数列递推在高中数学联赛中的应用
高中联赛排列组合的解法
数学竞赛中的排列组合问题江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。
其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。
一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。
（1998年全国高中数学联赛） 解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个 奇数。
当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。
题意要使其和为不小于10。
我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3）， （1，2，5），（1，3，4）。
因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一。
若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。
那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。
（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。
故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。
随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。
因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。
∴一共有2+24=26种不同跳法。
高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结
高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列在高中数学中有着重要的地位，它不仅是数学中的基础，也是其他数学分支的重要工具。
在学习数列的过程中，我们不仅需要了解数列的性质，还需要掌握数列的运算方法和数列递推公式的应用。
首先，数列有着一些基本的性质。
首先是数列的有界性。
一个数列如果存在上界或下界，那么它就是有界数列；反之，如果没有上界或下界，那么它就是无界数列。
其次是数列的单调性。
如果数列的后一项大于（或小于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列；如果数列的后一项大于等于（或小于等于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列。
此外，数列还有等差数列和等比数列等特殊类型。
等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等；等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等。
其次，数列的运算方法也是我们需要掌握的。
数列的运算主要包括四则运算和复合运算。
四则运算是指对数列中的每一项进行加、减、乘、除的运算；复合运算是指对两个或多个数列进行运算，如求和、求积、求差等。
数列的运算方法可以帮助我们进一步研究数列的性质和规律。
最重要的是数列递推公式的应用。
数列递推公式是指通过已知的数列前几项，推导出数列后续项的公式。
数列递推公式有两种形式：显式递推公式和递推关系式。
显式递推公式是指通过已知的数列前几项，直接得出数列后续项的公式；递推关系式是指通过已知的数列前几项，得出数列后续项与前几项的关系，然后再通过递推关系得出数列后续项的公式。
数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题，如求解等差数列或等比数列的通项公式，求解复合数列的递推关系等。
总结起来，高中数学中数列与数列递推公式是我们必须掌握的重要内容。
数列的性质和运算方法可以帮助我们深入理解数列的规律和特点，数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题。
通过对数列的学习和应用，我们不仅可以提高数学思维能力，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。
高中数学竞赛专题1-7
专题一 数学竞赛中的数列问题东北育才学校 张雷数学竞赛中的数列问题可以分为以下三类(1) 递推数列问题：其中二阶递归数列是数学竞赛中非常重要的内容.既是高考中递归数列的延伸，又是数学竞赛的基础知识.其形式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）.且已知1a 和.2a 求}{n a 的通项公式.我们通常采用特征方程法.即设βα,为方程q px x +=2的二根.则βα≠时，.n n n B A a βα+=其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定；如果βα=，则.)(1-+=n n n B A a α其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定. 除此之外，还有不动点法等.(2) 数列不等式问题（3）数列综合应用问题：数列问题丰富多彩，常与不等式、数论、组合、函数方程等相结合，这需要我们灵活的解题能力和全面的数学知识.【范例选讲】一、 递推数列问题1. （2008年东南竞赛）设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=.试求通项n a 的表达式.解：将所给递推关系的两边同时除以12n +，得111,2222n n n n n a a n n+++=++ 即111,2222n n n n n a a n n+++-=+ 所以 1111112222nn ni ii ii i i i a a ii +++===⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 111111(1)2242n n n i i a a n n i+++=+-=+∑， 即 111(1)112.4222n n n n i i n n i a ++=+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑令12n n i i i S ==∑，则1122nn i i i S -==∑， 11111112122222nn n n n n n i i i i i i i i i i i i S S S +---====-=-=-=-∑∑∑∑111111211112222n n i i i n i i -+---=+--⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑1121112111()222212nn n i n i n n --=⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦-∑112112222n n nn n -+=-+-=-故 111(1)1123(1)222(1)4222242n n n n n n n n n n n a n +++⎡++⎤++⎛⎫⎡⎤=++-=+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，从而 222(6)1(2)n n a n n n n -=-+--≥.2．（2009年高中数学联赛）已知p ，q （0q ≠）是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，12n n n a pa qa --=-（n =3，4，…）． （I ）求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； （II ）若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3. （2000年全国高中数学联赛）设数列}{n a 和{b n }满足10=a ，00=b ，且,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n 证明：n a ),,2,1,0( =n 是完全平方数．分析 我们能否得到}{n a 的递推关系，先求出通项看一看. 证明 由于6371+-=+n n n a a b 则.637121+-=+++n n n a a b 代入下式整理得： 61412--=++n n n a a a 即).21()21(142112---=-++n n n a a a 又10=a ，.41=a 则由特征方程法可求得： n n a )347(41+=21)347(41+-+n . 由于 7±43=（2±2)3 ，所以 2])32(21)32(21[n n n a -++=设n n n c )32(21)32(21-++=，则10=c ，.21=c由特征方程法可知：}{n c 满足递推关系.412n n n c c c -=++故由0c ，1c 为整数可推得：n c 为整数，于是n a 为完全平方数. 二．数列不等式问题4、（2007年全国高中数学联赛）设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数2≥n 时，n n a a <+1.证明 由于)111(11)1(1k n k n k n k -+++=-+，因此∑=+=n k n kn a 1112，于是，对任意的正整数2≥n ，有∑∑+==++-+=-1111121111)(21n k n k n n k n k n a a0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==nk n k kn n n n k n n ，即n n a a <+1 5.（2003年女子竞赛）数列{}n a 定义如下：2112,1,1,2,n n n a a a a n +==-+=，证明：20031220031111112003a a a -<+++< 证：由题设得11(1)n n n a a a +-=-111111n n na a a +∴=---122003122320032004120042004111111111()()()1111111111111a a a a a a a a a a a a ∴+++=-+-++-------=-=----易知数列{}n a 是严格递增的，20041a >，故1220031111a a a +++<为了证明不等式左边成立，只需证明2003200412003a -> 由已知用归纳法可得1111n n n a a a a +-=+，及11,(1)n n n a a a n n ->≥从而结论成立。
如何总结高一数学的数列递推关系与应用
如何总结高一数学的数列递推关系与应用在高一数学的学习中，数列递推关系及其应用是一个重要且具有一定难度的知识点。
要想学好这部分内容，我们需要深入理解其概念，掌握常见的递推关系类型，并能够灵活运用它们解决各种实际问题。
首先，我们来明确一下什么是数列递推关系。
简单来说，数列递推关系就是通过已知的项，按照一定的规则推出后续的项。
比如，对于数列{aₙ}，如果给出了 a₁的值，以及一个关于 aₙ和 aₙ₋₁（或者其他前面的项）的关系式，那么就可以依次求出后面的项。
常见的数列递推关系类型有很多。
等差数列的递推关系是 aₙ ＝aₙ₋₁＋ d（d 为公差），等比数列的递推关系是 aₙ ＝ aₙ₋₁ × q（q为公比）。
除了这两种基本的数列，还有一些更复杂的递推关系，比如线性递推关系（形如 aₙ ＝ paₙ₋₁＋ q，其中 p、q 为常数）、非线性递推关系（如 aₙ ＝ aₙ₋₁²＋ 1 等）。
在学习数列递推关系时，理解其通项公式的推导过程是非常关键的。
以等差数列为例，我们知道 a₁的值，公差为 d，那么 a₂＝ a₁＋ d，a₃＝ a₂＋ d ＝ a₁＋ 2d，以此类推，可以得到 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。
这个通项公式就是通过对递推关系的不断累加得到的。
对于等比数列，同样可以通过类似的方法推导出通项公式 aₙ ＝ a₁ × qⁿ⁻¹。
掌握了数列递推关系的类型和通项公式的推导，接下来就是要学会应用它们解决实际问题。
在数学竞赛或者高考中，经常会出现与数列递推关系相关的题目。
比如，让我们求数列的某一项的值，或者判断一个数列是否满足某种递推关系。
这时候，我们就需要根据已知条件，选择合适的递推关系类型，然后运用相应的方法进行求解。
例如，有这样一道题目：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ ＝2aₙ₋₁＋ 1（n ≥ 2），求 a₅的值。
首先，我们可以根据递推关系依次求出 a₂、a₃、a₄，最后求出 a₅。
竞赛中的数列题评析
解 Ａ＝＿ ｚ ， 得 旦 ＝ 故
＋ ＝ ．
（） ２ 略．
评析
数 列 的递 推关 系形 如 ａ ＋ ｐ ＋ｑ （ １２， ≠Ｏ） 其 特 征 方 程 为 ＝ ｘ＋ｑ ， 为 特 征 ＝ ａ ａ ｎ＞ 朋 ， ｐ ，
根． １ 若 Ｉ Ｚ， （） Ｔ ＃ 则其通项 ａ ＝ Ｉ ＋ ；２ 若 ＝ 则其通 项 ａ ＝（ Ｂ ） Ａ Ｔ （） ， Ａ＋ ｎ
表示） ．
设 第 ｎ ｎ ） 的第 一个 数 为 ａ ， ａ ２ ＋ ， （ ≥２ 行 则 ＝ ａ一 ２ 两边 同除 ２ 列 因 ＝厅 １ ，以 １ × ． 数 ｆ 等 数 ，此 ｎ（＋）－所 ０１ ２ ｛１ ｝ Ｌ ａ ￥ ｎ ａ ： ２２ ５ ： １ ％ ｎ， ０ ０ ＝
评析 数 列 的递 推关 系形 如 ａ ＝ ａ一 ， ｐ ＋ 往往 可变 形转 化 为
２ Ｉ 特征根 法 求通 项 ．
・
１ ６・
中学教研 （ 学） 数
例 １ 已知 Ｐ，（ ≠Ｏ 是 实 数 ， ｑｑ ） 方程 一 ＋ ０有 ２个 实 根 Ｉ， ， 列 ｛ 满 足 ａ ｐ ａ ＝ 一ｑ ｑ＝ Ｔ￣ 数 ３ ａ｝ ： ，： ｐ ，
ａ ｐ １ ｑ ２ 凡＝ ， … ） ＝ ａ 一 一 ａ 一 （ ３ ４， ．
第 ６期
陈 硕 罡 ： 赛 中的 数 列题 评 析 竞
・ｌ ５・
竞 赛 中 的 数 列 题 评 析
●陈硕 罡 （ 东阳中学 浙江东阳 ３２０ ） ２ １０
全 国高中数学联赛经过 ２ Ｏ多年的发展 ， 虽然试题题型等几番变化 ， 但总体形成 了自己特定的命题风 格 ， 别是 一 些重 点 内容 ， 以说 是 “ 年必 考 、 特 可 年 常考常 新 ” 数列 就 是 这样 的一个 内容 ， ． 它在 整个 中学数 学
竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略
解， 则 实数 ａ的最小 值是 （
（ Ａ） １
参 考文献 ：
（ Ｂ ） ２
（ Ｃ ） ４
提 示： 利用分类讨论法． 答案为 Ｃ ．
［ １ ］ 周 玲． 数 学 竞赛 在 中 国 的实 践 质 问其 教 育价 值
［ Ｊ ］ ． 数学教育学报 ， ２ ０ １ ０ （ ５ ） ． ［ ２ ］ ２ ０ ０ ８ 年全 国初 中数学竞赛天津赛 区初赛 ［ Ｊ ］ ． 中等数
１
０ｌ＝２， 口 ｍ＋ ＋０ｍ
一
一
， ｎ ＋ ｎ ＝ － （ ｎ ＋ 口 ２ ， １ ） ，
其 中， ｍ、 ｎ∈ Ｎ， ｍ≥凡 ． 证明：
（ １ ） 对一切 ｎ∈ Ｎ， 有
ａ ＋ ２＝２ ａ ｎ ＋ ｌ—ａ ＋２；
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ８—３ １
由于 ａ 一ａ ＞ ０ ， 故
（ ｎ ≥１ ） ． ａ ＋ ａ ＝ ４ ａ （ ｎ ≥２ ） ．
从而， １＝
故 ＋ ＋… ＋ｊ —
ａｉ ａ２ ａ２ ｏ ｏ ９
（ ２ ） 由于 ａ ＋ ＝ ４ ａ 一ａ ， （ ｎ ≥２ ） ， 廿 『 利 用特 征值 法知
ａ ２ ＝４ａ 一 ２ ｎ．
代入式②并化简得 ａ ＋ ２ ＝ ２ ａ ＋ ｌ — ａ ＋ ２ ． （ ２ ） 由式③得
（ ａ ＋ ２ 一 ａ ＋ １ ）＝（ ａ ＋ ｌ — ａ ）＋ ２ ．
③
例 １ 设数列 ｛ ａ ｝ （ ｎ ≥ ０ ） 满足
（ ２ ０ ０ ９ ， 全 国高中数学联赛湖北省预赛）
证明 （ １ ） 在 题设关 系式 中 ， 令 ｍ ＝ｎ ， 得ａ ０ ＝ ０；
此， 一直备受命 题者 的青睐． … 本文 以试 题 为例 ， 就竞赛 中的递推型数列不等式 问题的 求解策略作一探究 ， 供读者参考．
高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧
高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧数列是数学中的一种重要概念，它是按照一定规律排列的数的集合。
而数列极限则是数列的重要性质之一，它描述了当数列中的项趋于无穷时整个数列的性质。
本文将介绍数列与数列极限的概念以及它们在高中数学中的应用技巧。
一、数列与数列极限的概念及性质1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的数的集合，通常用字母表示。
比如，我们可以用$a_1, a_2, a_3, \ldots$表示一个数列，其中$a_n$表示数列中的第n项。
数列也可以用函数的形式来表示，如$f(n)$表示数列中的第n 项。
2. 数列的递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项推导得到，这种关系被称为数列的递推关系。
比如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的递推关系是$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$。
3. 数列极限的概念数列极限描述了当数列中的项趋于无穷时，整个数列的性质。
若存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时，$|a_n - L| < ε$成立，则称数列存在极限L，记作$a_n \to L$。
4. 数列极限的性质（1）数列极限存在唯一性：如果数列的极限存在，则极限是唯一的。
（2）数列极限与递推关系的关系：如果一个数列存在极限L，并且数列的递推关系是$a_{n+1} = f(a_n)$，则当n趋于无穷时，$a_{n+1}$也趋于L。
（3）数列极限的保序性：如果数列$a_n$和$b_n$满足$a_n \leqb_n$，且它们都收敛于L，则L满足$a \leq L \leq b$。
二、数列极限在数列求和中的应用1. 数列和的定义和性质数列和表示数列中一定项数的元素相加的值，通常用$S_n$表示。
比如，数列$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$的前n项和可以表示为$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练，提高数列水平正文：一、引言随着教育制度的不断发展，高中数学竞赛日益受到广泛关注。
在众多竞赛专题中，数列专题具有举足轻重的地位。
本文将从以下几个方面展开讨论，以帮助同学们更好地掌握数列知识，提高在数学竞赛中的竞争力。
二、数列基本概念与性质1.等差数列：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之差相等。
这一常量称为公差。
2.等比数列：等比数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之比相等。
这一常量称为公比。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指这样一个数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。
4.数列的极限与连续：数列极限是指当项数趋向无穷时，数列值的极限值。
数列连续性是指数列在某一区间内，任意两项之间的差值趋于0。
三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2.等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3.求和公式的应用实例：利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。
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四、教学反思 学生生物学学科核心素养是学生在学习过程中逐渐发展 起来的，在解决真实情境中的实际问题时所表现出来的价值观 念、必备品格与关键能力，是学生知识、能力、情感态度与价 值观的综合体现。我在本节课教学中落实注重与现实的联系，
以社会现象为背景，通过学生调查活动，不但增强学生研究能 力，也能基于学生基础开展教学活动，同时作为课堂导入还能 激发学生兴趣。我通过播放蚊虫叮咬为什么不能传播艾滋病视 频，解决学生关切的现实问题。当然我也注重对学生社会责任 感的培养，于润物无声中完成情感态度价值观目标。
2018.No46 81
例题1：
用g(n)表示正整数n的最大奇因子：
如g(3)=3，g(14)=7；
则g(1)+g(2)+…g(22018)=？
解析：本题容易观察到，奇数的最大奇因子是其本身，而
到了偶数，可知2的次幂的最大奇因子是1，其余偶数没有什么
眉目，也许通过枚举可以找到一些规律，不过，这题我要向大
家介绍的是用数列递推进行巧解。
题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已
经解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过
某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解
的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题
的方法，我们称之为化归法。
二、特殊到一般
一般性的结论往往具有其特殊性，而当这个结论不易得
1
2
由特征根法[1]可得
回顾与思考：相对与例一来说，这道题显然将数列递推 思想贯彻得更加彻底。从多元递推，二阶递推，到特征根求通 项，都是数列的内容。解题的关键在于转化，观察特征，提炼 后代数化。
三、总结 数列递推的思想，适用于有前后项关系，有无穷的项的题 型。解题的步骤就是发掘关系，代数化，数列求解。其本质是 化归，如果将组合，数论，概率等外壳剥下，数列的面目就一 清二楚，相信如果直接去求数列通项，学生都得心应手，稍加 伪装难度就有了提升。不过这也是数学的魅力所在，巧妙却不 失根本，寻根溯源，答案自然水落石出。 参考文献： [1] 王科.HPM视角下数学归纳法教学的设计研究[D].华东 师范大学，2014. [2] 黄群.中学奥林匹克数学的教学设计研究[D].广州大 学，2006. [3] 单增.数学奥林匹克与奥林匹克数学[J].曲阜师范大 学学报(自然科学版)，1987(02):60-63. [4] 李扬.高中数学解题经验学习研究[D].陕西师范大 学，2014. [5] 杨圣杰.高中生数学解题反思的实践研究[D].哈尔滨 师范大学，2016. [6] 叶景辉.高考数列题的解题策略研究与试题评析[D]. 广州大学，2016. [7] 姚宏远.提高学生解决数列问题能力的方法研究[D]. 西北大学，2017. [8] 递推数列的特征方程法探究——兼谈数列求通项公式 [J]. 蔡军军.中小学教学研究. 2014(4).
情况，这是可以做到的。然后我们如何推广到一般，即n为无穷
的情况呢？这就需要我们在特殊的情况中观察前后项的关系，
应用数列的思想，将本题数列化，具体操作如下。
解:设 表示P 染白色的好的染法，b 表示P 不染白色的好
n
n
n
的染法，则C = +b 为好的染法的总数。
n
n
求得C =5,C =13，则将本题转化为一个数列求通项问题，
的简单糅合，也不仅仅拘泥于书本上的表层知识，我们应该去
挖掘知识的核心内容和应用。
例题2：
n个点P ，P ，…，P 顺次在一条直线上，每点染上白、
1
2
n
红、绿、蓝、紫中的一种。若对任意相邻的两点P 和P (i=1， 1 i+1
2…，n-1)，要么至少有一点为白色，则称之为好的染法，则好
的染法的总数为
解析：我们采用从特殊到一般的思想，先求解当n较小的
解：令S =g(1)+g(2)+…g(2n)，则S =2，
n
2
依题意得S =[g(1)+g(3)+…g(2n-1)]+[g(2)+g(4)+…+g( 2n)] n
=1+3+…+(2n-1)+S =4n-1+S ，
n-1
n-1
从而
回顾思考：通过本题，我们初步认识到了数列递推在解题
当中的妙用，可见，数学并不是单一的知识点或者几个知识点
出时，我们往往会去例举特殊情况，寻找他们的共性，从而
得到一个一般性的结论。类似的例子有用数学归纳法求数列
通项，代数式求和，解析几何定点问题，及平面几何中某些
Hale Waihona Puke 性质等等。数学的知识是相互渗透的，近年来，高中数学联赛中出现
的数列递推解决组合等题型再一次证明了这一点。本文，我们
将通过几道例题来探究数列递推在高中数学联赛中的应用。
数列递推在高中数学联赛中的应用
吴泽梁
(福建省宁德市福安一中 355000)
摘 要：数列是高中数学的重点知识之一，也是中学与大
学的一个过渡知识。在每年的高考试题中，数列是一个重要考
点，是中学生需要重点掌握的内容之一。
关键词：数列递推；组合；化归思想；特殊到一般
一、数学思想方法先导
化归在解决问题的过程中，数学往往不是直接解决原问