(邹永奎)1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质ppt课件
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)ppt课件
二项式系数的函数观点
(a b)n 展开式的二项式
系数依次是：C
0 n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
Cnn
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是： 0,1,2,, n
f
(r
)
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质
（1）对称性
C
4 5
C
5 5
1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 (a+b)n
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1
Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
6 15 20 15 6 1
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
TTrr
1 1
Tr Tr 2
由此确定r的取值
与首末两端“等距离” (a+b)1 的两个二项式系数相等． (a+b)2
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m得到．
图象的对称轴：r n 2
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
知识对接测查1
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.知识点一 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大. 1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .2.二项式系数的性质类型一 与杨辉三角有关的问题例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值.解 由题意及杨辉三角的特点可得S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 02＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19) ＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29)＋(2＋3＋…9)＝C 310＋8×(2＋9)2＝164.反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________.12 234 3477 45111411 5………答案n2－n＋22解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1.(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.答案2n－132解析观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.类型二求展开式的系数和例2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.解(1)当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.当x＝0时，a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.(2)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1， ①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37， ② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1＋372＝－1 094.(3)由展开式，知a 1，a 3，a 5，a 7均为负，a 0，a 2，a 4，a 6均为正， ∴由(2)中①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝－1＋37， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝37＝2 187.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和.解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)，或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T 3＝C 25(23x )3·(3x 2)2＝90x6，T 4＝C 35(23x )2·(3x 2)3＝223270.x展开式的通项公式为2(52)315C 3r rrr T x ++=⋅⋅假设T r ＋1项系数最大则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －153r －1，C r 53r ≥C r ＋153r ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1，∴72≤r ≤92，∵r ∈N ， ∴r ＝4，∴展开式中系数最大的项为2264243355C (3)405.T x x x ==反思与感悟 1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论. (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项.跟踪训练3 已知⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b )7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 解 2n －27＝128，n ＝8，⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r. 当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项； 当r ＝3或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项.1.已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋…a 10x 10，则a 8等于( ) A.180 B.－180 C.45 D.－45 答案 A解析 a 8＝C 810·22＝180. 2.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31 答案 B解析 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.3.若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 答案 B解析 由2n ＝64，得n ＝6.T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k， 由6－2k ＝0，得k ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 4.已知(1－x )8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项.解 (1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r ∈{0,1,2，…，n }的范围.一、选择题1.若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A.45 B.55 C.70 D.80 答案 C解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 15×2＋C 25×(2)2＋C 35×(2)3＋C 45×(2)4＋C 55×(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋4 2 ＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C.2.已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A.1B.±1C.2D.±2 答案 C解析 由条件知2n＝32即n ＝5，在通项公式T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r＝15565C rr ra x -中，令15－5r ＝0得r ＝3，∴C 35a 3＝80，解得a ＝2.3.在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项答案 A解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.4.设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A.－150B.150C.300D.－300 答案 B解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r2， 令4－3r2＝1，得r ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.5.已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值为( ) A.28 B.28－1 C.27 D.27－1答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.6.若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为( )A.2B.0C.－2D.－1 答案 D解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a222＋…＋a 2 01722 017＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.二、填空题7.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________. 答案 6解析 (x ＋1)n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 8.在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________. 答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.9.已知x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________. 答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)， ∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.10.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.答案 34 解析 在第n 行中，即(a ＋b )n 的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为C 13n 和C 14n ，∴C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即3·n ！13！(n －13)！＝2·n ！14！(n －14)！，∴n ＝34. 三、解答题11.已知⎝⎛⎭⎫x ＋m x n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值； (3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况. 解 (1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫m x r ＝C r 8m r x 8－2r ，故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大.则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r ≥C r －18m r －1，C r 8m r ≥C r ＋18m r ＋1化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1. 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎨⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎨⎧ 54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.12.在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和.解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12. 即为所有奇数项系数之和.(4)方法一 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项系数之和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.13.已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件
一：教材分析 二：目标分析 三：重点难点 四：过程分析 五：教法分析
一：教材分析
教材的地位及作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 选修2-3、第一章第3节、二项式定理第3课 时，前面已经学习了组合、组合数及二项式 定理。在此基础上继续学习杨辉三角，研究 二项式系数的性质。可以进一步深化认识组 合数，导出一些组合数的恒等式，进行组合 数的计算和变形。又与概率统计中的二项分 布有其内在联系。
设计意图：在例1的基础上及时巩固，目的在于 对赋值法领会及运用能力；
综合跃升
1、在(x＋y)n的展开式中，第四项与第八项的
系数相同，则展开式中系数最大的项是（ ）
A 第6项
B 第 5项
C 第5项和第6项 D 第6项和第7项
2、已知(1+2x)10=a0+ a1x+ a2x2+ …+a10x10
求(1) a0+ a1+ a2+… +a9+ a10的值；
质》
特征：
1 、 两端都是1
11 121
2 、 对称性
1331
3 、 中间数最大 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 、 除1之外的每一个数都等于“肩上” 两个数的和
2021/1/7
质》
【设计意图 ： 】
由学生自己动手计算、填表、主动去发现 规律，可以培养学生观察、分析、比较、 归纳、猜想的积极探索能力
4、巩固新知
• 1、求 (a b)6展开式中的倒数第三项的二项 式系数。
• 2、(1 x)n 展开式中只有第十项二项式系数 最 大，求n的值.
设计意图：对性质1、2及时巩固应用
教学设计5：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法: 引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C rn 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n m n n -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1C C n r rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C n r nn n n n n =++++++四、讲解范例： 问题导学一、与杨辉三角有关的问题 活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 二、二项式系数的性质 活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得． 三、二项式系数、展开式系数的求和 活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________． 迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164． 【答案】C迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值． 解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6． 迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项． 【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210． 【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6， 令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1． 【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出． 【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81， 又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1． 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41． 【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1． 【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6． 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729． 【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项 【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r ·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1． 【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+， 即132171m m +=+．解得m ＝6． 【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C·24·2042x-＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项． 解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. 33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略） 教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此 我们要采用抽象分析法来化简计算.。
原创2：1.3.2 杨辉三角及二项式系数的性质
n
当n为偶数时，中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值；
n1 n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn 2 、Cn 2 相等， 且同时取得最大值.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a=b=1，则：
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系数的 和等于：2 n
14 6 4 1
第Hale Waihona Puke 行1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70……56 28 8 1
理论迁移
例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和. (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn 在二项式定理中，令a=1,b=-1，则：
课堂小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2)数学思想：函数思想
单调性；
图象； 最值.
第一章 计数原理
§1.3.2“ 杨 辉 三 角 ” 与 二 项 式 系 数 的 性 质
高中数学选修2-3·精品课件
复习回顾
二项定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn (n N )
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少 个？ 探究：二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉 三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
+++++
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
n(n－1)(n－2)…(n－k＋1) (k－1)！k
ห้องสมุดไป่ตู้－1
＝Ck n
n－k＋1 ， k
n－k＋1 k－1 所以 Ck 决定．由 n相对于 Cn 的增减情况由 k n－k＋1 n＋1 >1 k< k 2 n＋1 可知，当 k< 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小 2 n 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是 2 n－1 n＋1 n－ 1 n＋1 奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 C n＝C n，即 C n，C n 2 2 2 2 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当 n n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同 2 n－1 n＋1 时取得最大值，即 C n＝C n 最大． 2 2 设计意图： 由于二项式系数组成的数列是一个离散函数， 所以我们应该引导学生从函数 的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质． 这样处理便于建立知识的前后联系， 使学 生体会用函数知识研究问题的方法， 体会由特殊到一般的化归思想． 难点是需要根据 n 的奇 n 偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是 k＝ ，从而学生可以 2 比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到． 提出问题 4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式． 活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学 生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已． 活动成果：已知 1 2 2 r r n n (1＋x)n＝C0 n＋Cnx＋Cnx ＋…＋Cnx ＋…＋Cnx ， 令 x＝1，则
1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质
![1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质](https://img.taocdn.com/s3/m/357f7358eff9aef8941e06a3.png)
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
由
n
k k
1
1
k
n
2
1
可得：当k
n
2
1
时
二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的
后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值 先增后减 1 1
n是偶数时，中间的一项（第
7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( ) A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相反数.
9.如果 (x3
Байду номын сангаас
1 x3
)n
的展开式中,只有第6项的系数最大,
那么常数项是( )
A.462 B.252
C.210 D.10
典型例题
（2 x 1)100 a0 a1x a2 x 2 a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 a2 a3 a100 ;
)
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质
（1）对称性
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“杨辉三角与二项式系数的性质”说课
一、教材分析：
二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：
［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:
师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？
生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:
能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］
师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)
规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7
b a +=7
6
5
2
4
3
3
4
2
5
6
7
7213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++
［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7
a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
当二项式的指数n 不太大时，可借助于它直接写出二项展开式。
（进一步引导学生探求规律1、2实质），对于任意n ∈N 规律1、2还成立吗？能！为什么二项展开式有规律1、2呢？
（引导学生，要讨论n ∈N 情况，需将同一数据换成组合数）事实上图一就是下表。
6
5 4
3 2 1 (a+b)n 展开式的二项式系数 n
第n-1行 01-n C 11-n C 21-n C ……11--r n C r n C 1-……21--n n C 1
1--n n C
第n 行 0n C 1n C 2n C …… r n C …… 1-n n C n
n C
规律1实质：0
5
C =55
C ，15C
=
45
C ，
2
5C =3
5C ……写出一般数字关系，就是r n C =r
n n C -（组合性质1）
规律2实质：01C +11C =1
2C ，0
2C +1
2C =13C ，… …11--r n C +r n C 1-=r
n C （组合性质2）
师：杨辉三角
将二项式系数奇巧而且简洁地排成一个优美的数的结构,形状呈正三角形，数据关于中线对称，具有对称、自然、和谐的美，便于我们记忆、掌握和使用。
同时这个三角数阵蕴藏着丰富的数字内容，它能帮助我们发现并深入研究和掌握有关二项展开式系数的性质及有关组合知识，又能有利于提高我们的观察分析能力、掌握类比、归纳等数学方法。
因此这堂课就利用杨辉三角来探求二项式系数的性质。
师：[引导学生观察杨辉三角每一行系数大小关系，合理分类，寻找最大值] 开始逐渐增长，而后又逐渐减小，因此它必须存在最大值。
试问二项式系数最大值在哪里？ 生：在正中间。
师：正中间是第几项（稍思考，教师画图，让学生答）
（1）n=2k,k ∈N *
展开式有2k+1项
正中间第k+1项二项式系数最大为K
K C 2 （2）n=2k+1,k ∈N *
展开式有2k+2项
正中间第k+1,k+2项二项式系数最大为11212+++=k k k k C C
师：为什么二项式系数会有这样变化规律,指导学生看书,理解代数下册P 255性质2及证明过程,归纳写出性质——规律3 规律3：当ｎ为偶数时，展开式第2
n
＋１项系数最大为2n
n
C ，
当ｎ为奇数时，展开式第2
3
,21++n n 项系数最大为21
21+-=n n n n C C 。
1
01C 1
1C 02C 12C 22C
03C 13C 23C 33C
04C 14C 24C 34C 4
4C
5C 5C 5C 5C 55C
师：如果将n b a )(+所有二项式系数求和等于多少？
生：（学生由被动转化为主动去观察杨辉三角前几行二项式系数和，n=1，2，3，4,5……的二项式系数和（2，2
2
，32,42,52……）猜想归纳出n b a )(+二项式系数和n
2
师：（点拨证明思路）即证0n C +1n C +2n C +……+n n C ＝n
2，将它与
n n a C 0＋b a C n n 11-＋222b a C n n -＋……＋n n n b C ＝n b a )(+比较（启发证明思路）
生：考虑令ａ＝１、ｂ＝１代入二项展开式即可证得，归纳出
规律４：二项展开式的系数和0n C ＋1n C ＋2n C ＋……＋n n C ＝n
2。
师：二项展开式是个恒等式，对于ａ、ｂ的任意给定值，左右两边总是相等，同学们可自己取定ａ、ｂ的一组值构造另一组合等式，这种方法叫赋值法，同时注意观察这一组合等式规律特征。
特征：（１）出现所有二项式系数，
（２）２的指数由ｎ依次降为０，３的指数由０逐次升到ｎ， （３）每项２和３的指数和为ｎ。
思考：证明n
2－112-n n C ＋222-n n C －……＋2)1(11---n n n C ＋n )1(-＝１。
生：取定ａ＝２，ｂ＝－１代入二项展开式即得。
再思考：二项展开式奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和有什么关系？（让学生主动观察后答）相等？为什么？
师：（点拨）上述规律４，实际上算出奇数项和偶数项二项式系数和＝n
2，只要再找到（构造）一个奇数项系数和与偶数项系数和另一个关系式即可求出。
同学们已观察到两者相等，因此只要得
到两者之差为０，即（0n C ＋2n C ＋4n C ＋……）－（1n C ＋3n C ＋5n C ＋……）＝０， 生：就是0n C -1n C ＋2n C -3n C ＋4n C -5n C ＋……＋n n n C )1(-＝０
（通过与二项展开式比较）取ａ＝１、ｂ＝－１代入二项展开式即得 规律５：n
b a )(+展开式中奇数项与偶数项的二项式系数和相等且为1
2
-n 。
师：［总结］以上我们借助杨辉三角，应用观察分析、类比、归纳等数字方法，探索出５条规律，实际就是二项展开式系数的五条性质，同学们要在理解的基础上，借助杨辉三角加以记忆和掌握应用。
杨辉三角还蕴藏着丰富的数字内容，可以推广、应用到很多领域中，它是数学史上的一个重要发现。
欧洲人称之为“帕斯卡三角”，而我们应该称之为“杨辉三角”，因为早在1261年宋朝大数学家杨辉就在他的名著《祥解九章算法》中画出这个三角数阵，比欧洲人至少早发现三百多年。
我国是世界最先进数学古国之一，历代都涌现了许多世界一流的大数学家，当代世界著名数学家陈省身教授曾预言二十一世纪的数学是中国人的天下，同学们要学习我国古代数学家刻苦钻研精神，充满信心将我国现代数学推向世界前列。
［作业］复习课本内容，完成P 35练习１、２、３，基础训练P 357。