第一课时 函数的单调性
合集下载
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
函数的基本性质
f(x1) f(x1) f(x2) f(x2) x1 x2o x2 x1 x
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
数学课件：函数的单调性
02
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
第一课时 函数的单调性
温馨提醒 (1)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显 然D⊆I. (2)定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不 能用D上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1<x2.
(2)函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在 这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x单)的调_区__间_______.
A.已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x) 在I上是增函数 B.函数y＝x2在R上是增函数
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以 x21－1>0，x22－1>0，x1＋x2>0. 又 x1<x2，所以 x1－x2<0，
于是（（xx11－ 2－x12） ）（ （xx221－ ＋1x） 2）<0，即 f(x1)>f(x2)， 因此，函数 f(x)＝x2－1 1在(1，＋∞)上单调递减.
训练 2 (1)已知函数 f(x)＝25x－＋x1，，xx<≥1，1，则 f(x)的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)___.
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单
调递减区间为(－∞，1).
(2)画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.
训练 1 求证：函数 f(x)＝－x1－1 在区间(－∞，0)上单调递增.
证明 ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，
因为 f(x1)－f(x2)＝－x11－1－－x12－1 ＝x12－x11＝x1x－1xx2 2，
(2)函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在 这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x单)的调_区__间_______.
A.已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x) 在I上是增函数 B.函数y＝x2在R上是增函数
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以 x21－1>0，x22－1>0，x1＋x2>0. 又 x1<x2，所以 x1－x2<0，
于是（（xx11－ 2－x12） ）（ （xx221－ ＋1x） 2）<0，即 f(x1)>f(x2)， 因此，函数 f(x)＝x2－1 1在(1，＋∞)上单调递减.
训练 2 (1)已知函数 f(x)＝25x－＋x1，，xx<≥1，1，则 f(x)的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)___.
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单
调递减区间为(－∞，1).
(2)画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.
训练 1 求证：函数 f(x)＝－x1－1 在区间(－∞，0)上单调递增.
证明 ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，
因为 f(x1)－f(x2)＝－x11－1－－x12－1 ＝x12－x11＝x1x－1xx2 2，
高一数学必修1课件《函数的单调性》
× × ×
新知探究：
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D 上是增函数或减函 数,那么就说函数y=f(x)在这个区间D 上具有单调性, 这一区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
注意二： 1、函数的单调性是函数的局部性质，体现在函
数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是 其定义域的子集.
新知探究： 画出一次函数 f(x) = x 的图象， 并观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象是上升还是下降？_上__升_
2、在区间 _(-_∞__,_+_∞__) 上，随着x的增大，相应函数f(x) 的值随着 _增__大__ ．
新知探究： 画出二次函数 f(x) = x2 的图象，
并观察其变化规律：
随堂练习：
2、判断下列说法的正误？
×
（5）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数
f(x)在(1，3)上为增函数. ×
随堂练习：
2、试指出函数y =－x2 +2 | x | + 3的单调区间？
fx = -x2+2 x +3
y 8
6
4
3
2
- 10
-5
-3
-1 0 1
3
5
10
x
课堂探究：
y
1
我们先考察函数在(0，+∞)上的单调性，
-1 -1 0 1
x
取值
作差 பைடு நூலகம்形
定号 下结论
课堂小结：
（1）通过增(减)函数的概念形成过程，你学到了 什么？
（2）增(减)函数的图象有什么特点？如何根据图 象划分单调区间？
新知探究：
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D 上是增函数或减函 数,那么就说函数y=f(x)在这个区间D 上具有单调性, 这一区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
注意二： 1、函数的单调性是函数的局部性质，体现在函
数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是 其定义域的子集.
新知探究： 画出一次函数 f(x) = x 的图象， 并观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象是上升还是下降？_上__升_
2、在区间 _(-_∞__,_+_∞__) 上，随着x的增大，相应函数f(x) 的值随着 _增__大__ ．
新知探究： 画出二次函数 f(x) = x2 的图象，
并观察其变化规律：
随堂练习：
2、判断下列说法的正误？
×
（5）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数
f(x)在(1，3)上为增函数. ×
随堂练习：
2、试指出函数y =－x2 +2 | x | + 3的单调区间？
fx = -x2+2 x +3
y 8
6
4
3
2
- 10
-5
-3
-1 0 1
3
5
10
x
课堂探究：
y
1
我们先考察函数在(0，+∞)上的单调性，
-1 -1 0 1
x
取值
作差 பைடு நூலகம்形
定号 下结论
课堂小结：
（1）通过增(减)函数的概念形成过程，你学到了 什么？
（2）增(减)函数的图象有什么特点？如何根据图 象划分单调区间？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m 为对称轴的抛物线, 4
)
解析:函数 f(x)=2x2-mx+5 的图象是开口方向朝上,以直线 x= 若函数 f(x)在(-≦,-2]上单调递减,则-2≤ 所以 f(1)=7-m≤15.故选 C.
m ,即 m≥-8, 4
高中·数学
自我检测
1.(单调性的定义)已知函数 f(x)的定义域为 D,在区间 M 上单调递增,则( (A)M=D (C)M⊆ D 是增函数知3≤-a-1,即a≤-4.
(2)由题意得-a-1=3,a=-4. 答案:(1)(-∞,-4] (2)-4 误区警示 函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概
念,其中后者的区间是函数单调区间的子集.
高中·数学
变式探究:若本题改为函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(1,2)上是单调函
象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象易得,函数的递增区间是[-3,-1],[1,+≦); 函数的递减区间是(-≦,-3],[-1,1].
高中·数学
题型三 函数单调性的应用 【例3】 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. (1)函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是 (2)函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为 解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-≦,-a-1]. . ;
.
高中·数学
点击进入 课时作业
f(x)=
2x 在(1,+∞)上是减函数. x 1
2 ,设 x1>x2>1, x 1
证明:f(x)=2+
则 f(x1)-f(x2)=
2 x2 x1 2 2 = , x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
因为 x1>x2>1,所以 x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(1,+≦)上是单调减函数.
高中·数学
题型二
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|;
3x, x 0, 解:(1)f(x)=3|x|= 3x, x＜0.
图象如图所示.
f(x)的单调递减区间为(-≦,0],单调递增区间为[0,+≦).
高中·数学
(2)f(x)=|x2+2x-3|. 解: (2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图
1.增函数与减函数的相关概念
高中·数学
2.函数的单调性及单调区间
增函数或减函数
单调性 区间D
高中·数学
课堂探究
题型一 判断或证明函数的单调性
【例 1】 (1)求证:函数 f(x)=
典例剖析·举一反三
1 在(0,+∞)上是减函数; 2 x
证明:(1)对于任意的 x1,x2∈(0,+≦),且 x1<x2, 有 f(x1)-f(x2)=
x2 x1 x2 x1 .
2 x12 x2
2 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x2+x1>0, x12 x2 >0.
所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)=
1 在(0,+≦)上是减函数. 2 x
高中·数学
即时训练1-1:(2017· 海南中学高一期中)试用函数单调性的定义证明:
C
)
2.(单调性的定义)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( (A)f(x)=3-x (C)f(x)=
1 x
D
)
(B)f(x)=(x-1)2 (D)f(x)=x2+2x
3.(单调性的应用)若f(x)=ax+1在R上单调递减,则a的取值范围为( B (A)(0,+∞) (B)(-∞,0)
)
(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]
高中·数学
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
高中·数学
课标要求:1.理解函数单调性的概念.2.掌握判断函数单调性的一般方 法.3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用.
高中·数学
自主学习
课堂探究
高中·数学
自主学习
知识探究
新知建构·自我整合
数,则a的取值范围是 答案:(-∞,-3]∪[-2,+∞) .
高中·数学
即时训练3-1:(2017· 衡阳一中高一期中)已知函数f(x)=2x2-mx+5,m∈R,它
在(-∞,-2]上单调递减,则f(1)的取值范围是( (A)f(1)=15 (C)f(1)≤15 (B)f(1)>15 (D)f(1)≥15
答案:(-∞,-1),(1,+∞)
高中·数学
【备用例2】 (2017· 衡阳一中高一期中)已知y=f(x)在定义域(-1,1)
上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则a的取值范围是
解析:因为 f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
1＜1 a＜1, 2 且 f(1-a)<f(2a-1),所以 1＜2a 1＜1, 所以 0<a< . 3 1 a＞2a 1, 2 答案:(0, ) 3
高中·数学
4.(单调性的应用)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| 围是( C (A)(-1,1) (C)(-1,0)∪(0,1) ) (B)(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
1 |)<f(1)的实数 x 的取值范 x
5.(单调区间)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数的单调增区间为 .
)
解析:函数 f(x)=2x2-mx+5 的图象是开口方向朝上,以直线 x= 若函数 f(x)在(-≦,-2]上单调递减,则-2≤ 所以 f(1)=7-m≤15.故选 C.
m ,即 m≥-8, 4
高中·数学
自我检测
1.(单调性的定义)已知函数 f(x)的定义域为 D,在区间 M 上单调递增,则( (A)M=D (C)M⊆ D 是增函数知3≤-a-1,即a≤-4.
(2)由题意得-a-1=3,a=-4. 答案:(1)(-∞,-4] (2)-4 误区警示 函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概
念,其中后者的区间是函数单调区间的子集.
高中·数学
变式探究:若本题改为函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(1,2)上是单调函
象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象易得,函数的递增区间是[-3,-1],[1,+≦); 函数的递减区间是(-≦,-3],[-1,1].
高中·数学
题型三 函数单调性的应用 【例3】 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. (1)函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是 (2)函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为 解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-≦,-a-1]. . ;
.
高中·数学
点击进入 课时作业
f(x)=
2x 在(1,+∞)上是减函数. x 1
2 ,设 x1>x2>1, x 1
证明:f(x)=2+
则 f(x1)-f(x2)=
2 x2 x1 2 2 = , x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
因为 x1>x2>1,所以 x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(1,+≦)上是单调减函数.
高中·数学
题型二
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|;
3x, x 0, 解:(1)f(x)=3|x|= 3x, x＜0.
图象如图所示.
f(x)的单调递减区间为(-≦,0],单调递增区间为[0,+≦).
高中·数学
(2)f(x)=|x2+2x-3|. 解: (2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图
1.增函数与减函数的相关概念
高中·数学
2.函数的单调性及单调区间
增函数或减函数
单调性 区间D
高中·数学
课堂探究
题型一 判断或证明函数的单调性
【例 1】 (1)求证:函数 f(x)=
典例剖析·举一反三
1 在(0,+∞)上是减函数; 2 x
证明:(1)对于任意的 x1,x2∈(0,+≦),且 x1<x2, 有 f(x1)-f(x2)=
x2 x1 x2 x1 .
2 x12 x2
2 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x2+x1>0, x12 x2 >0.
所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)=
1 在(0,+≦)上是减函数. 2 x
高中·数学
即时训练1-1:(2017· 海南中学高一期中)试用函数单调性的定义证明:
C
)
2.(单调性的定义)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( (A)f(x)=3-x (C)f(x)=
1 x
D
)
(B)f(x)=(x-1)2 (D)f(x)=x2+2x
3.(单调性的应用)若f(x)=ax+1在R上单调递减,则a的取值范围为( B (A)(0,+∞) (B)(-∞,0)
)
(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]
高中·数学
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
高中·数学
课标要求:1.理解函数单调性的概念.2.掌握判断函数单调性的一般方 法.3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用.
高中·数学
自主学习
课堂探究
高中·数学
自主学习
知识探究
新知建构·自我整合
数,则a的取值范围是 答案:(-∞,-3]∪[-2,+∞) .
高中·数学
即时训练3-1:(2017· 衡阳一中高一期中)已知函数f(x)=2x2-mx+5,m∈R,它
在(-∞,-2]上单调递减,则f(1)的取值范围是( (A)f(1)=15 (C)f(1)≤15 (B)f(1)>15 (D)f(1)≥15
答案:(-∞,-1),(1,+∞)
高中·数学
【备用例2】 (2017· 衡阳一中高一期中)已知y=f(x)在定义域(-1,1)
上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则a的取值范围是
解析:因为 f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
1＜1 a＜1, 2 且 f(1-a)<f(2a-1),所以 1＜2a 1＜1, 所以 0<a< . 3 1 a＞2a 1, 2 答案:(0, ) 3
高中·数学
4.(单调性的应用)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| 围是( C (A)(-1,1) (C)(-1,0)∪(0,1) ) (B)(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
1 |)<f(1)的实数 x 的取值范 x
5.(单调区间)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数的单调增区间为 .