数学一本通关强化篇参考答案
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(解三角形及其应用)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（解三角形及其应用）练习一、 基础小题练透篇1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2．[2023ꞏ江西省赣州市五校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π4 ，B ＝2π3 ，则b ＝( )A ．23B ．25C ．26D ．63．[2023ꞏ宁夏银川市第六中学考试]已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3 a ＝2b sin ()B ＋C ，则B ＝( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 4．[2023ꞏ陕西省宝鸡市质检]已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3 ，B ＝30°，S △ABC ＝3 ，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．3B ．23C ．27D ．7 5．[2023ꞏ安徽省亳州市第一中学月考]花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面h m ，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a 1 m ，将镜子后移a m ，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a 2 m.此时可求出楼的高度为( )A ．aha 2＋a 1B ．ah a 2－a 1C ．aa 2＋a 1＋h D ．a a 2－a 1 ＋h 6．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ＝( )A ．表高×表距表目距的差 ＋表高 B ．表高×表距表目距的差 －表高C ．表高×表距表目距的差 ＋表距D ．表高×表距表目距的差－表距7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝1，AB ＝3 ，则△ABC 面积的最大值为________．二、 能力小题提升篇1.[2023ꞏ安徽黄山一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为3 ，且2b cos A ＝2c －a ，a ＋c ＝4，则△ABC 的周长为( )A ．4＋3B ．6C ．4＋23D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市期中]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2c ＝aba cos B ＋b cos A，若a ＋b ＝2，则c 的最小值为( ) A ．1 B ．32 C ．54 D ．34 3.[2023ꞏ山东省潍坊市高三上学期期中]小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点P 1，P 2，且P 1P 2＝a ，已经测得两个角∠P 1P 2D ＝α，∠P 2P 1D ＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是( )①∠DP 1C 和∠DCP 1；②∠P 1P 2C 和∠P 1CP 2；③∠P 1DC 和∠DCP 1. A ．①和② B ．①和③ C ．②和③ D ．①和②和③4．[2023ꞏ湖南怀化月考]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝3c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且BD ＝7 ，则cos ∠ADB 的值为( )A ．－217B ．217 C ．277 D ．±2775．[2023ꞏ广东佛山模考]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b ＝2，B ＝60°的三角形有两个，则边长a 的取值范围是________．6．[2023ꞏ山西省三晋名校联盟考试]在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AD ＝3，则四边形ABCD 面积的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅲ]在△ABC 中，cos C ＝23 ，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19 B ．13 C ．12 D ．232．[全国卷Ⅱ]在△ABC 中，cos C 2 ＝5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B ．30C ．29D ．253．[2019ꞏ全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B＝4c sin C ，cos A ＝－14 ，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．34．[全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．[2021ꞏ全国乙卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3 ，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________．6．[2022ꞏ全国甲卷]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．四. 经典大题强化篇 1.如图，在四边形ABCD 中，CD ＝33 ，BC ＝7 ，cos ∠CBD ＝－7. (1)求∠BDC ；(2)若∠A ＝π3 ，求△ABD 周长的最大值． 2.[2023ꞏ湖北省部分省级示范校联考]如图，在平面凹四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ADC ＝120°，角B 满足：(1＋sin B ＋cos B )⎝⎛⎭⎫cos B 2－sin B 2 ＝cos B 2 . (1)求角B 的大小；(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin 2A，∴sin （B＋C）＝sin2A，即sin（π－A）＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈（0，π），∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．2．答案：C答案解析：因为a＝4，A＝π4，B＝2π3，由正弦定理，得b＝a sin Bsin A＝26.故选C.3．答案：C答案解析：因为3 a＝2b sin ()B＋C，由正弦定理可得，3sin A＝2sin B sin ()B＋C，3sin A＝2sin B sin A，sin B＝32，且B∈（0，π），△ABC为锐角三角形，则B＝π3.故选C.4．答案：C答案解析：因为a＝3，B＝30°，S△ABC＝3，所以S△ABC＝12 ac sin B＝12×3×c×12＝3，解得c＝4.由余弦定理得：b＝a2＋c2－2ac cos B＝（3）2＋42－2×3×4×32＝7.由正弦定理得：2R＝bsin B ＝712＝27.故选C.5．答案：B答案解析：设所求楼高为x，由三角形相似可得ha2＝xa＋a1xh，整理可得x＝aha2－a1.故选B.6．答案：A答案解析：如图所示：由平面相似可知，DEAB＝EHAH，FGAB＝CGAC，而DE＝FG，所以DEAB＝EHAH＝CGAC＝CG－EHAC－AH＝CG－EHCH，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，即AB ＝CG －EH ＋EG CG －EH ×DE ＝EG ×DE CG －EH ＋DE ＝表高×表距表目距的差＋表高．7．答案：1006答案解析：设此山高h （m ），则BC ＝3 h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600（m ）.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C，即3h sin 30° ＝600sin 45° ，解得h ＝1006 （m ）. 8．答案：34答案解析：因为tan A tan B ＝sin A sin Bcos A cos B＝1，所以cos A cos B －sin A sin B ＝cos （A ＋B ）＝－cos C ＝0，即cos C ＝0.又因为0<C <π，所以C ＝π2 .因为AB ＝3 ，所以asin A ＝b sin B＝3 ， 即a ＝3 sin A ，b ＝3 sin B ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3 cos A ，所以S △ABC ＝12 ab ＝32 sin A cos A ＝34 sin 2A ，当A ＝π4 时，S △ABC 取得最大值为34.二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由题意，得2bc cos A ＝2c 2－ac ，于是b 2＋c 2－a 2＝2c 2－ac ，即c 2＋a 2－b2＝ac .从而由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 .又B ∈（0，π），所以B ＝60°.因为S △ABC＝12ac sin B ＝34 ac ＝3 ，即ac ＝4.又a ＋c ＝4，所以a ＝c ＝2，即△ABC 为等边三角形，所以△ABC 的周长为6.2．答案：A答案解析：因为a 2＋b 2－c 2c ＝ab a cos B ＋b cos A，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以2ab cos C c ＝ab a cos B ＋b cos A，且a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2cos C sin C ＝1sin A cos B ＋sin B cos A ＝1sin （A ＋B ），又因为sin （A ＋B ）＝sin C ≠0，所以cos C ＝12，又因为C ∈（0，π），所以C ＝π3，又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab ≥（a ＋b ）2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故c 的最小值为1. 故选A. 3．答案：D答案解析：根据题意，△P 1P 2D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，△CDP 1中已知DP 1，而△CDP 2中已知DP 2，若选条件①，则△CDP 1中已知两角一边，CD 可以求；若选条件②，由正弦定理可以求出CP 2及∠CP 2P 1，所以∠CP 2D 可以求出，则在△CDP 2中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD .若选条件③，则在△CDP 1中已知两角及一边，用正弦定理即可求出CD .故选D. 4．答案：B答案解析：因为A ＝60°，角A 的平分线交BC 于点D ，所以∠CAD ＝∠BAD ＝30°.又b ＝3c ，所以CD BD ＝S △CAD S △DAB ＝12b ·AD ·sin 30°12AD ·c ·sin 30° ＝bc＝3.因为BD ＝7 ，所以CD ＝37 ，所以a ＝CB ＝47 .因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16×7＝9c 2＋c 2－2×3c ·c ·12 ，解得c ＝4.方法一 在△ABD 中，由正弦定理可知BDsin ∠BAD＝csin ∠ADB，即712＝4sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝27 . 因为b ＝3c >c ，所以B >C .因为∠ADB ＝30°＋C ，∠ADC ＝30°＋B ， 所以∠ADB <∠ADC ，所以∠ADB 为锐角，所以cos ∠ADB ＝37＝217 . 方法二 由余弦定理可得cos ∠BAD ＝AD 2＋c 2－BD 22AD ·c ，即32 ＝AD 2＋16－78AD，所以AD 2－43 AD ＋9＝0，所以（AD －3 ）（AD －33 ）＝0， 所以AD ＝33 或AD ＝3 .因为b ＝3c >c ，所以B >C . 又B ＋C ＝120°，所以B >60°>∠BAD ， 所以AD >BD ＝7 ，所以AD ＝33 .所以cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－c 22AD ·BD ＝27＋7－162×33×7＝217 . 5．答案：2<a <433答案解析：满足题意的三角形要有两个，则需⎩⎪⎨⎪⎧a sin B <b ，a >b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a sin 60°<2，a >2， 解得2<a <433.6．答案：5154答案解析：在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝4＋4－2×2×2cos B ＝8－8cos B ，在△ACD 中，由余弦定理知AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝4＋9－2×2×3cos D ＝13－12cos D ，所以8－8cos B ＝13－12cos D ，即3cos D －2cos B ＝54.可得S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12 AB ·BC sin B ＋12 AD ·CD sin D ＝2sin B ＋3sin D ，令M ＝3cos D －2cos B ＝54，N ＝3sin D ＋2sin B ，则M 2＋N 2＝9＋4－2×3×2（cos B cos D －sin B sin D ）＝13－12cos （B ＋D ）≤25，等号成立时B ＋D ＝π，所以N 2≤25－2516 ＝25×1516，所以四边形ABCD 面积的最大值为5154. 三 高考小题重现篇1．答案：A答案解析：由cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC 得23＝16＋9－AB 22×4×3 ，∴AB ＝3，∴cos B ＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ·BC ＝9＋9－162×3×3 ＝19.2．答案：A答案解析：∵cos C 2 ＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭55 2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝32，∴AB ＝32 ＝42 . 3．答案：A答案解析：由正弦定理及a sin A －b sin B ＝4c sin C 得a 2－b 2＝4c 2，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14 .所以bc＝6.4．答案：C答案解析：∵ S ＝12 ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24 ＝2ab cos C 4 ＝12ab cos C ，∴ sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵ C ∈（0，π），∴ C ＝π4.5．答案：22答案解析：由题意得S △ABC ＝12 ac sin B ＝34ac ＝3 ，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22 .6．答案：3 －1答案解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（图略），易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A （1，3 ）.因为CD ＝2BD ，所以设B （－x ，0），x ＞0，则C （2x ，0）.所以AC ＝（2x －1）2＋（0－3）2 ＝4x 2－4x ＋4 ，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2 ＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2 ＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4 .令f （x ）＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′（x ）＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2 ＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 （舍去）或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（0，3 －1）上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（3 －1，＋∞）上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f （x ）取得最小值，即ACAB取得最小值，此时BD ＝3 －1.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）在△BCD 中，∵cos ∠CBD ＝－714，∴sin ∠CBD ＝1－（－714）2 ＝32114， 利用正弦定理得：CDsin ∠CBD＝BCsin ∠BDC，∴sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBDCD＝7×3211433＝12，又∵∠CBD 为钝角，∴∠BDC 为锐角，∴∠BDC ＝π6.（2）在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠CBD ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝7＋BD 2－2727BD＝－714 ， 解得：BD ＝4或BD ＝－5（舍去）， 在△ABD 中，∠A ＝π3，设AB ＝x ，AD ＝y ， 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝x 2＋y 2－162xy ＝12，即x 2＋y 2－16＝xy ，整理得：（x ＋y ）2－16＝3xy ，又x >0，y >0，利用基本不等式得：（x ＋y ）2－16＝3xy ≤3（x ＋y ）24 ，即（x ＋y ）24≤16，即（x ＋y ）2≤64，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，即（x ＋y ）max ＝8， 所以（AB ＋AD ＋BD ）max ＝8＋4＝12. 所以△ABD 周长的最大值为12. 2．答案解析：（1）因为（1＋sin B ＋cos B ）⎝⎛⎭⎪⎫cos B2－sin B 2 ＝cos B2 ，所以⎝⎛⎭⎪⎫2sin B 2cos B 2＋2cos 2B2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2 ＝2cos B 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2＋cos B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2 ＝cos B 2 ，即2cos B 2 cos B ＝cos B2，因为B ∈（0，π），则cos B2≠0，所以cos B ＝12 ，即B ＝π3.（2）连接AC ，设AD ＝x ，CD ＝y ， 因为AB ＝2，BC ＝3，∠ADC ＝120°，所以在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7，即AC ＝7 ，在△ACD 中由余弦定理得x 2＋y 2－2xy cos ∠ADC ＝7，即x 2＋y 2＋xy ＝7，故7－xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，不等式取等号，从而xy ≤73 ，故凹四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC －S △ADC ＝12 ×2×3×sin 60°－12 xy sin120°＝332 －34 xy ≥11312， 从而四边形ABCD 面积的最小值是11312.。
人教版五年级数学下册四单元复习题及答案(三篇)
目录：
人教版五年级数学下册四单元复习题及答案一
人教版五年级数学下册四单元强化训练及答案二
人教版五年级数学下册四单元必考题及答案三
人教版五年级数学下册四单元复习题及答案一
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
题序
一
二
三
四
五
总分
得分
一、填空题。（20分）
8、一个梯形的上下底之和是40.5厘米，高是1.2厘米，它的面积是________平方厘米。
9、正方形有________条对称轴。
10、把5个同样大小的面包平均分给9位同学，每位同学分得这些面包的，每位同学分得个面包。
二、选择题（把正确答案前面的序号填在（ ）里）（10分）
1、不改变0.7的大小,把它改写成以“千分之一”为单位的数是( )。
五、解决问题。（30分）
1、一个无水观赏鱼缸中放有一块高为28cm、体积为3800cm3的假石山，如果水管以每分钟8dm3的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？
2、某市停车场规定：停车一次至少叫停车费5元，超过2小时，每多停1小时，加收1.5元。王老师在此停车5小时，应交停车费多少元？
A．质数B．合数C．奇数D．偶数
3、用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个梯形，则它们的（ ）。
A．周长相等B．梯形周长大C．正方形周长大
4、下面每组的两个式子中，结果不一定相同的是( )。
A．x2和2xB．a÷b÷c和a÷(b×c)
C．4x＋4y和4(x＋y) D．a－b－c和a－(b＋c)
5、如果一个正方体一个面的面积是10cm2，把这样的两个正方体拼成一一个质数、一个合数：（________）和（________）．
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(抛物线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（抛物线）练习一. 基础小题练透篇1．已知点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．[2023ꞏ江西省南昌市摸底]设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝－1，点A 为C 上一点且|AF |＝5，过点A 作AP ⊥l 于P ，则|AP |＝( )A.4 B ．3 C ．2 D ．13．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点P 是抛物线上的动点，直线l 1的方程为2x －y ＋3＝0，过点P 分别作PM ⊥l ，垂足为M ，PN ⊥l 1，垂足为N ，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．655 B ．755C ．5D ．2＋3554．已知抛物线y 2＝16x ，过点M (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|AF |＝12，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是( )A.202 B ．102 C ．52 D ．5225．[2023ꞏ湖南省湘潭市一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52 ，若点M 的坐标为(0，1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x6．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若AF → ＝2FB →，则k 的值是( )A ．13 B ．223 C ．22 D ．247．[2023ꞏ江苏省高三月考]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，||PF ＝8，则点P 到x 轴的距离为____________．8．[2023ꞏ广东省深圳市月考]已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且△ABF 为正三角形，则p ＝________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广西柳州市摸底考试]已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l 是抛物线的准线，则F 到直线l 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若∠P AF ＝30°，则sin ∠PF A ＝( )A ．12B ．33C ．34D ．323．[2023ꞏ四川大学模拟]设点P 是抛物线C 1：x 2＝4y 上的动点，点M 是圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，d 是点P 到直线y ＝－2的距离，则d ＋|PM |的最小值是( )A ．52 －2B ．52 －1C ．52D ．52 ＋14．[2023ꞏ四川省高三模拟]已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，点M (2，0)为△ABC 的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB 的长为( )A ．8B ．6C ．5D ．45．[2023ꞏ广东省开平市高三检测]已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM → ＝2MN →，则||FN ＝__________．6．[2023ꞏ江苏省南京模拟]已知圆C: (x －3)2＋y 2＝4，点M 在抛物线T ：y 2＝4x 上运动，过点M 引直线l 1，l 2与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则|PQ |的取值范围为________．三. 高考小题重现篇1.[2022ꞏ全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若||AF ＝||BF ，则||AB ＝( )A ．2B ．2 2C ．3D ．322．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)4．[2020ꞏ北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．[2021ꞏ北京卷]已知抛物线C ：y 2＝4x ，C 的焦点为F ，点M 在C 上，若|FM |＝6，则M 的横坐标是________．6．[2021ꞏ山东卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ湖北省高三联考]记以坐标原点为顶点、F (1，0)为焦点的抛物线为C ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)已知点M 的坐标为(－2，0)，求∠AMB 最大时直线AB 的倾斜角；(2)当l 的斜率为12 时，若平行l 的直线m 与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．2．[2023ꞏ山西省运城市模拟]已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由题意，点P 到点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，则点P的轨迹是以F 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．答案：C答案解析：抛物线方程C ：x 2＝16y ，准线方程为：y ＝－4，因为|AF |＝5，所以点A 到准线的距离为5，且y A ＞0，直线l ：y ＝－1与准线方程的距离为d ＝3，所以|AP |＝5－3＝2 .3．答案：B答案解析：令抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，则F （2，0），连接PF ，如图，因为l 是抛物线y 2＝8x 的准线，点P 是抛物线上的动点，且PM ⊥l 于M ，于是得|PM |＝|PF |，点F （2，0）到直线l 1：2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×2－0＋3|22＋（－1）2＝755 ，又PN ⊥l 1于N ，显然点P 在点F 与N 之间，于是有|PM |＋|PN |＝|PF |＋|PN |≥d ，当且仅当F ，P ，N三点共线时取“＝”，所以|PM |＋|PN |的最小值为d ＝755.4．答案：A答案解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的定义可知，x 1＋4＝12，x 1＝8，y 21 ＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y 1＝82 ，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝16x ， 得y 2－16my －32＝0，y 1y 2＝－32，∴y 2＝－22 ，四边形OAFB 的面积S ＝12 |OF |·|y 1－y 2|＝12×4×102 ＝202 .5．答案：A答案解析：设T （x 0，y 0），则MT → ＝（x 0，y 0－1），又由F （p 2 ，0），所以MF →＝（p 2，－1），因为MF ⊥MT ，所以MF → ·MT →＝0，可得p 2x 0－y 0＋1＝0，由y 20 ＝2px 0，联立方程组，消去x 0，可得y 20 －4y 0＋4＝0，所以y 0＝2，x 0＝2p，故T（2p，2），又由|FT |＝x 0＋p 2 ＝52 ，所以52 －p 2 ＝2p ，即p 2－5p ＋4＝0，解得p ＝1或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝2x 或y 2＝8x .6．答案：C答案解析：直线l ：y ＝k （x －2）（k ＞0）过（2，0），即直线l 过抛物线的焦点F （2，0），画出图象如图所示，过A 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D ；过B 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 于E .依题意AF → ＝2FB →，设|AF |＝2|BF |＝2t （t ＞0）， 则|AE |＝|AD |－|BC |＝t ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，|BE |＝（3t ）2－t 2＝22 t ，所以直线l 的斜率k ＝|BE ||AE | ＝22 . 7．答案：43答案解析：由抛物线的定义可知：||PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x 中，得y 2p ＝48，所以||y p ＝43 ，故点P 到x 轴的距离为43 . 8．答案：2答案解析：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，|AF |＝3＋p 2 ，|FD |＝3－p2，又|FD |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ，所以12 ⎝⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ＝3－p2 ，解得p ＝2；当B 在焦点F 的左侧时，同理可得p ＝18，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意．二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由y 2＝8x 得p ＝4，所以F 到直线l 的距离为p ＝4. 2．答案：B答案解析：过P 作准线的垂线，垂足为Q ，由∠PAF ＝30°，可得∠APQ ＝30°，由题意如图所示：在Rt△AQP 中，cos ∠APQ ＝|QP ||PA | ＝32， 由抛物线的性质可得|PQ |＝|PF |，所以|PF ||PA | ＝32 ， 在△PAF 中，由正弦定理可得：|PA |sin ∠PFA ＝|PF |sin ∠PAF ，所以sin ∠PFA ＝|AP ||PF | ·sin ∠PAF ＝23·12 ＝33 . 故选B.3．答案：B答案解析：由题知圆C 2：（x －5）2＋（y ＋4）2＝4， ∴C 2()5，－4 ，r ＝2F （0，1）为抛物线焦点，y ＝－1为抛物线准线， 则过点P 向y ＝－1作垂线垂足为D ，如图所示：则d ＝1＋||PD ，根据抛物线定义可知||PD ＝||PF ， ∴d ＝1＋||PF ，∴d ＋|PM |＝1＋||PF ＋||PM ，若求d ＋|PM |的最小值，只需求||PF ＋||PM 的最小值即可， 连接FC 2与抛物线交于点P 1，与圆交于点M 1，如图所示，此时||PF ＋||PM 最小，为||FC 2 －r ，()d ＋||PMmin＝1＋||FC 2 －r ，∵F （0，1），C 2()5，－4 ，∴||FC 2 ＝52 ，∴()d ＋||PM min ＝1＋||FC 2 －r ＝52 －1. 故选B. 4．答案：B答案解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F （1，0）.根据题意可知，点M （2，0）为△ABC 的重心，若直线AB 的斜率不存在， 则不妨取A （1，2），B （1，－2），则结合重心可得C 为（4，0），不合题意； 故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1），k ≠0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （m ，n ），则有y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，n 2＝4m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）， 得ky 2－4y －4k ＝0，Δ＝16（1＋k 2）>0， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，因为点M （2，0）为△ABC 的重心，所以n ＋y 1＋y 23＝0， 即n ＝－()y 1＋y 2 ，所以m ＋x 1＋x 23 ＝2，∴m ＋x 1＋x 2＝n 2＋y 21 ＋y 22 4＝2()y 1＋y 22－2y 1y 24 ＝6，即32k2 ＋8＝24，解得k 2＝2，则||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝()y 1＋y 22－2y 1y 24＋2＝4k2 ＋4＝6，故线段AB 的长为6，故选B.5．答案：16答案解析：易知焦点F 的坐标为（4，0），准线l 方程为x ＝－4，如图， 抛物线准线与x 轴交点为A ，作MB ⊥l 于B ，NC ⊥l 于C ，AF ∥MB ∥NC ，则||MN ||NF ＝||BM －||CN ||OF ，由3FM → ＝2MN →，得||MN ||NF ＝35，又||CN ＝4，||OF ＝4，所以||BM －44 ＝35 ，||BM ＝325 ，||MF ＝||BM ＝325 ，||MF ||NF ＝25，所以||FN ＝16.6．答案：[22 ，4）答案解析：如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，CP ⊥MP ，CQ ⊥MQ ，而|CP |＝|CQ |＝2，而|MP |＝|MQ |，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt△CPM 面积的2倍，从而得12 |PQ |·|CM |＝2·12 |CP |·|MP |，即|PQ |＝2|CP |·|MP ||CM | ＝4|CM |2－|CP |2|CM | ＝41－4|CM |2 ，设点M （t ，s ），而C （3，0），s 2＝4t （t ≥0），则|CM |2＝（t －3）2＋s 2＝t 2－2t ＋9＝（t －1）2＋8≥8，当且仅当t ＝1时取“＝”，∀t ≥0，|CM |2∈[8，＋∞），因此得0<4|CM |2 ≤12 ，即12 ≤1－4|CM |2 <1，得22 ≤|PQ |<4， 所以|PQ |的取值范围为[22 ，4）.三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由题意得，F （1，0），则||AF ＝||BF ＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A （1，2）， 所以||AB ＝（3－1）2＋()0－22＝22 .故选B.2．答案：C答案解析：设焦点为F ，点A 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9， ∴9＋p2 ＝12，∴p ＝6. 3．答案：B答案解析：由抛物线的对称性不妨设D 在x 轴上方、E 在x 轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px得D （2，2p ），E （2，－2p ），∵OD ⊥OE ，∴OD → ·OE → ＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 . 4．答案：B 答案解析：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），P （x 0，y 0）（x 0>0），则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0 ，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02 ，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02 ＝py 0 （x －0），即2px －2y 0y ＋y 2＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20 ＝0，又2px 0＝y 20 ，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上．5．答案：5答案解析：设点M 的坐标为（x 0，y 0），则有|FM |＝x 0＋1＝6，解得x 0＝5.6．答案：x ＝－32答案解析：不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋p2，0 ， PQ →＝（6，－p ），因为PQ ⊥OP ，所以p2×6－p 2＝0，∵p >0，∴p ＝3，∴C 的准线方程为x ＝－32.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设直线的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）()y 1>0，y 2<0 . 记∠AMF ＝α，∠BMF ＝β，则tan α＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， tan β＝－y 2x 2＋2 ＝－y 2my 2＋3， 则tan ∠AMB ＝tan ()α＋β ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3()y 1－y 2()m 2＋1y 1y 2＋3m ()y 1＋y 2＋9. 由题设得抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1 消去x 得y 2－4my －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4，y 1－y 2＝4m 2＋1 ，∴tan ∠AMB ＝12m 2＋18m 2＋5，令t ＝m 2＋1 ，则t ≥1，∴tan ∠AMB ＝12t 8t 2－3 ＝128t －3t. 由单调性得当t ＝1时，tan ∠AMB 最大为125，此时m ＝0，直线AB 的倾斜角为90°. （2）设T ()x 0，y 0 ，TM → ＝λTA → ()λ≠1 则由AB ∥MN 得TN → ＝λTB →， ∴⎩⎨⎧y M －y 0＝λ()y A －y 0y N －y 0＝λ()y B －y 0 ，∴y M ＋y N －2y 0＝λ()y A ＋y B －2y 0 . 又∵k AB ＝12，∴y A －y B x A －x B ＝4y A ＋y B ＝12 ⇒y A ＋y B ＝8，同理y M ＋y N ＝8，∴8－2y 0＝λ()8－2y 0 ，又∵λ≠1，∴8－2y 0＝0，∴y 0＝4， ∴点T 在定直线y ＝4上．2．答案解析：（1）将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px 得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1 ＝y 1－2y 21 4－1 ＝4y 1＋2，同理：k PB ＝4y 2＋2 ， 由题意：4y 1＋2 ＋4y 2＋2＝2，4（y 1＋y 2＋4）＝2（y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4），解得y 1y 2＝4，有－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点（－1，0）.。
小学奥数数论讲义 第十七讲 数论综合之整除相关问题强化篇
第十七讲数论综合之整除相关问题强化篇
【例1】
月月写了一个五位数，它能被9和11整除。
如果去掉第，1、3、5位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能被8整除；如果去掉后三位，得到的数能被7整除。
那么这个五位数是______。
【例2】
一个整数与12的和能整除该整数的平方，那么这个整数最大可能是______。
【例3】
有一类六位自然数，它们的前三位数组成的数与后三位数组成的数相同。
求在这类自然数中，能被4433整除的最大数。
【例4】(2009年“迎春杯”六年级初赛试题)
如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍。
那么，这个五位数的前两位的最大值是______。
【例5】
构造6个互不相同的整数，使得其中任意两个数的乘积能被其和整除。
第3章 图形的平移与旋转(强化篇)(解析版)
2020—2021八年级下学期单元过关卷（北师大版）第3章 图形的平移与旋转（强化篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ． 【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．【解析】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项合题意；D 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，在AOB 中，30ABO ∠=︒，8BO =，将AOB绕点O 逆时针旋转45°到A OB ''△处，此时线段A B ''与BO 交于点E ，则线段OE 的长度为（ ）A ．4642-B ．833C ．4D ．838-【答案】A【分析】 利用旋转的性质得到EOB '∠=45°，过E 点作EG ⊥OB '与点G ，利用等腰直角三角形的性质求出EG ，最后利用勾股定理求出OE 的长．【解析】∵AOB 绕点O 逆时针旋转45°到A OB ''△处，∴EOB '∠=45°，过E 点作EG ⊥OB '于点G ，设EG=x ，∴EOB '∠=45°=OEG ∠，∴OG= EG=x ，∵8BO ==OB '∴B G '=8-x ，∵在Rt B EG '中，30ABO A B O ''∠=∠=︒，∴B E '=2x ；由勾股定理得，B′G=()2223x x x -=， ∴38x x =-，解得x=43-4；∵EOB '∠=OEG ∠=45°，EG ⊥OB '，∴由勾股定理得OE=()()22434434-+-=4642-．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的相关知识，熟练掌握这些知识是解题的重点．3．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，若点D刚好落在边AB 上，CB 与DE 交于点F ，120,20ACB E ∠=︒∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【答案】A【分析】 先根据旋转的性质可得,20AC CD B E =∠=∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得40A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质即可得．【解析】由旋转的性质得：,AC CD B E =∠=∠，120,20ACB E ∠=︒∠=︒，12041801800ACB B ACA B E∠-∠=︒∠-∠∴∠==︒-=︒-︒，又AC CD=，40AADC∠∴=∠=︒，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．4．（2021·重庆綦江区·九年级期末）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=9，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则点O到AD1的距离为（）A．3 B．355C．55D．55【答案】C【分析】由旋转角为15°，和三角板中角求出∠ACD1=45°，又∠A=45°，推出△ACO是等腰直角三角形，AO=CO=3，AB⊥CO，由DC=9，求得D1O=6，利用勾股定理22135OA OD+=面积桥求即可．【解析】∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，∴∠DCE=90°-30°=60°，∴∠ACD=90°-60°=30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD1=30°+15°=45°，又∵∠A=45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AO=CO=12AB=12×6=3，AB⊥CO，∵DC=9，∴D1C=DC=9，∴D1O=9-3=6，在Rt△AOD1中，根据勾股定理求得AD1=222213635OA OD+=+=．设点O到AD1的距离为h，∵111122AD h OA OD=⨯，∴1165535OA ODhAD⨯===，故选择：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．5．（2020·山东淄博市·鲁村中学八年级月考）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．④B．③C．②D．①【答案】C【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．【解析】A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．．【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．6．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE 最小时，线段AD的值为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．8【答案】C【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．【解析】如图，以BC 为边作等边△BCF ，连接DF ，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴∠ABC=60°，BC=3，∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，∴CD=CE ，∠DCE=60°，∵△BCF 是等边三角形，∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，∴∠BCE=∠DCF ，且BC=CF ，DC=CE ，∴△BCE ≌△FCD(SAS)，∴ BE= DF ，∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，如图，此时作FD AB '⊥，∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，∴ 1 1.52BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='， 故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．7．（2020·济南明湖中学八年级期中）如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（ ）A．30B．35︒C．40︒D．50︒【答案】A【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【解析】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠C′CA=∠CAB=75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．8．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A的坐标为（-2，3），那么点B的坐标为（）A．（3，-2）B．（2，-3）C．（-3，2）D．（-2，-3）【答案】B【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答.【解析】∵点A和点B关于原点对称，点A的坐标为（-2，3），∴点B的坐标为（2，-3），故选：B.【点睛】此题考查对称的性质—关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数. 9．（2021·四川绵阳市·九年级月考）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（）A．(3，-1) B．(1，-3) C．(23，-2) D．(2，-23)【答案】B【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．【解析】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP=PB，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=3，则P的对应点Q的坐标为(1，3) ，故选：B．【点睛】此题考查了坐标与图形变化－旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．10．（2019·吉林长春市·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上．将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的大小为（）A．15°B．22.5°C．25°D．30°【答案】B【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．【解析】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=12(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．11．（2020·马鞍山二中实验学校八年级期中）如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形【答案】C【分析】 利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【解析】∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP=S △CPF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF=12S △ABC ，即2S 四边形AEPF=S △ABC ， A 、B 、D 均正确，∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．12．（2020·河南三门峡市·九年级期中）如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B【分析】 连接DP ，根据题意，得OP OD =，=60DOP ∠，从而得到120AOP COD ∠+∠=；再根据等边三角形和三角形内角和性质，得120AOP OPA ∠+∠=，从而得COD OPA ∠=∠，通过全等三角形判定，即可得到答案．【解析】如图，点D 落在BC 上，连接DP∵线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD∴OP OD =，=60DOP ∠∴180120AOP COD DOP ∠+∠=-∠=∵等边△ABC∴180120AOP OPA A ∠+∠=-∠=∴COD OPA ∠=∠即：OP OD COD OPA A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴AOP CDO △≌△∴AP OC =∵AC=8，AO=3∴5OC AC AO =-=∴5AP OC ==故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C ，设A′C 交AB 边于D ，连结AA′，若△AA′D 是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____．【答案】20°或40°【分析】根据旋转的性质可得AC ＝CA'，根据等腰三角形的两底角相等求出∠AA'C ＝∠CAA'，再表示出∠DAA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADA'，然后分①∠AA'C ＝∠DAA'，②∠AA'C ＝∠ADA'，③∠DAA'＝∠ADA'三种情况讨论求解．【解析】解：∵△ABC 绕C 点逆时针方向旋转得到△A'B'C ，∴AC ＝CA'，∴∠AA'C ＝∠CAA'＝12（180°﹣α）， ∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC ＝12（180°﹣α）﹣30°， 根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC ＋∠ACA'＝30°＋α，△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，①∠AA'C ＝∠DAA'时，12（180°﹣α）＝12（180°﹣α）﹣30°，无解， ②∠AA'C ＝∠ADA'时，12（180°﹣α）＝30°＋α， 解得α＝40°，③∠DAA'＝∠ADA'时，12（180°﹣α）﹣30°＝30°＋α， 解得α＝20°，综上所述，旋转角α度数为20°或40°．故答案为：20°或40°．【点睛】考核知识点：旋转性质．理解旋转的性质是解题关键．14．（2021·浙江温州市·九年级期末）如图，在ABC 中，30C ∠=︒，100ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转至ADE （点B 与点D 对应），连结BD ，若//BD AE ，则CAD ∠的度数为______度．【答案】30【分析】由旋转的性质可得：∠E=∠C，∠ADE=∠ABC，AD=AB，根据平行线的性质得出∠ADB=50°，再利用等腰三角形的性质得出结果．【解析】由旋转的性质可得：∠E=∠C，∠ADE=∠ABC，AD=AB，∵BD∥AE，∴∠BDE+∠E=180°，∵∠E=∠C=30°，∠ADE=∠ABC=100°，∴∠ADB=50°，∵AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=50°，∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=80°，∵∠BAC=180°-∠C-∠ABC=50°，∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．15．（2020·河南商丘市·九年级期末）如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB＝AC，若将△ABD 绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠AED的度数为________________．【答案】45°【分析】如图，由题意可以判断ADE为等腰直角三角形，即可解决问题．【解析】解：由旋转变换的性质知：EAD CAB ∠=∠，AE AD =； ABC 为直角三角形，90CAB ∴∠=︒，∴90EAD ∠=︒，∴ADE 为等腰直角三角形，45AED ∴∠=︒，故答案为45︒．【点睛】该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．16．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）如图，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45E ∠=︒，B ，C ，E 三点共线，Rt ABC △ 不动，将Rt CDE △绕点C 逆时针旋转()0360a α︒<<︒，当DE //BC 时，α=____________．【答案】45º或225º【分析】根据旋转方向与旋转角的度数范围，可得当DE ∥BC 时，画出两种符合条件的图形，分别利用平行线的性质与三角形内角得定理即可求得相应的旋转角的度数．【解析】解：此题可分两种情况：如图1：∵90DCE ∠=︒，45E ∠=︒，∴45D ∠=︒．∵DE ∥BC ，∴45BCD D ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒．∴45ACD ACB BCD ∠=∠-∠=︒．即旋转角α的度数为45º．如图2：∵DE ∥BC ，∴45BCE E ∠=∠=︒．∴225?ACD ACB BCE DCE ∠=∠+∠+∠=．即旋转角α的度数为225º．综上所述，旋转角α的度数为45º或225º．故答案为：45º或225º．【点睛】此题考查了旋转角的计算，掌握旋转角的定义并能运用平行线的性质正确求出旋转角的度数是解题的关键．17．（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，ABC ∆中，90,40ACB ABC ∠=∠=．将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到A'BC'△，使点C 的对应点'C 恰好落在边AB 上，则'CAA ∠的度数是_____．【答案】120º【分析】根据旋转可得∠A′BA ＝∠ABC ＝40°，A′B ＝AB ，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB ＋∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠CAB ＝90°−∠ABC ＝90°−40°＝50°，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A′BC′，使点C 的对应点C′恰好落在边AB 上，∴∠A′BA ＝∠ABC ＝40°，A′B ＝AB ，∴∠BAA′＝∠BA′A ＝12×（180°−40°）＝70°， ∴∠CAA'＝∠CAB ＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．18．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，ABD △经旋转后到达ACE △的位置，若15CAE ∠=︒，那么DAC ∠=_____．【答案】45°【分析】由△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，可知∠BAD=15CAE ∠=︒，即可求解．【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，∴∠BAD=15CAE ∠=︒，∴∠DAC=BAC 45BAD ∠-∠=︒．故答案为：45︒．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中，ABC 的顶点都在格点上，, , A B C 为格点．（1）先将ABC 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后DEF ，（点A ，B ，C 所对应的顶点分别是D ，E ，F ）（2）求出DEF 的面积；（3）连结 AD ，BE ，直接说出 AD 与BE 的关系（不需要理由）．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE 且AD ∥BE【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A 、B 、C 的对应点D 、E 、F ，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式计算；（3）根据平移的性质回答．【解析】解：（1）如图，△DEF 即为所作；（2）S △DEF=1442⨯⨯=8； （3）如图，由平移可知：AD=BE 且AD ∥BE ．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．20．（2020·重庆巴南区·九年级期末）如图，D 为ABC 内一点，AB AC =，50BAC ∠=︒，将AD 绕着点A 顺时针旋转50︒能与线段AE 重合．（1）求证：EB DC =；（2）若115ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】（1）证明见解析，（2）50°．【分析】（1）证△AEB ≌△ADC 即可；（2）由全等可知∠AEB=∠ADC=115°，依据等腰三角形的性质求出∠AED 即可．【解析】解：（1）证明：由旋转可知，AE=AD ，∠EAD=∠BAC=50°，∴∠EAB=∠DAC ，∵AB=AC ，∴△AEB ≌△ADC ，∴EB DC =．（2）∵△AEB ≌△ADC ，∴∠AEB=∠ADC=115°，∵AE=AD ，∠EAD=50°，∴∠AED=18050652︒-=︒， ∠BED=115°-65°=50°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是抓住旋转的性质，联系全等三角形、等腰三角形解题．21．（2021·全国九年级）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，AC 、BD 为两条对角线，且AC ⊥BD ，AC ＝BD ，（1）把AC 平移到DE 的位置，方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长；（2）判断△BDE 的形状．【答案】（1）答案见解析；（2）等腰直角三角形【分析】（1）延长BC 至E ，使CE ＝AD ，连接DE 即可；（2）根据平移的性质可得DE ∥AC ，DE ＝AC ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BDE ＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可．【解析】解：（1）如图所示，DE 即为所求；（2）由平移的性质得，DE ∥AC ，DE ＝AC ，∵AC ＝BD ，∴BD ＝DE ，∴△BDE 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，等腰直角三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 22．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，点O 是等边ABC 内一点，将CO 绕点C 顺时针旋转60︒得到CD ，连结OD ，AO ，AD ．（1）求证：BCO ACD △≌△．（2）若150BOC ∠=︒，8OB =，6OC =，求AOD △的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【分析】（1）由旋转的性质就可以证明△BCO ≌△ACD ；（2）首先证明OCD 是等边三角形，得OD=6，再证明AD OD ⊥即可求出AOD △的面积．【解析】证明：（1）∵ABC 是等边三角形，∴BC AC =，60ACB ∠=︒．由旋转得：CO CD =，60OCD ∠=︒．∴ACB OCD ∠=∠．∵BCO ACB ACO ∠=∠-∠，ACD OCD ACO ∠=∠-∠，∴BCO ACD ∠=∠，∴BCO ACD △≌△．（2）∵BCO ACD △≌△，150BOC ∠=︒，8OB =，∴150BOC ADC ∠=∠=︒，8OB AD ==，OC DC =．∵60OCD ∠=︒，∴OCD 是等边三角形，∵6OC =，∴60ODC ∠=︒，6OD OC ==．∴1506090ADO ∠=︒-︒=︒，∴AD OD ⊥． ∴11862422AOD S AD OD ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．23．（2020·广东深圳市·七年级期末）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OD 与射线OB 重合，如图2．（1）∠EOC ＝ ；（2）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠EOB 的角平分线，求∠BOD 的度数；（3）将三角板DOE 绕点O 逆时针旋转，在OE 与OA 重合前，是否有某个时刻满足∠DOC ＝13∠AOE ，求此时∠BOD 的度数．【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°【分析】（1）根据EOD ∠和∠BOC 的度数可以得到EOC ∠的度数；（2）根据OC 是EOB ∠的角平分线，50BOC ∠=︒，可以求得EOC ∠的度数，由90EOD ∠=︒，可得DOC ∠的度数，从而可得BOD ∠的度数；（3）画出符合题意的两种图形，设DOC α∠=，由50BOC ∠=︒，90EOD ∠=︒，∠DOC ＝13∠AOE 可得DOC ∠的度数，由50BOC ∠=︒，即可得到BOD ∠的度数．【解析】（1）∵90EOD ∠=︒，50BOC ∠=︒，∴905040EOC EOD BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：40︒；（2）解：OC 是EOB ∠的角平分线，50EOC BOC ∴∠=∠=︒，905040DOC EOD EOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，504010BOD BOC COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（3）①若OD 在OC 下方时，∠DOC ＝13∠AOE ， 设∠DOC ＝α，则∠AOE ＝3α， 50BOD α∠=︒-，18090BOD AOE EOD ∠+∠=︒-∠=︒，35090αα∴+︒-=︒，20α∴=︒ 5030BOD α∴∠=︒-=︒；②若OD 在OC 上方时，∠DOC ＝13∠AOE ， 设∠DOC ＝α，则∠AOE ＝3α，50+BOD α∠=︒，18090BOD AOE EOD ∠+∠=︒-∠=︒，350+90αα∴+︒=︒，10α∴=︒ 50+60BOD α∴∠=︒=︒．【点睛】本题考查了角的计算和旋转的知识以及角平分线的性质和应用，解题的关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．24．（2020·浙江八年级期末）如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰ABC 与等腰ADE 中，BAC DAE α∠=∠=，AB AC =，AD AE =.我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模 型”.（1）（探究模型）如图1，线段BD 与线段CE 存在怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）（应用模型）如图2，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，3BC =，点P 是BC 边的中点，直线MN 经过点P ，且与直线BC 的夹角为30，点D 是直线MN 上的动点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到线段AE ，连结DE .①如图3，当点E 落在BC 边上时，求C ，E 两点之间的距离.②直接写出在点D 运动过程中，点C 和点E 之间的最短距离.【答案】（1）BD CE =，见解析；（2）①2；3【分析】（1）先证明BAD CAE ∠=∠，然后根据“SAS”证明DAB EAC ≅，根据全等三角形的对应边相等可证结论成立；（2）①连结BD ，证明DAB EAC ≅，可知CE=BD ，证明∠PBD=90°，在Rt △BPD 中求出BD 的长即可；②当BD ⊥MN 时，BD 最短，即CE 最短，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【解析】解：（1）BD CE =，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在△DAB 和△EAC 中AB ACBAD EAC AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAB EAC ≅∴BD CE =；（2）①连结BD ，∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴90DAB EAC BAE ∠=∠=︒-∠∵等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒∵旋转得：AD AE =，在△DAB 和△EAC 中AB AC BAD EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAB EAC ≅，∴BD CE =，45DBA ACE ∠=∠=︒，∴90DBC ∠=︒． ∵43BC =，点P 是BC 边的中点，∴23BP =，∵30BPD ∠=︒，∴PD=2BD ．∵BD2+BP2=PD2，∴BD2+(23)2=4BD2，∴2BD =，∴2CE =；②当BD MN ⊥时，BD 最短，∵BD MN ⊥，30BPD ∠=︒，∴BD 最小=12BP 3= 即点C 和点E 3【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短的性质，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
复习计划(优秀6篇).doc
复习计划(优秀6篇)复习计划篇1对于成绩较好的孩子如何夯实基础保持平稳力创佳绩复习建议1、复习声母、韵母和整体认读音节表，分清声母、韵母和整体认读音节。
2、熟练掌握《汉语拼音字母表》，会使用音序查字法。
3、通过练习，分清读音相似和字形相似的拼音。
4、训练正确地拼读音节，知道音节的意思并选择正确的音节。
复习计划篇2备考时端正态度做题这个环节，我集中安排在最后一个月。
这有一个好处，在临考的前一个月做题，能找到考试的感觉。
当然，做题也有技巧。
这里我特别强调做题要注意自己的速度，通过不断的训练逐步达到又快又准的要求。
我在刚做题的时候，做快了正确率低，做慢了时间又不够用。
怎么办?没有别的办法，只能靠多做题来不断体会，不断提高。
阅读中记忆单词态度决定一切，这是不变的真理。
做什么事情都是如此，CET备考也不例外。
习题后总结过错高三语文学习策略该如何制定呢？其实，通过历年的高考语文试卷分析得知：大部分内容考的都是课外知识。
这样就导致很多考生忽略了课堂的学习时间，其实这样是非常不对的。
因为我们知道语文课课堂，我们不仅仅是学习课堂上的一些知识，我们更加注重的是分析问题的思路以及解题技巧。
在很多问题上面，可能都是相似的问题，只是稍改动了一下侧重点；因此，在语文课上我们要学会答题技巧很重要。
语文学习自然也少不了，了解当下的热点新闻；因为一些*会根据时下的热点来出题，了解一些热点新闻还是很有必要的。
因此，考生们应该在平时增加自己的课外阅读量，来提升自己了解的信息量，对语文学习还是很有帮助的。
复习计划篇3一、复习目标：1．掌握原理，灵活应用，注重解题思路。
掌握化学基本原理和规律，在解题中灵活应用，拓宽解题思路，增强解题的技巧性。
如应用守恒法、差量法、讨论法解一些计算题，可以提高解题的速率和准确性。
化学原理如元素守恒原则、氧化还原反应、电子得失守恒、化学平衡、物质结构、有机反应中断键成键的一般规律，要重点回顾。
推断有机物的结构，要抓住有机物功能团的转化规律和反应的基本类型。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、 基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0， 则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3， 即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ， 所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ， 解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ． （2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立， 即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。
高中十大教辅书排行榜 高一各科最好的教辅有哪些
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高中生在高中阶段都会准备各种各样不同版本的教辅书，然而有些教辅书对高中生是有成绩的提升的，有些教辅书则作用不大。
下文小编给大家整理了高中最好用的教辅书，供参考！
高一各科最好用的教辅书数学：
《5年高考3年模拟：高中数学》
语文：
《语文基础知识手册》
英语：
《牛津高阶英汉双解词典》
化学:
《5年高考3年模拟高中化学》
生物：
《中学教材全解高中生物必修1》
物理：
《高中物理解题专家(高一分册)》
十大高中教辅书排行榜1、《5年高考3年模拟》
这个系列的教辅从初中到大学考研全方位覆盖，而且几乎是人手一本，足以说明它的效果。
这套教辅是刷题解析二合一的，既有考点归纳，也有题型的剖析，还有命题预测。
而且书中的题型来自全国各地近几年来的考卷，是所有教辅书中最全的。
五三系列一般分为AB版，A版是比较基础的，B版是拓展拔高的。