16.3.2等腰三角形判定
等腰三角形的判定定理
B
C
4.是轴对称图形
开启 智慧
思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB， BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上 条件,你能推导出什么结论?并说明理由.
如果EG∥BC？
A
E
F
G
B
C
开启 智慧
下例各说法对吗？为什么？
思考
2:等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
因为∠1=∠2，
∠B=∠C.因此AB=AC，
B
C
即ΔABC的是等腰三角形.
基本应用
例３．如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边
ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｅ．判断
△ＢＤＥ是不是等腰三角形，并说明理由．
（请你自已完成说理过程）
Ａ
EＥ ３ Ｄ
２１
Ｂ
Ｃ
练习4
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC, 试判断△ABD的形状,并说明理由?
当底角∠ B= 60时,
∠ C=60 °, ∠A=180 —(60° +60 °)=60. °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边 三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是 等边三角形.
2.4等腰三角形的判定定理
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等.
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合.（简称“三线合一”）
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。
首先，我们来了解等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。
这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。
接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。
这个性质可以通过几何推理来证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。
这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。
这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。
除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。
首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。
其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。
让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。
假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。
我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。
接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。
如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。
通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。
例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。
在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指具有至少两条边相等的三角形，它有着特殊的特征和性质。
在几何学中，我们常常需要判定给定的三角形是否为等腰三角形。
本文将介绍几种判定等腰三角形的方法，并详细解释每种方法的原理和应用场景。
一、平面几何判定法在平面几何中，我们可以通过比较给定三角形的三条边是否相等来判断是否为等腰三角形。
假设三角形的三条边分别为AB、BC和AC，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过测量边长判断：通过使用直尺和量角器等绘图工具，我们可以测量三角形的各边的长度，并比较它们的大小。
如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量角度判断：使用量角器等工具可以测量三角形的各个内角，并比较它们的大小。
如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
二、解析几何判定法在解析几何中，通过使用坐标系可以简化等腰三角形的判定。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过计算边长判断：首先，我们可以计算出三角形的AB，BC和AC的边长。
然后，通过比较边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
AB的长度：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]BC的长度：√[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]AC的长度：√[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过计算角度判断：首先，我们可以计算出三角形的两个内角的度数。
然后，通过比较角度是否相等来判断是否为等腰三角形。
内角A的度数：arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]内角B的度数：arctan[(y3 - y2) / (x3 - x2)]如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
三、等腰三角形应用举例等腰三角形的判定对于几何学的研究以及实际生活中的应用具有重要意义。
等腰三角形判定定理
等腰三角形判定定理在咱们数学的奇妙世界里，等腰三角形那可是个常客。
今天咱就来好好聊聊等腰三角形的判定定理，这可是个相当重要的知识点！还记得有一次，我带着一群小朋友在操场上玩耍。
阳光正好，微风不燥。
突然，有个机灵鬼指着不远处的一个风筝喊道：“老师，你看那个风筝的形状好像等腰三角形呀！”我顺着他指的方向看去，还真是！那风筝的骨架结构可不就和我们正在学的等腰三角形有几分相似。
咱们言归正传，说说这等腰三角形的判定定理。
首先，如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等，这个三角形就是等腰三角形。
这就好比两个小伙伴手拉手，长度一样，那他们对应的“待遇”——角度也就一样啦。
再来说说另一个判定方法，如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形也是等腰三角形。
这就像两个小伙伴得到的糖果一样多，那他们付出的“劳动”——边的长度也就相同啦。
咱们通过几个例子来加深一下理解。
比如说，有一个三角形，其中两条边的长度分别是 5 厘米和 5 厘米，那不用想，这肯定是个等腰三角形，因为两条边相等嘛。
又比如说，一个三角形的两个角分别是 50 度和 50 度，那这两个角所对的边肯定也相等，它也是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的身影那可是无处不在。
就像我们常见的晾衣架，它的形状很多时候就是等腰三角形，这样能保证两边挂的衣物重量差不多，不容易倾斜。
还有一些建筑的屋顶，也会采用等腰三角形的结构，美观又稳固。
学习等腰三角形的判定定理，不仅能帮助我们解决数学问题，还能让我们更好地理解周围的世界。
就像那次在操场上看到的风筝，当我们明白了等腰三角形的判定定理，就能更清楚地知道为什么那个风筝能飞得那么稳，那么美。
总之，等腰三角形的判定定理虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多观察生活中的例子，就一定能轻松掌握。
相信大家在今后的学习和生活中，遇到等腰三角形的问题都能迎刃而解，就像解决一道简单的算术题一样轻松！加油哦，小伙伴们！。
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
等腰三角形判定定理是：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
判定方法有：等腰三角形的认定等腰三角形的认定方法1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
4、存有两条角平分线或中线、或低成正比的三角形就是等腰三角形。
判定的方式：定义法：在同一三角形中，存有两条边成正比的三角形就是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，除了如下认定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形就是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
似乎，以上三条定理就是“三线合一”的逆定理。
4、有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的分类：1、等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。
它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
2、等边三角形：就是三边都成正比的等腰三角形。
性质：1、等腰三角形的两个底角度数成正比（缩写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3、等腰三角形的两底角的平分线成正比（两条腰上的中线成正比，两条腰上的高成正比）。
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的定义定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识扩展1、定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的特性等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)◎ 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定的知识点拨等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。
本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即两边的边长相同。
2. 两顶角相等：等腰三角形的顶角（顶点所对的角）相等，即两个顶角的度数相同。
3. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等，即两个底角的度数相同。
4. 对称轴：等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。
二、如何判定三角形为等腰三角形：1. 两边相等判定法：若一个三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 两角相等判定法：若一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 底角相等判定法：若一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
4. 边角关系判定法：若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确，故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。
以下是一些等腰三角形的应用实例：实例一：已知三角形ABC，其中AB=AC，角B=60°，求角A和角C的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，AB=AC，故角A=角C。
又知角B=60°，所以角A=角C=60°。
实例二：判断以下三角形是否为等腰三角形：三角形XYZ，其中XY=XZ，角Y=60°。
解：由等腰三角形的判定条件可知，若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
已知XY=XZ，角Y=60°，符合判定条件，故三角形XYZ是等腰三角形。
实例三：已知等腰三角形PQR，其中底边PQ=8cm，顶角R=110°，求顶角P和底角Q的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，底角Q=底角R。
又知顶角R=110°，所以底角Q=底角R=110°。
等腰三角形判定定理的证明
等腰三角形判定定理的证明
要证明一个三角形是等腰三角形，需要证明其两条边相等。
设三角形的三条边分别为a、b、c，且为等腰三角形。
不失一般性，假设a=b，则有以下两种情况：
1. 如果a=b=c，则三角形是等边三角形，也是等腰三角形。
2. 如果a=b≠c，则根据等腰三角形的定义，只需要证明c是a 和b的中线即可。
我们可以通过使用三角形的余弦定理来证明这一点。
根据三角形的余弦定理，可以得到以下等式：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠C)
由于a=b，所以a^2 = b^2，上述等式可以简化为：
c^2 = 2a^2 - 2a^2 * cos(∠C)
因为∠C是锐角或直角，所以cos(∠C) < 1，因此2a^2 * cos(∠C) < 2a^2。
因此，c^2 < 2a^2，或者说c < √2 * a。
因此，在这种情况下，c < √2 * a，证明了c是a和b的中线。
因此，三角形是等腰三角形。
综上所述，根据等腰三角形的定义和余弦定理的推导，我们可以得出等腰三角形判定定理的证明。
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B
C
基础练习：
2.已知： 如图，∠CAE是⊿ABC的外角， ∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC E 证明：∵AD∥BC， 1 A ∴∠1=∠B（两直线平行， 2 同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行， 内错角相等）。 B ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等边对等角）。
D
C
基础练习：
B
C
底角等于60°
自学检测：
推论3 在直角三角形中，如果 一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等 于斜边的一半.
如图是屋架设计的一部分，其 中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB 的中点，∠A=30°，AB=7.4m ，求BC、DE的长。
B D
A
E
C
基础练习： 1.已知:如图,∠A=36°, ∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= 72° , ∠2= 36° ， ②图中有 3 个等腰三角形。 A ③如果AD=4cm，则 BC= 4 cm. ④如果过点D作DE∥BC, D E 交AB于点E,则图中有 1 36º 2 72 º 5 个等腰三角形. C B
自学检测：
在△ABC中， 已知∠A＝40° ， ∠ B＝70°. 判断△ABC是什么三角 形，为什么？ A 解：△ABC是等腰三角形 40°
70°70°
B
C
自学检测：
推论1：三个角等相等的三角形是 等边三角形 已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A 证明：在⊿ABC中 ∵ ∠ A=∠B（已知） ∴BC=CA（等角对等边） 同理CA=AB ∴BC=CA=AB
A
基础练习： 5.如图,C表示灯塔,轮船从A处出发
以每小时18海里的速度向正北(AN方向)航行,2时 后到达B处,测得C在A的北偏西40°方向,并在B的 北偏西80°方向.求B处到灯塔C的距离.
N 解 ∵ ∠A=40 °∠ , 1 =80 ° C 80º ∠1= ∠ A+ ∠ C 1 B ∴ ∠ A=∠ C=40° ∴ AB=BC （ 等角对等边 ） 40º ∵ AB=18×2=36, ∴ BC=36 A 答: B处到灯塔C的距离是36海里.
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. B (等角对等边 )
C
自学检测：
已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC A 证明：作∠BAC的平分线AD
在⊿BAD和⊿CAD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD
B 12 C
D
∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
求证:BD=CE. 证明: ∵ ∠ 1= ∠ 2 (已知) ∴ AE=AD (等角对等边) 2 E ∵ DE ∥ BC (已知) 1 D ∴ ∠ 1= ∠ B, ∠ 2= ∠ C (两直线平行,同位角相等 ) C B ∴ ∠ B= ∠ C（等量代换） ∴ AB=AC (等角对等边) ∴ AB-AD=AC-AE（等式性质） 即：ＤＢ＝ＥＣ．
提高训练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， 且BD=DC，求证：BC=2AB.
A
证明：∵∠A=90°（已知） D ∴∠ABC+∠C=90° (直线三角形两锐角互余) B 又∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义） 又∵BD=DC（已知） ∴∠DBC=∠C（等边对等角） ∴∠ABD=∠CBD =∠C（等量代换） ∴ ∠C =30°∴BC=2AB（等边对等角）
顶角等于60°
自学检测：
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°， 等边三角形 那么这个三角形是 A 已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠B=600。 求证：AB=AC=BC 证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ B=600 ∴ ∠C = 600 ∴∠ A=600 ∴AB=AC=BC
B
C
自学检测：
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是60°， A 等边三角形 那么这个三角形是 已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC
B C
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC
3.已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。 求证：AB=AD
B A D
证明：∵ AD ∥BC （已知） ∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）
C
又∵BD平分∠ABC（已知）
∴ ∠ABD=∠DBC（角平分线定理） ∴∠ABD=∠ADB（等量代换） ∴AB=AD（等角对等边）
基础练习：
4.已知:如图,DE ∥ BC, ∠ 1= ∠ 2.
等腰三组
本节课学习目标
• 1.理解并应用等腰三角形的判定定理，即 “等角对等边”. • 2.理解判定定理的两个推论并学会应用. • 3理解“30°所对的直角边等于斜边的一 半”并学会应用.
自学内容： 课本129页~130页
自学检测：
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”） A
C
提高训练
A
2.已知：如图，△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线 相交于点O。DE∥BC
E B
O
你能得出什么结论？
D C
提高训练
3.已知：在△ABC中，内角∠ABC的平分线 BD与外角∠ACP的平分线交于D点， DE∥BC.求证：EF=BE-CF
A E F
D
B
C
P
本节课学习了什么内容？
家庭作业：点拨训练
基础练习：
2. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知： 如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠ 1= ∠ 2 ， E AD∥BC。 A 1 求证：AB=AC D
2
分析： 从求证看：要证AB=AC， 需证∠B=∠C， 从已知看：因为∠1=∠2， AD∥BC 可以找出∠B，∠C与的关系。