七年级数学竞赛辅导资料(13)_3
七年级数学竞赛试题及答案
七年级数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个分数是最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 5/10D. 3/52. 计算：(2x + 3)(x - 2) = ?A. 2x^2 - x - 6B. 2x^2 - 4x + 3x - 6C. 2x^2 - 6x + 3D. 2x^2 - 2x - 63. 一个长方形的长是12cm，宽是8cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 96C. 120D. 2004. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么第10项是多少？A. 20B. 22C. 24D. 265. 一个圆的半径是7cm，求这个圆的周长（π取3.14）。
A. 14cmB. 28cmC. 42cmD. 56cm二、填空题1. 一个等边三角形的每个内角是______度。
2. 如果a:b = 3:4，那么b:a = ______3. 一个分数的分子是12，分母是18，这个分数化简后的结果是______。
4. 一个长方体的体积是60立方厘米，长是5cm，宽是2cm，那么它的高是______厘米。
5. 一个圆的直径是10cm，求这个圆的面积（π取3.14）。
三、解答题1. 甲乙两人同时从A地出发，甲以每小时5公里的速度向东走，乙以每小时7公里的速度向南走。
如果他们各自沿着直线走到B地和C地，且B、C两地相距10公里，求甲乙两人出发后多少时间相遇。
2. 一个班级有40名学生，其中男生和女生的比例是3:2。
如果增加10名女生，那么男生和女生的比例将变为多少？3. 一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？4. 一块长方形的草坪长是20米，宽是15米。
现在要在草坪的四周种上一圈花，每株花占地0.2平方米，问需要多少株花？5. 一个数的平方减去它的三倍再加上20得到的结果是5，求这个数是多少？四、证明题1. 证明：勾股定理。
在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 证明：两个等边三角形如果它们的边长相等，那么这两个三角形全等。
七年级数学竞赛综合训练(3)及答案-
初一数学竞赛综合训练(3)1、 ax+b=0和mx+n=0关于未知数x 的同解方程，则有（ ）（A ）a 2+m 2>0. （B ）mb≥an.（C ）mb≤an. （D ）mb=an.2、不等式1254-x < 1的正整数解有（ ）个。
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53、第一届希望杯的参赛人数是11万，第十届为148万，则第届参赛人数的平均增长率最接近的数值是（ ）。
（A ）21.8%. (B) 33.5% (C)45% (D) 50%4、十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）岁。
（A ）38 （B ）37 （C ）36 （D ）355、和方程x-3=3x+4不同解的方程是( )A 、7x-4=5x-11B 、0231=++x C 、(a 2+1)(x-3)=(3x+4)(a 2+1) D 、(7x-4)(x-1)=(5x-11)(x-1)6、甲、乙、丙三人参加1000赛跑，已知甲到终点时，乙离终点还差50米，而乙到终点时，丙离终点还差40米，那么甲到终点时，丙离终点还差 米。
7、甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大＿＿。
8、小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。
9、父亲比小明大24岁，并且1998年的年龄是小明2000年年龄的3倍，则小明1999年时的年龄是＿＿岁。
10、甲瓶食盐水浓度为8％，乙瓶食盐水浓度为12％，两瓶食盐水共重1000克，把甲、乙两瓶食盐后的浓度是10.08％，则甲瓶食盐水重＿＿＿克。
11、有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。
一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110。
七年级数学竞赛 第13讲 二元一次方程组
阅读材料，善于思考的小军在解方程组
2x +5y 2x +11y
=3 =5
①
时，采用了一种“整体代换”的解法。
②
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即 2(2x+5y)+y=5。③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴ y=−1，
把
y=−1
代人①得，x=4。∴方程组的解为
x=4 y = −1
。
|
x |
− x
y +
|= x y |=
+ x
y +
− 2
2
；
（3）
xy
3x + 2y
xy
= =
1 8 1
。
2x + 3y 7
（《数学周报》杯全国竞赛题） （“五羊杯”竟赛题）
13．整体方法 整体思考方法是将问题看成一个整体，从大处着眼由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，
从整体上把握问题的特征和解题方向。
刻意练习
1．已知方程组
2a − 3b = 13 3a + 5b = 30.9
的解为
a b
= =
8.3 1.2
，则方程组
2(x + 2) − 3( y −1) = 13 3(x + 2) + 5( y −1) = 30.9
的解是
。
（山东省枣庄市中考题）
2．已知关于
x，y
的方程组
2x − ay = 6
例 8．能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 29?如果能，请举 一例；如果不能，请简述理由。 解题思路：假设存在 7 个整数 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 排成一圈后满足题意，
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
(新)初中七年级数学《一元一次方程的实际应用(三)》教学复习讲义典型试题汇编
第13讲一元一次方程的实际应用（三）◇知识导航◇1．列一元一次方程解决比赛积分问题；2．列一元一次方程解决分段计费问题；3．列一元一次方程解决方案设计问题．【板块一】积分问题方法技巧1．根据已知条件或积分表中隐含的条件，得出胜1场，平1场，负1场所得的积分．2．相等关系：胜场总积分十平场总积分十负场总积分＝最终积分．题型一已知胜1场，平1场，负1场的积分【例1】某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？【练1】为有效开展阳光体育活动，某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九（1）班在8场比赛中得到13分，问九（1）班胜、负场数分别是多少？题型二通过积分表求胜1场，平1场，负1场的积分【例2】下表为中国足球超级联赛第27轮部分积分榜：（1（2）若第27轮后，某队积分54分，胜场是负场的整数倍，问该队胜几场？【练2】下表是欧洲足球冠军杯第一阶段G组赛（每个队分别与其它三个队进行主客比赛各一场，即每个队进行6场比赛）积分表的一个部分，本次足球小组赛中切尔西队总积分为多少分？针对练习11．爷爷和孙子下棋，爷爷赢一盘记2分，孙子赢一盘记3分，平局时爷爷记0分，孙子记2分，下了14盘后两人得分相等（其中平局2盘），则爷爷赢了（）A．6盘B．7盘C．8盘D．9盘2．当今世界杯足球赛的积分如下：赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某小组四个队进行单循环赛后，其中某队积7分，若该队赢了x场，平了y场，则（x，y）是（）A．（1，4）B．（2，1）C．（0，7）D．（3，－2）3．小明是班级的篮球明星，在一场比赛中，他一人独得23分（没有罚球得分），如果他投进2分球比3分球多4个，那么他在这场比赛中投进的2分球有个．4．某次综合实践竞赛共有26道题目，规则是：答对1题得3分，答错1题扣1分，不答得0分，第一小队共有5题没有回答，得了51分，那么该队共答对了道题．5．在一次有7个队参加的足球循环赛（每两个队之间赛且只赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比负场数多2场．结果共积11分，问该队战平几场？6．某班的一次数学小测验中，共有20道选择题，每题5分，总分100分，现从中抽出5份试卷进行分析，如下表：【板块二】分段计费问题◇方法技巧◇1．常见的分段收费：水费，电费，煤气费，个人所得税，打折销售等．2．相等关系：第一段费用十第二段费用＋…＝总费用．题型一分段计费问题【例3】为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1．5元／吨，超过月用水标准量部分的水价为2．5元／吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？【练3】为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290．5元．已知该用户六月份用电量大于五月份用电量，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？题型二打折销售问题【例4】已知A，B两家商店的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元．（1）问随身听和书包的单价各是多少元？（2）现在这两家商店搞促销，促销方式如下：商店A：所有的商品打八折销售；商店B：每购物满100元，立即返还25元（例如，购物205元，则立即返还50元）．小明身上带了400元钱，想买随身听和书包各一个，那么，他应该选择在哪一家商店购买更省钱？【练4】某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：①一次购买金额(称为应付款，下向)不超过1万元不予优惠；②一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；③一次购买金额超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分给予八折优惠．(1)若顾客第一次购买原料应付款8000元，第二次应付款24000元，则实际共付款元；若他是一次购买同样数量的原料，则实际付款元；(2)某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料实际付款若干元，第二次购买实际付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，则实际付款可少付金额为1540元，只知第一次购买的原材料应付款不超过1万元，问第一次到底花费多少钱?针对练习21．某出租车收费标准是：起步价6元(即行驶距离不超过3千米需付6元车费)，超过3千米后，每增加1千米加收1.4元(不足1千米按1千米计)，某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17．2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是（）A．13 B．11 C．9 D．72．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为( )A．13立方米B．14立方米C．15立方米D．16立方米3．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那A．60元B．66元C．75元D．78元4．行李托运费用的计算方法：当行李的重量不超过40千克时，每千克收费1元；超过40千克时，超过的部分每千克2元，某旅客托运了x千克的行李．(1)请用x的代数式表示托运行李的费用；(2)当x＝60时，求托运行李的费用．【板块三】方案设计问题◆方法技巧◆1．选择方案时，先列一元一次方程求出两种方案费用相等时，变量的取值，再根据题意，选择合理的方案．2．设计最佳方案时，经常将题目中提供的两种方案结合起来，才能设计出最佳方案．题型一选择购物商场方案【例5】为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格是多少?(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算?【练5】国庆节期间，某地的李老师带领部分生物兴趣小组的同学租用商务车到微山湖湿地公园进行野外生物调查，每张车票原价是30元，甲车车主说：“乘坐我的车可以打折8折(即原价的80%)优惠”．乙车车主说：“乘坐我的车只要超过6人，超过的人数一律按半价收费．”（1）如果李老师带领x(x＞6)名同学去微山湖湿地公园则租用甲车和乙车的费用分别是多少元?（2）如果李老师带领10名同学去微山湖湿地公园，则租用哪辆车比较合算?（3）如果租用甲车和乙车的费用相等，试估算出李老师应带几名同学去(直接写出答案，不必写过程）题型二选择购买门票方高【例6】公园门票价格规定如下表：某校七(1)都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：(1)两班各有多少学生?(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱?(3)如果七(1)班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱?【练6】为庆祝“六一“儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人)准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱?(2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出?(3)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱的购买服装方案．题型三设计生产天数方案【例7】一牛奶制品厂现有鲜奶9吨．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1吨鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1吨鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕，假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少?【练7】某公司以每吨600元的价格收购了100吨某种药材，若直拉在市场上销售每吨的售价为1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：(受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕．(1)若全部粗加工，可获利多少元?(2)若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利多少元?(3)若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，可获利多少元?针对练习31.为庆祝文峰商场正式营业三周年，商场推出了两种购物方案.方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠.以x(元)表示商品价格.（1）若按方案一购买，需付款元（用含x的代数式表示），若按方案二购买，需付款元（用含x的代数式表示）；（2）若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱.2.某开发公司生产若干件某种新产品需要加工后才能投放市场.现有甲、乙两个加工厂都想加工这批产品.已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且知单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用120元. （1）求这批新产品共有多少件？（2）若公司董事会制定了如下方案：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成，但在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并由公司为其提供每天5元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由.3.某地区从2015年1月起试行峰谷用电（即用电分段收费），每天8：00到22：00时段按峰电价格收费，每千瓦时0.56元，22：00到次日8：00按峰电价格收费，每千瓦时0.28元，不实行峰谷用电时，电价均为每千瓦时0.53元.（1）某同学家用峰谷电后，月付95.2元，比不实行峰谷用电时电价少10.8元，问当月峰电、谷电各用多少千瓦时？（2）当用户用峰电不超过每月总电量的百分之几时比不实行峰谷用电时电价合算？（百分号前保留整数）。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程
第十二讲 不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．解析 设胜x 场，平y 场，则有 3x ＋y ＝17， 即3x ＝17－y ． ∵x ，y ∈N ，∴0≤3x ≤17，∴0≤x ≤5，可得⎩⎨⎧==170y x ，⎩⎨⎧==141y x ，⎩⎨⎧==112y x ，⎩⎨⎧==83y x ，⎩⎨⎧==54y x ，⎩⎨⎧==25y x ．点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x ，y ∈N ，我们对其进行分析，得出了x ，y 的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．知识延伸】一、不定方程的整数解求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x ＋15y ＝123的正整数解．解析 原方程可以化为7x ＋5y ＝41， 7x ＝41－5y ， ∵x ，y ∈N ＋， ∴7≤7x ≤36， ∴1≤x ≤5．∵5｜5y ，∴5｜(41－7x )， ∴7x 的个位数必是1或6， ∴⎩⎨⎧==43y x ．点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x ≤5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．2．利用通解定理求解定理：如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax ＋by ＝c 有一组解⎩⎨⎧==00y y x x ，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=at y y btx x 00，(其中t 为整数)例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．解析 设足球x 个，排球y 个，则篮球7x 个． 依题意有 8x ＋y ＝25．∵x ，y ∈N ＋，易知⎩⎨⎧==13y x 是方程的解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+=t y t x 813(t ∈N ＋)又∵x ≥1，y ≥1，⎩⎨⎧≥-≥+18113t t ，可解得－2≤t ≤0 当t ＝－2时，⎩⎨⎧==171y x ；当t ＝－1时，⎩⎨⎧==92y x ；当t ＝0时，⎩⎨⎧==13y x ．所以，排球数为1个、9个或17个．点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t 的取值范围，再代入求出未知数的值．3．分离整系数求解例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m 、n 满足8m ＋9n ＝mn ＋6，则m 的最大值为 ． 解析 8m －mn ＝－9n ＋6；即(8－n )m ＝－9n ＋6． 当n ＝8时，原方程无解； 当n ≠8时，m ＝869+-+-n n ＝866729+--+-n n ＝9＋866-n ．当n －8＝1，即n ＝9时，m 有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m 的最大值为75．二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n 个未知数需要n 个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．例4 已知x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=++=++143715452z y x z y x ，则x ＋y ＋z ＝ ．解析 要求出x ＋y ＋z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k 得 2kx ＋5ky ＋4kz ＝15k ，③ ③＋②得(2k ＋7)x ＋(5k ＋1)y ＋(4k ＋3)z ＝15k ＋14，④ 依题意得 2k ＋7＝5k ＋1＝4k ＋3， 解之得 k ＝2． 将k ＝2代人④式得 11x ＋11y ＋11z ＝44， ∴x ＋y ＋z ＝4．点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x ＋y ＋2z 是求不出来的，因为由2k ＋7＝5k ＋1得出k ＝2，代入2(4k ＋3)不能等于5k ＋1．例5 已知4330 30 x y z x y z --=⎧⎨--=⎩①②且xyz ≠0，求2222xy yzx y z ++-的值.解析： ①－②得3x －2z ＝0，即x ＝23z . 将x ＝23z 代人②得 y ＝19-z . 再将x ＝23z ，y ＝19-z 代人所求代数式222222211()()2()263992111()()39z z z zxy yz x y z z z z -+-+==+-+--z 点评：同例4一样，本题也求不出x 、y 、x 的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x 、y 、z 的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有 100 53=100 3x y z zx y ++=⎧⎪⎨++⎪⎩①② 消去x 得7x ＋4y ＝100 ③ ①②∴0≤7x ＝100－4y ≤100， ∴0≤x ≤14，∵4 | (100－4y )，∴4 | 7x ，∴4 | x ， ∴x ＝0，4，8，12，代入③式得y ＝25，18，11，4， 代人①式得z ＝75，78，81，840 2575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩点评：本题转化成求7x ＋4y ＝100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x ＝0，y ＝25是特解.好题妙解】佳题新题品味例 不定方程4x ＋7y ＝2001有_____组正整数解. 解析： 4x ＋7y ＝3×667易知667667x y =-⎧⎨=⎩是其一组特解，∴其通解为66776674x t y t=-+⎧⎨=-⎩，t ∈Z∵x ，y ∈N *，∴6677166741t t -+⎧⎨-⎩≥≥解之得 96≤t ≤166∴t 可取整数值共71个∴4x ＋7y ＝2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易，像这类解的组数较多的问题，一般用通解定理解决.中考真题欣赏例 (广州市中考题)在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定速度增加，检票口检票速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检，至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为b 名/分钟，每个窗口检票的速度为c 人/分钟，需要开x 个窗口.依据题意，有3030 10=20c 55 a b c a b a b cx +=⎧⎪+⎨⎪+⎩①②≤③ 则①、②式，得1c2=15cb a ⎧=⎪⎨⎪⎩， 代入③式得x ≥3.5，∵x ∈N *，∴x min ＝4，即最少需要开4个窗口.点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系竞赛样题展示例(1999年湖南省竟赛题)一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子；若每次11粒取出，那么刚好取完.求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12| (y－1)，11 | y，不妨设12 111y my n=+⎧⎨=⎩(m，n∈N*)，则有11n－12m＝1.易知001 1n m =-⎧⎨=-⎩，是其一组特解，故有1+12111n tm t=-⎧⎨=-+⎩(t∈Z )，由m≤16，n≤18，又m≥1，n≥1，∴11+1218 11+1116tt-⎧⎨-⎩≤≤≤≤解之得t＝1，∴n＝11，m＝10，y＝121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由2 | (y－1)，3 | (y－1)，4 | (y－1)，6 | (y－1)，可得12 | (y－1).过关检测】A级1.求方程13x＋5y＝8的整数解.2.求方程7x＋19y＝213的所有正整数解.3.求方程5x－15y＝22的所有整数解.4.用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法？5.一个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍.求此六位数.6.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7.李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了(如：把12.34元看成了34.12元)，并按看错的数字支付，李林将其款花去了3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19m＋90＋8n＝1998的正整数对(m，n)的对数.2.某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16、21或24道.问有多少次测试出题21道？3.求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不定方程x＋2y＋3z＝18的非负整数解的组数.5.证明：存在无穷多组正整数(x、y、x)使得x、y、z两两不等，且x、y、z中任意两个数之积是另一个数的倍数，并且x＋y－x＝1.6.在0～1之间，将所有分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与1776相邻的两个数.。
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共20题
七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共10题1. 题目：甲、乙两个正整数的和是300，差是120，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。
根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 300 （方程1）x - y = 120 （方程2）解方程组得到甲的数x = 210，乙的数y = 90。
2. 题目：某数的4倍减去该数的2倍等于30，求这个数。
解答：设这个数为x。
根据题意，我们可以得到以下方程：4x - 2x = 30化简得到2x = 30解方程得到x = 153. 题目：一个正整数加上自身的平方等于140，求这个正整数。
解答：设这个正整数为x。
根据题意，我们可以得到以下方程：x + x²= 140化简得到x²+ x - 140 = 0解方程得到x = 10 或x = -14，由题目要求为正整数，所以x = 10。
4. 题目：一个三位数加上它的逆序数等于1333，求这个三位数。
解答：设这个三位数为xyz。
根据题意，我们可以得到以下方程：100x + 10y + z + 100z + 10y + x = 1333化简得到101x + 20y + 101z = 1333由于101为质数，所以x和z只能为1，y只能为6。
解方程得到x = 1，y = 6，z = 1，所以这个三位数为161。
5. 题目：甲、乙两个数的和是90，差是20，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。
根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 90 （方程1）x - y = 20 （方程2）解方程组得到甲的数x = 55，乙的数y = 35。
6. 题目：某个三位数的百位数是7，个位数是2，且各位上的数字之和是13，求这个三位数。
解答：设这个三位数为xyz。
根据题意，我们可以得到以下方程：x = 7 （百位数是7）z = 2 （个位数是2）x + y + z = 13 （各位上的数字之和是13）代入得到7 + y + 2 = 13解方程得到y = 4所以这个三位数为742。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级数学竞赛辅导资料（13）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。
列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
乙例题
例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左）
解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右）
X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4
X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X
X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y
XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2
Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。
X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax<b 的解集。
当a>0时，解集是x<a , 当a<0时，解集是x>a
, 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解)
例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1
合计共27个
丙练习13
1． 己知x ，y 都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF 上有B ，C ，D ，E 四点,试分别写出以A ，B ，C ，D ，E 为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。
13B
A B C D E F
5. 写出以a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5
等分呢？10等分呢？
9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 A 到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？
10. 列表讨论不等式ax>b 的解集.
11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6则这个正整数的最小值是＿＿
参考答案
1. 8组
2. 18组
3. 9组
4. 15条
5. 10个
6. 22个（从13，17，…97）
7. 25种
8. 1＋22＋32＋42＝30个， 55个， 385个
9. 70种
10. 当a>0时，x<a b ； 当a<0时，x>a
b ； 当a=0,b ≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
11. 27。