第三章 数系的扩充和复数的引入

选修1－2第三章数系的扩充和复数的引入[课标研读]［课标要求］1．复数的概念①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.2．复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.［命题展望］本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念.（2）复数代数形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式基本运算的技能与技巧等.（3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义——向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有：（1）与基本计算有关的问题；（2）与复数模的最值有关的问题；（3）与复数几何意义有关的问题.解答题主要考查：（1）在复数集中解一元二次方程和二项方程.（2）复数的运算.（3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用.在高考中常见的类型有：（1）解复数方程的问题；（2）求复数的模和的问题；（3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题.从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去.在复习过程中，要重视复数与相关知识的联系.①复数问题可以转化成三角问题，②复数问题转化为实数范围内的代数问题，③复数问题转化成平面几何问题.在复习过程中，就充分利用相关知识，实现问题的转化.如求模的最值问题可采用以下思考方法：①转化为求三角函数式的最值问题，②转化为实数范围内的最值，③利用模为实数这一性质，||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，④转化为平面几何问题.随着观察分析角度的不同，产生不同的解题思路和方法，提高学生对算理算法的合理运用的水平.虽然复数试题的难度较低，但非常灵活，具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，因此在复习时应狠抓基础，对复数的概念，复数运算等要熟练掌握，对于一些常见的虚数,i 等的运算性质等要熟练掌握，现时还要注意数形结合思想，复数问题实数化方法等。

第一讲复数的相关概念和几何意义[知识梳理]［知识盘点］ 1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 ，并且，4142434____,______,______,_______.n n n n i i i i +++====（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。

（3）两个复数上等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。

2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。

（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）. （4）向量OZ的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。

［特别提醒］1． 复平面内的两点间的距离公式是12||d z z =-，其中12,z z 是复平面内的两点1z 和2z 所对应的复数，d 表示1z 和2z 间的距离。

例如：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：012||(0),||||z z r r z z z z -=>-=-表示线段12,z z 的垂直平分线的方程。

2．复数集中解一元二次方程在复数集内解关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠时，应注意下述问题：当,,a b c R ∈时，若0∆>，则有二个不相等的实数根1,22b x a-±∆=；若0∆=，则方程为两个相等的实数根1,22bx a=-；若0∆<，则方程有二个不相等的复数根1,2||2b ix a-±∆=（其中1,2x 为共轭复数）。

[基础闯关]1．（2006年全国I 卷）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 等于（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2- 2．（2006年北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（ ） A.–ω B.ω2 C.ω-1 D.21ω4．已知集合M=｛1,i m m m m )65()13(22--+--｝，N ＝｛1，3｝，M ∩N ＝｛1,3｝，则实数m 的值为（ ）（A ） 4 （B ）－1 （C ）4或－1 （D ）1或6 5．已知z 是复数，z +2i 、i-z z均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是 6．（2007年山东省样题）复数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++的积为实数的充要条件是 .[典例精析]例1．设i 是虚数单位，1322i ω=-+，求使()1n i ω=成立的最小的正整数n 的值。

［剖析］可以先将复数i ω求出，再取1,2,3,n = 逐一计算验证，从而求出n 的最小值；也可以根据i ω的幂的周期性进行求解。

［解］解法一：由于1322i ω=-+，所以3122i i ω=--，于是213()22i i ω=+，3()i i ω=-，413()22i i ω=-+，531()22i i ω=-，6()1i ω=-，731()22i i ω=+， 813()22i i ω=--，9()i i ω=，1013()22i i ω=-，1131()22i i ω=-+，12()1i ω=从而n 的最小值为12.解法二：由于1234,1,,1i i i i i i ==-=-=（即i 的幂的周期为4），1322i ω=-+，2313,122i ωω=--=，（即ω的幂的周期为3）考虑两个幂的最小公倍数12. 从而1212124334()()()1i i i ωωω=⋅=⋅=，故使()1ni ω=成立的最小的正整数n 是12.［警示］本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数i 和ω的有关性质，对于虚数单位i ，它的幂的值具有周期性，有4142434*,1,,1()n n n n i i i i i i n N +++==-=-=∈；而复数1322i ω=-+是1的虚立方根，它的幂值也具有周期性，满足3313221131,,22n n n i ωωωωωϖω++=====--=，利用这些性质可以方便地解决某些问题，如当*n N ∈时，有1230nn n n i i i i ++++++=，集合21211{|}n n A x x i i--==+中只有一个元素等。

［变式训练］：1． 数列{}n a 满足112,(1)(1)n n a i i a i a +=+=-，求10a 的值。

例2．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限？ ［剖析］本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。

由于所给出的复数z 已写成标准形式，即z a bi =+的形式，所以只需根据题目的要求，应对实部和虚部分别进行处理。

［解］22220(1)2121320m m m m Z m m ⎧-->⎪=-=-⎨++=⎪⎩解得或－.即或－时，是实数 22221(2) 3.3320m m m m Z m m ⎧--⎪==⎨++≠⎪⎩＝解得即时，是纯虚数22221(3)3 2.32320m m m m m m m m ⎧-->⎪><=><⎨++>⎪⎩解得或－即或－时， Z 对应的点位于复平面的第一象限.［警示］由于本题已写成了复数的标准形式，即z a bi =+的形式，根据当0b =时，复数z 是实数；当0a =且0b ≠时，复数z 是纯虚数；另外本题还考查了复数的几何意义，即复数z a bi =+与复平面上的点(,)a b 一一对应，根据定义即可得本题的解答。

［变式训练］2．设复数z=xa log 2+)1,0()1(log 2≠>-a a i x a ，问当x 为何实数时，z 是（1）实数？ ⑵ 虚数？ ⑶ 纯虚数？ ⑷ z 在复平面上对应的点在实轴上方？⑸|z|=1？例3．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O （其中O 是原点），已知Z 2对应复数z 2=1+3i ，求Z 1和Z 3对应的复数.［剖析］由于复数在复平面上对应于向量的坐标，从而可将Z 1，Z 2，Z 3所对应的复数在复平面上表示出来，然后利用向量的共线来处理此问题。

［解］解法一：如图，设Z1、Z 3对应的复数分别为z 1、z 3，则由复数乘除法的几何意义有z 1＝21z 2［cos （4π-）＋i sin （4π-）］＝i i i 213213)2222)(31(21-++=-+z 3＝i i i i z 231231)2222)(31(21)4sin 4(cos 212++-=++=+ππ．解法二：设Z 1、Ｚ3对应的复数分别是z 1、z 3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得⎩⎨⎧=-=+213231iz z z z z z ,∴z 1＝21z 2（1－i ）＝21（1－3i ）（1－i ）＝213231-++i z 3＝z 2－z 1＝（1＋3i ）－（213231-++i ）＝231231++-i ［警示］本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力.此题以复平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念、性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用. ［变式训练］3. 设复数z 满足|z |＝5，且（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， |2z －m |＝52（m ∈R ），求z 和m 的值.例4．已知z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a )i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围［剖析］根据复数模的定义，可知|z 1|＞|z 2|2212||||z z ⇔>，即x 4+x 2+1＞(x 2+a )2，因此将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题。