高三数学专题复习-----不等式(一)
高三第一轮复习数学---一元二次不等式的解法
不等式的解集。
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4、简单分式不等式的解法
f (x ) (1) > 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) > 0 g (x )
f (x ) (2) < 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) < 0 g (x )
f (x ) f (x ) ⋅ g (x ) ≥ 0 (3) ≥ 0⇔ g (x ) g (x ) ≠ 0
ax2+bx+c=0的解 x=x1或x=x2 ax2+bx+c>0解集 ax2+bx+c<0解集 {x︱x1<x<x2} x=x1=x2
− b } 2a
无实数解 R Φ
{x︱x<x1或x>x2} {x︱x≠ Φ
注意题型：①一元二次式中有字母的讨论 ②解集已知的一元二次不等式有关问题 ③利用图象解恒成立问题
( x + 2 )( x − 1)
x2 − x − 2 (4) ≥1 x −1
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例2、已知不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为
{x 2 < x < 3} ，求不等式 cx 2 + bx + a < 0 的解集。
注意不等式解与方程根的关系
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例3、例3、已知 f ( x ) = x + 2( a − 2) x + 4 ，
(m − 1)x 2 + (m − 2)x − 1 = 0 （2）若关于x的方程
的两个不等实根的倒数平方和不大于2， 求m的取值范围。 （3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴 交于C点，且 S ∆ABC 的面积等于2，试确定m的值。 新疆和静高级中学
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)
《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。
高三数学第一轮复习 -含绝对值的不等式的解法教案
芯衣州星海市涌泉学校一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目的：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕，难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的间隔；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的间隔 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或者者ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．〔二〕主要方法：1．解含绝对值的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕进展求解；2．去掉绝对值的主要方法有：〔1〕公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或者者x a <-． 〔2〕定义法：零点分段法；〔3〕平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．〔三〕例题分析：例1．解以下不等式：〔1〕4|23|7x <-≤；〔2〕|2||1|x x -<+；〔3〕|21||2|4x x ++->．解：〔1〕原不等式可化为4237x <-≤或者者7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． 〔2〕原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． 〔3〕当12x≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．〔1〕对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，那么a 的取值范围是(,3)-∞； 〔2〕对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，那么a 的取值范围是(4,)+∞．解：〔1〕可由绝对值的几何意义或者者|1||2|y x x =++-的图象或者者者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；〔2〕与〔1〕同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．〔高考A 方案考点3“智能训练第13题〞〕设0,0ab >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或者者2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或者者2()2a b x x a b +≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或者者2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b -∞+． 例4．{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，务实数a 的取值范围．解：当0a≤时，A φ=，此时满足题意； 当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．〔高考A 方案考点3“智能训练第15题〞〕在一条公路上，每隔100km 有个仓库〔如以下列图〕，一一共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存的．如今想把所有的货物放在一个仓库里，假设每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，那么五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，那么所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x=时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元． 〔四〕稳固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．假设关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，那么a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，那么x ∈(1,)+∞．五．课后作业：高考A方案考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。
专题1-1 基本不等式归类(16题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练含答案
A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．2254x x ++的最小值是2C ．2222x x ++的最小值是2D ．若x >0，则2－3x －4x的最大值是2－43【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）A ．若,R a b Î，则22b a b a a b a b+³×=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg 2lg lg x y x y +³×C ．若x ＜0，则4x x+424x x³-×=-D ．若x ＜0，则222222x x x x --+>×=【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是22的是（ ）A ．()20y x x x =+¹B ．()10y x x x=+>C ．22233y x x =+++D ．2xxy e e =+题型02 基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：1t t +，或者b at t+容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin ，其中锐角q q q +，22155x x +++【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知,,a b c R Î且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（ ）A ．[)2,+¥B ．(],2-¥-C ．5,22æù--çúèûD ．52,2æùçúèû【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知ABC V 的面积为23，3A p=，则4sin 2sin sin sin 2sin sin C B BC B C+++的最小值为（ ）A ．162-B ．162+C ．61-D ．61+【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知1,,,12a b c éùÎêúëû，则2222a b c ab bc+++的取值范围是（ ）．A ．[]2,3B ．5,32éùêúëûC ．52,2éùêúëûD ．[]1,3【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数22621x y x -=-的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若()2sin 3sin f x x t x=+++(x,t R Î)最大值记为()g t ,则()g t 的最小值为A ．0B ．14C ．23D ．34题型03 常数代换型【解题攻略】利用常数11m m⨯=代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。
高三专题复习不等式恒成立问题
高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。
例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
2020年高考数学专题复习一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．一元二次不等式的解集判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2，3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A.由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2，3)．若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)(教材习题改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知：Δ＝(m ＋1)2＋4m >0.即m 2＋6m ＋1>0，解得：m >－3＋22或m <－3－2 2.答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)一元二次不等式的解法 (高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．角度一 解不含参数的一元二次不等式解下列不等式： (1)－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3. 【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1. 故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a3， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．1．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0≤x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}，B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]3．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }． (1)求a ，b ； (2)解不等式x －cax －b＞0(c 为常数)． 解：(1)由题知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a .所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)＞0，当c ＞2时，解集为{x |x ＞c 或x ＜2}；当c ＜2时，解集为{x |x ＞2或x ＜c }；当c ＝2时，解集为{x |x ≠2}．一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32【解析】 因为x ∈(0，2]， 所以a 2－a ≥xx 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立， 则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.【答案】 C角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________．【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，联立方程解得x ＜1或x ＞3.【答案】 {x |x ＜1或x ＞3}(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)三个“二次”间的转化二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．(2019·温州八校联考)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立，当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0. 综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4，0]．(2)不等式f (x )<5－m ，即(x 2－x ＋1)m <6， 因为x 2－x ＋1>0，所以m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1，3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1，3]上为增函数，则g (x )在[1，3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.一元二次不等式的应用某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为1012销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0.6x )(0<x <1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －（12－10）×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内．解不等式应用题的步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)将文字语言转化为符号语言，用不等式(组)表示不等关系； (3)解不等式(组)，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义；(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价， 所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． [基础达标]1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝[－1，2]，B ＝(1，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －b a 的值为( )A ．56 B ．16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a＝1－b a ＝1－16＝56.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， 所以－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．4．(2019·宁波效实中学模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4，2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.不等式x 2＋2x ＜a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min，由于a b ＋16b a ≥2a b ·16b a＝8(当且仅当a ＝4b 时等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．6．(2019·台州联考)在R 上定义运算：＝ad －bc .若不等式对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C ．13D ．32解析：选D.原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32，故选D.7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，则实数k ＝________．解析：设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，将x ＝5代入g (x )＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)．答案：36510．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：当x ＝0时，|f (x )|≥ax 恒成立，a ∈R ；当0＜x ≤1时，|f (x )|≥ax 转化为a ≤|f （x ）|x ＝|3x －2|x ＝|3－2x |.因为|3－2x|的最小值为0，所以a ≤0；当－1≤x ＜0时，|f (x )|≥ax 转化为a ≥|f （x ）|x ＝－|x 2－2x |＝－|x －2x |.因为－|x －2x|的最大值为－1，所以a ≥－1，综上可得a ∈[－1，0]．答案：[－1，0]11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n 求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a ＞1.所以a ＜0且ca＞1，所以ac ＞0. 对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac ＞0.所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋4. 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t ＞1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． 所以|m －n |＞13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)． [能力提升]1．(2019·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.3．(2019·杭州模拟)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4，3]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．(2019·杭州高级中学质检)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .6．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |x 2＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>bx恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1⇔x 2＋1<|x ＋1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x 2＋1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x 2＋1<－（x ＋1）⇔0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}．(2)f (x )＝|x ＋a |x 2＋1>b x ⇔|x ＋a |>b (x ＋1x )⇔x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x )⇔a >(b －1)x＋b x 或a <－[(b ＋1)x ＋b x]对任意x ∈(1，2)恒成立．所以a ≥2b －1或a ≤－(52b ＋2)对任意b ∈(0，1)恒成立．所以a ≥1或a ≤－92.。
基本不等式中“1”的妙用(高考专题)
解：由图得
1 3 3 x y 0 当过 的交点（1, ）时，z=ax+by取得最大值6，即a+ b 6 2 2 2 6 x 2 y 3 0 2 3 2 3 3 1 13 3b 3a 25 则 a b a b a b 2 6 2 a b 12 12 当且仅当a=b= 时等号成立 5 2 3 25 即 的最小值为 a b 12
练习
已知a,b是实数，且a+b=-2，求 a 2 + b 2的最大值
已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=3，求证：a + b + c 3．
总结
1.体验1的妙用，拓展数学思想，有利于解题。 2.反复理解基本不等式的“一正，二定，三相等”，验证避 免进入错误陷阱。
2 1 1 3a a 10 2 10 2b b 2 a 3b a 3b 2 3 a 2b 3 2b a 当且仅当 时，等号成立取最小值，即a=2b代入（1）得 a 2b 1 1 1 1 1 b= , a , c 1 4 2 2 4 4
基本不等式中“1”的妙用
高三数学复习
知识点复习：
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
a ，b∈R ＋ (1)基本不等式成立的条件： ________ ． a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当________
2．几个重要的不等式
2ab a，b∈R)． (1)a2＋b2≥________(
解：
a b c 1 1 1 1 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 a b c a b c bc ac ab b c a c a b 2 2 2 2 2 2 8 a b c a a b b c c 当且仅当a b c时，等号成立 1 1 1 1 1 1 的值域为[8,+) a b c
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高三数学专题复习-----不等式(一)
一 基础知识
(1)不等式的基本性质，（2）不等式常用证明方法，（3）均值定理及其应用
二 例题
1、已知a<b<|a|，则（ ）
（A ）a 1<b 1 （B ）ab<1 （C ）b
a >1 （D ）a 2>
b 2
2、若a ＞b ＞c , 则有( )
(A) ac ＞bc (B) | ac |＞| bc | (C) ac 2＞bc 2 (D) b(a －b)＞c(a －b)
3、已知命题甲：ac<bd ；命题乙：a>c ，b>d ，则甲是乙的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ） 充要条件 （D ）非充分非必要条件
4、若|a+c|<|b|，则（ ）
（A ）－b<a+c<b （B ）|a －c|<|b| （C ）|a|<|b|+|c| （D ）|a|<|b+c|
5、若0<b<a, 则（ ）
（A ）b a b a 22++>b
a （B ）1122++a
b >22a b （C ）a ＋a 1>b ＋b 1 （D ）a>a b 6、已知1<x<3, M=3x 2－x ＋1, N=4x 2－5x ＋4，则（ ）
（A ）M<N （B ）M=N （C ）M>N （D ）M 与N 大小不确定
7、．若a, b, c 都是正数，且a<b ，则（ ）
（A ）b a <c b c a ++<1 （B ）b a ≥c
b c a ++ （C ）b a ≤c b c a ++≤1 （D ）1<m a m b ++<a
b 8、已知a ＞b ＞0，则下列不等式中正确的是( )
（A ）a a b b ＞a b b a （B ）a a b b ＜a b b a （C ）a a b b =a b b a （D ）以上都不对
9、若a ＞1,m=12,1-++=
++a a n a a ，则m 与n 的关系是( )
（A ）m ＜n （B ）m ＞n （C ）m ≤n （D ）m ≥n
10、设a, b 为实数，且a ＋b=3，则2a ＋2b 的最小值是（ ）
（A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）26
11、若0<a<b, a ＋b=1，则2
1, b, 2ab, a 2＋b 2中的最大值是（ ） （A ）2
1 （B ）b （C ）2ab （D ）a 2＋b
2 12、a ＞b ＞c,n ∈N,且c
a n c
b b a -≥-+-11,则n 的最大值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
13、若a,b 是实数，则ab(a-b)＞0成立的一个充要条件是 ( )
（A ）a ＜0＜b （B ）b ＜a ＜0 （C ）b
a 11< （D ）a ＞
b ＞0 14、a ,b ,
c ∈R ，满足条件a+
d =b+c ,且|a －d|＜|b －c| , 则有( )
(A)ad=bc (B)ad ＞bc (C)ad ＜bc (D)ad 与bc 的大小关系不确定
15、已知实数y x ,满足122=+y x ，则()()xy xy +-11有（ ）
（A ）最小值21和最大值1 （B ）最小值4
3和最大值1 （C ）最小值21和最大值4
3 （D ）最小值1 16、()0132>+++=x x
x x y 的最小值是（ ） （A ）32 （B ）32+1 （C ）321+- （D ）322+-
17、函数f(x)=x 21x -的最大值是__________.
18、设x 、y ∈R +且y
x 91+=1,则x+y 的最小值为________ 19、当c ＞1时,c x c x +++221
的最小值为________.
20、若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3,则ab 的取值范围是__________________
21、a, b, c 为正数, (a ＋b ＋c)(a 1＋b 1＋c
1)的最小值为 22、a ＋b ＋c=1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a>b>c,则a ＋b 的取值范围是 ； a 2＋b 2 的取值范围是。