八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用课件 第一课时北师大版
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
勾股定理的应用教学课件北师大版八年级数学上册
再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
5 3
.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版数学八年级上册《勾股定理的应用》课件
《勾股定理的应用》
A B
C
热身展风采
一长为13m的木梯，架在高为12m的高墙顶端， 这时梯脚与墙的距离是______ m． 5
12
13
？
身展风采
小眀将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子 上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m. 请算出旗杆的高度.
动手又动脑
课堂小结
你在知识和方法上有哪些收获和提高？
你还有什么需要继续学习的地方？
勤奋是桨，合作是舟， 一起努力驶向胜利的彼岸！
例题1.
如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底 面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点C处 有一蜘蛛，想吃到相对的上口外侧距开口 1cm的F处的食物，则蜘蛛沿着容器侧面爬行 的最短路程是多少？
动手又动脑
例题2.
如图，是一块长，宽，高分别是8cm，4cm 和2cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方 体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面 到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那 么它需要爬行的最短路径长多少？
最短距离
1、方法：立体图形
平面图形
2、依据：两点之间，线段最短
3、构造：直角三角形 4、应用：勾股定理
巩固练习
1. 如图，某同学的茶杯是圆柱形，底面 周长为12cm，高16cm，左边下方有一 只蚂蚁，从A处爬行到相对的中点B处， 则蚂蚁爬行的最短路线长_______ cm． 10
巩固练习
2. 如图，一边长为5cm的正方体盒子， 在左边下方A处有一只蚂蚁，想从A处沿 表面爬行到侧棱GF上的点M点处， GM=2cm，则蚂蚁从A爬行到M的最短距 离是 109 cm.
A B
C
热身展风采
一长为13m的木梯，架在高为12m的高墙顶端， 这时梯脚与墙的距离是______ m． 5
12
13
？
身展风采
小眀将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子 上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m. 请算出旗杆的高度.
动手又动脑
课堂小结
你在知识和方法上有哪些收获和提高？
你还有什么需要继续学习的地方？
勤奋是桨，合作是舟， 一起努力驶向胜利的彼岸！
例题1.
如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底 面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点C处 有一蜘蛛，想吃到相对的上口外侧距开口 1cm的F处的食物，则蜘蛛沿着容器侧面爬行 的最短路程是多少？
动手又动脑
例题2.
如图，是一块长，宽，高分别是8cm，4cm 和2cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方 体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面 到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那 么它需要爬行的最短路径长多少？
最短距离
1、方法：立体图形
平面图形
2、依据：两点之间，线段最短
3、构造：直角三角形 4、应用：勾股定理
巩固练习
1. 如图，某同学的茶杯是圆柱形，底面 周长为12cm，高16cm，左边下方有一 只蚂蚁，从A处爬行到相对的中点B处， 则蚂蚁爬行的最短路线长_______ cm． 10
巩固练习
2. 如图，一边长为5cm的正方体盒子， 在左边下方A处有一只蚂蚁，想从A处沿 表面爬行到侧棱GF上的点M点处， GM=2cm，则蚂蚁从A爬行到M的最短距 离是 109 cm.
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m， 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又因为AC2=92=81， 所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版初中八年级数学上册第1章3勾股定理的应用课件
勾股定理
3
勾股定理的应用
核心·重难探究
知识点
勾股定理的应用
【例1】 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处,请你帮蚂蚁设计一条最短的爬行线路,蚂蚁要爬行的最短路
程为多少?
思路分析 (1)你能将长方体展开成平面图形吗?有几种情况?(2)点A到点C1
的最短线路是什么?在展开图中画出来.(3)发现展开图中的直角三角形了
【例2】 某团队到某岛去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,
先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只
好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正
东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地点离登陆点的
距离.
思路分析 实际问题→构造直角三角形→应用勾股定理→解决实际问题.
解 如图,过点B作BD⊥AC于点D,连接AB.
吗?应用勾股定理能求出蚂蚁爬行的最短路程为多少吗?
解 蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点C1,有三种方式,分别展成平面图形
如下:
如图①,在 Rt△ABC1 中,
A12 =AB2+B12 =42+32=52=25.
如图②,在 Rt△ACC1 中,
A12 =AC2+C12 =62+12=37.
如图③,在 Rt△AB1C1 中,
A12 =A12 +B112 =52+22=29.
因为25<29<Fra bibliotek7,所以沿图①的方式爬行路线最短,最短路程是5.
图①
图②
图③
【方法归纳】
解与长方体有关的最短线路问题,只需对长方体进行部分展开,画出局部的
3
勾股定理的应用
核心·重难探究
知识点
勾股定理的应用
【例1】 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处,请你帮蚂蚁设计一条最短的爬行线路,蚂蚁要爬行的最短路
程为多少?
思路分析 (1)你能将长方体展开成平面图形吗?有几种情况?(2)点A到点C1
的最短线路是什么?在展开图中画出来.(3)发现展开图中的直角三角形了
【例2】 某团队到某岛去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,
先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只
好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正
东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地点离登陆点的
距离.
思路分析 实际问题→构造直角三角形→应用勾股定理→解决实际问题.
解 如图,过点B作BD⊥AC于点D,连接AB.
吗?应用勾股定理能求出蚂蚁爬行的最短路程为多少吗?
解 蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点C1,有三种方式,分别展成平面图形
如下:
如图①,在 Rt△ABC1 中,
A12 =AB2+B12 =42+32=52=25.
如图②,在 Rt△ACC1 中,
A12 =AC2+C12 =62+12=37.
如图③,在 Rt△AB1C1 中,
A12 =A12 +B112 =52+22=29.
因为25<29<Fra bibliotek7,所以沿图①的方式爬行路线最短,最短路程是5.
图①
图②
图③
【方法归纳】
解与长方体有关的最短线路问题,只需对长方体进行部分展开,画出局部的
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
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自清自查
如图下图所示.有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的A点相 对的B点处的事物，需要爬行的最短路程是 多少?（π取3）
展示竞争,基础反馈
3.轮船在大海中航行，它从A 点出发，向正北方向航行 20 ㎞，遇到冰山后，又折向东航行15 ㎞，则此时轮 船与A 点的距离为___________㎞.
预习导学
请同学们想象一下: 有一只小蚂蚁想从A点爬到B 点.请大家思考,动手探索:用什么方法可以帮小蚂蚁找 到（也就是画出）从A点到B点的最短的路线.思考,讨 论五分钟.
用一张矩形的纸卷成一个圆柱，按照书 本的位置在圆柱上标出A，B 两点，自 己尝试画几条路线，观察一下哪条路线 最短？
引导一:如果是一只飞蚂蚁,或鱼缸中的金鱼, 则在空间中连接AB. 因为两点之间线段最短!
引导二: 尝试从A点到B点沿圆柱和长方体侧 面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
你能把A点和B点所在的侧面变成同一平面吗? 思考2分钟.
将圆柱.长方体侧面剪 开展成一个长方形， 从A点到B点的最短 路线是什么？
引导三:
你画对了吗？
你画对了吗？合作交流Fra bibliotek1.课本P13做一做 2.课本P13例
4.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅 走了 ______________步路(假设2 步为1 米)，却踩伤 了花草.
课堂小结
谈谈自己的收获与不足
1.3 勾股定理的应用
学习目标
会用勾股定理解决与直角三角形的一些问题
学习重点
勾股定理的灵活应用
学习难点
把问题转化为解直角三角形的问题
一. 复习巩固: 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时 的速度向东行走。1时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进。上午10：00， 甲、乙二人相距多远？