课件05-2+能带结构+

2. 周期势中的电子：Bloch定理
• Bloch定理 • 对于电子的Schroedinger方程：
其中U(r)具有晶格的周期性。
• Bloch定理：上列方程中单电子Hamiltonian的本征态可以写为平面
波与晶格周期函数的乘积：
其中
对所有的晶格矢量R满足
；Bloch函数
2. 周期势中的电子：Bloch定理
• Zone边界处的近似解： • 在Zone边界处，即在 附近，动能对于 相同：
•
是波函数的重要系数，
也是重要系数。
• 我们可以在（6.15）中限制K，只考虑这两个系数。 • 对于系数矢量 ，系数行列式为：
• 这样，能量值就是
2. 周期势中的电子：晶格矢展开
• 在Zone边界处，出现一个能量劈裂： • 能隙中心有自由电子色散的能量 • 系数的比值为： • （6.20）的负（-）号解是一个余玄驻波，正（+）号是正玄驻波。 详见图6.4. • 在低能态（binding）中，电子局域于势能最小处，即原子上；在 高能态（antibinding）中电子局域于原子之间。 • 两个波函数有同样的周期性，因为它们有同样的波矢 • 注意：波函数的周期是2a,波函数的平方的周期是晶格常数a. 给出。
2. 周期势中的电子：晶格矢展开
• 上面是一个简单例子，可以直接解；但是，对于一般的情况，没有 这么简单。 • 下面给出一个针对一般情况的解决方案。 • 首先，将势函数按倒格矢做Fourier级数展开：
• 因为U(r)是实函数，有 • 这个展开可行的深层原因是：对于典型地晶体势，Fourier展开系
• 进一步简化，
• 但是，保持 • （6.12）化为 为有限的常数；相应地，有
其中
表示势垒强度。
2. 周期势中的电子：Kronig–Penney模型
• （6.13）中右边的绝对值小于1，即[-1,+1]，才有解：
Fig. 6.3. (b) Transcendental function B(K) from (6.13) for β = 5. The dashed lines indicate the [−1, 1] interval for which solutions exist for (6.13). (c) Band gap between first and second subband (in units of EX = ℏ2π2/(2ma2)) as a function of β. For smaller β the band gap is ∝ β. For thick barriers (β → ∞) the band gap saturates towards 3EX as expected for uncoupled wells.
• Bloch定理在这里就不做证明了。 • 如果Enk是一个能量本征值，于是对于所有的倒格矢G，Enk+G也是一 个能量本征值：
• 则能量值在倒空间具有周期性。 • 下图是不同的k取法的能带结构：
2. 周期势中的电子：自由电子色散关系
• 如果整个波函数（6.3）满足Schroedinger方程（6.2），那Bloch 函数就满足
这里的k是Bloch波矢，与上面方程中的K和（kappa）不同。
• 波函数及其导数在x=0中的电子：Kronig–Penney模型
• 在（6.11c,d)左边，波函数及其导数在x=-b处的连续性已经用上了。 • 关于A、B、C、D的方程组（6.11）要有非平庸解，其系数行列式必 须等于零。由此可得方程
2. 周期势中的电子：Kronig–Penney模型
• 色散关系结果（虚线是相应的自由电子结果，注意能隙）：
Fig. 6.3. (d, e) The resulting energy dispersion (in units of EX) as a function of the superlattice wavevector k for (d) β = 5 and (e) β = 20 in (6.13). The dashed lines are the free-electron dispersion (for β = 0) (see Fig. 6.2a)
半导体物理：第四章 能带结构
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 引言 周期势中的电子 典型半导体的能带结构 合金半导体 无定形半导体 半导体带隙 带隙的温度依赖性 电子载流子 空穴载流子
10. 能带的应变效应
11. 态密度
1. 引言
• 在晶体中运动的电子会感受到如下的周期势：
R是任意晶格矢量。 • 这个势来源于离子实，以及其它的电子。 • 这是一个多体问题，包含所有的电子和离子实。 • 要求解这个问题，必须简化！
数随着G增大而快速减小。即，对于非屏蔽势，有
• 波函数可表示为所有允许的Bloch波矢的Fourier级数（或积分）：
2. 周期势中的电子：晶格矢展开
• 方程（6.6）中的动能项和势能项化为
• 使用
，（6.16b）可重写为
• 现在，Schroedinger方程可写为无限代数方程组：
2. 周期势中的电子：晶格矢展开
• 如上图，阱宽为a，势垒宽为b，周期为P=a+b。势能在阱底为0，在 势垒处为U0。 • Schroedinger方程为
2. 周期势中的电子：Kronig–Penney模型
• 采用平面波试探解，有
• 第一个方程定义在[0,a]，有
• 第二个方程定义在(a,a+b]，有
• Bloch定理的周期性要求，波函数在x=-b必须具有形式：
• 讨论最简单的情况：U=0。对于倒空间的任意矢量k，容易得到
• 如果定义
，则有
•
可以限制到BZ里面。
2. 周期势中的电子：自由电子色散关系
• 采用各种的倒格矢，色散关系就有很多分支。下图是1D、3D sc、3D fcc的 色散关系：
2. 周期势中的电子：Kronig–Penney模型
• Kronig–Penney模型很简单，可以解析求解，但可以很好地展示周期 势对电子色散关系的作用。