2020数学(文)二轮专题限时集训：不等式选讲
2020高考数学(文)二轮复习讲义《专题七 第2讲 不等式选讲(大题)》
第2讲 不等式选讲(大题)热点一 含绝对值不等式的解法 1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．例1 (2019·四川调研)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －1|. (1)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝f (－1)，求2a ＋1b 的最小值；(2)解不等式f (x )>12.解 (1)由题意得a ＋2b ＝f (－1)＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab ≥4＋24＝8.当且仅当a ＝12，b ＝14时等号成立．所以2a ＋1b的最小值为8.(2)f (x )＝|x －2|－|x －1|.①当x ≤1时，f (x )＝2－x －(1－x )＝1， 由f (x )>12，解得x ≤1；②当1<x <2时，f (x )＝3－2x ，由f (x )>12，即3－2x >12，解得x <54，又1<x <2，所以1<x <54；③当x ≥2时，f (x )＝－1不满足f (x )>12，此时不等式无解．综上，不等式f (x )>12的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，54. 跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1， 即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}． (2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，3x ＋a ≤0， 又a >0，∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 3， 由题意得－a3＝－1，解得a ＝3.热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a . (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．例2 (2019·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x ＋1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤4 的解集；(2)设不等式f (x )≤|2x ＋4|的解集为M ，若[0,3]⊆M ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋2|x ＋1|， 当x ≥1时，若f (x )≤4，即x －1＋2x ＋2≤4， 解得x ≤1，故x ＝1，当－1<x <1时，若f (x )≤4，即1－x ＋2x ＋2≤4， 解得x ≤1，故－1<x <1，当x ≤－1时，若f (x )≤4，即1－x －2x －2≤4， 解得x ≥－53，故－53≤x ≤－1，综上，不等式的解集是⎣⎡⎦⎤－53，1. (2)若[0,3]⊆M ，则问题转化为|x －a |＋2|x ＋1|≤|2x ＋4|在[0,3]上恒成立， 即|x －a |≤2x ＋4－2x －2＝2， 故－2≤x －a ≤2，故－2－x ≤－a ≤2－x 在[0,3]上恒成立， 即x －2≤a ≤x ＋2在[0,3]上恒成立， 故1≤a ≤2，即a 的取值范围是[1,2]．跟踪演练2 (2019·湘赣十四校联考)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (2x )≤3的解集为[1,3]，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 2－3m ＋1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (2x )≤3得|2x －a |≤3， 解得a －3≤2x ≤a ＋3，又已知不等式f (2x )≤3的解集为[1,3]， 所以2≤2x≤23，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝a －3，8＝a ＋3，解得a ＝5.(2)当a ＝5时，f (x )＝|x －5|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －5|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －5，x >5，5，0≤x ≤5，5－2x ，x <0，所以当x >5时，g (x )>5；当0≤x ≤5时，g (x )＝5；当x <0时，g (x )>5， 所以g (x )min ＝5，所以m 2－3m ＋1≤5，解得－1≤m ≤4. 所以实数m 的取值范围是[－1,4]． 热点三 不等式的证明1．证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明． 2．对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式．3．对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数)．4．如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法．例3 已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(1)解 f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋||x －3≤x ＋1.①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5. 又∵x >3，∴3<x ≤5. ∴原不等式的解集为[]1，5. (2)证明 由绝对值不等式的性质， 得|x －1|＋||x －3≥||(1－x )＋()x －3＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2. 令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4，a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m ＋(n －1)2n＝m ＋n ＋1m ＋1n －4＝4mn ≥4⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集．(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6.当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 (ab ＋1)2－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab ) ＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)． 由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴|ab ＋1|>|a ＋b |.真题体验(2019·全国Ⅰ，文，23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c .所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33(a ＋b )3(b ＋c )3(a ＋c )3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.押题预测已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥x ＋4的解集；(2)若不等式f (x )≥a 2－1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x ＋1|＋|x －1|≥x ＋4，可以转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－x －1－x ＋1≥x ＋4或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ＋1－x ＋1≥x ＋4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋1＋x －1≥x ＋4，解得x ≤－43或x ≥4，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－43或x ≥4.(2)f (x )min ＝|(x ＋a )－(x －1)|＝|a ＋1|， 当且仅当(x ＋a )(x －1)≤0时等号成立，所以|a ＋1|≥a 2－1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，－1－a ≥a 2－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋1≥a 2－1，解得a ∈∅或－1≤a ≤2. 所以实数a 的取值范围是[－1,2]．A 组 专题通关1．(2019·全国Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1. 当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·蚌埠质检)已知函数f (x )＝|ax ＋1|，若不等式f (x )≤a 的解集为⎣⎡⎦⎤－32，12. (1)求a 的值；(2)若存在x ∈R ，使得不等式f (x )<a |x |＋a ＋k 成立，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝|ax ＋1|，∴f (x )≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，|ax ＋1|≤a ，解得－a －1a ≤x ≤a －1a，又∵不等式f (x )≤a 的解集为⎣⎡⎦⎤－32，12， ∴⎩⎨⎧－a －1a ＝－32，a －1a ＝12，∴a ＝2.(2)由(1)得，f (x )＝|2x ＋1|， 故不等式f (x )<a |x |＋a ＋k 可化为 |2x ＋1|<2|x |＋2＋k ， 要使不等式存在实数解， 即⎪⎪⎪⎪x ＋12<|x |＋1＋k2存在解， 即⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |－1<k2存在解， 令g (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ≥0，2x －12，－12≤x <0，－32，x <－12，∴g (x )的最小值为－32，依题意得k 2>－32，∴k >－3.3．(2019·全国Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.(1)解 由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]， 故由已知，得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时，等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明 由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 故由已知，得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23， 当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时，等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23. 由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.B 组 能力提高4．(2019·樟树九校联考)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|. (1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ，b ∈R ，a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x －3>－5或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤12，3x ＋1>－5或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3－x >－5，解得x ∈(－2,8)，故f (x )>－5的解集为(－2,8)．(2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立， 得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，即⎪⎪⎪⎪b a ＋2－⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 令ba＝t ， 则|t ＋2|－|2t －1|≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 即(|t ＋2|－|2t －1|)max ≥(|x ＋1|＋|x －m |)min .由(1)知，|t ＋2|－|2t －1|≤52， 又∵|x ＋1|＋|x －m |≥|1＋m |，当且仅当(x ＋1)(x －m )≤0时等号成立，∴|1＋m |≤52， ∴－72 ≤m ≤32， ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－72，32. 5．(2019·保山质检)已知函数f (x )＝|2x －2|－|x ＋1|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R ，求2a ＋b 的取值范围．解 (1)将f (x )去掉绝对值转化为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－1，－3x ＋1，－1≤x <1，x －3，x ≥1，作出它的图象如图1所示．(2)如图2，点A 的坐标为(1，－2)，“不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R ”等价于“对任意的x ∈R ，f (x )≥ax ＋b 都成立”，等价于“函数f (x )图象上所有的点都在直线y ＝ax ＋b 的上方或在直线y ＝ax ＋b 上”，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a ×1＋b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a <0，a ×1＋b ≤－2， 整合三类情形得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0.在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0 表示的可行域，如图3所示．记2a ＋b ＝z ，即b ＝－2a ＋z ，当直线l ：b ＝－2a ＋z 经过B (1，－3)时，直线l 在y 轴上的截距最大， (2a ＋b )max ＝z max ＝2×1－3＝－1，从图形可知，截距z 的取值范围是(－∞，－1]，所以2a ＋b 的取值范围是(－∞，－1]．。
2020年高考文科数学二轮专题复习十二：不等式选讲(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习十二：不等式选讲（附解析）1．考查绝对值不等式的解法．（1）利用零点分段的形式去绝对值，将其转化为分段函数；（2）根据绝对值不等式的几何意义利用数轴作为工具解绝对值不等式． 2．关于绝对值不等式的图象、取值范围和最值问题．（1）利用零点分段的形式去绝对值，将其转化为分段函数，根据分段函数画图象； （2）①根据绝对值函数的图象来求其范围；②利用||||||||||a b a b a b -≤±≤+求其最值．3．以不等式的证明为载体，考查均值不等式0,0)a b a b +≥>>以及柯西不等式22222()()()a b c d ac bd +++≥+的应用．4．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．知识点1．含绝对值不等式的解法 1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果,a b 是实数，则||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立； （2）性质：||||||||||a b a b a b -≤±≤+；（3）定理2：如果,,a b c 是实数，则||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式||,||x a x a <>的解法（2）||ax b +≤和型不等式的解法 ①||ax b c c ax b c +≤⇔-≤+≤； ②||ax b c +≥ax b c ⇔+≥或ax b c +≤-．（3）||||(0)x a x b c c -+-≥>和||||(0)x a x b c c -+-≤>型不等式的解法 解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．知识点2：不等式的证明方法 1．基本不等式定理一：设,,a b R ∈则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．定理二：如果,a b 为正数，则2a b+≥a b =时，等号成立．定理三：如果,,a b c 为正数，则3a b c ++≥a b c ==时，等号成立． 2．不等式的证明方法 （1）比较法①作差比较：0,0a b a b a b a b >⇔-><⇔-<；②作商比较：01,01a aa b a b b b>>⇔><<⇔>．（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立； （4）反证法①作出与所证不等式相反的假设；②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． （5）放缩法：要证a b <，可寻找合适的中间量c 有,a c c b <<，从而证得a b <．1．(2019·全国Ⅱ卷)已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围．2．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．经典常规题（45分钟）3．(2018·全国Ⅲ卷)设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0,x ∈+∞，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．4．(2019·全国Ⅰ卷)已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）()()()33324a b b c a c +++++≥．1．(2018·全国Ⅰ卷)已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时，不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．已知()|21|f x x x =-++，不等式()2f x <的解集是M ． （1）求集合M ；（2）设,a b M ∈，证明：2||1||||ab a b +>+．高频易错题3．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数()|1||23|f x x x =+--． （1）在图中画出()y f x =的图像； （2）求不等式|()|1f x >的解集．4．(2019·全国Ⅲ卷)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．1．设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．2．设函数()|2||34|f x x x =-+-． （1）解不等式()5f x x >；（2）若()f x 的最小值为m ，若实数,a b 满足233a b m +=，求证：22413a b +≥．精准预测题3．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．4．已知0,0a b >>，332a b +=，证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．2020年高考文科数学二轮专题复习十二：不等式选讲（解析）1．考查绝对值不等式的解法．（1）利用零点分段的形式去绝对值，将其转化为分段函数；（2）根据绝对值不等式的几何意义利用数轴作为工具解绝对值不等式． 2．关于绝对值不等式的图象、取值范围和最值问题．（1）利用零点分段的形式去绝对值，将其转化为分段函数，根据分段函数画图象； （2）①根据绝对值函数的图象来求其范围；②利用||||||||||a b a b a b -≤±≤+求其最值．3．以不等式的证明为载体，考查均值不等式0,0)a b a b +≥>>以及柯西不等式22222()()()a b c d ac bd +++≥+的应用．4．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．知识点1．含绝对值不等式的解法 1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果,a b 是实数，则||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立； （2）性质：||||||||||a b a b a b -≤±≤+；（3）定理2：如果,,a b c 是实数，则||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式||,||x a x a <>的解法（2）||ax b +≤和型不等式的解法 ①||ax b c c ax b c +≤⇔-≤+≤； ②||ax b c +≥ax b c ⇔+≥或ax b c +≤-．（3）||||(0)x a x b c c -+-≥>和||||(0)x a x b c c -+-≤>型不等式的解法 解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．知识点2：不等式的证明方法 1．基本不等式定理一：设,,a b R ∈则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．定理二：如果,a b 为正数，则2a b+≥a b =时，等号成立．定理三：如果,,a b c 为正数，则3a b c ++≥a b c ==时，等号成立． 2．不等式的证明方法 （1）比较法①作差比较：0,0a b a b a b a b >⇔-><⇔-<；②作商比较：01,01a aa b a b b b>>⇔><<⇔>．（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立； （4）反证法①作出与所证不等式相反的假设；②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． （5）放缩法：要证a b <，可寻找合适的中间量c 有,a c c b <<，从而证得a b <．1．(2019·全国Ⅱ卷)已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围． 【答案】（1）{|1}x x <；（2）[1,)+∞．【解析】（1）当1a =时，22242,(2)()|1||2|(1)22,(12)242,(1)x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩，所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或212420x x x ≤⎧⎨-+-<⎩， 解得不等式的解集为{|1}x x <．（2）当1a ≥时，由(,1)x ∈-∞，可知()2()(1)0f x a x x =--<恒成立； 当1a <时根据条件可知()0f x <不恒成立， 所以a 的取值范围是1a ≥．2．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（1）{|11}M x x =-<<；（2）证明见解析．【解析】（1）12,211()1,2212,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 当12x ≤-时，()2f x <，解得1x >-；经典常规题当1122x -<<，()2f x <；当12x ≥时，()2f x <，解得1x <， 综上，()2f x <的解集是{|11}M x x =-<<． （2）由（1）知，11a -<<，11b -<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|a b ab +<+．3．(2018·全国Ⅲ卷)设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0,x ∈+∞，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，如下图：（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥，当3a =，2b =时， a b +取最小值，∴ a b +的最小值为5．4．(2019·全国Ⅰ卷)已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）()()()33324a b b c a c +++++≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，222222222a b c ab bc ac ≥++++，即222a b c ab bc ac ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号．1abc =且,,a b c 都为正数，1ab c =，1bca =，1acb =，222111 a bc a b c++≤++．（2）()()()333a b b c a c +++++≥当且仅当()()()333a b b c a c +=+=+时等号成立，即a b c ==时等号成立．又()()()3324a b b c a c abc =+++≥⨯=， 当且仅当a b c ==时等号成立，1abc =，故2424abc ≥=， 即得()()()33324a b b c a c +++++≥．1．(2018·全国Ⅰ卷)已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时，不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，高频易错题（45分钟）∴()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当0a =时，()|1|1f x x =+-，当(0,1)x ∈时，()f x x >不成立； 当0a <时，(0,1)x ∈，∴()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+<，不符合题意； 当01a <≤时，(0,1)x ∈，()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+>成立；当1a >时，(0,1)x ∈，∴1(1),0()1(1)2,1a x x af x a x x a ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，依题意有(1)121a -⋅+≥，即2a ≤，综上所述，a 的取值范围为(0,2]．2．已知()|21|f x x x =-++，不等式()2f x <的解集是M ． （1）求集合M ；（2）设,a b M ∈，证明：2||1||||ab a b +>+． 【答案】（1）{|11}M x x =-<<；（2）证明见解析． 【解析】（1）当12x ≥-时，()211f x x x x =-++=+，由()2f x <，得1x <， 所以112x -≤<； 当12x <-时，()2131f x x x x =---=--，由()2f x <，得1x >-， 所以112x -<<-，综上，{|11}M x x =-<<．（2）因为,a b M ∈，所以1a <，1b <．所以2||1(||||)||||1(||||)||(||1)(||1)0ab a b ab ab a b ab a b +-+=++-+=+-->， 所以2||1||||ab a b +>+．3．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数()|1||23|f x x x =+--． （1）在图中画出()y f x =的图像； （2）求不等式|()|1f x >的解集．【答案】（1）见解析；（2）1{|3x x <或13x <<或5}x >． 【解析】（1）由题意知4,13()32,1234,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， 故()y f x =的图象为（2）由()f x 的解析式和图象知，当()1f x =时，1x =或3x =； 当()1f x =-时，13x =或5x =， 故|()|1f x >的解集是1{|3x x <或13x <<或5}x >． 4．(2019·全国Ⅲ卷)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）证明见解析． 【解析】（1）根据柯西不等式，2222[(1)(1)(1)]3(111)4x y z x y z -++++⨯≥-++++=，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当111x y z -=+=+，即51,33x y z ===-时，222(1)(1)(1)x y z -++++取最小值43． （2）根据柯西不等式，22222[(2)(1)()]3(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-⨯≥-+-+-=+，当且仅当4122,,333a a a x y z ---===时，222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．1．设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =时，24,(1)()2,(12)26,(2)x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩，可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4a +≥， 由|2|4a +≥，可得6a ≤-或2a ≥． 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ． 2．设函数()|2||34|f x x x =-+-． （1）解不等式()5f x x >；精准预测题（2）若()f x 的最小值为m ，若实数,a b 满足233a b m +=，求证：22413a b +≥． 【答案】（1）2(,)3-∞；（2）证明见解析．【解析】46,24()|2||34|22,23446,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩， （1）()5f x x >，当2x ≥时，4656x x x ->⇒<-，不等式无解； 当423x <<时，22253x x x ->⇒<-，不等式无解； 当43x ≤时，24653x x x -+>⇒<，不等式的解为23x <， 综上所述，原不等式的解集为2(,)3-∞． （2）由（1）知，()f x 的最小值为23，于是23m =，所以232a b +=， 则22222222138413444()()39999131313a a b a a a a -+=+=-+=-+≥，当且仅当46,1313a b ==取等号． 所以命题得证．3．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【答案】（1）2{|2}3x x <<；（2）(2,)+∞． 【解析】（1）当1a =时，不等式()1f x >，即为|1|2|1|1x x +-->，则1(1)2(1)1x x x ≥⎧⎨+-->⎩或11(1)2(1)1x x x -<<⎧⎨++->⎩或1(1)2(1)1x x x ≤-⎧⎨-++->⎩，解得12x ≤<或213x <<或∅，所以不等式()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （2）21,()()312,(1)21,(1)x a x a f x x a x a x a x -++≥⎧⎪=+--<<⎨⎪--≤-⎩，画出图像如图，可得21(,0)3a B -，(21,0)C a +，(,1)A a a +， 则△ABC 的面积为21212(21)(1)(1)233a a a a -+-+=+， 由22(1)63a +>，则2(1)9a +>，即13a +>或13a +<-（舍去），所以a 的取值范围为(2,)+∞．4．已知0,0a b >>，332a b +=，证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）5565563323344()()()2()a b a b a ab a b b a b a b ab a b ++=+++=+-++2224()4ab a b =+-≥．（2）332a b +=，∴22()()2a b a ab b +-+=，∴2()[()3]2a b a b ab ++-=，∴3()3()2a b ab a b +-+=，∴3()23()a b ab a b +-=+， 由均值不等式可得：32()2()3()2a b a b ab a b +-+=≤+，∴32()2()3()2a b a b a b +-+≤+，∴31()24a b +≤， ∴2a b +≤当且仅当1a b ==时等号成立．。
【人教A版】2020年高考数学二轮复习《不等式选讲》讲义案及基础题型精讲卷
(| x 5 | | x 3 |)min 8 , 要 使 | x 5 | | x 3 | a 无 解 , 只 需 a 8 . 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是
(,8] .
4.已知函数 f (x) | 2x 1| | 2x a | , g(x) x 3.
（1） a2 b2 2ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）
a 0,b 0, a b 2 ab
（2）
2
（当且仅当等号成立条件为 a b ）；
a 0,b 0, c 0, a b c 3 abc
3
（当且仅当 a b c 时等号成立）
（3）柯西不等式
（合成后为必要条件） 2.同解变形
（1） a b a c b c ；
（2） a b c 0, ac bc c 0, ac bc ；
ab0 1 10 a b 0
（3）
ba
.
（变形后为充要条件）
3.作差比较法
a b a b 0, a b a b 0
以 3 a 1 3 ,所以 2 a 4 .
x2 x | a 1 | | a | 0
3.已知 a R ，关于 x 的方程
4
有实根，求 a 的取值范围.
x2 x | a 1 | | a | 0
解析 方程
4
有实根,
则
1
4
a
1 4
a
解析
（1）因为
3 2
A,
且
1 2
A
|
，所以
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题12 不等式选讲
专题12 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i )(∑ni ＝1b 2i )≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：8.2不等式选讲Word版含解析
第 2 讲不等式选讲考点 1绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法(1)c>0，则 |ax＋b|≤c 的解集为－ c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 的解集为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－ c，而后依据 a、b 的值解出即可．(2)c<0，则 |ax＋b|≤c 的解集为 ?，|ax＋b|≥c 的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c， |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法解这种含绝对值的不等式的一般步骤：(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，依据绝对值的定义去掉绝对值符号，议论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[例 1] [2019 ·全国卷Ⅱ][ 选修 4－5：不等式选讲 ]已知 f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)<0 的解集；(2)若 x∈(－∞， 1)时， f(x)<0，求 a 的取值范围．【分析】此题主要考察绝对值不等式的求解，意在考察考生的逻辑思想能力、运算求解能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)当 a＝1 时， f(x)＝|x－1|x＋|x－ 2|(x－1)．当 x<1 时， f(x)＝－ 2(x－1)2<0；当 x≥1 时， f(x)≥0.所以，不等式 f(x)<0 的解集为 (－∞， 1)．(2)因为 f(a)＝0，所以 a≥1.当 a≥1，x∈(－∞， 1)时， f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x －1)<0，所以， a 的取值范围是 [1，＋∞ )．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段议论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有益弊．在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简易；但若不等式含有多个绝对值符号，则应采纳分段议论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的状况下才能实行．所以，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视详细状况而定 .『对接训练』1．[2019 ·福建三明一中检测 ] 已知不等式 |2x＋3|＋|2x－1|<a 的解集为 M.(1)若 a＝6，求会合 M；(2)若 M≠?，务实数 a 的取值范围．分析： (1)当 a＝6 时，原不等式为 |2x＋3|＋|2x－1|<6，3当 x≤－2时，原不等式化为－ 2x－3＋1－2x<6，解得 x>－2，3∴－ 2<x≤－2；3 1当－2<x<2时，原不等式化为2x＋3＋1－2x<6，解得 4<6，3 1∴－ 2<x<2；1当 x≥2时，原不等式化为2x＋3＋2x－1<6，解得1x<1，∴ 2≤x<1.综上所述，会合M＝{ x|－2<x<1} ．(2)∵M≠?，∴不等式 |2x＋3|＋|2x－1|<a 恒有解．令 f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|，3 1则 f(x)＝2 |x＋2|＋|x－2| ≥4，∴a>4，即实数 a 的取值范围是 (4，＋∞ )．考点 2 绝对值不等式的证明1．绝对值三角不等式定理 1：若 a 、b 为实数，则 |a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥0 时，等号建立．定理 2：设 a 、b 、c 为实数，则 |a －c|≤|a －b|＋|b －c|. 等号建立 ? (a －b)(b －c)≥0，即 b 落在 a 、c 之间． 推论 1：||a|－|b||≤|a ＋b|. 推论 2：||a|－|b||≤|a －b|. 2．基本不等式(1)定理 1：假如 a ，b ∈R ，那么 a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号建立．a ＋b(2)定理 2：假如 a ，b>0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号建立．也能够表述为两个正数的算术均匀数大于或等于它们的几何均匀数．[例 2] [2019 ·全国卷 Ⅰ][ 选修 4－5：不等式选讲 ] 已知 a ，b ，c 为正数，且知足 abc ＝1.证明： 1 1 1 2 22 (1)a ＋b ＋c ≤a ＋b ＋c ；(2)(a ＋b)3＋(b ＋c)3＋(c ＋a)3≥ 24.【证明】 此题主要考察利用综合法以及基本不等式证明不等式，考察运算求解能力、推理论证能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)因为 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 且 abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2 ≥ab ＋bc ＋ca ＝ ab ＋bc ＋ca 1 1 1abc＝a ＋b ＋c . 所以 1＋1＋1≤a 2＋b 2 ＋c 2.a b c(2)因为 a ，b ，c 为正数且 abc ＝1，故有(a ＋b)3＋(b ＋ c)3＋(c ＋a)3≥33a ＋b 3 b ＋c 3 a ＋c3＝3(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)＝24. 所以 (a ＋b)3＋(b ＋c)3＋(c ＋a)3≥24.含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式，能够经过平方法或换元法等去掉绝对值符号转变成常有的不等式的证明，另一类是利用绝对值三角不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋ |b|，经过适合增添、拆项证明或利用放缩法、综合法剖析证明 .『对接训练』2．[2019 ·湖南长沙长郡中学调研 ] 已知函数 f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式 f(x)>4－|x＋1|；4 1(2)已知 a＋b＝2(a>0，b>0)，求证： |x－2.5|－f(x)≤a＋b.分析： (1)f(x)>4－|x＋1|，即 |x＋2|＋|x＋1|>4，x<－2，则得 x<－3.5；－x－2－x－1>4，－2≤x<1，无解；x＋2－x－1>4，x≥－ 1，得 x>0.5.x＋2＋x＋1>4，所以原不等式的解集为 { x|x<－3.5 或 x>0.5} ．(2)证明： |x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5，4 1 1 4 1 1 4b a 1a＋b＝2(a＋b) a＋b ＝2 4＋1＋a ＋b ≥2(5 ＋4)＝4.5，4 1所以 |x－2.5|－f(x)≤a＋b.课时作业 20不等式选讲1．[2019 ·江苏卷 ]设 x∈R，解不等式 |x|＋|2x－1|>2.分析：此题主要考察解不等式等基础知识，考察运算求解能力和推理论证能力．1 当 x<0 时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得 x<－3；1当 0≤x≤2时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即 x<－1，无解；1当 x>2时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得 x>1.1综上，原不等式的解集为{ x|x<－3或 x>1} ．2．[2019 ·陕西彬州质监 ] 已知函数 f(x)＝|x－3|－|x＋2|.(1)求函数 f(x)的值域；(2)若? x∈[－2,1]，使 f(x)≥x2＋a 建立，求 a 的取值范围．分析： (1)依题意可得 f(x)＝－2x＋1，－2<x<3，5，x≤－ 2.当－ 2<x<3 时，－ 5<－2x＋1<5，所以 f(x)的值域为 [－5,5]．(2)因为－ 2≤x≤1，所以 f(x)≥x2＋a 可化为－ 2x＋1≥x2＋a，得? x∈[－2,1]，使得 a≤－x2－ 2x＋1 建立．令 g(x)＝－ x2－2x＋1＝－ (x＋1)2＋2，则当 x∈[ －2,1]时， g(x)max＝2，所以 a 的取值范围为 (－∞， 2]．3．[2019 ·四川绵阳一诊 ] 已知函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－m|(m∈R)．(1)当 m＝1 时，解不等式 f(x)≥2；(2)若对于 x 的不等式 f(x)≥|x－3|的解集包括 [3,4] ，求 m 的取值范围．分析： (1)m＝1 时， f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，1当 x≤－2时， f(x)＝－ 2x－1＋(x－1)＝－ x－2，由 f(x)≥2 得 x≤－ 4，综合得 x≤－ 4；1当－2<x<1 时， f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x，2 2由 f(x)≥2 得 x≥3，综合得 3≤x<1；当 x≥1 时， f(x)＝(2x＋1)－(x－1)＝x＋2，由 f(x)≥2 得 x≥0，综合得 x≥1.2 所以当 m＝1 时， f(x)≥2 的解集是 { x|x≤－ 4 或 x≥3} ．(2)因为 f(x)＝|2x＋1|－|x－m|≥|x－3|的解集包括 [3,4] ，所以当 x∈[3,4] 时， |2x＋1|－|x－m|≥|x－3|恒建立． x∈ [3,4] 时，原式可变成 2x＋1－|x－m|≥x－3，即|x－m|≤x＋4，所以－ x－ 4≤x－m≤x＋4，则－ 4≤m≤2x＋4 在[3,4] 上恒建立，明显当 x＝3 时， 2x＋4 获得最小值 10，则 m 的取值范围是[ －4,10]．4．[2019 ·云南玉溪一中模考 ] 已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式 f(x)≤x ＋3；(2)若 g(x)＝|3x －2m|＋|3x －2|，对 ? x 1∈R ，? x 2∈R ，使得 f(x 1)＝ g(x 2)建立，务实数 m 的取值范围．x ≤－ 1，分析： (1)原不等式等价于－ 3x ≤x ＋311 或 － 1<x ≤2，或 x>2， －x ＋2≤x ＋3≤ ＋ ，3x x 31 3得－ 2≤x ≤2，1 3故原不等式的解集为 { x|－2≤x ≤2} ． (2)由 f(x)＝|x ＋1|＋|2x －1|＝－ 3x ，x ≤－ 1，1－x ＋2，－ 1<x ≤2， 可知当 x ＝12时， f(x)最小，无最大值，13x ，x>2，1 3且 f(x)min ＝f 2 ＝2.3设 A ＝{ y|y ＝f(x)} ，B ＝{ y|y ＝g(x)} ，则 A ＝{ y|y ≥2} ，因为 g(x)＝|3x －2m|＋|3x －2|≥|(3x －2m)－(3x －2)|＝|2m －2|，所以 B ＝{ y|y ≥|2m －2|} ．3 1 7由题意知 A? B ，所以 |2m －2|≤2，所以 m ∈ 4，4 .1 7故实数 m 的取值范围为 { m|4≤m ≤4} ．5．[2019 ·湖南衡阳八中模考 ] 已知函数 f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式 f(x)≤3；23(2)记函数 g(x)＝f(x)＋|x ＋ 1|的值域为 M ，若 t ∈M ，证明：t ＋1≥ t＋ 3t.－ 3x ，x ≤－ 1，1分析： (1)依题意，得 f(x)＝2－x ，－1<x<2，13x ，x ≥2.x ≤－ 1， 或－1<x<1，x ≥1，于是 f(x)≤3?2或2－3x ≤32－x ≤3 3x ≤3，解得－ 1≤x ≤1.即不等式 f(x)≤3 的解集为 { x|－1≤x ≤1} ． (2)g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥ |2x －1－2x －2|＝3，当且仅当 (2x －1)(2x ＋2)≤0 时，取等号，∴ M ＝[3，＋∞ )．要证 t 2＋1≥3t ＋3t ，即证 t 2－3t ＋1－3t ≥0.而 t 2－3t ＋1－3＝t 3－3t 2＋t －3＝t －3 t 2＋1. ttt∵ t ∈M ，∴ t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3 t 2＋1 ≥0.t∴ t2＋1≥3t ＋3t.6．[2019 ·全国卷 Ⅲ][ 选修 4－ 5：不等式选讲 ] 设 x ，y ，z ∈R ，且 x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值； (2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2≥13建立，证明： a ≤－ 3 或 a ≥－ 1.分析： 此题主要考察基本不等式在求最值、不等式恒建立求参数问题中的应用，考察考生的化归与转变能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)因为 [(x －1)＋ (y ＋1)＋(z ＋1)] 2＝ (x －1)2＋ (y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x － 1)(y ＋ 1)＋(y ＋ 1)(z ＋ 1)＋(z ＋ 1)(x －1)]≤ 3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2] ，故由已知得 (x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当 x ＝53，y ＝－ 13，1z ＝－ 3时等号建立．所以 (x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为 43.(2)因为 [(x －2)＋ (y －1)＋(z －a)]2＝ (x －2)2＋ (y －1)2＋(z －a)2＋2[(x － 2)(y － 1)＋(y － 1)(z － a)＋(z － a)(x －2)]≤ 3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2] ，(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2≥ 2＋a24－a故由已知得 3 ，当且仅当 x ＝ 3，＝ 1－a ，z ＝2a －2时等号建立．y 3 32＋a 2.所以 (x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2 的最小值为 32＋a 21由题设知3 ≥3，解得 a ≤－ 3 或 a ≥－ 1.。
2020版高考数学大二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲课件理
1．(2019·咸阳一模)设函数 f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|； (1)解不等式 f(x)＋g(x)<2； (2)对任意的实数 x，y，若 f(x)≤1，g(y)≤1，求证：|x－2y＋1|≤3.
解析：(1)当 x<2 时，原不等式可化为 3－x＋2－x<2，可得 x>32， 所以32<x<2.
证明：(1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋abbcc＋ca＝1a＋1b＋1c.当 且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立． 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋
1．(2019·云南一模)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋|x－2a＋3|. (1)当 a＝2 时，解关于 x 的不等式 f(x)≤9； (2)当 a≠2 时，若对任意实数 x，f(x)≥4 都成立，求实数 a 的 取值范围． 解析：(1)当 a＝2 时，f(x)＝3|x－1|， 由 f(x)≤9 得|x－1|≤3，由|x－1|≤3 得－3≤x－1≤3， 解得：－2≤x≤4， 故 a＝2 时，关于 x 的不等式的解集是{x∈R|－2≤x≤4}．
[类题通法] 1.零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点； (2)划区间，去绝对值号； (3)分别解去掉绝对值号的不等式； (4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点 值．
2．绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a≥f(x)或 a≤f(x)形 式； (2)转化最值：f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a 恒成立⇔ f(x)max＜a；f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a 有解⇔f(x)min＜a； f(x)＞a 无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a 无解⇔f(x)min≥a； (3)得结论．
2020《新高考 二轮专题突破+考前集训 文科数学》课件 基础专题 专题1 集合与常用逻辑用语、不等式
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专题一 集合与常用逻辑用语、不等式
解析：若 p∨q 为假命题，则 p 与 q 均为假命题，正 确；已知向量 a＝(1，m＋1)，b＝(m，2)，则由 a∥b 可 得 m2＋m－2＝0，解得 m＝1 或 m＝－2，所以 a∥b 是 m ＝1 的必要不充分条件，错误；命题“若 x2－3x＋2＝0， 则 x＝1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0”， 正确；命题“∀x∈(0，＋∞)，x－ln x＞0”的否定是 “∃x∈(0，＋∞)，x－ln x≤0”正确．故选 B.
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专题一 集合与常用逻辑用语、不等式
解析：由面面平行的判定定理知，α 内两条相交直线 都与 β 平行是 α∥β 的充分条件，由面面平行的性质定理 知，若 α∥β，则 α 内任意一条直线都与 β 平行，所以 α 内两条相交直线都与 β 平行是 α∥β 的必要条件，故选 B.
6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则 B∩(∁UA) ＝( C )
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
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2020年高考数学二轮复习专题七选考系列之第2讲 不等式选讲
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归纳总结 思维升华
解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1， 不等式f(x)＋x<2化为|2x＋2|<1－x， 当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解； 当1－x>0时，不等式化为x－1<2x＋2<1－x， 解得－3<x<－13， ∴不等式的解集为x－3<x<－13.
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4.基本不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立. 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立. 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正数，则 a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立.
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(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|， 得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1， 设 g(x) ＝ |2x ＋ a| － |2x ＋ a2| ＋ 1 ， 则 不 等 式 的 解 集 非 空 ， 即 不 等 式 有 解 ， 等 价 于 b≤g(x)max， 由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，∴b≤|a2－a|＋1； 由题意知存在 a∈－13，1，使得上式成立； 而函数 h(a)＝|a2－a|＋1 在 a∈－13，1上的最大值 h－13＝193， ∴b≤193；即 b 的取值范围是－∞，193.
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选修4－5 不等式选讲
(建议用时：40分钟)
1．(2019·咸阳三模)设函数f (x )＝|2x －4|＋1.
(1)求不等式f (x )≥x ＋3的解集；
(2)关于x 的不等式f (x )－2|x ＋2|≥a 在实数范围内有解，求实数a 的取值范围．
[解] (1)f (x )≥x ＋3，即|2x －4|＋1≥x ＋3，
则2|x －2|≥x ＋2，
当x ≥2时，解得x ≥6，
当x <2时，解得x ≤23，
所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，23∪[6，＋∞)． (2)由不等式f (x )－2|x ＋2|≥a 在实数范围内有解可得：a ≤2|x －2|－2|x ＋2|＋1在实数范围内有解，
令g (x )＝2|x －2|－2|x ＋2|＋1，则a ≤g (x )min ，
因为g (x )＝2|x －2|－2|x ＋2|＋1≥2|(x －2)－(x ＋2)|＋1＝9， 所以a ≤g (x )min ＝9，即a ∈(－∞，9]．
2．(2019·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a >0)，g (x )＝x 2－x .
(1)当a ＝1时，求不等式g (x )≥f (x )的解集；
(2)已知f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．
[解] (1)当a ＝1时，g (x )≥f (x )⇔⎩⎨⎧ x ≤－1，x 2－x ≥－x －1－x ＋1
或⎩⎨⎧ －1<x <1，x 2－x ≥2或⎩⎨⎧
x ≥1，x 2－x ≥x ＋1＋x －1，
解得x ≤－1或x ≥3，
所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)x －1＋a ，x ≤－1a ，(a －1)x ＋1＋a ，－1a <x <a ，(a ＋1)x ＋1－a ，x ≥a .
当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1≥2，a ＝1；
当a >1时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a ＝a ＋1a ＞2，a >1， 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2019·潍坊二模)已知函数f (x )＝|ax －2|，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．
(1)求实数a 的值；
(2)设g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)，若存在x ∈R ，使g (x )－tx ≤2成立，求实数t 的取值范围．
[解] (1)由|ax －2|≤4得－4≤ax －2≤4，即－2≤ax ≤6，
当a >0时，－2a ≤x ≤6a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－2，6a ＝6，
解得a ＝1； 当a <0时，6a ≤x ≤－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＝－2，－2a ＝6，
无解，
所以实数a 的值为1. (2)由已知g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋1，x ≤－1，
3，－1<x <2，
2x －1，x ≥2.
不等式g (x )－tx ≤2，即g (x )≤tx ＋2， 由题意知y ＝g (x )的图象有一部分在直线y ＝tx ＋2的下方，作出对应图象：
由图可知，当t <0时，t ≤k EM ；当t >0时，t ≥k FM ，
又因为k EM ＝－1，k FM ＝12，
所以t ≤－1或t ≥12，
即t ∈(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 4．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.
(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；
(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.
[解] (1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2
＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，
所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，
当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．
所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2
的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2
＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，
所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2
≥(2＋a )23， 当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．
所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.
由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.
集．
(1)求M ；
(2)证明：当m ，n ∈M 时，|mn ＋2|>2|m ＋n |.
[解] (1)∵f (x )<0，∴|x ＋2|－|2x ＋2|＋2<0.
当x <－2时，不等式可化为－x －2＋(2x ＋2)＋2<0，解得x <－2，∴x <－2；
当－2≤x ≤－22时，不等式可化为x ＋2＋(2x ＋2)＋2<0，解得x <－2，
无解； 当x >－22时，不等式可化为x ＋2－(2x ＋2)＋2<0，解得x >2，∴x > 2. 综上所述，M ＝{x |x <－2或x >2}．
(2)要证|mn ＋2|>2|m ＋n |，即证|mn ＋2|2>2|m ＋n |2，
即证m 2n 2－2m 2－2n 2＋4>0，即证(m 2－2)(n 2－2)>0.
由(1)知，M ＝{x |x <－2或x >2}，且m ，n ∈M ，∴m 2>2，n 2>2， ∴(m 2－2)(n 2－2)>0成立，故|mn ＋2|>2|m ＋n |得证．
【押题2】 设函数f (x )＝|ax ＋1|.
(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＋2x >2；
(2)当a >1时，设g (x )＝f (x )＋|x ＋1|，若g (x )的最小值为12，求实数a 的值．
[解] (1)当a ＝1时，f (x )＋2x >2，即|x ＋1|>2－2x ，所以⎩⎨⎧ x ＋1≥0，x ＋1>2－2x
或⎩⎨⎧
x ＋1<0，－x －1>2－2x ，
解得x >13， 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.
(2)当a >1时，－1<－1a ，
g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)x －2，x <－1，(1－a )x ，－1≤x ≤－1a ，(a ＋1)x ＋2，x >－1a ，
由于函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－1a ，从而1－1a ＝12，得a ＝2.。