数列通项公式的求法课件
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数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
数列通项公式的求法第2课时-累加法累乘法ppt课件
.
四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
.
五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
.
三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
.
五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
有问题随时欢迎大家提问
.
.
.
.
2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）
由二阶线性递推式求数列通项问题 课件(共26张PPT)—— 高二数学人教A版
an2 5an1 4an
4 4 1
或
5 1 4
点评:当待定系数法出现一个参数为-1时，可以采用采用累加法。
典型例题讲解
• 例2、已知数列 满足a1 1, a2 5，an2 5an1 4an n N*
， 求数列 的通项公式。
4
当
时，
1
an2 an1 4(an1 an )，
解：设an2 an1 (an1 an )，则： an2 （ ）an1 an
an2 5an1 4an
4 4 1
或
5 1 4
典型例题讲解
• 例2、已知数列 满足 a1 1, a2 5，an2 5an1 4an n N*
， 求数列 的通项公式。
4
当
时，
1
an2 an1 4(an1 an )，
a2 a1 4
an1 an 4n 1
典型例题讲解
• 例2、已知数列 满足 a1 1, a2 5，an2 5an1 4an n N*
， 求数列 的通项公式。
1
当
时，
4
an2 4an1 (an1 4an ) • • • • •• a2 4a1
an1 4an 5 41 12
2
1：an
1 3
1 3
4n
n N*
。
典型例题讲解
• 例2、已知数列 满足 a1 1, a2 5，an2 5an1 4an n N*
， 求数列 的通项公式。
解法二：待定系数法、累加法。
解：设an2 an1 (an1 an )，则： an2 （ ）an1 an
• 2、待定系数、累加法； • 3、特征方程法。
当x1 x2 R时，an Ax1n1 Bx2n1；
求数列通项公式的常用方法课件
首先从第四项开始，1/2 * 1 = 1/2，然后第三项为1/2 * 2 = 1，再往前推第二项为 1 * 2 = 2，最后第一项为2 * 2 = 4。
因此，数列的通项公式为a_n = 2 * (1/2)^(n-1)，即a_n = (1/2)^(n-3)。
倒推法的适用范围
当已知数列的最后几项，需要求出整个数列的通项公式时，可以使用倒推法。 倒推法适用于递减数列、递增数列以及存在周期性变化的数列。
已知数列${ b_{n}}$满足递推关系式$b_{n+1} = b_n + n$，且$b_1 = 1$，通过迭代法可以求得数列的通项公式为 $b_n = frac{n(n+1)}{2}$。
迭代法的适用范围
迭代法适用于已知递推关系式和初值，需要 求解数列通项公式的场景。
迭代法对于一些复杂的数列问题可能无法直 接求解，但对于一些简单的递推关系式，如 线性递推、指数递推等，迭代法是一种有效 的求解方法。
注意：以上内容仅供参考，具体内容安排可 以根据您的需求进行调整优化。
04
倒推法求通项公式
倒推法的原理
从数列的最后一项开始，根据数列的递推关系，逐步向前 推导，直到求出首项或通项公式。
倒推法适用于已知数列的最后几项，需要求出整个数列通 项公式的情形。
倒推法的应用示例
已知数列的前四项为10、5、2、1，后一项是前一项的一半，使用倒推法求通项公 式。
求数列通项公式的常用方 法课件
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 累加法求通项公式 • 迭代法求通项公式 • 倒推法求通项公式 • 构造法求通项公式 • 数列通项公式的综合应用
01
数列通项公式的定义和重要性
数列的定义和分类
因此，数列的通项公式为a_n = 2 * (1/2)^(n-1)，即a_n = (1/2)^(n-3)。
倒推法的适用范围
当已知数列的最后几项，需要求出整个数列的通项公式时，可以使用倒推法。 倒推法适用于递减数列、递增数列以及存在周期性变化的数列。
已知数列${ b_{n}}$满足递推关系式$b_{n+1} = b_n + n$，且$b_1 = 1$，通过迭代法可以求得数列的通项公式为 $b_n = frac{n(n+1)}{2}$。
迭代法的适用范围
迭代法适用于已知递推关系式和初值，需要 求解数列通项公式的场景。
迭代法对于一些复杂的数列问题可能无法直 接求解，但对于一些简单的递推关系式，如 线性递推、指数递推等，迭代法是一种有效 的求解方法。
注意：以上内容仅供参考，具体内容安排可 以根据您的需求进行调整优化。
04
倒推法求通项公式
倒推法的原理
从数列的最后一项开始，根据数列的递推关系，逐步向前 推导，直到求出首项或通项公式。
倒推法适用于已知数列的最后几项，需要求出整个数列通 项公式的情形。
倒推法的应用示例
已知数列的前四项为10、5、2、1，后一项是前一项的一半，使用倒推法求通项公 式。
求数列通项公式的常用方 法课件
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 累加法求通项公式 • 迭代法求通项公式 • 倒推法求通项公式 • 构造法求通项公式 • 数列通项公式的综合应用
01
数列通项公式的定义和重要性
数列的定义和分类
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
数列_课件PPT
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
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n 2
-1，4，-9，16，-25，36，…… ；
解：
an 1 n （如果数列是正负相间
的，把相应的关于n 的式子乘以 1 或 就可以了）
1
n
n 1
2、 利用数列前 数列前 n 项和
n
n
项和 Sn 求通项公式：
Sn 与 an 之间有如下关系：
a1 S1 , 由此即可由 S n 求 an . an S n S n 1 (n 2)
课后作业
(1)、已知a1 1 ，an1 an 2n, 求an
an * (2)、已知数列 {an }中，a1 1，an1 , (n N ) 1 2an 写出这个数列的通项公 式并证明
1 1 1 (3)、已知数列 {an }满足 a1 2 a2 n an 2n 5, 求an 2 2 2
可用构造等差数列来求通项公式；若数列{an } 满足，
an1 pan q 可用构造等比数列来求通项公式；若数列{an } a1 S1 n 已知前 项 an 和 S 的关系可用 n an S n S n 1 (n 2)
a1 S1 2、用 , 由 S n 求 an 时注意 n 1要单独讨论 . an S n S n 1 (n 2)
{an } ,满足an1 an f (n)(n N )
是可求和数列，那么可用逐项作差后累加
其中
f ( n)
的方法求
an
，适用于差为特殊数列的数列。
a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 解：由 a n1 an 2n 1 得 an1 an 2n 1
2
4、累乘法
an 1 若数列 {an } ,满足 a f (n)(n N ) n
{f 其中数列
(n)} 前n项积可求，则通项 an
可用
逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。
a a2 n 1 n a 1 a3 2 3 4 2 2 ， 2 ， 2 ，…… an1 a1 a2 a3
小结
这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法， 大家需要注意以下几点: 1、若数列 {an }满足an1 an f (n)(n N ) 可用累加法
an 1 {an } 来求通项公式；若数列 满足 a f (n)(n N ) n pan 可用累乘法来求通项公式;若数列 {an } 满足 an 1 p qa n
1 (4)、数列 {an }的前n项和为Sn，且a1 1，an 1 Sn , n 1,2,3 3 求a2 , a3 , a4的值及数列 {an }的通项公式 .
(5)、数列an 中, sn是它的前n和, 并且满足 (1)设bn an1 2an , 求证 bn 是等比数列; an (2)设cn n , 求证数列cn 是等差数列. 2 sn1 4an 2( n N ), a1 1
例1
已知数列 {an } 的前
n 项和 Sn 2an 1
{an } 为等比数列并求通项公式。 求证：
解：a1 S1 2a1 1 a1 1
an1 Sn1 Sn 2an1 1 2an 1
即an1 2an 即 {an }为首项1 ，公比为 2的等比数列
小测 已知Sn 3 2, 求{an }的通项公式
n
等差数列的通项公式： 等比数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
1、观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间 的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。适 用于一些较简单、特殊的数列。
例1
写出下列数列的一个通项公式an
an 1 2
n1
2
nห้องสมุดไป่ตู้1
1 * 例 2、设数列{an } 的前项的和 S n (an 1)( n N ) 3 （1）、求 a1 ； a2
1 1 解(1)、由 S n (an 1) ，得 a1 ( a1 1) 3 3 1 1 1 1 a1 ，又 S 2 (a2 1)，即 a1 a2 (a2 1), 得a2 2 3 3 4
则
例5 已知数列{an },满足 an1 an 2n 1
an (an an1 ) (an1 an2 ) （a3 a2） （a2 a1） a1 2n 1 2n 3 3 1 n
所以数列
2
{an }的通项公式 an n
2an an1 a1 1 ， 例3、已知数列{an }中， an 2 1 （1）、求证 { } 是等差数列 an
（2）、求 {an } 的通项公式
例4:已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3, 1、证明 {an 为等比数列 3} 2、求数列的通项公式
3、累加法
若数列
an1 2 例6、已知a1 3 ， n 解： an1 2 an
n
an ,求通项公式 an
an a2 a3 a4 2 3 n 1 2 2 2 2 a1 a2 a3 an1 n ( n 1) an 1 23 ( n 1) 2 2 2 a1 n ( n 1) 2 a 3 2 即 n
（2）、求证数列
{an } 为等比数列。
1 1 (2)、当 n 1时， an S n S n 1 (an 1) (an 1 1) 3 3 an 1 得 an1 2
1 1 所以{an }是首项 ，公比为 的等比数列 2 2
3、构造等差、等比数列法
对于一些递推关系较复杂的数列，可通过 对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一 个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前 面已解决的几种情形来处理。
(6)、已知数列an 的首项a1 3, 通项an与 求数列an 的通项公式. 前n项和sn之间满足2an sn sn1 ( n 2).
-1，4，-9，16，-25，36，…… ；
解：
an 1 n （如果数列是正负相间
的，把相应的关于n 的式子乘以 1 或 就可以了）
1
n
n 1
2、 利用数列前 数列前 n 项和
n
n
项和 Sn 求通项公式：
Sn 与 an 之间有如下关系：
a1 S1 , 由此即可由 S n 求 an . an S n S n 1 (n 2)
课后作业
(1)、已知a1 1 ，an1 an 2n, 求an
an * (2)、已知数列 {an }中，a1 1，an1 , (n N ) 1 2an 写出这个数列的通项公 式并证明
1 1 1 (3)、已知数列 {an }满足 a1 2 a2 n an 2n 5, 求an 2 2 2
可用构造等差数列来求通项公式；若数列{an } 满足，
an1 pan q 可用构造等比数列来求通项公式；若数列{an } a1 S1 n 已知前 项 an 和 S 的关系可用 n an S n S n 1 (n 2)
a1 S1 2、用 , 由 S n 求 an 时注意 n 1要单独讨论 . an S n S n 1 (n 2)
{an } ,满足an1 an f (n)(n N )
是可求和数列，那么可用逐项作差后累加
其中
f ( n)
的方法求
an
，适用于差为特殊数列的数列。
a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 解：由 a n1 an 2n 1 得 an1 an 2n 1
2
4、累乘法
an 1 若数列 {an } ,满足 a f (n)(n N ) n
{f 其中数列
(n)} 前n项积可求，则通项 an
可用
逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。
a a2 n 1 n a 1 a3 2 3 4 2 2 ， 2 ， 2 ，…… an1 a1 a2 a3
小结
这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法， 大家需要注意以下几点: 1、若数列 {an }满足an1 an f (n)(n N ) 可用累加法
an 1 {an } 来求通项公式；若数列 满足 a f (n)(n N ) n pan 可用累乘法来求通项公式;若数列 {an } 满足 an 1 p qa n
1 (4)、数列 {an }的前n项和为Sn，且a1 1，an 1 Sn , n 1,2,3 3 求a2 , a3 , a4的值及数列 {an }的通项公式 .
(5)、数列an 中, sn是它的前n和, 并且满足 (1)设bn an1 2an , 求证 bn 是等比数列; an (2)设cn n , 求证数列cn 是等差数列. 2 sn1 4an 2( n N ), a1 1
例1
已知数列 {an } 的前
n 项和 Sn 2an 1
{an } 为等比数列并求通项公式。 求证：
解：a1 S1 2a1 1 a1 1
an1 Sn1 Sn 2an1 1 2an 1
即an1 2an 即 {an }为首项1 ，公比为 2的等比数列
小测 已知Sn 3 2, 求{an }的通项公式
n
等差数列的通项公式： 等比数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
1、观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间 的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。适 用于一些较简单、特殊的数列。
例1
写出下列数列的一个通项公式an
an 1 2
n1
2
nห้องสมุดไป่ตู้1
1 * 例 2、设数列{an } 的前项的和 S n (an 1)( n N ) 3 （1）、求 a1 ； a2
1 1 解(1)、由 S n (an 1) ，得 a1 ( a1 1) 3 3 1 1 1 1 a1 ，又 S 2 (a2 1)，即 a1 a2 (a2 1), 得a2 2 3 3 4
则
例5 已知数列{an },满足 an1 an 2n 1
an (an an1 ) (an1 an2 ) （a3 a2） （a2 a1） a1 2n 1 2n 3 3 1 n
所以数列
2
{an }的通项公式 an n
2an an1 a1 1 ， 例3、已知数列{an }中， an 2 1 （1）、求证 { } 是等差数列 an
（2）、求 {an } 的通项公式
例4:已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3, 1、证明 {an 为等比数列 3} 2、求数列的通项公式
3、累加法
若数列
an1 2 例6、已知a1 3 ， n 解： an1 2 an
n
an ,求通项公式 an
an a2 a3 a4 2 3 n 1 2 2 2 2 a1 a2 a3 an1 n ( n 1) an 1 23 ( n 1) 2 2 2 a1 n ( n 1) 2 a 3 2 即 n
（2）、求证数列
{an } 为等比数列。
1 1 (2)、当 n 1时， an S n S n 1 (an 1) (an 1 1) 3 3 an 1 得 an1 2
1 1 所以{an }是首项 ，公比为 的等比数列 2 2
3、构造等差、等比数列法
对于一些递推关系较复杂的数列，可通过 对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一 个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前 面已解决的几种情形来处理。
(6)、已知数列an 的首项a1 3, 通项an与 求数列an 的通项公式. 前n项和sn之间满足2an sn sn1 ( n 2).