第2章 力系的简化
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工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第二章 力系的简化
条件： A、B、C是平面内 不共线的任意三点
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
力系的简化
R'
·M O
0
──右力螺旋，
R' ·M O 0 ──左力螺旋，
R '的作用线——力螺旋的中心轴
右力螺旋
左力螺旋
10
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
② R' 与 MO 成任意角度，此为最一般情况。
分解：
MO
M
∥ O
M
O
其中
M
O∥＝（R'
·M O）R' R'2
力系二不变量之积 第一不变量模之平方
主矢与主矩为：
n
R' Fi i 1
n
M O mO (Fi ) (代数量)
i 1
合力作用线方程：M O xRy yRx
14
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
例2-3 已知b=18m，H=36m，α=70，W=9.0×103kN，P=4.5×103kN， Q=180kN，a=6.4m，h=10m，c=12m，求合力并校核重力坝稳定性（OE≤2/3 b）。（坝体取单位长）
②写出各力矢量及作用点矢径：
F1
F1
2
Fi
2
2
Fk
2
F2
2
Fj
2
2
Fk
2
A
rA
O
x
rA ai , rB 2aj
③求主矢与主矩：
2
R' Fi
i 1
2
F
(i
j
2k )
2
2 2
2
M O mO (Fi ) ri Fi
i 1
i 1
Fa(2i j ) 2
解：建立坐标系如图。选O为简化中心。主矢 和主矩为：
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r M 解： o= ∑ M o ( Fi )
n i =1
= M1 + M 2 + M
0.25 = F1 × 1 + F2 × −M sin 30° = 400 N • m
2011-6-8
17
3.平面一般力系： 既不汇交也不平行的力系 平面一般力系：
平面一般力系向一点简化： ① 平面一般力系向一点简化：
2011-6-8
1
2011-6-8
2
第2章 力系的简化
§2 –1 §2 –2 §2 –3 §2 –4 力系等效与简化的概念 力系简化的基础—力向一点平移定理 力系简化的基础— 平面力系的简化 固定端约的约束力
2011-6-8
3
§2-1 力系等效与简化的概念
一、基本概念
1．力系的分类： ．力系的分类： 平面力系：所有力的作用线都在同一个平面内的力系。 ①平面力系：所有力的作用线都在同一个平面内的力系。 ②空间力系：所有力的作用线位于不同一个平面内的力系。 空间力系：所有力的作用线位于不同一个平面内的力系。
i =1 n
F1x
F2 x
= − F1 sin 60° + F2 sin 45° = −2.53KN
F1 y F2 y
x
Fy = ∑ Fiy = F1 y + F2 y
i =1
n
y
= F1 y cos 60° + F2 y cos 45° = 7.04 KN
2011-6-8
FR = F + F = 7.48KN
2011-6-8 8
[证] 证 力F
r F A
B
力系F , F ′, F ′′
r F′ r F B A
r F′
力F ′+力偶（ ，F ′′） F
=
r F ′′
=
r F ′′
r F B A
r F′
=
B
M
附加力偶矩的大小为： 附加力偶矩的大小为： M= M(F, F " )= MB(F)
2011-6-8 9
2 x 2 y
14
③ 合力投影定理
由图可看出，各分力在 轴和在 轴和在y 由图可看出，各分力在x轴和在 轴投影的和分别为： 轴投影的和分别为：
即：
Rx =X1+X2 −X4 =∑X
Ry =−Y1 +Y2 +Y3 +Y4 =∑Y
Rx = ∑ X
合力投影定理： 合力投影定理：
R y = ∑Y
合力在任一轴上的投影， 合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投 2011-6-8 15 影的代数和。 影的代数和。
车刀
雨搭
2011-6-8
20
本章作业： 本章作业：
2-3, 2-4, 2-7,
2011-6-8
21
答疑地点位置图
• 南区
总务服务中心
北
南
中心 1
路
南 区 南区 操 场
2011-6-8
南区
22
2011-6-8
23
2.平面力偶系： 平面力偶系： 由若干个作用在同一平面内的力偶组成的力系。 由若干个作用在同一平面内的力偶组成的力系。
y
n r r r Mo = ∑ M o (Fi ) (F i =1
M1 M2
M3
O
Mo
x
M4
主矩MO与简化中心位置有关 主矩
2011-6-8 16
例2：物体在某平面内受到三个力偶的作用，设F1＝ ：物体在某平面内受到三个力偶的作用， 200N，F2＝600N，M＝100N·m，求其合力偶。 ， ＝ ，求其合力偶。 ，
2011-6-8 7
§2-2力系简化基础--力向一点平移定理 力系简化基础--力向一点平移定理 -一、力向一点平移定理
作用在刚体上的力可以平移到刚体的任意一点， 作用在刚体上的力可以平移到刚体的任意一点， 但需要附加一个力偶， 但需要附加一个力偶，此力偶矩等于原力对新 的作用点之矩。 的作用点之矩。 说明：此法则只适用于刚体。 说明：此法则只适用于刚体。
2011-6-8 11
§2-3 平面力系简化
一、平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 力系中所有力的作用线都汇交与一点。 力系中所有力的作用线都汇交与一点。 1.平面汇交力系： 平面汇交力系：
y
①合成结果： 主矢量 合成结果：
r FR =
n
∑
i =1
r Fi
r FR
r F1′
r F 2′
r F3′
r F n′
O
x
r F 4′
12
主矢FR与简化中心位置无关
2011-6-8
解析式： ②主矢 FR 解析式： 其中： 其中：
n
r r Fi = Fx i + Fy j
n
Fx = ∑ Fix
i =1
Fy = ∑ Fiy
i =1
主矢大小: 主矢大小
FR = (∑ Fix )2 + (∑ Fiy )2
i =1 i =1
一般力系（任意力系） 一般力系（任意力系） 未知力系） （未知力系）
2011-6-8
向一点简化
汇交力系+ 汇交力系+力偶系 已知力系） （已知力系）
18
平面力系的简化结果： ① 平面力系的简化结果： 汇交力系: 汇交力系: r FR = 力FR’＝主矢，(作用在简化中心) ＝主矢， 作用在简化中心) r Fi
n
∑
i =1
力偶， 主矩， 作用在该平面上) 力 偶 系: 力偶，MO＝主矩，(作用在该平面上) n r r r Mo = ∑ M o ( Fi )
i =1
说明： 主矢与简化中心无关。 说明：（1）主矢与简化中心无关。 主矩与简化中心有关。 （2）主矩与简化中心有关。
2011-6-8 19
§2-4 固定端约束的约束力
2011-6-8
4
二、力系的主矢与主矩
1.主矢的概念 1.主矢的概念 由任意多个力所组成的力系中所有力的矢量和， 由任意多个力所组成的力系中所有力的矢量和， 即
r F1
r ′ FRቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=
r F2
n
∑
i =1
r Fi
r ′ FR
r F3 2011-6-8
r F4
5
2.主矩的概念 2.主矩的概念 力系中所有力对于同一点之矩的矢量和， 力系中所有力对于同一点之矩的矢量和，
n
n
主矢方向: 主矢方向:
r r FRx r r FRy cos(FR , i ) = , cos(FR , j ) = , FR FR
13
2011-6-8
例1：F1=7kN，F 2=5 kN，求图中作用在耳环上的 ： ， ， 合力F 合力 R 。 解： F = F = F + F ∑ ix 1x 2 x x
举例： 举例： 旋球
打乒乓球、 打乒乓球、攻丝
A
o
F
M
F
2011-6-8
10
说明： 说明
力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 例绕把、丝锥） 力+力偶 （例绕把、丝锥） 有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，
m=F•d
力线平移定理是力系简化的理论基础。 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
n r r r 即： Mo = ∑ M o ( Fi ) i =1
r F1
r F2
M1
0
M3
0
Mo
M4
M2
r F3
2011-6-8
r F4
6
3.等效力系的概念 3.等效力系的概念 将作用在物体上的一个力系用另一个于它等效的力系 来代替，这两个力系互为等效。 来代替，这两个力系互为等效。 4.简化的概念 4.简化的概念 力系的简化： 力系的简化：用一个简单力系等效地替换为一个复 杂力系。 杂力系。 力系的简化的基础：力向一点平移定理。 力系的简化的基础：力向一点平移定理。
n i =1
= M1 + M 2 + M
0.25 = F1 × 1 + F2 × −M sin 30° = 400 N • m
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17
3.平面一般力系： 既不汇交也不平行的力系 平面一般力系：
平面一般力系向一点简化： ① 平面一般力系向一点简化：
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1
2011-6-8
2
第2章 力系的简化
§2 –1 §2 –2 §2 –3 §2 –4 力系等效与简化的概念 力系简化的基础—力向一点平移定理 力系简化的基础— 平面力系的简化 固定端约的约束力
2011-6-8
3
§2-1 力系等效与简化的概念
一、基本概念
1．力系的分类： ．力系的分类： 平面力系：所有力的作用线都在同一个平面内的力系。 ①平面力系：所有力的作用线都在同一个平面内的力系。 ②空间力系：所有力的作用线位于不同一个平面内的力系。 空间力系：所有力的作用线位于不同一个平面内的力系。
i =1 n
F1x
F2 x
= − F1 sin 60° + F2 sin 45° = −2.53KN
F1 y F2 y
x
Fy = ∑ Fiy = F1 y + F2 y
i =1
n
y
= F1 y cos 60° + F2 y cos 45° = 7.04 KN
2011-6-8
FR = F + F = 7.48KN
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[证] 证 力F
r F A
B
力系F , F ′, F ′′
r F′ r F B A
r F′
力F ′+力偶（ ，F ′′） F
=
r F ′′
=
r F ′′
r F B A
r F′
=
B
M
附加力偶矩的大小为： 附加力偶矩的大小为： M= M(F, F " )= MB(F)
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2 x 2 y
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③ 合力投影定理
由图可看出，各分力在 轴和在 轴和在y 由图可看出，各分力在x轴和在 轴投影的和分别为： 轴投影的和分别为：
即：
Rx =X1+X2 −X4 =∑X
Ry =−Y1 +Y2 +Y3 +Y4 =∑Y
Rx = ∑ X
合力投影定理： 合力投影定理：
R y = ∑Y
合力在任一轴上的投影， 合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投 2011-6-8 15 影的代数和。 影的代数和。
车刀
雨搭
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20
本章作业： 本章作业：
2-3, 2-4, 2-7,
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答疑地点位置图
• 南区
总务服务中心
北
南
中心 1
路
南 区 南区 操 场
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南区
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2.平面力偶系： 平面力偶系： 由若干个作用在同一平面内的力偶组成的力系。 由若干个作用在同一平面内的力偶组成的力系。
y
n r r r Mo = ∑ M o (Fi ) (F i =1
M1 M2
M3
O
Mo
x
M4
主矩MO与简化中心位置有关 主矩
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例2：物体在某平面内受到三个力偶的作用，设F1＝ ：物体在某平面内受到三个力偶的作用， 200N，F2＝600N，M＝100N·m，求其合力偶。 ， ＝ ，求其合力偶。 ，
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§2-2力系简化基础--力向一点平移定理 力系简化基础--力向一点平移定理 -一、力向一点平移定理
作用在刚体上的力可以平移到刚体的任意一点， 作用在刚体上的力可以平移到刚体的任意一点， 但需要附加一个力偶， 但需要附加一个力偶，此力偶矩等于原力对新 的作用点之矩。 的作用点之矩。 说明：此法则只适用于刚体。 说明：此法则只适用于刚体。
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§2-3 平面力系简化
一、平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 力系中所有力的作用线都汇交与一点。 力系中所有力的作用线都汇交与一点。 1.平面汇交力系： 平面汇交力系：
y
①合成结果： 主矢量 合成结果：
r FR =
n
∑
i =1
r Fi
r FR
r F1′
r F 2′
r F3′
r F n′
O
x
r F 4′
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主矢FR与简化中心位置无关
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解析式： ②主矢 FR 解析式： 其中： 其中：
n
r r Fi = Fx i + Fy j
n
Fx = ∑ Fix
i =1
Fy = ∑ Fiy
i =1
主矢大小: 主矢大小
FR = (∑ Fix )2 + (∑ Fiy )2
i =1 i =1
一般力系（任意力系） 一般力系（任意力系） 未知力系） （未知力系）
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向一点简化
汇交力系+ 汇交力系+力偶系 已知力系） （已知力系）
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平面力系的简化结果： ① 平面力系的简化结果： 汇交力系: 汇交力系: r FR = 力FR’＝主矢，(作用在简化中心) ＝主矢， 作用在简化中心) r Fi
n
∑
i =1
力偶， 主矩， 作用在该平面上) 力 偶 系: 力偶，MO＝主矩，(作用在该平面上) n r r r Mo = ∑ M o ( Fi )
i =1
说明： 主矢与简化中心无关。 说明：（1）主矢与简化中心无关。 主矩与简化中心有关。 （2）主矩与简化中心有关。
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§2-4 固定端约束的约束力
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4
二、力系的主矢与主矩
1.主矢的概念 1.主矢的概念 由任意多个力所组成的力系中所有力的矢量和， 由任意多个力所组成的力系中所有力的矢量和， 即
r F1
r ′ FRቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=
r F2
n
∑
i =1
r Fi
r ′ FR
r F3 2011-6-8
r F4
5
2.主矩的概念 2.主矩的概念 力系中所有力对于同一点之矩的矢量和， 力系中所有力对于同一点之矩的矢量和，
n
n
主矢方向: 主矢方向:
r r FRx r r FRy cos(FR , i ) = , cos(FR , j ) = , FR FR
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例1：F1=7kN，F 2=5 kN，求图中作用在耳环上的 ： ， ， 合力F 合力 R 。 解： F = F = F + F ∑ ix 1x 2 x x
举例： 举例： 旋球
打乒乓球、 打乒乓球、攻丝
A
o
F
M
F
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说明： 说明
力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 例绕把、丝锥） 力+力偶 （例绕把、丝锥） 有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，
m=F•d
力线平移定理是力系简化的理论基础。 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
n r r r 即： Mo = ∑ M o ( Fi ) i =1
r F1
r F2
M1
0
M3
0
Mo
M4
M2
r F3
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r F4
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3.等效力系的概念 3.等效力系的概念 将作用在物体上的一个力系用另一个于它等效的力系 来代替，这两个力系互为等效。 来代替，这两个力系互为等效。 4.简化的概念 4.简化的概念 力系的简化： 力系的简化：用一个简单力系等效地替换为一个复 杂力系。 杂力系。 力系的简化的基础：力向一点平移定理。 力系的简化的基础：力向一点平移定理。