第六节隐函数的求导公式
隐函数求导方法
隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。
与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。
因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。
隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。
下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。
4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。
需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。
在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
第二章 导数与微分 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定
π
所以椭圆在t =
yt′ b cos t b π b 而y′ = = = − cot t , 当t = 时, y′ | π = − t= xt′ −a sin t a 4 a 4 π
4 处的切线方程为 :
2 b 2 y− b = − (x − a) 2 a 2
化简得 : bx + ay − 2ab = 0
600
内容小结 1、隐函数求导数：将因变量看成自变量的函数，用 复合函数求导法则，对方程两边求导 2、参数方程所确定函数的导数：用公式 dy 2 d y d dy 1 dy dt 二阶导数 2 = ( ) ⋅ 一阶导数 = dx dt dx dx dx dx dt dt 作业： 1（ ）（3）；3 ）；4 ）（3 作业：P138 1（1）（3）；3（4）；4（1）（3） ）；8 ）（4）；10 7（1）；8（1）（4）；10
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
d ψ ′(t ) (t 1 )⋅ = ( dt ϕ ′( t ) ϕ ′( t )
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
隐函数的求导公式
Fv Gv
Fv Gv
,
v y
1 (F ,G ) J (u, y )
Fu Gu
Fy Gy
Fu Gu
Fv Gv
.
例6
求
设 xu yv 0 ， yu xv 1 ，
u x
，
u y
，
v x
和
v y
.
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
则 方 程 组 两 边 对 x ( 或 y )求 导 ，
u v u v 解出 , (或 , ). x x y y
思考题
已知
x ( ) ，其中 为可微函数，求 z z y
x
z x
y
z y
?
思考题解答
( ), 则 F x ， z z z y 1 x y ( y ) F y ( ) , F z 2 ( ) , 2 z z z z z y z ( ) Fy z Fx z z z , , y y x Fz y Fz x y ( ) x y ( ) z z
并有
Fx u Gx Fu x J ( x,v) Gu 1 (F ,G )
Fv Gv , Fv Gv
v x
u y
1 (F ,G ) J (u, x )
1 (F ,G ) J ( y,v )
Fu Gu
Fy Gy
Fx Gx
Fv Gv
Fu Gu
Fu Gu
F x ( x , y , z ) f 1 ( 1)
F y ( x , y , z ) f 1 f 2 z
隐函数的求导公式
§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。
由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。
二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。
下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。
对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。
类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。
【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。
解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。
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2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
2xy(a3 x3 y3 3axy)
.
(ax y2 )3
或方程两边对x求导得：3x2 3 y2 dy 3a( y x dy )
(隐函数求导公式)
x
将方程F ( x, y) 0两边对x求导得， F
y
x
Fx
Fy
dy dx
0.
由Fy( x0，y0 ) 0得存在某邻域使Fy
0，故
d d
y x
Fx Fy
.
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
d2y d x2
( Fx) x Fy
( Fx) d y y Fy d x
解：令F ( x, y, z) f ( x y z, xyz) z，
1x
则 Fx f1 yzf2，Fy f1 xzf2，
f
y
2z
Fz
f1
xyf
2
1.
z Fx
f1
yzf
2
.
x Fz 1 ( f1 xyf2)
x
Fy
f1
xzf
2
.
y Fx
f1
yzf
2
y z
Fz Fy
1
( f1 xyf2) .
z x
f1
yzf
2
.
1 ( f1 xyf2)
Fx . Fz
同理对y求偏导得：yz
Fy . Fz
0，
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若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2z FxxFz2 2FxzFxFz FzzFx2 .
x 2
Fz3
2z FyyFz2 2Fyz FyFz FzzFy2 .
Fx Fz
x
z
y
x y
y 2
Fz3
z x
f1
(1
z x
)
f
2
[
y(
z
x z )]， x f
z
f1
yzf
2
.
1 2
x y
z
x y
x 1 ( f1 xyf2)
将方程两边同时对y求偏导得( x是y，z的函数)
0
f1
(
x y
1)
f
2
[
z(
y
x y
x)]，
f
x
f1
xzf
2
.
1 2
xy
y
zz
y
f1
yzf
2
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
第七章 多元函数微分法
第六节 隐函数的求导公式
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1：设函数F ( x, y)在点P0( x0 , y0 )的某邻域内满足： (1)具有连续的偏导数；
(2)F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy( x0 , y0 ) 0.
且 d y Fx 公式推导如下：d x Fy
Fx Fy
x y
x
FxxFy FyxFx FxyFy FyyFx ( Fx)
Fy2
Fy2
Fy
FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2 Fy3
Fx
x y
x
或
d 2 y dx 2
(FFxxxxFyFFy2xFy ddxxyF)xFyyF的(y求2F通x二(常F阶yx方导法F数yy)ddFxyy)
dy x2 ay
dx
dx
.
dx ax y2
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例2、已知 ln x2 y2 arctan y，求 dy .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x dx
解：令F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
x
则 Fx
1 2
2x x2 y2
1 1 ( y)2
(
y )
x2
x x2
y y2
,
x
Fy
1 2
f1
xzf
2
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
z x
f1
yzf
2
.
1 ( f1 xyf2)
x y
f1 f1
xzf
2
.
yzf
2
y z
1 ( f1 xyf2) .
f1
xzf
2
另解：将方程两边同时 对x求偏导得( z是x，y的函数 )
FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2 .
x x
y
d y Fx d x Fy
Fy3
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例1、设方程x3 y3 3axy确定y f ( x)，求 dy 及 d 2 y . dx dx2
解：令F ( x, y) x3 y3 3axy，
则 Fx 3x2 3ay，Fy 3 y2 3ax.
(2)F ( x0 , y0 , z0 ) 0; (3)Fz( x0 , y0 , z0 ) 0.
且 z 公式推导如下： x
Fx， z Fz y
Fy . Fz
F
x
z
y
x y
将方程F ( x, y, z) 0两边对x求偏导得，
Fx
Fz
z x
z
x
0，由Fz( x0 , y0 , z0 ) 0得存在某邻域使Fz
2y x2 y2
1 1 ( y)2
1 x
y x2
x， y2
x dy Fx x y x y .
dx Fy y x x y
或方程两边对x求导得：1
dy x y .
2
dx x y
2x 2 yy x2 y2
1 1 ( y)2
x
yx x2
y，
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定理2：设F ( x, y, z)在点( x0 , y0 , z0 )的某邻域内满足： (1)具有连续的偏导数；