关于几何直观的思考
几何直观
什么是几何直观——对几何直观的认识与思考（七）关于几何直观，课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义，阐发了其价值与作用：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
可以说，这段话是目前理解几何直观的最重要依据。
数学课程标准（2011版）解读第92页—95页对几何直观的认识中指出：几何直观，顾名思义，所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。
用最通俗的话说几何直观，它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?直白点就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。
利几何直观在小学数学中的运用2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。
这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。
因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。
第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。
几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。
几何直观能力的培养
几何直观能力的培养几何直观能力指的是人们对于几何关系的感知能力和理解能力。
在学习几何知识和解决实际问题时，几何直观能力起着重要的作用。
因此，对于几何直观能力的培养是非常有必要的。
一、观察与体验要培养几何直观能力，首先要让孩子们通过观察和体验，感知几何关系。
例如，在生活中可以利用周围的物体让他们感知几何形状的特征，在一个球体上找出圆面，观察一个棱柱或棱锥的各个面，积极发现它们之间的关系，从而激发孩子们对几何感性认识和兴趣。
二、绘制图形在学习几何的过程中，通过绘制图形也能够加强孩子们的几何直观能力。
例如，让孩子们画出不同形状的正方形、长方形、三角形等，然后通过比较、观察这些图形，让他们从中体会出几何关系，真正理解几何概念。
三、生动趣味在让孩子们学习几何的过程中，教师应该注重生动、趣味性，通过形象化的方式，让孩子们轻松地理解几何知识，这样不仅能提高他们的学习兴趣，还可以加强他们的几何直观能力。
例如，教师可以用课件动画、模型等多种形式，让学生感受几何图形之间的关系和本质特征，强化他们对几何知识的记忆。
四、拓宽视野孩子们需要不断感知和理解新的几何关系，教师可以从生活和实际问题入手，让学生举一反三，理解各种几何概念之间的联系，这有助于拓宽他们的视野，提高他们的几何直观能力。
五、让孩子们动手实践在提高孩子们几何直观能力的过程中，需要注重实践，让孩子们亲身体验和实践，这有助于他们加深对几何关系的理解。
例如，让他们模仿自己感兴趣的几何图形，使用不同颜色和形状的画具，慢慢理解和描绘出几何图形的形态和特征。
综上所述，几何直观能力的培养非常重要，需要从多方面进行，引导孩子们感知、理解并思考几何关系，让他们对几何充满兴趣，提高他们的几何直观能力，从而更好地应对实际问题和学习上的挑战。
小学数学几何直观教学中存在的问题及对策探讨
小学数学几何直观教学中存在的问题及对策探讨作为小学数学教学的一部分，几何课程一直被认为是学生们比较容易理解和接受的学科之一。
实际上，在直观教学中，依然存在着一些问题和困难。
本文将探讨小学数学几何直观教学中存在的问题，并提出对策，以帮助教师更好地教授和学生更好地理解几何知识。
一、问题分析1. 学生对几何概念的理解不够深入：在小学阶段，学生接触到的几何知识主要是一些简单的图形和几何关系，如直线、角、三角形、四边形等。
很多学生对这些概念的理解比较肤浅，只是停留在图形的认知层面，缺乏对几何概念的深层次理解。
2. 缺乏直观感受：几何概念本身是具有空间属性的，因此需要通过实物或图形来进行具体展示和直观感受。
在教学中，很多学校和教师缺乏相关的教学资源和手段，导致学生难以形成几何概念的直观印象。
3. 缺乏应用实践：几何知识的学习不应该仅限于理论知识的学习，更需要结合实际生活和实践活动。
但是在很多学校，几何知识往往是孤立的，难以与实际生活和其它学科进行结合。
二、对策探讨1. 引入几何故事和问题情境：在教学中，教师可以引入生动、有趣的几何故事和问题情境，让学生通过故事情境和实际问题的解决，来深入理解几何概念和原理。
教师可以设计一些与实际生活相关的几何问题，让学生通过测量、绘制图形等实际操作来理解几何知识。
2. 利用多媒体教学资源：在现代化的教学中，利用多媒体教学资源可以有效地帮助学生形成几何概念的直观印象。
教师可以使用幻灯片、视频等多媒体资料来展示和说明几何知识，并结合实物或模型来进行示范和演示，让学生通过视觉、听觉等多种感官来感受和理解几何知识。
3. 引导学生进行实际测量和绘图操作：教师可以设计一些实际测量和绘图的活动，让学生通过实际操作来感受和理解几何知识。
在学习角的概念时，可以安排学生进行实际的角度测量和绘制，让他们通过实践活动来感受角的大小和变化规律。
4. 融入跨学科教学：几何知识与其他学科有着密切的联系，在教学中，可以融入跨学科的教学内容，让几何知识与实际生活和其他学科进行有机结合。
几何直观读后感
几何直观读后感《几何直观》读后感。
《几何直观》是一本关于几何学的启蒙读物，作者是美国著名的数学家大卫·伯克。
这本书以通俗易懂的语言，生动有趣的例子，向读者介绍了几何学的基本概念和应用。
通过阅读这本书，我深刻感受到了几何学的魅力和重要性，也对数学产生了更深的兴趣。
在书中，作者首先介绍了几何学的起源和发展历程，让人了解到几何学是人类思维发展的产物，是人类对周围世界的认知和理解。
作者还通过生活中的例子，向读者解释了几何学中的基本概念，如点、线、面、角等。
这些概念看似简单，却是几何学的基石，贯穿了整个数学体系。
通过这些例子，我对几何学的基础知识有了更清晰的认识，也对数学的逻辑和严谨性有了更深的理解。
在书的后半部分，作者还介绍了几何学在现实生活中的应用，如建筑、艺术、工程等领域。
通过这些例子，我了解到几何学并不是一门枯燥的学科，而是与我们的生活息息相关的。
几何学的应用不仅让我们更好地理解世界，还可以帮助我们解决实际问题，提高生活质量。
这让我对几何学产生了更大的兴趣，也对数学的实用性有了更深的认识。
通过阅读《几何直观》，我不仅对几何学有了更深的理解，还对数学产生了更大的兴趣。
这本书通俗易懂，生动有趣，让我在轻松愉快的阅读中学到了很多知识。
我相信，通过这本书的启发，我会更加努力地学习数学，探索数学的奥秘，也会更加关注数学在生活中的应用，为实际问题寻找数学的解决方案。
总的来说，《几何直观》是一本很好的启蒙读物，它让我对几何学有了更深的理解，也对数学产生了更大的兴趣。
我相信，这本书会对更多的读者产生积极的影响，让他们对数学有更深的理解和热爱。
几何直观教学的理性思考
几何直观教学的理性思考
一、理论基础
1.几何理论是构成几何数学的核心部分，是数学理论的基础。
2.几何数学基于空间概念构建形状、规律与抽象，让学习者更容易理解各种几何形状、概念和技巧。
二、直观教学原则
1.注重直观性：几何数学教学要注重可视化，形象化和学生实践探究，创造性地使用各种图形元素，从而增强学生的认知。
2.注重实践性：要求学生在实践活动中理解和表述几何知识，以直观的形式理解几何概念，实践练习各种几何技巧，强化学生对几何概念的理解和应用能力。
三、理性思考
1.概念思考：教师可以通过布置练习题等方式，对学生进行概念思考锻炼，培养学生动手解决问题的能力，提高学生思维的灵活性和分析能力。
2.综合思考：通过综合的实际案例教学，使学生熟悉知识的理论结构，培养学生运用几何知识分析和解决实际问题的能力，加强学生的创新能力和分析能力。
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关于几何直观的思考
出， 几何直 观是借助 于见到的或想 到 的
，
或（ ８ ＋ ５ ） ｎ， 从而 ８ ｎ ＋ ５ ｎ ＝ （ ８ ＋ ５ ） ｎ ＝ １ ３ 观 的直
几何 图形 的形 象关 系 产生 对数 量关 系 借 助 图形直 观感 受 ，再利 用乘 法分 配 观性 、 具体 性 ， 所 以能 有效地 帮 助学 生 的直接感知 。 《 标准 （ ２ ０ １ １ 年版 ） 》 对此 的 率 ， 使学生 学习合并 同类项 由感 性认识 理解 和记忆代数结论 的意义 和结构 ， 使
人增加 勇气 ， 提高修养” 。几何 直观不仅 在“ 数与代数 ” 、 “ 统计 与概率 ” 的学 习过 错误 的印象 。在证明几何 题时 ， 几何直
在“ 图形 与几何 ” 中， 而且在整个 数学 中 程 中都 发挥着重要作用 。如 计算 （ 一 ２ ） ＋ 观给学生带来 负迁 移 。凭 图形 的直 观 ，
都发挥着重要作用 。
一
３， 我们 用一 个㈩ 表示 ＋ １ ， 用 一 个㈠ 表 把某 个显然 真 实 的东西 作为 理 由来论 示 一 １ ， 用 ㈩㈠表示 ０ ， 则（ 一 ２ ） ＋３＝１ 。如 证 ， 这对学 生的学 习是 非常有 害的。教
、
几 何 直 观 概 念 的 内涵
在 数学 教 育文 献 中 ，直观 是 直接 合 并同类项 中使 用几何 直观 ， 用小长方 学过 程中 ， 借助几何 直观把复杂 的问题 “ 从感觉 的具 体 的对象 背后 ，发 现抽象 形表示 ８ ｎ 、 ５ ｎ ， 求 整个 长方形 的面积 。 长 变得 简明 、 形象， 同时又要 防止 几何 直 的、 理想 （ 状态 ） 的能力 ” 。徐利治先生提 方形 的面积可以用代数式表示为 ８ ｎ ＋ ５ ｎ 观给学生解题带来负迁移。
初中数学教学中学生几何直观能力培养的教学实践与反思——以“直线与圆的位置（1）”为例
教学·现场初中数学教学中学生几何直观能力培养的教学实践与反思———以“直线与圆的位置（1）”为例文|伍秀娟在新课改落实背景下，初中数学教师应重视对学生几何直观能力的培养。
教师应带着前瞻性思维与先进教学理念，围绕学生全方位发展需要，将枯燥知识转换为立体与直观的形式，确保与学生思维发展规律相符合，从而培养学生的几何直观能力。
因此，教师应探索多途径激活数学课堂，拓展渗透几何直观意识的途径，进行恰当的教学实践和积极反思，让学生在传统的数学课堂上碰撞出思维的火花。
基于此，文章以“直线与圆的位置（1）”为例，通过直观教学对学生视觉、听觉与触觉等多感官进行有效刺激，帮助学生快速吃透所学知识并创新运用知识去解决生活中的实际问题。
一、古诗引题，探究位置关系（一）创设意境，引入新知教师利用多媒体等设备播出《使至塞上》的古诗词视频，创设出塞外壮美的意境。
学生看到何为“长河落日圆”，感受太阳与地平线的关系。
教师：（1）这些自然现象和数学有什么关系呢？（2）你能发现数学问题吗？（3）你可以说出诗句中所描绘的几何图形吗？学生观察太阳落山的照片并开始思考位置变化情况，回答：直线与圆。
教师：你发现这个自然现象中直线与圆的关系有哪几种？学生：直线与圆的关系。
教师：现在我们来研究一下直线与圆的位置关系。
（设计意图：借助动态视频直观展现位置关系的变化情况，通过提问实现教师与学生互动，使得数学学习生活化、直观化，成功渗透几何直观意识。
）（二）引导启发，探究关系教师设计简单任务：（1）回顾边陲大漠的雄奇景象，在练习本上画一个圆，将直尺的上边缘视为地平线；（2）上下移动直尺，感受直尺的上边缘与圆之间的位置关系变化。
教师：（1）在移动过程中，直线与圆的位置关系发生了什么变化，可以分为哪几种？（2）你是如何分类的？请大胆说一说。
学生会从直线与圆的位置关系入手，说出直线与圆的公共点个数，开始初步形成直线与圆相离、相切与相交的概念。
教师随之布置下一个任务：绘制出直线与圆的不同位置关系，学生会根据公共点的多少完成绘制。
试谈 “几何直观”与“直观想象”
教师关注理解的表现：
知其然→知其所以然 解释说明 寻找例证 概括归纳 解决问题 ……
五、直观能力的培养策略
以几何直观为主，其他直观为辅
1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用
3.加强构造直观的训练
4.重视数学的直观理解 案例14：分数乘除法 语言直观与经验直观的整合 6 数学教育的中华民族特色 18 18 18 2 18 18 1 9 的三分之二 18 1 9 ÷3 ×2 19 3
对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图…… 模式识别、匹配
构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系 类比迁移、顿悟；合理的对应关系 案例12：奇偶数的示意图（几何模型）
五、直观能力的培养策略
以几何直观为主，其他直观为辅
3.加强构造直观的训练
后测题之一： 如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加， 和一定是奇数么？为什么？ 少数用个位相加说明 多数用几何模型说明（具有一般性）
1 16
8 4 2 1 15 1 2 4 8 16 1 16 16 1 1 1 1 1 1 1 1 127 1－ 2 4 8 16 32 64 128 128 128
一、几何直观：理解←描述→探索 、预测
义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 的能力。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学 习过程中都发挥着重要作用。 孔凡哲、史宁中： 几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何 图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量 关系)进行直接感知、整体把握的能力。
几何直观与直观几何？ 基于直观的数学思维 侧重直观的几何课程 几何直观与几何直觉？ 倾向于整体把握、洞察 案例4：如图，“ ”与“ ”， 哪个面积大? 倾向于本能意识、猜想 R 2r 几何直观与空间观念？ 2 2 2 S R 2 r 4 r 空间观念是几何直观的基础 几何直观是空间观念的运用与升华 “课标(实验稿)”中的“ 空间观念”已涵盖几何直观
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关于几何直观的思考作者：秦德生，…文章来源：《中学数学教学参考》2005年第10期[摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。
本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。
[关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。
正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。
”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。
随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。
在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。
现将自己的一些想法就正于各位同行专家．1．我国对几何课程基本要求的演变我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。
以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。
1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。
1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。
1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。
《义务教育阶段国家数学课程标准》(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。
2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。
”[2]从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。
2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析2.1 什么是直观数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。
蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。
徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。
换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。
他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。
2.2 直观与直觉直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。
从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。
从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。
从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。
2.3 直观与想象传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。
麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。
心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。
我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。
直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。
所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。
”这样叙述应该更恰当和准确。
3．几何直观的哲学分析3.1 直观主义直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。
可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。
数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象需要非经验的直观。
人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。
笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。
3.2 几何直观的历史性毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。
所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。
数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。
复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。
复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。
直观是随着人类理性的进步而进步的。
换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。
它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。
因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。
3.3 直观与形式的统一数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化．直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。
从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。
数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。
因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。
4．几何直观的课程设计课程设计已经走向多流派、多元化。
而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。
我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。
从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。
几何课程设计更离不开几何直观。
可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。
因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。
当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。
例如，对指数函数与直线的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数的图形都在直线的上方，于是，便认为指数函数的图形都在直线的上方。
教学中应避免这种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。