2013年春季高考数学试题WORD版(含答案解析)
春季高考历年真题天津市春季高考数学试卷
2013年天津市高等院校春季招生统一考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
—、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B ∩=C u A= A.{5} B.{3,4,5} C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6}2.已知log a 4=-21，则a=A. 161B=2C.8 D=163.条件“χ=0”是结论“yx=0”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)= 1)12lg(2-X -X 的定义域是A.（ 21 ，-∞）B.（ 21，1）∪（1，＋∞）C.（-1,1）∪（1，＋∞）D. （0,1）∪（1，+∞）第一页5.在数列{a n }中，若a 2=2，且满足a n =3n-1（n ≥2）,则α5=A.162B. 54C.17D. 146.若α=323π，则α是A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角 7.在下列函数中，周期为π的奇函数是A. f(x)=sinxB. f(x)=cosxC. f(x)=sin2xD. f(x)=cos2x 8.在ΔABC 中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC= A. 28 B.27 C. 76 D.2199.已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量−−→−+−→−BD AC 2的坐标是A. (6，-3)B.(4，1)C. (-1，2)D.(3，0)10.若点M （1，2），N （-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b=A. 21B. 23C. 1D. -1 11.已知点a （-1,0），B(5，0),则线段AB 为直径的圆的标准方程是 A.（x-3）2+y 2=3 B. （x-3）2+y 2=9 C.（x-2）2+y 2=3 D. （x-2）2+y 2=9 12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-2x13.已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的直观图，应该为虚线的线段共有 A.1条 B.2条第二页C.3条D.4条14.从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有 A.26种 B.78种 C.156种 D.169种15.从不超过20的正整数中任取一个数恰好是3的倍数的概率为A.51B.41C.203D.103第三页2013年天津市高等院校春季招生统一考试数学第二卷（非选择题）注意事项；1.答第II 卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。
2014,2013,2012年春季高考数学集合部分练习题及解析
2014年山东春季高考集合部分习题解析
解析：集合M={1}，集合N={1,2}则M，N的并集为{1,2}。
所以答案为：C
解析：命题P为：对于任意的x属于实数，都有x的平方大于0，则否P为存在x属于实数使得x的平方小于等于0。
所以答案为：B
解析：由a>0能推出a2 >0，但是a2 >0还有可能a是负数所以a2 >0不能推出a>0。
所以答案为：A
2013年山东春季高考集合部分习题解析
解析：由子集的概念得知N是M的子集，所以答案选C
解析：q是真命题，否q是假命题，所以A不正确；p是假命题，则否p是真命题，与上命题q后依然为真命题，所以B正确；p或上q为真，再否定为假，所以C不正确；p与上q为假命题，所以D不正确。
答案选B
解析：a+c=2b能推出a,b,c是等差数列，a,b,c是等差数列也能推出a+c=2b。
所以答案应该选择C
2012年山东春季高考集合部分习题解析
解析：M在集合U中的补集为{3}，所以答案为B
解析：否p为真命题，则p为假命题，p与上q是真命题，说明p,q都是真命题，所以答案为D
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上海市春季高考数学试卷答案与解析
2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．=2，可得=24．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．=5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=．，得﹣故答案为：，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．（sinx+cosx==7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．，代入计算即可得出复数=故答案为：8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．，，12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．B解：根据由题意得，﹣1的反函数，的反函数，，即可得到它的一个方向向量（k=，=）16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．解：因为﹣＜B=，∴18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，，则10••）上是减函数，在（根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．==，解之得（舍负）因此，这两个球的体积之比为=）23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（），三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．C=C=．×=2，=3，×6=1826．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．，求得﹣﹣27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．时，=公比为=．28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．系写出两个交点的横坐标的和，把的方程为．根据题意知，解得的方程为的方程为由因为，所以，即===，解得的方程为29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标，由，所以，，解得，解得或）和（30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．，知==，解得=≥，当且仅当，）上为增函数，最大，其最大值为31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．==由不等式=。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在题后的括号内。
）1. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 2x - 3 > 5B. 3x + 1 < 8C. 4x - 6 ≤ 2D. 5x + 3 ≥ 10答案：D2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且f(2) = 5，f(3) = 11，则a的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-3，求x的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 圆的一般方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中心坐标为(a, b)，半径为r。
如果一个圆的方程是x^2 + y^2 = 9，那么它的圆心坐标和半径分别是：A. (0, 0), 3B. (0, 0), √3C. (3, 0), √3D. (3, 0), 3答案：A5. 在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C6. 已知函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|，求g(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 一个圆与直线y = x相切，圆的方程是(x - 2)^2 + (y - 2)^2 =4，求圆的切线方程。
A. y = x - 2B. y = x + 2C. y = -x + 2D. y = -x - 2答案：A8. 已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该等比数列的公比。
A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B9. 在复数z = 3 + 4i中，其模长|z|等于多少？A. 5B. √5C. √21D. √25答案：C10. 已知一个等差数列的前五项和为50，且第五项是14，求该等差数列的首项。
2013北京春季普通高中会考数学(含解析)
2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 第一部分 选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合{}1,2A =-，{}0B x x =>，那么集合A B I 等于（ ）．A ．∅B ．{}1-C ．{}2D ．{1,2}- 2．不等式220x x -<的解集为（ ）．A ．{|2}x x >B ．{|0}x x <C ．{|02}x x <<D ．{|0x x <或2}x > 3．已知向量(2,3)a =-r ，(1,5)b =r ，那么a b ⋅r r等于（ ）．A ．13-B ．7-C ．7D ．13 4．如果直线3y x =与直线1y mx =-+平行，那么m 的值为（ ）．A ．3-B ．13-C ．13 D ．35．如果0a >，那么11a a++的最小值是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（ ）．A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 7．在等差数列{}n a 中，已知11a =，525S =，那么5a 等于（ ）．A ．9B ．8C ．7D ． 6 8．在函数cos y x =，3y x =，e x y =，ln y x =中，奇函数是（ ）．A ．cos y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．ln y x = 9．11cos6π的值为（ ）．A ．B ．2C ．2 D10．函数sin 2cos2()y x x x =+∈R 的最小正周期是（ ）．A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（ ）．A ．14 B ．12C ．2D ．4 12．在ABC ∆中，60A ∠=︒，23AC =，32BC =，则角B 等于（ ）．A ．45︒B ．30︒或60︒C ．135︒D ．45︒或135︒ 13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ）．A ．16 B ．13 C ．12 D ．2314．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在[60,70)区间的汽车大约有（ ）．A ．20B ．40C ．60D ．80 15．已知平面α、β，直线a 、b ，下面的四个命题①//a b a α⎫⎬⊥⎭b α⇒⊥；②a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭//a b ；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④////a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭中， 所有正确命题的序号是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④ 16．当x ，y 满足条件0230x yy x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≥≥≤ 时，目标函数3z x y =+的最大值是（ ）．A ．1B ．1.5C ．4D ．9 17．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（ ）．A ．1102x +=B ．10(1)2x +=C ．10(1)2x +=D ．10(1)2x += 18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．3619．将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（ ）． A ．1 B ．0.8 C ．0.6 D ．0.520．记时钟的时针、分针分别为OA 、OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅u u u r u u u r的值第一次达到最小时，那么m 的值是（ ）．A ．30B ．36011C ．31D ．211π俯视图侧(左)视图正(主)视图4333第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算131()log 12-+的结果为 ．22．已知圆:C 22(1)(1)1x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是 ． 23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为 ．三、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC （Ⅰ）证明：1//AC 平面BDE ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥． 26．（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02πα⎛<< ⎝，2πβπ⎫<<⎪⎭重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B （Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求AOB △的面积．27．（本小题满分7分）已知圆222:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点(),0M m -且与圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||PA PM =u u u r u u u u r，求直线l 的斜率．28．（本小题满分7分）已知函数2()f x ax bx c =++满足：①()f x 的一个零点为2；②()f x 的最大值为1； ③ 对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-． （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）设函数(),(),x x Ag x f x x B ∈⎧=⎨∈⎩是定义域为(0,1)的单调增函数，且001x x '<<<．当0x B ∈时，证明：x B '∈．结束开始BE A2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．【答案】C ．【解析】由于集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，因此{}2A B =I ，故选C ． 2．【答案】C ．【解析】令220x x -=，解得0x =或2x =，因此不等式220x x -<的解集为{|02}x x <<，故选C ．3．【答案】D ．【解析】根据向量的坐标运算()1212213513a b x x y y ⋅=+=-⨯+⨯=r r，故选D ．4．【答案】A ．【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m =-，得3m =-，故选A ． 5．【答案】B ．【解析】根据题意，求11a a++的最小值可应用均值不等式，则1113a a ++=≥，当且仅当1a a=，即1a =时等号成立，故选B ． 6．【答案】A ．【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，故选A ． 7．【答案】A ．【解析】由等差数列前n 和n S 的计算公式()12n n n a a S +=，知()15552a a S +=，解得59a =，故选A ．8．【答案】B ．【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x f x -=-==，是偶函数；对于B ，定义域为R ，()()()33f x x x f x -=-=-=-，是奇函数； 对于C ，定义域R ，()()x f x e f x --=≠±，因此是非奇非偶函数；对于D ，定义域()0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B ．9．【答案】D ．【解析】根据诱导公式，11cos cos 2cos 666⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ππππD ． 10．【答案】B ．【解析】根据辅助角公式，sin 2cos 22224y x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭π， 最小正周期22T π==π，故选B ． 11．【答案】C ．【解析】①当01a <<时，函数()x f x a =是减函数，那么当0x =时，取得最大值012a =≠，不符合题意； ②当1a >时，函数()x f x a =是增函数，那么当1x =时，取得最大值12a =，即2a =，故选C ．12．【答案】A ．【解析】根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，=，即sin B =， 那么4B π=或34B π=，因为AC BC <，所以A B >，所以4B π=，故选A ．13．【答案】A ．【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间{（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）}基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球的事件为{（红色，白色）}，事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是16，故选A ． 14．【答案】D ．【解析】根据频率分布直方图可知，车速在[60,70)区间的概率为0.04100.4⨯=，车辆数为：2000.480⨯=，故选D ．15．【答案】A ．【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面①正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，②正确； 若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，③错误； 若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，④错误，故选A ．16．【答案】C ．【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点()1,1时，z 取得最大值4，故选C ．13z17．【答案】C ．【解析】根据题意可知，设原收入为()0a a ≠，则十年后为2a ，因此10(1)2a x a +=，即10(1)2x +=，故选C ．18．【答案】B ．【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，1433182V S h =⋅=⨯⨯⨯=，故选B ．19．【答案】B ．【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4米的概率是20.40.81⨯=，故选B ． 20．【答案】B ．【解析】因为cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以要使OA OB ⋅u u u r u u u r的值第一次达到最小时， 对应的夹角cos ,180OA OB 〈〉=︒u u u r u u u r，因为时针一分钟转的角度为：13600.51260⨯︒=︒⨯，分针一分钟旋转的角度为：1360660⨯︒=︒， 经过m 分钟后，有60.5180m m -=， 即5.5180m =，解得36011m =，故选B ． 第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．【答案】2．【解析】根据指数与对数的运算法则，131()log 12022-+=+=，故答案为：2．22．【答案】2．【解析】由题知，圆心()1,1C -，因此圆心C 到坐标原点O 的距离2d =，故答案为：2． 23．【答案】31．【解析】第一次循环，当1i =时，1123S =+=；第二次循环，当2i =时，2327S =+=； 第三次循环，当3i =时，37215S =+=； 第四次循环，当4i =时，415231S =+=；当5i =时，循环结束，输出S 的值为31，故答案为31．24．【答案】9．【解析】根据等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，且各项均为正整数，即()11511535n d -==⨯=⨯，只有当13n -=，5d =或15n -=，3d = 解得4n =，5d =或6n =，3d =，n d +有最小值9，故答案为：9．三、解答题（共4个小题，共28分）25．证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，因为ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点， 因为E 是棱1CC 的中点，所以1//AC OE ． 又因为1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 所以1//AC 平面BDE ．（Ⅱ）因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥因为1CC ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1CC BD ⊥． 又因为1CC AC C =I ， 所以BD ⊥平面1ACC ． 又因为1AC ⊂平面1ACC ， 所以1AC BD ⊥．26．解：（Ⅰ）因为在单位圆中，B 点的纵坐标为35，所以3sin 5β=，因为2πβπ<<， 所以4cos 5β=-，所以sin 3tan cos 4βββ==-．（Ⅱ）因为在单位圆中，A 点的纵坐标为513，所以5sin 13α=． 因为02πα<<，所以12cos 13α=． 由（Ⅰ）得3sin 5β=，4cos 5β=-， 所以56sin sin()sin cos cos sin 65AOB βαβαβα∠=-=-=． 又因为1OA =，1OB =， 所以AOB △的面积128||||sin 265S OA OB AOB =⋅∠=． 27．解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y x m =+，圆心()0,0到l因为6AB =，所以2259m -=，解得22m =．由0m >，得m =（Ⅱ）设()11,A x y ，直线l ：()y k x m =+，则点()0,P km ．因为||2||PA PM =u u u r u u u u r ，所以2PA PM =u u u r u u u u r 或2PA PM =-u u u r u u u u r，①当2PA PM =u u u r u u u u r时，11(,)2(,)x y km m km -=--，所以12x m =-，1y km =-．由方程组222111152x y m x m y km ⎧+=⎪=-⎨⎪=-⎩，得1k =±．②当2PA PM =-u u u r u u u u r时，11(,)2(,)x y km m km -=---，所以12x m =，13y km =．由方程组2221111523x y m x m y km⎧+=⎪=⎨⎪=⎩得13k =±．综上，直线l 的斜率为1±，13±．28． 解：（Ⅰ）因为()f x 的一个零点为2，所以(2)0f =，即420a b c ++=．又因为对任意x 都有(1)(1)f x f x +=-，所以(0)(2)0f f ==，即0c =．因为()f x 的最大值为1，所以2414ac b a-=，所以1,2a b =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，2()2f x x x =-+．因为0x B ∈，所以2000()2g x x x =-+． 因为001x <<，所以00()1x g x <<．因为()g x 是单调递增函数，所以2000[,2]x x x B -+⊆． 记21002(0,1)x x x =-+∈，22112x x x =-+，…，2112n n n x x x --=-+，…所以01[,]x x B ⊆． 同理12[,]x x B ⊆，…，1[,]n n x x B -⊆，…由2112n n n x x x --=-+，得22111112(1)n n n n x x x x ----=+-=-．所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x ---=-=-==-L 由于01x x '<<，可取自然数02(1)log log 1x x n x '-'-≥（）， 于是x n x x ''≤，即0[,]x n x x x '∈． 而且0[,]x n x x x B '∈⊆，所以x B '⊆．。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，共6页•考试时间120分钟.满 分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第 I 卷答题卡和第n 卷答题纸规定的位置. 参考公式：样本数据X-i , X 2 ,X n 的标准差球的面积公式s 4 R 2第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 2 .第I 卷只有选择题一道大题.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 2i1.复数1 2i（ i 是虚数单位）的虚部是3A .—21 B.-2C .3 D . 12.已知R 是实数集，Mx 2 1 ,N y y J x 1 1 ,则 N C R MX3. 现有10个数，其平均数是 4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A . 1B . 2C. 3D . 44. 设S n 为等比数列｛a .｝的前n 项和，8a 2 0 则鱼，S 2A . 5B . 8C.8D . 15的值是(X n2X)其中X 为样本平均数A . (1,2)B . 0,2C.D . 1,25.已知函数f （X ） sin(2x-）,若存在a(0,)，使得 f (x a) f （x a ）恒成立，则aA. B . C. D .63426.已知m、n表示直线，，, 表示平面，给出下列四个命题, 其中真命题为(1) m,n,n m,则(2) m,n,则n m(3) m , m,则//(4) m , n,m n,则A.( 1 )、(2)B. (3)、 (4)C. (2)、(3)D. (2)、 (4)■- ■- | AB |7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若OA 3OB 2OC,则等于|BC|A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为—，则这个三2 角形的周长是A. 18B. 21C. 24D. 159.函数f (x) lg x 1的零点所在的区间是xA. 0,1B. 1,10C. 10,100D. (100,)10.过直线y 2x上一点P引圆x6x 7 0的切线，则切线长的最小值为2A.2B. D. ■■ 211.已知函数f (x) ax 2b.若a,b都是区间0,4 内的数，则使f(1) 0成立的概率是3 A.-4 B.5D.-812.已知双曲线的标准方程为9 161 , F为其右焦点，A1, A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1,A2的任意一点, 直线AP,A2P与直线x a分别交于两点M , N ,若FM FN 0,则a的值为第口卷(非选择题共90 分)注意事项:1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第n 卷答题纸的指定位置•书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2 •不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效•在试题卷上答题无效.3 •第n 卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.13. _______________________________________ 如图所示的程序框图输出的结果为 ____________________________ .14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其一个球面上，则该球的表面积为 _____________ .的能量是2008年地震能量的 __________ 倍.16. 给出下列命题：① 已知a ,b 都是正数，且旦，则a b ；b 1 b② 已知f (x)是f(x)的导函数，若 x R,f(x) 0,贝y f (1) f(2)—定成立; ③ 命题“ x R ，使得x 2 2x 10 ”的否定是真命题；④ “ x 1,且y T 是“ x y 2 ”的充要条件. 其中正确命题的序号是________ .(把你认为正确命题的序号都填上)15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R 彳(IgE311.4) • 2011 年 3 月 11 日，日本东海岸发生了 9.0级特大地震,2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震第14题图三、解答题：本大题共6小题，共 74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知向量a (1, cos-)与b C 3sin° cos X , y)共线，且有函数y f (x). 2 2 22(i)若 f (x) 1，求 cos(-2x)的值；3(n)在 ABC 中，角A, B,C ,的对边分别是a, b, c ，且满足2a cosC c 2b ，求函数f (B)的取值范围.18.(本小题满分 12分)已知等差数列 a n 的前n 项和为S n ,公差d 0,且S 3 S 5 50, a 1,a 4,a 13成等比数列. (I )求数列a n 的通项公式；b n是首项为1，公比为3的等比数列，求数列a nb n 的前n 项和T n .(本小题满分12分)在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据:时间x (秒)5 10 15 20 30 40 深度y (微米)61010131617现确定的研究方案是：先从这 6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程， 再对被选取的2组数据进行检验.(I )求选取的2组数据恰好不相邻的概率；(n )若选取的是第2组和第5组数据，根据其它 4组数据，求得y 关于x 的线性回归方4139程? x，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误13 26差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是 否可靠.19.(本小题满分12分)已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC // CD , F 为AD 的中点•(I )求证：EF //面 ABC ; (n)求证：面ADE 面ACD ； (III )求四棱锥 A BCDE 的体积•AC BE 1, CD 2 ,CD 面 ABC , BE20. B21.(本小题满分12分)ax b已知函数f(x) 2在点(1, f( 1))的切线方程为x y 3 0.x 1(I)求函数f(x)的解析式；(n)设g(x) ln x，求证：g(x) f (x)在x [1,)上恒成立.22.(本小题满分14分)实轴长为4 •. 3的椭圆的中心在原点, 其焦点F2在x轴上.抛物线的顶点在原点0 ,对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1 AF2, △ AF1F2的面积为3.(I )求椭圆和抛物线的标准方程;(n )2参考答案及评分标准•选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.）B D B A D B B D BC C B•填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分.）三•解答题17.（本小题满分12分） 解：（I ）： a 与b 共线13 s in x cos-2 2y .3.x x 2sin cos cosx3 .sin x 丄(1 cosx) sin(x )1...... 3分2 222 26 2• f(x) sin(x1 2 1 , 即 sin(x 6) 12……4分cos( 32x) cos2( 3 x) 2cos 2(— x) 1 2si n 2(x6) 112............................. 6分(n)已知 2acosC c 2b2sin AcosC sin C 2sin B 2si n(A C)2sin AcosC sin C 2sin AcosC 2cosAsinC• cosA -, •••在 ABC 中 / A -.............. 8分23f (B) sin(B6) 12•••/ A —• 0B 2,B —5.............. 10分由正弦定理得:33 666 13. 214. 19315. 10216.①③x cos 2 ysin(B 点)1,1 f(B)•••函数 3f （B ）的取值范围为（1,12分18. (本小题满分12 分、)解: (I )依题〕意得3 24 53a1d21 5a12d 50 ......... 2分3d)2a1(a112d)解得a13.......... 4分d 2a n a1 (n 1)d 3 :2(n 1) 2n 1,即a. 2n 1 .......................... 6分(n) b n3n 1, b n a n3n 1(2n 1) 3n 1 ............. ............ 7分a nT n 3 5 37 32(2n1) 3n 13T n33 5 327 33(2n1) 3n 1(2n 1) 3n-....... 9分2T n 3 2 3232 2 3n1(2n n1)3n 1、3(1 3 )3 2 (2n 1)31 32n 3n••• T n n 3n19.(本小题满分12分)解：(I)取AC中点G连结FG BG,••• F,G分别是AD,AC的中点1• FG// CD且FG=—DC=12 '•/ BE// CD • FG与BE平行且相等•EF// BG. ................... 2 分EF 面ABC, BG 面ABC•EF //面ABC ................ 4 分(n ) •/ △ ABC为等边三角形• BG丄AC又T DC丄面ABC,BG 面ABC • DC丄BGA••• BG 垂直于面ADC 的两条相交直线 ACQC ， ••• BG 丄面 ADC . ................. •/ EF// BG• EF 丄面ADC•/ EF 面 ADE,.••面 ADE 丄面 ADC .• CD AO,BC CD C,•- AO 平面 BCDE , •- AO 为 V A BCDE 的高，-J3 一(1 2) 1 3V A BCDE1 3、33 AO - ,S BCDE2223 2 2420.（本小题满分12 分）V A BCDE1V E ABC V E ACD—1 v 3 V3 1 -V3 V3....... 12分3 432 126 4另法：取 BC 的中点为0，连结 AO ，则 AO BC ，又 CD 平面ABC ,（川）连结EC 该四棱锥分为两个三棱锥E - ABC 和 E - ADC ...............................8分 解：（I ）设6组数据的编号分别为123,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A , 从 6组数据中选取2组数据共有15种情况: (1,2 ) (1,3 ) (1,4 ) (1,5 ) (1,6 ) (2,3 ) (2,4 ) (2,5 ) (2,6 ) ( 3,4 ) ( 3,5 ) ( 3,6 ) ( 4,5 ) (4,6 ) ( 5,6 ),其中事件A 包含的基本事件有10种.所以10 P (A )15| .所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是x 10 时, ?- 1310 139 26 219 |21926 ,126 10| 2;x 30 时,30139 26所以，该研究所得到的回归方程是可靠的.379 |379 26112616| 2;12分21.（本小题满分12分） 解：（I ）将x1代入切线方程得y 2 b af( 1) 2，化简得 b a 4.1 1............................. 2分f (x)2a(x 1) (ax b) 2x2 2(1 x )设 h(x) x 21n x ln x 2x 2 ,1 h (x) 2xlnx x 2x1 T x 1 2xlnx 0, x 2，即 h (x) 0 .x••• h(x)在［1,)上单调递增，h(x) h(1)(2)设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2 2), B(x 1, y 1), C(x 2, y 2)f (1)2a 2( b a) 2bb442解得：a 2,b2• f (x)2x 22x12x 2（n ）由已知得ln x 在［1,2x 1..............................6分即 x 2 ln x ln x 2x 20在［1, ）上恒成立............................. 8分10分• g(x) f (x)在x ［1,)上恒成立............................. 12分解（1）设椭圆方程为2 2X2y21 (a ba b22 , 2m n 4c由题意知 m n i 4 3mn 6 解得c 29 , •• b 2 12 93 .2 2•椭圆的方程为x y1123I A c 3, …y A1，代入椭圆的方程得将点A 坐标代入得抛物线方程为X 20)， AF 1 m, AF 2 n.......................... 2分............................. 4分X A 2 2 , 8y ........................... 6 分1）上恒成化简得(x 21)lnx 2x 222.（本小题满分14分）由 AC 2AB 得 x 2 2 . 2 2(x 1 2、、2),化简得2x 1 x 2 2 •、2 联立直线与抛物线的方程y 1 k(X 2-'2),2 cx 8y 得 x 2 8kx 16 .、2k 8 0二 x 1 2 •一 2 8k ① .......................... 10 分 联立直线与椭圆的方程y 1 k(X 2,2)x 2 4y 2 12得(1 4k 2)x 2 (8k 16..2k 2)x 32k 2 16.2k 8 0••• 2x 1 x 2 2(8k 2..2)吟护 2、2 “•— .?2k整理得：(16k 4,2)(1 — ) 01 4k2••• k ，所以直线l 的斜率为 — 4 4 --X 2 2 ■- 2 2 162k 8k 1 4 k 2 12分 ............................. 14分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学理)word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y xθθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为 ABC．D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+第8题图8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125 D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.第9题图14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；D E OBA第15题图C（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：s i n s i n s i n θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△B D M 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17． （Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）.第21题图因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-. （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n . 第19题解答图1第19题解答图2于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 第20题解若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图2令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a tλ-=-.因为0k ≠，所以2k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=； 当1λ>l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则 因为1d==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==. 因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >.所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ> 当11λ<≤+l ，使得12S S λ=； 当1λ>l 使得12S S λ=.22． （Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即世纪金榜 圆您梦想 第11页（共11页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44-<-（），44443333338382(8483)44-<<-（）， ………4444333333125124(126125)44-<-（. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编19：变换与矩阵、极限Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 19：变换与矩阵、极限一、选择题1 ．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ） 睁开式为ad-bc 的队列式是（ ）a bacadbaA ．dcB ．b dC ．b cD ．dc【答案】 B二、填空题2 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 若x2y 2x xy ______1y, 则 x1 y【答案】 xy 0 .三、解答题（每题10 分，共 30 分）3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 矩阵与变换已知直线 l : ax y1 在矩阵 A1 2l ': x by 1.0 对应的变换作用下变成直线1( Ⅰ ) 务实数 a, b 的值 ;( Ⅱ ) 若点 p( x 0 , y 0 ) 在直线上 , 且 Ax 0 x 0 , 求点 p 的坐标 .y 0 y 0【答案】 解:( Ⅰ) 设直线 l : ax y 1上随意一点 M ( x, y) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M (x , y )x 1 2 x x 2 y, 得x x 2 y由1 yyyyy又点 M (x , y ) 在 l 上 , 因此 x by1, 即 x (b 2) y 1a 1a 1依题意2, 解得1b 1 b(Ⅱ)由 Ax 0x 0 , 得 xx 0 2 y 0解得 y 0y 0y 0y 0y 0又点 P( x 0 , y 0 ) 在直线上 , 因此 x 0 1故点 P 的坐标为 (1,0)4 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯 WORD 版含附带题） ）B. [ 选修 4-2: 矩阵与变换 ] 本小题满分10 分 .已知矩阵 A1 0 12 ,求矩阵 A1B ., B0 62【答案】B 解: 设矩阵A ab , 则1 0 a b =1 0 , 即的逆矩阵为d0 2cd0 1ca b 1 02c2d=,11∴矩阵 A 的逆矩阵为 A110 故 a=-1,b=0,c=0,d=1 ,22∴A 1B =1 0 1 212 0 1 =2 0 6 035 ．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 )）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn 2 n,n数列 { b n } 知足 b n 2a n , 求 lim （b 1b 2 b n ）.n【答案】 [ 解 ] 当 n2 时 , a n s n s n 1n 2n(n 1)2 (n 1)2n 2 .且a 1s 1 0, 因此 a n2n 2 .由于 b n2 2n2(1 ) n 1 , 因此数列 { b n } 是首项为1、公比为1的无量等比数列 .4 1 4 .4故 lim （bb b ）n12n1314。