量子力学课件 周世勋1-4
量子力学-第二版-周世勋PPT课件
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
《量子力学教程》周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x 以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了以及 最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程-周世勋-第四章表象
∫
v
ˆ = r 时， （4.2-6）式化为： 是由于在（4.2-6）式中含有对 q′ 的积分之故。当 Q v v v vv u ( r ′, t ) dr ′ v(r , t ) = ∫ Frr ′
∧ v
∧ v
（4.2-7）
上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式。因 r − r ′′ 对应本征值 r 与 r ′ 的 本征函数分别为 δ ( r ′′ − r ) 与 δ (r ′′ − r ′) ，则
从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵 表示法。当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵 表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好。 4．力学量算符在自身表象中的本征函数
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ˆ 的自身表象中，若 Q ˆ 的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当 ϕ (r , t ) = φ (r ) 时，应 在Q Q′ ˆ = Q 对应本征值 Q′ 的本征函数为 δ (Q − Q′) 。因 有 aQ (t ) = δ (Q − Q′) ，所以 Q
对应的本征态为
h ∂ 的本征值 mh 在一维 φ 空间中 i ∂φ
1 imφ e ，这时的本征值 mh 无简并，而在二维 θφ 空间中对应的本征态可取为 2π
ˆ2 与 L ˆ 的两 Ylm (θ , φ ) ，则本征值 mh 的简并度很大。L 相当于描写简并度的角标。但 Ylm (θϕ ) 对于 L z
⎛ a1 (t ) ⎞ a (t ) ⎟ A(t ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎠
阵 A+：
* * A+ (t )(a1 (t ) a2 (t )L) * *
周世勋量子力学课件第二章
单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。
量子力学_第一章_周世勋
经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。 根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以 辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核 运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原 子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。
Wien 线
0
5
(104 cm)
10
维恩（W.Wien）从热力学出发，得到维恩公式
Ev dv C1v3 exp[C2v / T ]dv
维恩公式在短波部分与实验基本符合，长波部 分偏离
能 量 密 度
瑞利-金斯线
Wien 线
(104 cm) 瑞利（J. W.Rayleigh）和金斯（J. H. Jeans）由经典电动力学， 得到Rayleigh- Jeans公式
m0 v 1 v c2
2
cos( ' )
m0 v 1 v c2
2
sin( ' )
(
2 ' ) ( cos( ) c c
m0 v v2 1 2 c
cos( ' )) 2#39; ' ) sin 2 ( ) ( ) sin 2 ( ' ) ( )(1 cos2 ( )) ( ) (1 sin 2 ( ' )) c c v2 v2 1 2 1 2 c c
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象 光电效应有两个突出的特点：
•1.临界频率v0 光的频率v>v0 时，才有光电子逸出 若v<v0,则不论光强多大，照射时间多长，都无光电子 •2.光电子能量只与光的频率有关，与光强无关 若v>v0，只要光照上，立刻有光电子逸出
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
《量子力学教程》周世勋课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学第4章 周世勋
0 q 0 0 0
2
0 0 0 0
0 0 0 q 0
n
0 0 0 0
ˆ 3．当 Q 具有连续本征值谱 q 时，力学量算符的表 示矩阵元
ˆ ( x , i )u ( x ) d x Fqg u q ( x ) F g x
*
F ( F qg )
记为 F m n Q表象的表 达方式
b 1 (t ) F F F a 1 (t ) 11 12 1m a 2 (t ) b 2 ( t ) F 21 b n ( t ) F n 1 F n 2 F nm a m ( t )
Matrix representation of operators
• 4.3 量子力学公式的矩阵表示
Matrix representation of formula for quantum mechanism
• 4.5 狄喇克符号
Dirac symbols 4.4 幺正变换 Unitary transformation
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variable
引言
按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述， 力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及 力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量 写出它们的具体形式的。
a1 ( t ) (q, t) a n (t )
(r , t )
对于 ( r , t ) 与 ( q , t ) ，知道其一就可求得另一， 因而 ( q , t ) 与 ( r , t ) 描述粒子同一状态。 ( q , t ) 是粒
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德布罗意（1892～1987）de Broglie，Louis Victor：
法国物理学家，提出物质具有波粒二象性，因发现
电子波动性而获1929年诺贝尔物理学奖。
由于Planck和Einstein关于光的微粒性理论取得成功，又由于在建立描述微观粒子运动规律的理论中遭到困难，De Broglie 在光具有波粒二象性的启发下，于1924年提出了微观实物粒子
也具有波粒二象性的假设。
De Broglie 把粒子和波通过下面的关系联系：自由粒子的
能量E 和动量P v 与平面波的频率ν和波长λ之间的关系正像光
子和光波的关系一样，即：
ω
=ν=h h E k n h p v h r v =λ
= —De s Broglie 'formula or relation 二、德布罗意波
1.De Broglie 波的提出
1924年11月27日，英国《哲学杂志》9月号刊载了一位不知名的物理学家路易·维克托·德布罗意的文章。
名为《关于量子理论的研究》（博士论文）。
此文阐述了有关物质波可能存在的主要观点。
物质波不是通常的波，物质波产生于任何运动的物体，正如电磁波一样，物质波也能在绝对的真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们却产生于所有的物体—包括不带电的物体的运动，因此它也不是电磁波。
它是一种“客观实在”。
2.德布罗意波公式（平面波）
自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系式知与自由粒子联系的频率为ν和波长λ都是不变的（即平面波）。
我们知道频率为ν，波长为λ，沿x 方向传播的平面波可
以用下面的公式表示，即：
])t x (2cos[a δ−ν−λπ=Ψ其中δ为平面波的初相。
如果波沿单位矢量n v 的方向传播，则又可写为： ])t n r (2cos[a δ−ν−λ⋅π=Ψv v ]
t r k cos[a δ−ω−⋅=v v 其中利用了n 2k v v λπ=，πν=ω2。
将此式写成复数形式（当只取实部时就是上式），有：
)Et r p (i )t r k (i Ae ae −⋅δ−ω−⋅==Ψv v h
v v
其中δ−=i ae A 。
上式即为De Broglie 波公式。
它的解释下一章讨论。
量子力学中描写自由粒子的平面波必须用复数形式而不用实数形式，原因也在下一章说明。
3.德布罗意波的波长公式
设自由粒子的动能为E ，由于粒子的速度远小于光速，则：
μ=2p E 2而n h p v r λ
=于是De Broglie 波波长为：E
2h p h μ==λ
例如：如果电子被V 伏的电势差加速，则
E =eV 电子伏特，其中e 为电子电荷的大小于是将e ,,h μ的数值代入得：
V 25
.12eV 2h
≈μ=λÅ （只用于电子）
式中Planck 常数h 的出现表明De Broglie 波长具有量子性质。
当光波波长λ远小于仪器特征长度x 时，可把光看作是直线传播，即光呈现粒子性；而∝x λ（数量级相同时），光就出现干涉、衍射现象，即光具有波动性。
同样，当物体的特征线度x 远大于它的De Broglie 波长λ
时，即1xp
h x <<=λ时，可忽略粒子的波动性，用C .M .来处理；否则用Q .M .处理问题。
例1：质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度飞行，其De Broglie 波长是：
332334106.610
10010100106.6mv h p h E 2h −−−−×=××××===μ=λm 23106.6−×=Å
由此可见，对于一般的宏观物体,其物质波波长是很小的，很难显示波动性。
例2：若用150伏的电压加速电子，其De Broglie 波长： 115025
.12==λÅ
若10000=V 伏，则122.0=λÅ 。
电子的De Broglie 波长在数量上相当（小于）晶体中的原子间距，比宏观线度要短的多，这说明了为什么电子的波动性长期没有被发现的原因。
德布罗意获得1929年Nobel 物理学奖。
三、实验验证
1.戴维孙(Davisson)和革末(Germer)的电子衍射实验（1921—1923年考察电子结构时就发现了下述问题）
1927年美国物理学家戴维孙(Davisson)和革末(Germer)用电子在晶体上做衍射实验证明了德布罗意波假设的正确性。
(1)实验装置
(2)实验过程
来自灯丝的电子被可变电压V 加速，电子被镍单晶“反射”后被探测器收集。
反射的电子表现出显著的方向性。
当电子束能量为eV 54时，观测到在同入射束成o 50角（即散射角o 50=θ）时散射的电子数最多。
(3)实验结果
类似于Χ射线在晶体表面反射时产生的衍射，这说明电子具有波动性。
根据衍射理论，衍射极大的散射角θ满足： θ=λsin d n ,2,1n =…
其中λ为入射波长，15.2d =Å 。
因o
50=θ角上出现极大相当于1n =，则电子的De Broglie 波波长的实验值：
)50sin 15.250sin d .erim exp o o ×==λ（Å65.1=Å；另由De Broglie 关系式得电子的De Broglie 波波长的理论值： 66.15425
.12theory ==λÅ与实验一致，从而证明了De Broglie 波的存在。
2.电子的双缝衍射实验
电子的波动性也可以用与光的双缝衍射相当的实验来证实；
历史有许多实验都证实了De Broglie波的存在。
如Thomson (汤姆逊)、塔尔塔科夫斯基分别用快速和慢速电子穿过薄金属片同样得到了这种衍射图样。
后来人们做了大量的实验，证实不仅是电子，而且质子、中子、原子、分子等微观粒子都具有波性。
上述实验事实都表明了De Broglie波不是虚构的，一切微观粒子都具有波动性，这些波的波长和粒子的动量由De Broglie公式联系起来。
本节小结：
1.波粒二象性是一切物质客体所普遍具有的属性。
“所有类型的粒子都与波相联系，而所有波动都与粒子相联系。
因此，粒子（束）都可以干涉，所有波动的能量都有量子特征。
”
2.在宏观领域内未发现这种联系，是因为与通常的波联系的能量子极小，而与通常物体所联系的波的频率又极大，波长极短，不易观察。
3.经典物理未考虑到实物粒子的波动性，因而不能解释微观领域内粒子的行为，为了建立描写微观领域粒子行为的物理学，就需要在物理学的基本概念和规律方面来一个根本的改变。