基本的平面有势流动解读
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第15讲势流理论2
（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
第八章 恒定平面有势流动(Y)
=0
r
r = 2ω = ∇ × V = 0 v
x
y
z
∂w ∂v − = 2ω x = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w = − = 2ω y = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u = − = 2ω z = 0 ∂x ∂y =
（3）速度环量等于零，流体是无旋流动。 速度环量等于零，流体是无旋流动。
∂u x ∂y
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz = u x dx + u y dy + u z dz ∂x ∂y ∂z
——势函数微分方程式 势函数微分方程式
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ux = ，u y = ，u z = ∂x ∂y ∂z
的全微分为: 则速度势函数 ϕ( x，y，z) 的全微分为:
r r dϕ dϕ dϕ ΓAB = ∫ u ⋅ ds = ∫ (uxdx+ uydy+ uz dz) = ∫ ( dx+ dy+ dz) = ∫ dϕ = ϕB −ϕA dx dy dz A A A A ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ux = ，u y = ，u z = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy ∂x ∂y
同样，在平面不可压缩流体的有势流场中引入流函数也使 同样，在平面不可压缩流体的有势流场中引入流函数也使 研究的问题大大简化， 研究的问题大大简化，并可直接得到流线表达的流动图案
dψ = u x dy − u y dx = 0
dψ =
dψ =
∂ψ ∂ψ dx + dy = −u y dx + u x dy ∂x ∂y ∂ψ ∂ψ ux = uy = − ∂y ∂x
恒定平面势流 (平面无旋流动)
2
x2
2
y2
0
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤二：认识并填制出境货物通关单 要完成出境货物通关单的制作，李芳芳必须先弄清楚集货单上各项 内容的含义，通过查阅相关资料，了解到出境货物通关单各项内容含义 如下： 1.收货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中买方名称。 任务给出买方为PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.，所 以此栏应填PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.。 2.发货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中受益人名称。 任务给出发货人为厦门阳光贸易有限公司，此栏应填厦门阳光贸易有限 公司。 任务执行
任务执行
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤三：填制报关单 李芳芳通过查阅相关资料，了解到出口货物报关单各 项内容含义如下：
在整理完上述信息后，李芳芳完成的报关单如下： 任务执行
速度势的极坐标表达式
d urdr u rd
ur
r
,
u
1 r
上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
ux u y u z 0 x y z
特征2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
凡满足拉普拉斯方
程的函数是调和函
数，所以速度势
是调和函数
平面无旋流动或平面势流
∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y ux x y
d uxdx uydy
x
ux
，
y
平面势流(了解性学习)
(2) 源环流与汇环流 将强度为q的源流和强度为 将强度为 的源流和强度为Г 的源流和强度为 的环流都放置在坐标原点上， 的环流都放置在坐标原点上， 使流体既作圆周运动， 使流体既作圆周运动，又作径 源环流。 向运动，称为源环流 向运动，称为源环流。 水在离心式水泵压水室（蜗 水在离心式水泵压水室（ 叶轮内的流动、 壳）叶轮内的流动、空气在 风机内的流动， 风机内的流动，均可看作源 环流。 环流。 源环流 水在水力涡轮机中的流动为 汇环流。 汇环流。
2 2 + 2 =0 2 x y
= ux ， = u y x y
速度势的极坐标表达式
d = ur dr + uθ rdθ
1 ur = , uθ = r r θ
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。 ， 平面流动 流线方程
dx dy = ux u y
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O 流体从水平的无限平面内的一点 即源点）流出， （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿 轴方向上，单位厚度 为由源点沿z轴方向上 为由源点沿 轴方向上， 所流出的流量，称为源流强度 所流出的流量，称为源流强度
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族。 此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0 ＞ 的符号相同， 时，x、y的符号相同，流线在 、III 的符号相同 流线在I、 象限内； ＜ 时 的符号相反， 象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反， 的符号相反 流线在II、 象限内 象限内。 流线在 、IV象限内。当ψ = 0时， 时 x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为 或 ，说明流线是坐标轴， 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 若把零流线x 轴的正值部分用固体壁面来代替 轴的正值部分用固体壁面来代替， 若把零流线 、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到 直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替 则表示垂直流 轴用固体壁面代替， 直角内的流动；若把 轴用固体壁面代替，则表示垂直流 向固体壁面的流动。 向固体壁面的流动。
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
平面势流的叠加流动
一、势流叠加原理
1、 1 2 3 2、 2 2 (1 2 3 ) 21 2 2 2 3 0
2 2 1 2 2 2 3 0
3、
1 2 3 x x x x 3 1 2 y y y y 1 2 3 z z z z
r r0
vr 0 v 2V sin
流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是 说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生 分离。
0 180
90
v 0
v max 2V
vr 0 v 2V sin
不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布
2
单独的偶极流没有什么实际意义，但是它与直线均匀流 叠加的复合势流非常有用。
四、绕圆柱体无环量流动
均匀直线流
均匀直线流与偶极流叠加
M x M x 2 r 2 2 x 2 y 2 M y M y 2 r 2 2 x 2 y 2
偶极流
V x V y
r02 V x 1 x2 y2
在x ， u V ， v 0 。这表示，在离开圆柱体无 y 处， 穷远处是速度为V∞的均匀直线流动 A点（-r0，0）， A点为前驻点 B点（r0，0），B点为后驻点 极坐标速度分布
Γ qV lnr const
r C1e
Γ qV
Γ lnr qV const q
r C 2e
V
Γ
等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇， 称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
基本的平面有势流动解读
2 V 2
1/ 2
p0
三、点涡
① 定义
以涡束旋转所诱导出的平面流动称为涡流
2rv I const
v ，v r 0 2r
若直线涡束的半径→0，则成为一条涡线
垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流 中心称为涡点。
② 数学表达式
r0 0
-1
④ 压力分布
p v2 z const g 2 g
p z const g
v0 u 各流线与x轴的夹角等于 tg 0
-1
均匀直线流动在水平面上 流体为气体
p const
流场中压强处处相等
二、平面点源和点汇
① 定义
如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向 各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点 若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种 流动称为点汇，这个点称为汇点
④ 压力分布
设涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为 v0
r→∞时，速度为零，压强为p∞。 代入伯努里方程，得涡束外区域内的压强
，压强为p0 2r0
v2 2 1 p p p 2 2 2 8 r 涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为 2 v0 2 1 p0 p p 2 2 2 8 r0 2 2 1 1 1 2 r 0 2 p p0 v0 2 2 8 p p0 2 8 r0
2 ( xdx ydy )
v v 1 p v x y y
或
2
2
p 1 p d x dy x y
d（x 2 y 2）
1
1/ 2
p0
三、点涡
① 定义
以涡束旋转所诱导出的平面流动称为涡流
2rv I const
v ，v r 0 2r
若直线涡束的半径→0，则成为一条涡线
垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流 中心称为涡点。
② 数学表达式
r0 0
-1
④ 压力分布
p v2 z const g 2 g
p z const g
v0 u 各流线与x轴的夹角等于 tg 0
-1
均匀直线流动在水平面上 流体为气体
p const
流场中压强处处相等
二、平面点源和点汇
① 定义
如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向 各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点 若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种 流动称为点汇，这个点称为汇点
④ 压力分布
设涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为 v0
r→∞时，速度为零，压强为p∞。 代入伯努里方程，得涡束外区域内的压强
，压强为p0 2r0
v2 2 1 p p p 2 2 2 8 r 涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为 2 v0 2 1 p0 p p 2 2 2 8 r0 2 2 1 1 1 2 r 0 2 p p0 v0 2 2 8 p p0 2 8 r0
2 ( xdx ydy )
v v 1 p v x y y
或
2
2
p 1 p d x dy x y
d（x 2 y 2）
1
第六章 不可压缩流体平面有势
x y
z (
x 2 y 2 C , 其中C为常数
另一种方法：用积分法求得速度势函数。 2x x y dx 2 xdx x 2 f ( y ) x f ( y ) Vy 2 y y y x f ( y ) f ( y) dy 2 ydy y 2 C y Vx
二、直匀流和点源的叠加 势函数和流函数：
Q Q ln( x 2 y 2 ) V r cos ln r 4 2 Q Q V y V r sin 4 2
V x
速度分布：
Q x V x 2 x 2 y 2 Q y Vy y 2 x 2 y 2 特征： 1）在源点很远距离处，直匀流不受源流 的存在的影响； 2）在源点左边x轴存在一个驻点s； 3）代表直匀流绕物体的流动。 Vx
几种简单平面势流的叠加
一、点源和点涡的叠加 势函数和流函数： Q ln r 2 2 Q ln r 2 2 流线方程：
Q ln r C或r e
其速度分布：
Q C
Q r 2r V r 2r Vr
V cosx V sin y C1
直均流的势函数可写成
V cosx V sin y
类似地，可得流函数为
V sin x V cosy
一、点源与电汇 Q 2rVr 常数 根据流量守恒：
Vr Q Q 2r 2 1 x2 y2
用积分法不可压平面势流的势函数方程和流函数方程一速度势函数与流函数的关系二等势线令速度势函数等于常数得到的曲线族三流线与等势线正交根据等势线的定义有dxdydydxdydxdydxdy几种简单的平面势流设流动速度为与x轴夹角为直均流的势函数可写成类似地可得流函数为sincossincossincossincossincoscossin一点源与电汇根据流量守恒
z (
x 2 y 2 C , 其中C为常数
另一种方法：用积分法求得速度势函数。 2x x y dx 2 xdx x 2 f ( y ) x f ( y ) Vy 2 y y y x f ( y ) f ( y) dy 2 ydy y 2 C y Vx
二、直匀流和点源的叠加 势函数和流函数：
Q Q ln( x 2 y 2 ) V r cos ln r 4 2 Q Q V y V r sin 4 2
V x
速度分布：
Q x V x 2 x 2 y 2 Q y Vy y 2 x 2 y 2 特征： 1）在源点很远距离处，直匀流不受源流 的存在的影响； 2）在源点左边x轴存在一个驻点s； 3）代表直匀流绕物体的流动。 Vx
几种简单平面势流的叠加
一、点源和点涡的叠加 势函数和流函数： Q ln r 2 2 Q ln r 2 2 流线方程：
Q ln r C或r e
其速度分布：
Q C
Q r 2r V r 2r Vr
V cosx V sin y C1
直均流的势函数可写成
V cosx V sin y
类似地，可得流函数为
V sin x V cosy
一、点源与电汇 Q 2rVr 常数 根据流量守恒：
Vr Q Q 2r 2 1 x2 y2
用积分法不可压平面势流的势函数方程和流函数方程一速度势函数与流函数的关系二等势线令速度势函数等于常数得到的曲线族三流线与等势线正交根据等势线的定义有dxdydydxdydxdydxdy几种简单的平面势流设流动速度为与x轴夹角为直均流的势函数可写成类似地可得流函数为sincossincossincossincossincoscossin一点源与电汇根据流量守恒
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③ Φ、Ψ
dx dy u0dx v0dy u0 x v0 y C1 x y dx dy (v0 )dx u0dy v0 x u0 y C2 x y
积分常数C1和C2可以任意选取，而不影响流体的流动图形 （称为流谱）
1 vr 0，v r r 2r
d 1 dr rd dr r r 2r
-1 y tg 2 2 x
l nr 2
当Γ >0时，环流为反时针方向；当时Γ<0时 ，环流为顺 时针方向。 由式（4-36）和式（4-37）可知，点涡的等势线簇是经 过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整 个平面上都是有势流动。
2 ( xdx ydy )
v v 1 p v x y y
或
2
2
p 1 p d x dy x y
2 V 2
1/ 2
p0
三、点涡
① 定义
以涡束旋转所诱导出的平面流动称为涡流
2rv I const
v ，v r 0 2r
若直线涡束的半径→0，则成为一条涡线
垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流 中心称为涡点。
② 数学表达式
r0 0
④ 压力分布
如果XOY平面是无限水平面，则根据伯努里方程 2 p vr p g 2g g
vr qV 2r
2 qV 1 p p 8 2 r 2
p p
q 1 8 2 r 2
2 V
压强 p 随着半径 r 的减小而降低。
r r0 q /(8 p )
-1
④ 压力分布
p v2 z const g 2 g
p z const g
v0 u 各流线与x轴的夹角等于 tg 0
-1
均匀直线流动在水平面上 流体为气体
p const
流场中压强处处相等
二、平面点源和点汇
① 定义
如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向 各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点 若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种 流动称为点汇，这个点称为汇点
令 C1 C2 0
即得均匀直线流动的速度势和流函数各为
v0 x u0 y
u0 x v0 y
u0 x v0 y const 等势线簇和流线簇互相垂直 v0 x u0 y const
v0 各流线与x轴的夹角等于 tg u 0
④ 压力分布
设涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为 v0
r→∞时，速度为零，压强为p∞。 代入伯努里方程，得涡束外区域内的压强
，压强为p0 2r0
v2 2 1 p p p 2 2 2 8 r 涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为 2 v0 2 1 p0 p p 2 2 2 8 r0 2 2 1 1 1 2 r 0 2 p p0 v0 2 2 8 p p0 2 8 r0
2rvr 1 qV const
qV vr 2r 代入 d vr dr
＋qv ——点源——流出（vr与r同向）
－qv ——点汇——流入（vr与r反向）
d
qV 2 r
qV dr 积分 l nr C 2
r x2 y2
qV qV ln r ln x 2 y 2 2 2
vr
Γ 0 , v v r r 2r
v
涡点是一个奇点，该式仅适用于r>0的区域
2rv I const
v ，v r 0 2r
③ Φ、Ψ
1 vr 0，v r r 2r
1 d dr rd d r r 2
在r→0处，压强p→-∞，显然这是不可能的。 所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域， 称为涡核区。可得涡核的半径
由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微 分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为
u u u 1 p v x y x
u
将涡核内任一点的速度 u y和 v x 代入上两式，得 1 p 1 p 2 2 y x y x 以dx和 dy分别乘以上两式，然后相加，得
② 特点
这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源 点流出和向汇点流入都只有径向速度 vr 。 现将极坐标的原点作为源点或汇点，则 v 0 vr r
d v r dr
点源
点汇
③ Φ、Ψ
根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为r的单位长 度圆柱面上的流量qv都应该相等
第五节 基本的平面有势流动
一、均匀直线流
二、平面点源和点汇 三、点 涡
一、均匀直线流动
① 定义：流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流 若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。 ② 数学表达式
u
u u0
v v0
u0 , v v0 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy y x
当r=0时，φ →∞， vr→∞，——源点和汇点都是奇点——φ 、vr 只有在源点和汇点以外才能应用。
③ Φ、Ψ
qV d v dr v r rd v r rd d 2
qV qV -1 y tg 2 2 x
等势线簇是同心圆簇与流线簇正交。而且除源点或汇点外，整 个平面上都是有势流动。