2018-2019学年北师大版必修一 4.1.1利用函数性质判定方程解的存在课时作业

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1. 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.
【答案】 B
2. 函数f(x)＝(x－1)ln x
x－3
的零点有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由f(x)＝(x－1)ln x
x－3
＝0得x＝1，
∴f(x)＝(x－1)ln x
x－3
只有一个零点．
【答案】 B
3. 若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
【解析】由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】 B
4. 函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C ．(3,4)
D ．(4,5)
【解析】 ∵f (x )＝log 3x ＋x －3，
∴f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0，
f (2)＝lo
g 32＋2－3＝log 32－1＜0，
f (3)＝lo
g 33＋3－3＝1>0，
f (4)＝lo
g 34＋4－3＝log 34＋1＞0，
f (5)＝lo
g 35＋5－3＝log 35＋2＞0，
∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.
【答案】 B
5. 设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )
A ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 【解析】 因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝13e －ln 1e ＝13e ＋1＞0， f (1)＝13－ln 1＝13＞0，
f (e)＝13e －ln e ＝13e －1＜0.
故函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 【答案】 C
二、填空题
6. 函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
【解析】 由题意(－6)2－6m －6＝0，解得m ＝5，
由x2＋5x－6＝0，解得x1＝－6，x2＝1.故另一个零点为1.
【答案】 1
7. 若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.
【答案】(1，＋∞)
8. 已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N
＋
，则n＝________.
【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，
当x＝2时，
f(2)＝log a2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.
【答案】 2
三、解答题
9. 求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【解】令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2；
当a＝1
2时，则由⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2x－1(x－2)＝0，
解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2；
当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，
解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a 或x ＝2.
10. 关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．
【解】 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，f (4)>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，26m ＋38>0，
解得－1913<m <0. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1913，0. [能力提升]
1. 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 【解析】∵g (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，h (x )＝4x －3在(－∞，＋∞)
上是增函数，∴f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝41
e -－4＜0，
f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝41
e －2＜0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝21e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0. 【答案】 C
2. 函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0零点的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3， x ≤0，
－2＋ln x ， x ＞0的图像如图所示：
则f (x )的零点个数为2.
【答案】 B
3. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≤0，x 2－x ，x ＞0，
若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m .
由题意函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点．
由图可知．
故当－14＜m ＜0时，两函数有三个不同的交点，
故函数的取值范围为－14＜m ＜0.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .
(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)设x1，x2∈R，x1＜x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝1
2[f(x1)＋f(x2)]有两个
不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2)．【证明】(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，
∴f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－1
2[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－1
2[f(x1)＋f(x2)]
＝1
2[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－1
2[f(x1)＋f(x2)]
＝1
2[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)·g(x2)＝－1
4[f(x1)－f(x2)]
2，
且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根.。