2020届三湘名校联盟新高考原创仿真试卷(三)理科数学

2020届三湘名校联盟新高考原创仿真试卷（三）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖南长郡中学一模)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a>3 B．a≥3 C．a≤1 D．a<1答案 D解析因为B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝B，所以a<1.故选D.2．(2019·广东汕头二模)若复数a－2i1＋i(a∈R)为纯虚数，则|3－a i|＝()A.13 B ．13 C ．10 D.10答案 A解析 a －2i 1＋i ＝(a －2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －2)＋(－a －2)i 2， 因为复数a －2i 1＋i (a ∈R )为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＝0，－a －22≠0.即⎩⎨⎧a －2＝0，a ＋2≠0.解得a ＝2， 所以|3－a i|＝|3－2i|＝32＋(－2)2＝13.故选A. 3．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案 C解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C.4．(2019·咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( )A ．20B ．23C ．24D ．28答案 D解析 由于数列是等差数列，故⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝4，S 9＝9a 1＋36d ＝72，解得a 1＝－8，d ＝4，故a 10＝a 1＋9d ＝－8＋36＝28.故选D.5．(2019·淮南一模)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的斜率为( )A ．－2B ．2C ．－eD ．e答案 B解析 函数f (x )＝x ln x 的导数为f ′(x )＝ln x ＋1，设切点为(m ，n )，则n ＝m ln m ，可得切线的斜率为k ＝1＋ln m ，∴1＋ln m ＝n ＋e m ＝m ln m ＋e m，解得m ＝e ，k ＝1＋ln e ＝2，故选B.6．(2019·郑州质检)如图，在△ABC 中，AN →＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP→＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )A.23B.25C.16D.34答案 C解析 由题意及图，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋mBN →＝AB →＋m (AN →－AB →)＝mAN →＋(1－m )AB →，又AN →＝23NC →，∴AN →＝25AC →，∴AP →＝25mAC →＋(1－m )AB →，又AP →＝tAB →＋13AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝t ，25m ＝13，解得m ＝56，t ＝16，故选C.7．(2019·山西太原一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A ．12B ．15 C.403 D.503答案 D解析 其直观图为四棱锥E －ABCD ，由题意得V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＋12×2×2×5＝503.故选D. 8．(2019·华师附中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c (其中c 2＋b 2＝a 2)上存在点P ，使线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，则由中点公式可得线段PF 1的中点K ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－c 22c ，12m ，∵线段PF 1的斜率与KF 2的斜率之积等于－1，即m －0a 2c ＋c ·12m －0a 2－c 22c－c ＝－1，∴m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c ≥0，∴a 4－2a 2c 2－3c 4≤0，∴3e 4＋2e 2－1≥0，∴e 2≥13或e 2≤－1(舍去)，∴e ≥33.又椭圆的离心率0<e <1，故33≤e <1，故选C.9．(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e答案 D解析 当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1<x <0时，f ′(x )>0，故f (x )在(－1,0)上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .又在R 上，f (x )的图象如图所示，因为g (x )有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的解，即直线y ＝m 与y ＝f (x )有两个不同交点且交点的横坐标分别为x 1，x 2，故1<m <2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m <2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .综上，x 1＋x 2的值为2或3或2＋1e ，故选D.10．(2019·黑龙江模拟)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－2πB ．2πC ．2π2D ．1－2π2答案 A 解析 S 矩形＝π×1＝π，又⎠⎛0π sin x d x ＝－cos x ⎪⎪π0＝－(cosπ－cos0)＝2， ∴S 阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.故选A .11．(2019·昌平期末)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是( )A.12 B ．3 C ．5 D ．8答案 B解析 ∵点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，即F 1(－2,0)，F 2(2,0)，a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，c ＝2，设P (x 0，y 0)，PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)，由PF 1→·PF 2→＝m 可得x 20＋y 20＝m ＋4，又∵P 在椭圆上，即x 209＋y 205＝1，∴x 20＝9m －94，要使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则0<9m －94<9，解得1<m <5，∴m 的值可以是3.故选B.12．(2019·安徽淮北、宿州二模)已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( )A ．4πB ．82πC ．122πD ．12π答案 A解析 ∵正四面体A －BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，取CD 的中点E ，连接BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE ＝AE ＝(26)2－(6)2＝32，BF ＝23BE ＝22，AF ＝(26)2－(22)2＝4，设正四面体内切球半径为r ，则(4－r )2＝(22)2＋r 2，解得正四面体内切球半径为r ＝1，∵球的半径为5，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r 1＝5－1＝2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×30°360°×2π×2＝4π.故选A . 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·临沂质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤2，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 8 解析 画出不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤2表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z ＝2x ＋3y 过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x －y ＝0，求得A (1,2)， 所以z ＝2x ＋3y 的最小值是2×1＋3×2＝8.14．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.答案 30282019 解析 数列{a n }且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，①当n 为奇数时，a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2； ②当n 为偶数时，a n ＝sin n π4，所以S 2018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2018)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12017－12019＋(1＋0－1＋…＋0)＝10092019＋1＝30282019. 15．(2019·岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝________.答案 8解析 (x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)(x ＋2)4，(x ＋2)4展开式中的x 3系数为C 14·21＝8.所以a 5＝8.16．(2019·东莞期末)已知函数f (x )＝sin x ·cos2x (x ∈R )，则f (x )的最小值为________．答案 －1解析 函数f (x )＝sin x ·cos2x ＝sin x (1－2sin 2x )＝sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1,1]，则h (t )＝t －2t 3，h ′(t )＝1－6t 2，当－1≤t <－66时，h ′(t )<0，h (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－66上单调递减； 当－66≤t <66时，h ′(t )≥0，h (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－66，66上单调递增； 当66≤t ≤1时，h ′(t )≤0，h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤66，1上单调递减． 所以函数的最小值是h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66或h (1)， h (1)＝－1<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝－66－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－663＝－69， 故函数f (x )的最小值为－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24.18．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在⎝ ⎛⎦⎥⎤2(n －1)10，n 5(n ＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n )单． 若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y (单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y 的分布列、数学期望及方差；②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)解 (1)甲方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝100＋n ，n ∈N .乙方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧ 140(n ≤55，n ∈N )，12n －520(n >55，n ∈N ).(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：所以Y 甲所以E (Y 甲)×0.1＝155.4，s 2甲＝0.2×(152－155.4)2＋0.3×(154－155.4)2＋0.2×(156－155.4)2＋0.2×(158－155.4)2＋0.1×(160－155.4)2＝6.44；Y 乙的分布列为所以E (Y 乙)＝140＝155.6，s 2乙＝0.5×(140－155.6)2＋0.2×(152－155.6)2＋0.2×(176－155.6)2＋0.1×(200－155.6)2＝404.64.②答案一：由①可知，E (Y 甲)<E (Y 乙)，但两者相关不大，且s 2甲远小于s 2乙，即甲方案中日薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适．答案二：由①可知，E (Y 甲)<E (Y 乙)，即甲方案中日薪的期望小于乙方案中日薪的期望，所以小明选择乙方案比较合适．19．(本小题满分12分)(2019·荆门调研)如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F .AB ＝AE ＝2，CD ＝5，已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE －BCF ，如图2.(1)若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．解 (1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF ＝A ，∴DE ⊥平面ABFE .(2)在题图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，即AE ⊥平面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM ∥EF 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得DM ＝2，CM ＝1，由勾股定理可得DC ⊥CF ，则∠CDM ＝π6，CE ＝2，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA →，EF →，EG →分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，AC →＝(－2,1，3)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，32.设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎨⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，取x ＝1得n ＝(1，－1，3)， 设AP ＝m ，则P (2，m,0)(0≤m ≤2)， 得CP →＝(2，m －1，－3)， 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，sin θ＝|cos 〈CP →，n 〉|＝|m |5·7＋(m －1)2＝520⇒m ＝23. ∴AP ＝23.20．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．解 (1)由题意得p2＝1，即p ＝2. 所以抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1， 代入y 2＝4x ，得y 2－2(t 2－1)ty －4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，得2t －2t ＋y C ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0.所以直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)， 得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 4－2t 2＋23t 2－1·|2t |⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －2t＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0， S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m ＋4≥2－12m ·3m ＋4＝1＋32.当m ＝3时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)．21．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a <－12时，若对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)(x 1<x 2)，都存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，证明：x 1＋x 22<x 0.解 (1)由题意得f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x >0，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x )>0，则0<x <1a ；令f ′(x )<0，则x >1a . ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明：∵当a <－12时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝1x 2－x 1ln x 2x 1－a (x 2＋x 1)＋(2－a )，f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0＋(2－a )，∴1x 2－x 1ln x 2x 1－a (x 2＋x 1)＝1x 0－2ax 0， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f ′(x 0)＝2x 2＋x 1－a (x 2＋x 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－2ax 0＝2x 2＋x 1－1x 2－x 1ln x 2x 1＝1x 2－x 12(x 2－x 1)x 2＋x 1－ln x 2x 1＝1x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1－ln x 2x 1， 令t ＝x 2x 1，g (t )＝2(t －1)t ＋1－ln t ，t >1，则g ′(t )＝－(t －1)2t (t ＋1)2<0，∴g (t )<g (1)＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f ′(x 0)<0， ∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ′(x 0)， 设h (x )＝f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )，x >1， 则h ′(x )＝－1x 2－2a >－1＋1＝0， ∴h (x )＝f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴x 1＋x 22<x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cos θ.(1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α.解 (1)当α＝π2时，l ：x ＝1.当α≠π2时，l ：y ＝tan α·(x －1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cos θ得2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得(sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0<α<π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·甘肃天水一中三模)设函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|(a ∈R ，x ∈R )． (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若在x ∈R 上f (x )≥－1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)a ＝－1时，f (x )>0可得|2x －1|>|x －2|，即(2x －1)2>(x －2)2，化简得(3x －3)(x ＋1)>0，所以不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)①当a <－4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a －2，x <2，－3x －a ＋2，2≤x ≤－a2，x ＋a ＋2，x >－a2，由函数单调性可得f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2＋2≥－1，解得－6≤a <－4；②当a ＝－4时，f (x )＝|x －2|，f (x )min ＝0≥－1，所以a ＝－4符合题意；③当a >－4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a －2，x <－a2，3x ＋a －2，－a 2≤x ≤2，x ＋a ＋2，x >2，由函数单调性可得，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－2≥－1，解得－4<a ≤－2.综上，实数a 的取值范围为[－6，－2]．。