5.子集、全集、补集

5.子集、全集、补集
教学目标
1.了解集合之间包含关系的意义，理解子集、真子集概念；
2.了解全集的意义，理解补集的概念；
3.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；
教学重点
子集、真子集、补集、全集的概念
教学难点
1.元素与子集，属于与包含的区别；
2.补集的有关运算
教学过程
一、引入
观察下列各组集合：
（1）A ={x |x 为无锡人}，B ={x |x 为江苏人}
（2）A={1,2,3}， B={1,2,3,4,5}
你认为集合A 与集合B 之间具有怎样的关系？（由此引入“子集”）
答：集合A 都是集合B 的一部分.
二、建构
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记为B A ⊆或A B ⊇，这时我们也说集合A 是集合B 的子集.
即：若a ∈A ，则a ∈B ，那么集合A 称为集合B 的子集，记为B A ⊆或A B ⊇.
B A ⊆用Venn 图表示如右图：
比如，N N ⊆*, Q Z ⊆, R Q ⊆. 说明：（1）A A ⊆，即任何一个集合是它本身的子集；
（2）规定A ⊆Φ，即空集是任何集合的子集；
（3）若B A ⊆，B C ⊆，则A C ⊆
思考：B A ⊆与A B ⊆能否同时成立？
2.真子集
如果A B ⊆且B A ≠，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B (或B A )，比如N *N .
这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集. B
A
例1： 写出集合{a ,b }的所有子集.
变式1：{a 1,a 2,a 3}有多少个子集？ {a 1,a 2,a 3,a 4}有多少个子集？
你能猜想{a 1,a 2,…,a n }有多少个子集吗？
结论：(1)一个集合里有n 个元素，那么它有2n 个子集；
（2）一个集合里有n 个元素，那么它有2n -1个真子集；
（3）一个集合里有n 个元素，那么它有2n -2个非空真子集．
例2： 下列各组的3个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？
（1） S ={-2,-1,1,2}，A ={-1,1}，B ={-2,2} （2） S =R ，A ={x |x ≤0}，B ={x |x >0}
都有A S ，B S ，如图 你认为例2中每组的3个集合之间还有什么关系？（由此引入补集）
3.补集
设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作C S A ，即C S A ={x |x ∈S ，且x ∉A }，如图所示
例如，C R Q ={x |x 为无理数}， C N N * ={0}
说明：如果集合S 包含所要研究的各个集合，那么S 可看做一
个全集，记作U . 比如，实数范围内讨论时，R 可作为全集.
例3：不等式组⎩⎨⎧>+->-0
61140122x x x 的解集为A ，U =R ，求A 及C U A .
小结
1.“子集”表示两集合的一种关系；
2.“补集”的前提条件是全集，不同的全集对应补集也不同.
A B S A S
补例/练习
例：已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围.
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来
要使A ⊇B ，则B 中的元素必须都是A 中元素
即B 中元素必须都位于阴影部分内
那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－m 4 知 －m 4
＜－2即m ＞8 故实数m 取值范围是m ＞8
例：已知集合P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}满足Q P ，求a 所取的一切值. :解：因P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}
当a ＝0时，Q={x ｜ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立.
又当a ≠0时，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}＝{－1a
}， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12 或a ＝13
. 综上所述，a ＝0或a ＝－12 或a ＝13
说明：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集情况. 而当Q ＝∅时，满足Q P .
例：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ， 求实数a 的取值范围．
分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素， 在由B ⊆A ，可知，集合B 按元素的多少分类讨论即可．
【解】A={x|x 2+4x =0，x ∈R}={0，-4}
∵ B ⊆A ∴ B=∅或{0}，{-4}，{0，-4}
①当B=∅时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a 2-1)<0 ∴ a< -1
②当B={0}时，202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩
∴ a=-1 ③当B={-4}时，2442(1)
161a a --=-+⎧⎨=-⎩ ∴ a=∅
④当B={0，-4}时，2402(1)01
a a -+=-+⎧⎨=-⎩ ∴ a=1 ∴ a 的取值范围为：a ≤-1，或a=1．
说明: B=∅易被忽视，要提防这一点．
例：集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，
:(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.
(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.
(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.
解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .
当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，
需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5
，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ⊆A
(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}
所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254
(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.
则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.
②若B ＝∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2
解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4
说明：（1）不应忽略∅；
（2）找A 中的元素；
（3）分类讨论思想的运用.。