2010年高考数学试题——(四川卷理科)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(四川卷)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(四川卷)第Ⅰ卷本卷共21小题，每小题6分，共126分。
可能用到的相对原子质量：C 12 H 1 Cu 64 N 14 O 16Fe 56 S 32一、选择题(本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意)1．与酵母菌相比，硝化细菌具有的特点是()A．无线粒体，只能通过无氧呼吸获得能量B．无固氮酶，只能以含氮有机物作为氮源C．无细胞核，只能通过出芽生殖方式繁殖后代D．无染色体，只能在DNA水平产生可遗传变异答案：1．D硝化细菌是原核生物，虽无线粒体，但仍可进行有氧呼吸；硝化细菌无固氮酶，但可以将氨气氧化为亚硝酸根离子和硝酸根离子，并从该过程中获得能量，这里的氨气是硝化细菌的无机氮源；硝化细菌无细胞核，其增殖方式是二分裂；硝化细菌无染色体，不可能产生染色体变异，只能在DNA水平产生可遗传变异。
2．下列对实验的相关叙述，正确的是()A．探索淀粉酶对淀粉和蔗糖的专一性作用时，可用碘液替代斐林试剂进行鉴定B．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素b在层析液中溶解度最低C．调查人群中某种遗传病的发病率时，应选择有遗传病史的家系进行调查统计D．鉴定蛋白质时，应将双缩脲试剂A液和B液混合以后再加入待检组织样液中答案：2．B本实验欲证明淀粉酶能专一水解淀粉，但对蔗糖来说，加碘液后，若其不水解，溶液为棕黄色，若水解，其仍为棕黄色，不能证明淀粉酶对蔗糖无分解作用；分离叶绿体中色素时，叶绿素b色素带最靠下，说明在层析液中溶解度最低；调查遗传病的发病率时应在人群中随机进行；鉴定蛋白质时应先加双缩脲试剂A液，再加双缩脲试剂B液。
3．有人对不同光照强度下两种果树的光合特性进行研究，结果如下表(净光合速率以B．光强小于0.5 mmol光子/m2·s，限制净光合速率的主要因素是叶绿素含量C．光强大于0.7 mmol光子/m2·s，限制净光合速率的主要生态因素是CO2浓度D．龙眼的最大光能利用率大于芒果，但龙眼的最大总光合速率反而小于芒果答案：3．B表格数据显示(表中第二行和第四行)，光强大于0.1 mmol/m2·s时，光照增强两种果树的光能利用率逐渐减少；对龙眼来说，光强从0.1 mmol/m2·s到0.7 mmol/m2·s 净光合速率一直在增加，因此光强为0.5 mmol/m2·s时，限制净光合速率的因素是光强，而不是叶绿素含量，同理可以判断芒果也是如此；光强大于0.7 mmol/m2·s时，龙眼、芒果的净光合速率都不再增加，限制因素是二氧化碳浓度；龙眼的最大光能利用率(2.30)大于芒果(1.20)，但龙眼的最大总光合速率(8.50＋0.6＝9.1)反而小于芒果(7.6＋2.1＝9.7)。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）语文青峰弦月根据网络图片资料精心校对整理而成本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第4页，第Ⅱ卷第5页至第11页。
全卷满分150分，考试时间150分钟。
考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷考生注意事项：1．答第Ⅰ卷，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3．本卷共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目本意。
一、（12分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，每对的读音完全相同的一组是（）A．皱．纹/骤．然杀戮．/山麓．琼．楼玉宇/群．龙无首B．挟．持/偕．同竹笋．/损．失柳．暗花明/扭．转乾坤C．肋．骨/擂．台嗟．叹/街．道追根溯．源/素．昧平生D．游泳．/踊．跃祝贺．/豁．达倾．家荡产/轻．装简从2．下列词语中没有错别字的一组是（）A．驰援万户侯明察秋毫急风劲草B．规矩流线形歪风邪气通宵达旦C．催眠及时雨寸草春辉防患未然D．签订护身符屈指可数语无伦次3．下列各句中，加点词语使用恰当的一句是A．传统的“严父慈母”在一些三口之家中逐渐演变为“慈父严母”，以前严厉的父亲如今在这些家庭中扮演着唱红脸．．．的角色。
B．该县有关部门在今后两年内斥资对这位名人的故里．．进行修复，把它打造成精品，以吸引外地游客。
使当地旅游人气更旺。
C．经过多年的深入研究，该课题组撰写了专题报告，对我国票据法的特色及其．．立法决策中的几个问题进行了分析论述。
D．他准备出售自己珍藏多年的字画，并把出售所得捐赠给西南干旱地区，但后来字画不慎遗失使他的计划成了纸上谈兵．．．．。
4．下列各句中，没有语病的一句是A．曹操的性格具有双重性，他的雄才大略与奸诈凶狠对于任何一个扮演他的演员来说都具有挑战性，也是个难得的表演机会。
普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)解析之欧阳物创编
2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3。
本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B ) =P (A )+P (B ) 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题：（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 解析：由复数性质知：i 2＝－1 故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1 答案：A（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（A ） （B ） （C ） （D ）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D（3）2log510＋log50.25＝（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2答案：C（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）2m=m=-（D）1m=（C）1m=-（B）2m解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2m＝1m＝－2于是－2答案：A（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2∣∣==∣+∣=∣-∣,则AM16,BC AB AC AB AC（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1解析：由2BC ＝16，得|BC|＝4∣+∣=∣-∣=||＝4AB AC AB AC BC而AB AC AM∣+∣=2∣∣故AM∣∣=2答案：Cπ个单（6）将函数sin=的图像上所有的点向右平行移动y x10位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10π)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210y x π=-.答案：C（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱则70106480,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩目标函数z ＝280x ＋300y结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1a 2＝2a 故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==-答案：B（9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A ）20,⎛ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤⎥⎝⎦（C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等而|FA |＝22a b c c c-=|PF |∈[a －c ,a ＋c ]BCD AN M Oα于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c ⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩ 1112c ac c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或 又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别 与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是 （A ）17arccos 25R （B ）18arccos 25R（C ）13R π （D ）415R π解析：由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝12cos ∠BAC ＝255连结OM ，则△OAM 为等腰三角形AM ＝2AOcos ∠BAC ＝45R ，同理AN ＝45R ，且MN ∥CD而AC ＝5R ,CD ＝R故MN ：CD ＝AN :ACMN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R 于是cos ∠MON ＝22217225OM ON MN OM ON +-=所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R 答案：A（12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2 （B ）4 （C ） 25（D ）5 解析：221121025()a ac c ab a a b ++-+- ＝2211(5)()a c a ab ab ab a a b -+-+++-＝211(5)()()a c ab a a b ab a a b -+++-+-≥0＋2＋2＝4当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立 如取a 2b 2,c 2满足条件.答案：B第Ⅱ卷α•AB•β二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）6(2的展开式中的第四项是.解析：T 4＝33361602(C x=-答案：－160x（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣=.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为圆心到直线250x y -+=的距离为d ＝=故|AB |222()+=2得|AB |＝23答案：23（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈， AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ， 故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60° 又由已知，∠ABD ＝30°连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角设AD ＝2，则AC CD ＝1AB ＝sin 30AD＝4α•AB•βC D∴sin ∠ABC ＝3AC AB =答案：3 （16）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。
2010年四川省数学高考压轴题巧解
又孝 虑 到 ｌ ＜ ｌ １≤ ３． 旱 干
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综上所 述 ， 总有 Ｉ
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说 明 考 生 很 难 想 到命 题 组 给 出 的 上 述 解
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１ 解答
行 了不容 易想 到 的放 缩 ， 缩 之后 再 累 加 ， 放 累加 中 抵消 大部 分项 ， 显然 在放缩 时就 已经 考虑 到 了之后 的 “ 消 ” 至此 才基本 证 明完 毕． 抵 ， 笔者 查 过很 多解
答， 几乎全 部提 供这 种 解 法 ， 至 有 些 粗糙 的答 案 甚
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与 的大小
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第 （ ） 题 考 查 了反 函数 、 程 、 数 及 其 应 １小 方 导 用 等基础 知识 ， 度 不 大 ， 大 部 分学 生 都 能顺 利 难 绝
四川2010年高考数学(理)模拟试题及答案(一)
四川2010级数学（理科）高考模拟试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）组成，共2页；答题卷即第Ⅱ卷（非选择题）共6页.满分150分.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回. 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，， 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1.设集合A=R ，集合B=+R ，下列对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的是A.xy x =→ B.2)1(1-=→x y xC.x y x -=→2D.)1(log 22x y x +=→ 2.ABC ∆中，90C ∠=︒，(,1)AB k = ，(2,3)AC =，则k 的值是A.5B.－5C.32D.32-3.复数z a bi =+（,a b R ∈）是方程234z i =--的一个根，则z 等于A.12i +B.12i -+C.12i --D.2i +4.函数()sin cos f x x x =+，则函数()y f x '=的图象的一条对称轴为A.4x π=B.2x π=C.x π=D.34x π=5.已知{}n a 为等比数列，公比为q （q R ∈），其前n 项的和为n S ，且396,,S S S 成等差数列，则3q 等于A.1B.－12C.－1或12D.1或－126.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式为2()f x x x =-，则不等式()0f x >的解集A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)-7.若(16)n x +展开式中n x 的系数为n a ，3(75)nx +展开式中各项系数的和为n b ，则2lim 34nnn n n a b a b →∞-+ 的值为A.－1B.1C.－12D.128.三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC两两互相垂直，且2,PA PB PC ===则空间一点O 到点P 、A 、B 、C 等距离的值是9.已知23,x ≤≤212x y x -≤≤，则yx 的最小值为A.12 B.1 C.32 D.210.已知01x <<，,a b 为常数且0ab <，则221a b y x x =+-的最小值是 A.2()a b + B.2()a b -C.22a b + D.22a b -11.双曲线22221x y b a -=（0,0a b >>）的一个焦点为1F ，顶点为1A 、2A ，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ,12A A 为直径的两圆一定A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能12.已知函数32()f x ax bx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与30x y -=垂直，又()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是A.3m ≤-B.0m ≥C.3m <-或0m >D. 3m ≤-或0m ≥高2010级数学（理科）高考模拟试题 答 题 卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上.2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上 .13.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。
2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)
第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。
2008-2010三年高考四川卷理科数学试题合集(附答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第Ⅰ卷说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'⨯=）1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,4,5}C ．{4,5}D ．{1,5} 解析：选B.2．复数22(1)i i +=（ ）A ．-4B ．4C ．-4iD ．4i 解析：选A ．3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 解析： 原式32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x =+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x+=cos sin xx=cot x =， 选D ．4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02απ≤<，sin αα>，则α的取值范围是（ ）A ．(,)32ππB ．(,)3ππC ．4(,)33ππD ．3(,)32ππ解析：sin αα>，即sin 0αα>，即2sin()03πα->，即sin()03πα->； 又由02απ≤<，得5333πππα-≤-<； 综上，03παπ≤-<，即433ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）A ．70B ．112C ．140D ．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选C ．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞ 解析：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x+≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3：5：6B ．3：6：8C ．5：7：9D ．5：8：9解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30︒角的直线有且只有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0f =解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2k πϕπ=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．又'()cos()f x x ωωϕ=+，2k πϕπ=+，'(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2πϕ=±验证．11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）A ．13B ．2C ．132D ．213解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK AF =，得=2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第Ⅱ卷二、填空题：（4'416'⨯=）13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是 答案：6-．解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+⋅+⋅+-++2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是答案：解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d === 15，且与底面所成的角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积是 ． 答案：2．解析：由题意，2226cos a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩，12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒== 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 . 答案：4．解析：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值． 解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+- 2284sin cos (12cos )x x x =---282sin 2cos 2x x =-- 282sin 2(1sin 2)x x =---272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望．解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =⨯-+-⨯0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008P C ξ==⨯-=123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==⨯-⨯=223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==⨯-⨯= 333(3)0.80.512P C ξ==⨯=ξ的分布列为ξ30.8 2.4E ξ=⨯=．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD BAF ∠=∠=︒，BC //=12AD ，BE //=12AF ． （Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=︒ ∴AF ⊥面ABCD ．∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则(0,0A ，(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =-，(0,,)CE b c =-，∴2DF CE =，∴//DF CE ，∵E DF ∉，∴//DF CE ， ∴C 、D 、E 、F 四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111020x z y +=⎧⎨=⎩，1(1,0,1)n =-设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =由210n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222020z x y =⎧⎨-+=⎩，2(2,1,0)n =12cos ,n n <>1212n n n n ⋅=⋅==B ACDEF由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为arccos5． 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．20．设数列{}n a 满足：2(1)n n n ba b S -=-． （Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求n a 通项公式．解析：由题意，在2(1)n n n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =． 由2(1)n n n ba b S -=-得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈ 两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=- 即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………① （Ⅰ）当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 于是11122(1)2n n n n a n a n ----⋅=--⋅212[(1)2]n n a n --=--⋅(2,*)n n N ≥∈又1111210a --⋅=≠，所以1{2}n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下：解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 两边同时除以2n 得111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n n n a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{}2n na 是等差数列，公差为12，首项为112a =∴111(1)(1)222n n a n n =+-=+ ∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---⋅=，∴1{2}n n a n --⋅是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+ 两边同时除以2n 得1112222n n n n a a b --=⋅+ 可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+ …………② 展开②得1122222n n n n a a b b λ---=⋅+⋅，与1112222n n nn a a b --=⋅+比较， 得2122b λ-⋅=，∴12b λ=-． ∴1111()22222n n n n a a b b b --+=⋅+-- ∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=-- ∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅-- ∴111()2222n n na b b b b --=⋅--- ∴11112(1)22()2222n n nn n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．21．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F，离心率2e =，右准线l 上的两动点M 、N ，且120F M F N ⋅=．（Ⅰ）若1225F M F N ==a 、b 的值； （Ⅱ）当MN 最小时，求证12FM F N +与12F F 共线． 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧． （Ⅰ）由已知，1(,0)F c-，2(,0)F c ．由2e =，2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ． 延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ．∵120F M F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =． ∴2a =，b =．（Ⅰ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c cc --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=，∴21230y y c =-<． 22222121212121212222412MN yy y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-=．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN 取最小值．此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM F N c c c c c F F +=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-． 由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y kk x c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k =-=⋅+≥．当且仅当13k k =即213k =，k =时取等号．即当MN 最小时，3k =±， 此时1212(3,3)(,)(3,3)(,3)(4,0)2cF M F N c kc c c c c c c F F k+=+-=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．22．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手． （Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-'()2101af x x x=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．'(3)404af =-= 16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞．2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x xx x -+--=+-==+++令'()0f x =，得1x =，3x =．'()f x 和()f x 随x 的变化情况如下：()f x 的增区间是(1,1)-，(3,)+∞；减区间是(1,3)．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小． 又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞； 可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
重教材显能力,寓意深导向明——2010年四川高考理科数学两道试题的评析
（ ） 知 △Ａ Ｃ 的 面 积 Ｓ＝ ， 曰 ・ ｃ＝３且 ｃｓ ＝ ２已 Ｂ ÷ Ａ Ａ ｏＢ 了 求 ｃ８ ． ３ 。Ｃ
，
最 终 实 现 了稳 中有 变 、 中出 新 的 目的． 稳
亮点 ３ 重视基础 ． 凸显 能 力 ， 渗透 新 课 程 理 念
评析
本文根据分析此两题体现 的亮点 ， ２１ 对 ０ １级 高
２ １ 秋 季 四川 省 已 全 面 实 行 新 课 程 ， 课 程 理 念 中 ０ ０年 新
要 求 学 生 的数 学 学 习 不 应 只 限 于 接 收 、 忆 、 仿 和 练 习 ， 记 模
三 复 习 提 出点 建 议 供 参 考 ．
亮点 １ 体 现 了高 考 试 题 源 于 教 材 ， 高 于 教 材 ， 拘 又 不
ｓｎｃｃ ｉ ｔｏ 十ｃ ｓｔｉ ． ｏ ｃ ｓＩ
或许 是 因为 题 目 ２第 （ ） 是教 材 上 的公 式 证 明 ， 大 多 数 １问 绝
老师 和 学 生 都 只 在 高 一 学 习 新 课 时 关 注 过 ， 高 三 复 习 时 在 基 本 都 对 它 无 人 问 津 ， 题 人 也 预 感 到 该 题 会 难 倒 很 多 考 命 生， 出于关 注 考生 心 理 因 素 和 减 轻 考 生 心 理 压 力 等 种 种 因 素考虑 ， 故将 该 题 后 移 到 第 三 大 题 ， 见 命 题 人 之 用 心 良 可 苦 ； 论 是 出 于何 种 情 由 ，０ ０年试 卷在 编排 体 系 上 的 变 化 无 ２１
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）i 是虚数单位，计算2
3
i i i ++=
（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i （2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是
（A ） （B ） （C ） （D ） （3）552log 10log 0.25+=
（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4
（4）函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是
（A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = （5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则
AM ∣∣=
（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1 （6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5y x π
=-
（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220
y x π
=-
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料
需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
α
∙
A
B
∙β
（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim
n
n n
a S →∞=
（A ）0 （B ）
1
2
（C ） 1 （D ）2 （9）椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点
P 满足线段AP 的垂直平分线过点
F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A ）⎛
⎝⎦ （B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
（C ） )
1,1 （D ）1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D （11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是 （A ）17arccos
25R （B ）18
arccos 25
R （C ）13R π （D ）4
15
R π
（12）设0a b c >>>，则2
21121025()
a ac c a
b a a b +
+-+-的最小值是 （A ）2 （B ）4
（C ） （D ）5
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16
分.把答案填在题中横线上. （13）6
(2的展开式中的第四项是 . （14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= . （15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
（16）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。
下列命题：
○1集合S a bi =∣+∣ （a,b 为整数，i 为虚数单位）为封闭集；
○
2若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ○
3封闭集一定是无限集； ○
4若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
（18）（本小题满分12分）
已知正方体ABCD A C D -'B'''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积.
∙D 'A B
C D
M O A '
B '
C '
∙
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○2由S αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=-.
（Ⅱ）已知△ABC 的面积1
2
3S AB AC =∙=，且35
cos B =，求cos C .
（20）（本小题满分12分）
已知定点1020A(,),F(,)-，定直线1
l :x =
，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B C 、两点，直线AB AC 、分别交l 于点M N 、
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1202a ,a ==，且对任意m,n N *∈都有
22121122m n m n a a (m n )+-+-+=+-
（Ⅰ）求35a ,a ；
（Ⅱ）设2121n n n b a a (n N*)+-=- ∈证明：{}n b 是等差数列；
（Ⅲ）设121210n n n n c (a a q (q ,n N*)- +-=- ) ≠∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .
（22）（本小题满分14分）
设11x
x
a f (x )a
+=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.
（Ⅰ）设关于x 的方程求2
17a t
log g(x )(x )(x )
=--在区间[]26,上有实数解，求t 的取值范围；
（Ⅱ）当a e =（e
为自然对数的底数）时，证明：2
2
n
k g(k )=>∑；
（Ⅲ）当1
2
0<α≤时，试比较1
n
k f (k )n =∣-∣∑与4的大小，并说明理由.。