2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(数学[理])

2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1. 答案：A2．下列四个图象所表示的函数，在点x ＝0处连续的是( )解析：由函数连续的图象特征易知选D. 答案：D3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C4．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，对称轴为x ＝1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.答案：A5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，B C 2＝16，|A B ＋A C |＝|A B－A C |，则|AM|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1 解析：由|A B ＋A C |＝|A B －A C |，可知A B⊥A C ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC上的中线，因此|AM |＝12|B C|＝2.答案：C6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)解析：将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位得到y ＝sin(x －π10)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π10)的图象．答案：C7．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈Nx ＋y ≤7010x ＋6y ≤480，甲、乙两车间每天能够获得的利润为z ＝280x ＋200y ，画出可行域，由线性规划可知当直线z ＝280x ＋200y 经过x ＋y ＝70与10x ＋6y ＝480的交点(15,55)时，z ＝280x ＋200y 取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，每天能够获得的利润最大．答案：B8．已知数列{a n }的首项a 1≠0，其前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋a 1，则li m n→∞a nS n＝( ) A ．0B.12C ．1D ．2解析：由S n ＝2S n －1＋a 1得S n ＋a 1＝2(S n －1＋a 1)，{S n ＋a 1}为等比数列，S n ＋a 1＝2a 1·2n －1＝a 1·2n ， S n ＝(2n－1)a 1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1·a 1， 当n ＝1时，上式也成立， 因此a n ＝2n －1·a 1，li m n→∞a n S n＝li m n →∞ 2n －1·a 1(2n－1)a 1＝li m n →∞ 121－12n＝12. 答案：B9．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22]B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)解析：设点P 到右准线的距离为d ，由|PF |＝|AF |＝a 2c －c ，又由第二定义d ＝|PF |e ＝a 2c －ce ＝(a 2c －c )×ac，得P 点横坐标x p ＝a 2c －d ＝a 2c －(a 2c －c )×a c ，由点P 在椭圆上，得－a ≤a 2c －(a 2c －c )×ac a ，解得12≤e <1.答案：D10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A ．72B ．96C ．108D ．144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 13种方法，将其余两个偶数全排列，有A 22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A 22·A 23种方法，故满足题意的偶数个数有C 13·A 22(A 33＋A 22·A 23)＝108个．答案：C11．半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是( )A ．R arccos 1725B ．R arccos1825C.13πRD.415πR解析：有题意知△ABC 和△ABD 是全等的直角三角形，解得|AC |＝5R ，连结BM ，因为AB 是直径，所以BM ⊥AM ，则|AM |＝|AB |cos ∠BAC ＝2R ·2R 5R ＝45R5，同理求得|AN |＝45R5，故MN ∥CD .所以|MN ||CD |＝|AM ||AC |＝45，求得|MN |＝45R ，所以cos ∠MON ＝R 2＋R 2－16R2252×R 2＝1725， 则∠MON ＝arccos 1725，所以M 、N 两点的球面距离为R arccos 1725.答案：A12．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析：原式＝a 2＋1ab ＋1a (a －b )＋a 2－10ac ＋25c 2 ＝a 2＋1b (a －b )＋(a －5c )2≥a 2＋4a2＋0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a ＝2， 即a ＝2b ＝5c ＝2时“＝”成立， 故原式的最小值为4. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．(2－13x )6的展开式中的第四项是________．解析：(2－13x )6的展开式中第四项为T 4＝C 3623(－13x)3＝－160x. 答案：－160x14．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 解析：圆心到直线x －2y ＋5＝0的距离为d ＝51＋4＝5，则|AB |＝28－5＝2 3. 答案：2 315．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB 、OC ，则OC ⊥l . 设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin30°·sin60°＝34.答案：3416．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②. 答案：①②三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么 P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16(56)2＝25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3(16)k (56)3－k，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数ξ的分布列为Eξ＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12. 18．(本小题满分12分)已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M 是棱AA ′的中点，点O 是对角线BD ′的中点．(1)求证：OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线； (2)求二面角M －BC ′－B ′的大小； (3)求三棱锥M －OBC 的体积．解：法一：(1)连结AC ，取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK .因为点M 是棱AA ′的中点，点O 是BD ′的中点， 所以AM 綊12DD ′綊OK ，所以MO 綊AK .由AA ′⊥AK ，得MO ⊥AA ′.因为AK ⊥BD ，AK ⊥BB ′，所以AK ⊥平面BDD ′B ′， 所以AK ⊥BD ′， 所以MO ⊥BD ′.又因为OM 与异面直线AA ′和BD ′都相交， 故OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线．(2)取BB ′的中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ′B ′.过点N 作NH ⊥BC ′于H ，连结MH ，则由三垂线定理得，BC ′⊥MH . 从而∠MHN 为二面角M －BC ′－B ′的平面角． 因为MN ＝1，且NH ＝BN sin45°＝12×22＝24.在Rt △MNH 中，tan ∠MHN ＝MN NH ＝124＝2 2. 故二面角M －BC ′－B ′的大小为arctan2 2.(3)易知，S △OBC ＝S △OA ′D ′，且△OBC 和△OA ′D ′都在平面BCD ′A ′内． 点O 到平面MA ′D ′的距离h ＝12.V M －OBC ＝V M －OA ′D ′＝V O －MA ′D ′＝13△MA ′D ′h ＝124法二：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A ′(1,0,1)，C ′(0,1,1)，D ′(0,0,1)． (1)因为点M 是棱AA ′的中点，点O 是BD ′的中点， 所以M (1,0，12)，O (12，12，12)．O M ＝(12，－12，0)，AA ′＝(0,0,1)， BD′＝(－1，－1,1)． O M ·AA ′＝0，O M ·BD ′＝－12＋12＋0＝0， 所以OM ⊥AA ′，OM ⊥BD ′.又因为OM 与异面直线AA ′和BD ′都相交， 故OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线． (2)设平面BMC ′的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．BM ＝(0，－1，12)，B C ′＝(－1,0,1)． 由⎩⎨⎧n 1·BM ＝0，n 1·B C ′＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12z ＝0，－x ＋z ＝0.取z ＝2，则x ＝2，y ＝1.从而n 1＝(2,1,2)． 取平面BC ′B ′的一个法向量为n 2＝(0,1,0)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝19×1＝13.由图可知二面角M －BC ′－B ′的平面角为锐角， 故二面角M －BC ′－B ′的大小为arccos 13.(3)易知，S △OBC ＝14S BCD ′A ′＝14·1·2＝24.设平面OBC 的一个法向量n 3＝(x 1，y 1，z 1)．BD′＝(－1，－1,1)，B C ＝(－1,0,0)． 由⎩⎨⎧n 3·BD′＝0，n 3·B C ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋z 1＝0，－x 1＝0.取z 1＝1，则y 1＝1.从而n 3＝(0,1,1)．点M 到平面OBC 的距离d ＝|BM· n 3||n 3|＝122＝122＝24. V M －OBC ＝13S △OBC ·d ＝13·24·24＝124.19．(本小题满分12分)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)∶cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)∶sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，A B ·A C ＝3，且cos B ＝35，求cos C .解：(1)①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox ，且交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3； 角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos(π2－α)＝sin α，sin(π2－α)＝cos α.sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)＋(－β)]＝cos(π2－α)cos(－β)－sin(π2－α)sin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.A B ·A C＝bc cos A ＝3>0， ∴A ∈(0，π2)，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－1010. 20．(本小题满分12分)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解：(1)设 P (x ，y )(y ≠0)，则(x －2)2＋y 2＝2|x －12|，化简得x 2－y23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)． 与双曲线方程x 2－y 231联立消去y 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0. 由题意知，3－k 2≠0且Δ>0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝k 2(4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4)＝－9k 2k 2－3.因为x 1≠－1，x 2≠－1， 所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 因此M 点的坐标为(12，3y 12(x 1＋1))，FM ＝(－32，3y 12(x 1＋1))，同理可得FN ＝(－323y 22(x 2＋1))，因此FM ·FN ＝(－32)×(－32)＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34(4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－31)＝0. ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2， 则可得B (2,3)，C (2，－3)， AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为(12，32)，FM ＝(－32，32)．同理可得FN ＝(－32，－32)．因此FM ·FN ＝(－32)×(－32)＋(－32)×32＝0.综上，FM ·FN ＝0，即FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *，都有a 2m－1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2. (1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：数列{b n }是等差数列； (3)设c n ＝(a n ＋1－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8. 于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8. 所以数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)可知数列{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列，则b n ＝8n －2.即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2. 另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2. 那么a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1.两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n＝2·1－q n 1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n＋nq n ＋11－q ，所以S n ＝2·nqn ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，(q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，(q ≠1).22．(本小题满分14分)设f (x )＝1＋a x1－a x(a >0且a ≠1)，g (x )是f (x )的反函数．(1)设关于x 的方程log a t(x 2－1)(7－x )g (x )在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；(2)当a ＝e(e 为自然对数的底数)时，证明：2nk =∑g (k )>2－n －n22n (n ＋1)；(3)当0<a ≤12时，试比较|1nk =∑f (k )－n |与4的大小，并说明理由．解：(1)由y ＝f (x )＝1＋a x1－a x ，得a x＝y －1y ＋1>0，故y <－1或y >1，故g (x )＝log a x －1x ＋1，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，由log a t (x 2－1)(7－x )＝log a x －1x ＋1得t ＝(x －1)2(7－x )，x ∈[2,6]，则t ′＝－3x 2＋18x －15＝－3(x －1)(x －5)， 列表如下：所以t 最小值最大值所以t 的取值范围为[5,32]．(2) 2nk =∑g (k )＝ln 13＋ln 24＋ln 35＋…＋ln n －1n ＋1。