1）根据直方图可得[)50,60，[)60,70，[]90,100之间的人数，结合条件可得[)70,80，[)80,90的人数，进而即得；（2）利用直方图结合中位数，平均数的计算方法即得；（3）由题可得学生成绩在[)90,100内的频率为0.05，然后根据高一学生人数即得.【小问1详解】由频率分布直方图，[)60,70之间的人数为100100.04040⨯⨯=，[)50,60与[]90,100之间的人数均为100100.0055⨯⨯=，所以在[)70,80，[)80,90的人数共50人，因为在[)70,80的人数等于在[)60,70，[)80,90的人数的算术平均数．设在[)70,80的人数为x ，则50402x x -+=，解得30x =，所以[)70,80，[)80,90的人数分别为30，20，所以[)70,80，[)80,90的频率分别为0.3，0.2，所以0.030a =，0.020=b ．【小问2详解】由（1）可知，学生成绩在[)50,70内的频率为0.45，在[)50,80内的频率为0.75，设学生成绩中位数为[)()70,80t t ∈，则：(70)0.0300.50.45t --=-，解得72t ≈，故：估计这100名学生的中位数为72，平均成绩为：550.05650.40750.30850.20950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】因为学生成绩在[)90,100内的频率为0.05，而该校高一学生共1200人，所以估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上人数为：12000.0560⨯=人．21.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形．（1）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ= ，求实数λ的值；（2）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离．【答案】（1）12λ=；（2）3.【解析】【分析】（1）本题首先可以通过//BC SDM 平面证出//BC DM ，再通过//AB CD 得知四边形BCDM 为平行四边形，最后通过2AB CD =得出结果；（2）本题可以通过等面积法来求出点B 到平面SAD 的距离，即作SE ⊥直线CD 于点E ，然后通过B ASD S ABD V V --=来求出结果．【详解】(1)因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM ⋂平面ABCD DM =，所以//BC DM ，因为//AB CD ，所以四边形BCDM 为平行四边形，又2AB CD =，所以M 为AB 的中点．因为AM AB λ= ，所以12λ=．（2）因为BC SD BC CD ⊥⊥，，所以BC ⊥平面SCD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ⋂平面=ABCD CD ，如图，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ，在Rt SEA 和Rt SED 中，因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠= ，所以AE ED ⊥，由已知求得AD =1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=，又求得SAD 的面积为32，所以由B ASD S ABD V V --=可知点B 到平面SAD 的距离为3．【点睛】本题考查解析几何的相关性质，考查线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥面积公式等相关知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，考查辅助线的构造，是难题．22.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB 围成，改建计划是在优弧上选取一点C ，以AC 、BC 、AB 为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为A '、B '、C '，在A B C ''' 区域内种植观赏花卉．（1）设BC a =、AC b =，用a 、b 表示A B C ''' 的面积；（2）要使A B C ''' 面积最大，C 点应选在何处？并求出A B C ''' 面积最大值．【答案】（1）22)12A B C a b S '''+=△；（2）点C 取在优弧中点，最大值为12．【解析】【分析】（1）由正弦定理可得30ACB ∠=︒，结合等边三角形的性质可得A B =''拿破仑定理及等边三角形的面积公式即得；（2）根据余弦定理结合基本不等式即得.【小问1详解】设AB c =，ABC 的外接圆半径为R ，在ABC 中，由正弦定理得2sin c R ACB =∠，因为R =，AB =，所以1sin 22c ACB R ∠==，因为点C 在优弧上，所以30ACB ∠=︒，因为点A '、B '是以AC 、BC 为边向外所作等边三角形外接圆圆心，所以30A CA ACB B CB ''∠=∠=∠=︒，且323233A C b b '=⨯=，323233B C a a '=⨯=，所以33090A CB A CA ACB B CB ''''∠=∠+∠+∠=⨯︒=︒，所以A B ''==，根据拿破仑定理可知：2221)()sin 60212A B C a b S A B '''+''=︒=△；【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos 30a b ab c +-︒=，所以2224a b +=，所以22ab =因为222a b ab +≤，当且仅当a b =时取等号，22222a b +≤，整理得2248(2a b +≤=+，（当且仅当a b =时，等号成立）由（1）知：22)12A B C a b S '''+=△，所以12A B C S '''≤+=△，故点C 取在优弧中点时，A B C ''' 面积最大值，最大值为12+．。
河北省石家庄市2020年高一下期末综合测试数学试题含解析
河北省石家庄市2020年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据函数最小正周期可求得ω,由函数图象平移后为奇函数,可求得ϕ,即可得函数()f x 的解析式.再根据正弦函数的对称性判断①②,利用函数的单调区间判断③,由正弦函数的图象与性质判断④即可. 【详解】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π则22Tπω==,即()sin(2)f x x ϕ=+ ()sin(2)f x x ϕ=+向右平移3π个单位可得2()sin 2sin 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数,可知2,3k k Z πϕπ-+=∈ 解得2,3k k Z πϕπ=+∈ 因为2πϕ<所以当1k =-时, 3πϕ=-则()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭对于①,当12x π=-时,代入解析式可得sin sin 112632f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不为对称中心,所以①错误;对于②,当512x π=时带入()f x 的解析式可得55sin sin 112632f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 的图象关于直线512x π=对称,所以②正确; 对于③, ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 解得511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 当0k =时,单调递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 而552,1231211,12ππππ⎡⎡⎤⎤⎢⎥⎣⎢⎥⎣⎦⎦,所以函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,故③正确; 对于④,当7,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 52,336x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知,1(),12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故④正确.综上可知,正确的为②③④ 故选:C 【点睛】本题考查根据三角函数性质和平移变换求得解析式,再根据正弦函数的图像与性质判断选项,属于基础题. 2．函数16(0)y x x x=++>的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】直接利用均值不等式得到答案. 【详解】16(0)68y x x x =++>≥=，1x =时等号成立. 故答案选C 【点睛】本题考查了均值不等式，属于简单题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知::2:3:4a b c =，则ABC ∆最大角的余弦值是( )A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求. 【详解】因为::2:3:4a b c =，所以c 边所对角最大，设2,3,4a k b k c k ===，由余弦定理得22249161cos 2234k k k C k k +-==-⋅⋅，故选B.【点睛】本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题. 4． “αβ=”是“sin sin αβ=”成立的（） A ．充分非必要条件. B ．必要非充分条件. C ．充要条件. D ．既非充分又非必要条件.【答案】A 【解析】 【分析】依次分析充分性与必要性是否成立. 【详解】αβ=时sin sin αβ=，而sin sin αβ=时αβ=不一定成立，所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分非必要条件，选A. 【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题 5．集合，那么( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】由题意．故选D ． 【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题． 6．已知圆心在x 轴上的圆C 经过()3,1A ，()1,5B 两点，则C 的方程为（ ）A ．()22450x y ++= B ．()22425x y ++= C ．()22450x y -+= D ．()22425x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在x 轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将()3,1A ,()1,5B 两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程. 【详解】因为圆心在x 轴上,设圆心坐标为(),0C m ,半径为r 设圆的方程为()222x m y r -+= 因为圆C 经过()3,1A ,()1,5B两点代入可得()()222231125m rm r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解方程求得2450m r =-⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为()22450x y ++= 故选:A 【点睛】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题. 7．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数12345≥概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04则至少有两人排队的概率为（ ）A ．0.16B ．0.26C ．0.56D ．0.74【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解． 【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为：1(0)(1)P P X P X =-=-=10.10.16=--0.74=．故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题． 8．在正三棱锥P ABC -中，4,AB PA ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．14B．4C ．18D【答案】B 【解析】 【分析】利用正三棱锥的性质，作出侧棱与底面所成角，利用直角三角形进行计算. 【详解】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥面ABC ， 所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC所成角，因为4,AB PA ==2132cos 44AO PAO PA ⋅∠===，所以sin 4PAO ∠=，故选B. 【点睛】本题考查线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题. 9．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30 B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂． 【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 11．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由数列为等比数列，则2421321...nn a a a q a a a -+++=++，结合题意即可得解.【详解】解：因为数列为等比数列， 设等比数列的公比为q ， 则2421321...nn a a a q a a a -+++=++，又是奇数项之和的3倍， 则3q =， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题. 12．已知1(,1)2x ∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，那么（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】 由于112x <<故2x x <，故2ln ln 2ln x x x <=，所以a b <.由于()32ln 2ln ln ln 2c b x x x x -=-=-，由于2ln 0,ln ln 21,ln 20x x x <<<-<，所以()2ln ln 20x x ->，故c b >.综上所述选C . 二、填空题：本题共4小题 13．函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间是_________ 【答案】3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】 【分析】 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，即可求得结果.【详解】 令222242k x k πππππ-+≤+≤+ ，k Z ∈解得：388k x k ππππ-+≤≤+ ， 所以单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈故填：3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题考查了型如：()sin y A ωx φ=+单调区间的求法，属于基础题型. 14．若()()()12f k k k k =+++++()2k k N *∈，则()()1f k f k +-=________.【答案】33k + 【解析】 【分析】观察式子特征，直接写出()1f k +，即可求出()()1f k f k +-。
高一数学期末考试答案
石家庄市2020—2021学年第二学期期末考试高一数学试题答案一、单选题：1---4：DCBD,5---8:CAAB 二、多选题:9.ABC 10.AC 11.ABD 12.AB 三、填空题13.14.2515.40，320003π（第一空3分，第二空2分）16.12四．解答题17.解：（1）由已知得()()223,ka b a kb +=- 因为||||1a b == ，所以214k a b k +⋅= ，………………………………………………………3分因为//a b ，0k >，所以a 与b 同向.又因为||||1a b == ，所以1a b ⋅=，……4分即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =，所以当2k =时，//a b .………………………………………5分（2）设,a b 的夹角为θ，则2111cos 44||||k a b k k k a b a b θ+⎛⎫==⋅==⎪⎝⋅+ ⎭ ，因为0k >，所以当1k k=，即1k =时，cos θ取最小值12，…………………8分又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π.………………………………………10分18.解(1)函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πwx A x f 满足的条件为①③………………………2分由题意可知条件①②互相矛盾,故③为函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πwx A x f 满足的条件之一由③可知,π=T ,所以2=w ,……………………………………………………3分故②不合题意,所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πwx A x f 满足的条件为①③.由①可知2=A ……………………………………………………5分所以.()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ……………………………………………………6分(2)因为()01=+x f ，所以2162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 所以()Z k k x ∈+-=+πππ2662或)(26762Z k k x ∈+=+πππ,…………………8分即()Z k k x ∈+-=ππ6或)(2Z k k x ∈+=ππ又因为[]ππ,-∈x ,所以x 的取值为22656ππππ，，，--,……………………………10分所以方程()01=+x f 在区间[]ππ,-上所有解的和为…………………………12分19.解：（Ⅰ）证明：连结BD ,设BD AC O = ,则O BD 为中点，连结OE .因为E PD 为中点，O BD 为中点，所以//OE PB ，又OE ACE ⊂平面，PBACE ⊄平面，所以//PB ACE 平面；...............................................4分（II）证明：由ABCD是正方形可得//CD 平面ABE ，CD ⊂平面PCD ，设平面PCD 平面ABE EF =，F PC∈所以//CD EF ，而E为PD中点，则F为PC中点，12EF CD EF CD =∥且，........6分因为正方形ABCD 中AB CD AB CD =∥且，所以1//,2AB EF EF AB =,则四边形ABFE 为梯形.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥所以CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，而CD EF ∥，则EF AE ⊥．所以ABFE 是直角梯形，112EF CD ==，322AE =⨯=，所以1(21)22ABFE S =⨯+=，..............................8分由CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，从而EF PD ⊥，正三角形PAD 中，E 是PD 中点，则AE PD ⊥，又AE EF E = ，,AE EF ⊂平面ABFE ，所以PD ⊥平面ABFE ，.........................10分因为112PE PD ==，所以1133313322P ABFE ABFE V S PE -=⋅=⨯⨯=．...............12分20.解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：...............................2分（2）由频率分布直方图得样本的众数为303532.52+=，...................4分由频率分布直方图得[)10,25的频率为(0.020.0240.026)50.35++⨯=，[)25,30的频率为0.03650.18⨯=，......................................6分设样本的50百分位数为x ，则()0.35250.0360.5x +-⨯=，解得29.2x ≈，∴样本的第50百分位数约为29.2......................................8分（3）依题意知休闲跑者共有：(50.0250.024)1000220⨯+⨯⨯=人，核心跑者共有(50.02650.03650.04450.030)1000680⨯+⨯+⨯+⨯⨯=人，精英跑者共有1000220680100--=人，................................10分∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费1(220250068040001004500)37201000⨯+⨯+⨯=（元）...............12分21.解（1）解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠= ,60OPN θ∠=- ,则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==- ，........3分所以)ON θ=- ，PN θ，......................5分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=- ，即sin(60)S θθ=- ，其中060θ<< .....................6分（2）由（1）得31sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=- ，即23600sin cos =1800sin 22600S θθθθθ=-+-分则30)S θ=+- .................................10分因为060θ<< ，所以30230150θ<+< ，则23090θ+= 时，max 1S =-=故当30θ= 时，停车场最大面积为平米...........................12分22.（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，点H 为EF 的中点，点M 为AB 的中点，∴MH⊥EF，又∵平面EFC′D′⊥平面ABFE，平面EFC′D′∩平面ABFE＝EF，MH ⊂平面ABEF∴MH⊥平面EFC′D′．.................................4分（2）解：在图2中，C′，E 这两个点，使得这两点所在直线与平面D′HM 垂直．证明：连结C′E，D′H，由平面几何知识可得EF=2,EH=1,且C′D′＝D′E=1,∵MH⊥平面EFC′D′,C′E ⊂平面EFC′D′，∴MH⊥C′E，∵C′D′EH，且C′D′＝D′E，∴四边形C′D′EH 是菱形，∴C′E⊥D′H，又∵MH∩D′H＝H，∴C′，E 这两点所在直线与平面D′HM 垂直． (8)分（3）N 为线段C D ''的中点，假设在直线BF 上是否存在点Q ，使得//NQ 平面D MH '.在线段MB 上取点P ，使得0.5MP =，连接线段CP ，交EF 于点L ，则//,//CL HM NL D H '，又CL ⊂平面NLC ，HM ⊄平面NLC ，所以//HM 平面NLC ，同理可得//D H '平面NLC ，又,HM D H '⊂平面D HM '，所以平面//NLC 平面D HM '，所以//NC 平面D HM '，所以点C 就是所求的点Q .因为//,CL HM 由（1）知MH⊥平面EFC′D′，所以CL⊥平面EFC′D′,则CL⊥NL.又因为2213122CL ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，222231122NL NH HL ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222237122NQ NC NL CL ⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭...........................12分。
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10． 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
11．与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
12．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 __________．
14．不等式 的解集是______．
∴ ，
∴ 与 的夹角为 ；
（3） 与 的夹角为锐角
则 ，且 与 不同向共线，
，
解得： ，
若存在 ，使 ，
则 ，
，解得： ，
所以 且 ，
实数 的取值范围是 ．
考点：程序框图.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．
【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 ,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积
15．若直线 与直线 平行，则 ______________．
16．已知 ， ，则 与 的夹角为.
17．函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移_______个长度单位得到。
18．函数 的定义域是__________．
19．已知函数 ，若 ，则a的值是________.
20．在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是_____________．
A． B． C． D．
4．已知 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 为 上的偶函数，当 时，函数 ，若关于 的方程 有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向右平移 个单位
【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
，
，
可知只需把函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
故答案是： .
【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量.
18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为
故选C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．A
解析：A
【解析】
由 ，所以 ，
所以 ，故选A.
二、填空题
13．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式
25．已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
26．已知数列 满足 ．
证明数列 为等差数列；
求数列 的通项公式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出 的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
解析：
【解析】
原式为 ，整理为： ，即 ，即数列 是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .
【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.
14．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
①若 ，则奖励玩具一个；
②若 ，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
24．如图，在等腰直角 中， ， ，点 在线段 上.
(Ⅰ)若 ，求 的长；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
化简函数 ，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.
【详解】
依题意 ，故只需将函数 的图象向左平移 个单位.所以选C.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
7．B
解析：B
【解析】
分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
根据已知条件 ，去括号得： ，
17．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函数解析式化简为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图
解析：
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位.
解析：
【解析】
【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】
连接 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，则 ，连接
为异面直线 与 所成角
在 中， ，
,
同理可得 ,
,
异面直线 与 所成角的余弦值是
故答案为
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题
解析：
【解析】
【分析】
由题意得到关于m的方程，解方程即可求得最终结果.
【详解】
由题意结合直线平行的充分必要条件可得： ，
解得： ，此时两直线方程分别为： ， ，
两直线不重合，据此可知： .
【点睛】
本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算求解能力.
16．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：
故选D．
【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断 的正负情况，再运用 即可得到答案．
【详解】
当 时， ；
当 时， ，
故 ；
所以，当 时， ，当 时， .
因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查了由数列的前 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分 和 两种情形，第二要掌握 这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
三、解答题
21．已知： 是同一平面内的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 .
（3）若 ，且 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
22．已知 ．
（1）若 ，且 ，求k的值；
（2）若 ，且 ，求证： ．
23．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
21．（1）（2,4）或（-2，-4）（2）π（3）
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据条件列方程组解出即可；
（2）令 求出 ，代入夹角公式计算；
（3）利用 ，且 与 不同向共线，列不等式求出实数 的取值范围.
【详解】
解：设 ，
∵ ，且 ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ；
（2）∵ 与 垂直，
∴ ，
即 ，
∴ ，
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出 就是 ，从而得 ，于是只有由点到直线的距离得出 的范围，就得出 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
10．B
解析：B
【解析】
函数f（x）=ex﹣ 是（0，+∞）上的增函数，再根据f（ ）= ﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，可得f（ ）f（1）＜0，∴函数f（x）=ex﹣ 的零点所在的区间是（ ，1），故选B．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像得到 ， ，得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知： ， ，故 ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：设 是椭圆的左焦点，由于直线 过原点，因此 两点关于原点对称，从而 是平行四边形，所以 ，即 ， ，设 ，则 ，所以 ， ，即 ，又 ，所以 ， ．故选A．
详解：解不等式 得 ，
所以 ，
所以可以求得 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2．A
解析：A
【解析】
试题分析：由程序框图知第一次运行 ，第二次运行 ，第三次运行 ，第四次运行 ，输出 ，所以判断框内为 ，故选C.