2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)

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2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
专题:
图表型;算法和程序框图.
分析:
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=6时满足条件
i>5,退出循环,输出S的值为0.
解答:
解:模拟执行程序框图,可得
i=1,S=0
c兀•c
S=cos,i=2
2
jr
不满足条件i>5,S=cos——+cosn,i=3
2
jr<?jr
不满足条件i>5,S=cos +cosn+cos,i=4
••• |PF2|=9.
故选:B.
点评:
本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题.
4.(5分)(2015?福建)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社 区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万兀)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万兀)
6.2
7.5
8.0
2 2
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos+cos2n,i=5
22
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos ' +cos2n+cos ' =0-1+0+1+0=0,i=6
222
满足条件i>5,退出循环,输出S的值为0,
故选:C.
点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的i,S的
偶函数.
B.f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),贝Uf(x)为偶函数.
C.y=cosx为偶函数.

2015年湖北高考数列与不等式专题分析

2015年湖北高考数列与不等式专题分析

b1 c1 , b1 c1 2a1 , an 1 an , bn 1
A. {Sn } 为递减数列
Sn S2 | a3 | | a4 | | an | 5 (3 3 7) (3 4 7) (3n 7)
5
(n 2)[2 (3n 7)] 3 2 11 n n 10 . 当 n 2 时,满足此式. 2 2 2
④ f an f an 2 ln an ln an 2 ln an 1


2
f 2 an 1 .选 C
【点评】 本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后 再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等. 考题 6 (2012· 湖北理科卷· 第 13 题)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正 整数.如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,…,99.3 位 回文数有 90 个:101,111,121,…,191,202,…,999.则 (1)4 位回文数有 个; 个.
3a 3d 3, a 2, a 4, 由题意得 1 解得 1 或 1 d 3, d 3. a1 (a1 d )(a1 2d ) 8.
所以由等差数列通项公式可得
an 2 3(n 1) 3n 5 ,或 an 4 3(n 1) 3n 7 .
(2) 2n 1 (n N ) 位回文数有
【考点分析】排列与组合、数列、合情推理. 解析: (1)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能 为 0, 有 9(1~9)种情况, 第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 10 90 种.故 答案为:90. (2)法 1:由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所 以可以算出 2n+2 位回文数的个数.2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能 为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 10 .

2015届高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课时精练试题 文(含解析)

2015届高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤  (a,b∈R+ )课时精练试题 文(含解析)

第四节基本不等式: ab ≤a +b2(a ,b ∈R +)1.(2012·临沂一模)已知a >0,b >0,“a +b =2” 是“ab ≤1”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由基本不等式可知,a +b =2⇒ab ≤1,但ab ≤1不能推出a +b =2.故选A. 答案:A2.(2013·常州质检)已知f (x )=x +1x-2(x <0),则f (x )有( )A .最大值为0B .最小值为0C .最大值为-4D .最小值为-4解析:因为x <0,所以-x >0,所以x +1x -2=-(-x +1-x )-2≤-2-x 1-x -2=-4,当且仅当-x =1-x,即x =-1时,等号成立.答案:C3.(2013·长沙质检)若0<x <1,则当f (x )=x (4-3x )取得最大值时,x 的值为 ( ) A.13 B.12 C.34 D.23解析:因为0<x <1,所以f (x )=x (4-3x )=13×3x (4-3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +4-3x 22=43,当且仅当3x =4-3x ,即x =23时,取得“=”,故选D.答案:D4.(2012·深圳调研)设a ,b ,c ,d ∈R ,若a,1,b 成等比数列,且c,1,d 成等差数列,则下列不等式恒成立的是( )A .a +b ≤2cdB .a +b ≥2cdC .|a +b |≤2cdD .|a +b |≥2cd解析:∵ab =1>0,∴a ,b 同号. ∴|a +b |=|a |+|b |≥2|a ||b |=2.又c +d =2,∴(c +d )2=4,即c 2+d 2+2cd =4.∴4-2cd =c 2+d 2≥2cd ,得2cd ≤2, ∴|a +b |≥2cd .故选D. 答案:D5.(2012·福州质检)已知函数f (x )=2x满足f (m )·f (n )=2,则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18解析:由已知得2m·2n=2m +n=2,所以m +n =1,于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m +n 22=14.故选B.答案:B6.(2013·佛山一模)设二次函数f (x )=ax 2-4x +c (x ∈R )的值域为[0,+∞),则1c +9a的最小值为( )A .3 B.92C .5D .7解析:由题意知,a >0,△=16-4ac =0,所以ac =4,c >0,则1c +9a ≥2×9ac=3,当且仅当1c =9a 时取等号,所以1c +9a的最小值是 3.故选A.答案:A7.(2013·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0.则当z xy取得最小值时,x +2y -z 的最大值为( )A .0 B.98 C .2 D.94解析:由题意知:z =x 2-3xy +4y 2,则z xy =x 2-3xy +4y 2xy =x y +4y x-3≥1,当且仅当x=2y 时取等号,此时z =xy =2y 2.所以x +2y -z =2y +2y -2y 2=-2y 2+4y =-2(y -1)2+2≤2.答案:C8.(2013·四川卷)已知函数f (x )=4x +a x(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.解析:由基本不等式性质,f (x )=4x +a x (x >0,a >0)在4x =ax ,即x 2=a4时取得最小值,由于x >0,a >0,再根据已知可得a4=32,故a =36.答案:369.若对任意x >0,xx +3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.解析:∵x >0,∴x +1x≥2(当且仅当x =1时取等号),∴x x 2+3x +1=1x +1x+3≤12+3=15,即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞10.(2013·商丘模拟)若向量a =(x -1,2),b =(4,y )相互垂直,则9x +3y的最小值为__________.解析:依题意得4(x -1)+2y =0,即2x +y =2,9x +3y =32x +3y ≥232x ×3y =232x +y=232=6,当且仅当2x =y =1时取等号,因此9x +3y的最小值是6.答案:611. (2012·衡阳八中月考)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,4x -y -4≤0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z=ax +by (a >0,b >0)的最大值为6,则log3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b 的最小值为________.解析:画出不等式组表示的平面区域,可知当直线z =ax +by 经过点(2,4)时,z 取最大值,∴2a +4b =6,即1=a +2b 3,所以1a +2b =a +2b 3a +a +2b 3b =53+2b 3a +2a 3b ≥2×23+53=3.∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b ≥log 33=2.故log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b 的最小值为2. 答案:212.(2013·豫西五校联考)已知a ,b ∈R ,且ab =50,则|a +2b |的最小值是________.解析:依题意得,a ,b 同号,于是有|a +2b |=|a |+|2b |≥2|a |×|2b |=22|ab |=2100=20(当且仅当|a |=|2b |时取等号),因此|a +2b |的最小值是20.答案:2013.围建一个面积为368 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示),已知旧墙的维修费用为180元/m ,新墙的造价为460元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位:元).(1)将y 表示为x 的函数;(2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解析:(1)因为利用的旧墙的长度为x 米,则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长为368xm ,于是y =180x +460(x -2)+460×2×368x=640x +232×82×10x-920=640x +338 560x-920(x >0).(2)∵x >0,∴640x +338 560x≥2640x ×338 560x=29 440.∴y =640x +338 560x-920≥29 440-920=28 520,当且仅当640x =338 560x,即x =23时,等号成立.∴当x =23 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是28 520元.14.(2013·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.(1)若该写字楼共x 层,总开发费用为y 万元,求函数y =f (x )的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?解析:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为: 4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多: 100×2 000=200 000(元)=20(万元),写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列, 所以函数表达式为:y =f (x )=800x +x x -2×20+9 000=10x 2+790x +9 000(x ∈N *).(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:g (x )=f x 2 000x×10 000=x 2+790x +x=50⎝⎛⎭⎪⎫x +900x+79≥50×(2900+79)=6 950(元).当且仅当x =900x,即x =30时等号成立.答:该写字楼建为30层时,每平方米平均开发费用最低.。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 基本不等式及其应用

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 基本不等式及其应用

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 基本不等式及其应用基本不等式及其应用【例3】 (1)(2013·天津高考)设a +b =2,b >0,则12|a |+|a |b的最小值为________.(2)(2014·湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =76 000 vv 2+18 +20l.①如果不限定车型,l =6.05,则最大车流量为______辆/小时;②如果限定车型,l =5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 【解析】 (1)分a >0和a <0,去掉绝对值符号,用均值不等式求解.当a >0时,12|a |+|a |b =12a +a b =a +b 4a +a b =14+(b 4a +a b )≥54;当a <0时,12|a |+|a |b =1-2a +-a b =a +b -4a +-a b =-14+(b -4a +-a b )≥-14+1=34.综上所述,12|a |+|a |b 的最小值是34.(2)①F =76 000v +20×6.05v+18≤76 0002121+18=1 900,当且仅当v =11时等号成立. ②F =76 000v +20×5v+18≤76 0002100+18=2 000,当且仅当v =10时等号成立,2 000-1 900=100.【答案】 (1)34(2)①1 900 ②100【规律方法】 利用基本不等式求函数最值应注意的问题:(1)一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值.(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件.注意:在使用基本不等式时,一般要把求最值的函数或代数式化为ax +b x的形式,常用的方法是变量分离和配凑法.[创新预测]3.(1)(2014·洛阳统考)若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3xy ,则当xy z取最大值时,1x+12y -1z的最大值为( ) A .2 B.32 C .1 D.12【解析】 ∵z =x 2+4y 2-3xy ,x ,y ,z ∈(0,+∞),∴xy z =xy x 2+4y 2-3xy =1x y +4yx-3≤1(当且仅当x =2y 时等号成立),此时1x +12y -1z =1y -12y 2,令1y =t >0,则1x +12y -1z =t -12t 2≤12(当且仅当t =1时等号成立).故选D.【答案】 D(2)(2014·潍坊联考)已知不等式x +2x +1<0的解集为{x |a <x <b },点A (a ,b )在直线mx +ny+1=0上,其中mn >0,则2m +1n的最小值为( )A .4 2B .8C .9D .12【解析】 易知不等式x +2x +1<0的解集为(-2,-1),所以a =-2,b =-1,则2m +n =1,2m +1n =(2m +n )(2m +1n )=5+2m n +2n m ≥5+4=9(当且仅当m =n =13时取等号),所以2m +1n 的最小值为9.【答案】 C[总结提升] 通过本节课的学习,需掌握如下三点: 失分盲点1.(1)不等式变形时,不等号的方向易出错.(2)二次项的系数中含有参数时,该不等式不一定是二次不等式. (3)同向不等式可以相加,但能否相乘是有条件的. 2.(1)不等式(组)表示的区域确定错误.(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清.(3)y =a b x +z b中截距的符号弄反,导致平移时上下方向错误.3.利用基本不等式求最值时,一定要注意基本不等式的适用条件,否则容易出错. 答题指导1.(1)看到不等式需要变形,想到用性质有根有据进行. (2)看到解含参数的不等式,想到参数对求解过程的影响.(3)看到求不等式中的参数,想到数形结合(画数轴或画函数图象). 2.(1)看到不等式组的表示区域,想到“直线定界,特殊点定域”. (2)看到求线性目标函数最值,想到平移目标函数等直线进行观察.(3)看到求约束条件或目标函数中的参数,想到由目标函数的最值列方程(组)求解. 3.(1)看到和为定值,想到积是否有最值. (2)看到积为定值,想到和是否有最值. 方法规律一元二次不等式的解法,分离参数法解决不等式恒成立问题,利用“穿根法”求解高次不等式.运算的合理性与转化思想的体现运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的运算途径,这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算能力的具体表现.【例1】 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2≤0,x +2y -5≥0,y -2≤0,则u =x 2+y 2xy的取值范围是________.【解析】 画出的可行域为点(1,2),(3,1),(4,2)形成的三角形,u =x 2+y 2xy =x y +y -0x -0,设k =y x ,则k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,2,所以u =k +1k 在k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,2时,u min =2,u max =3+13=103.所以u =x 2+y 2xy 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,103.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,103【规律感悟】 形如u =x 2+y 2xy的式子在可行域确定的前提下需要进行适当转化,化为具有几何意义的算式,如直线的斜率、点到直线的距离等,从而求得相应的取值范围.【例2】 (2014·浙江高考)已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值是________.【解析】 利用不等式求解.因为a +b +c =0,所以b +c =-a .因为a 2+b 2+c 2=1,所以-a 2+1=b 2+c 2=(b +c )2-2bc =a 2-2bc ,所以2a 2-1=2bc ≤b 2+c 2=1-a 2,所以3a 2≤2,所以a 2≤23,所以-63≤a ≤63.所以a max =63. 【答案】63【规律感悟】 形如本题已知含有两个条件和三个变量的问题,要想求某个变量的取值范围,一般采用消元法.本题还可消b 或c 后利用方程求a 的最大值.(把c =-(a +b )代入a 2+b 2+c 2=1得2b 2+2ab +2a 2-1=0,由Δ≥0得3a 2≤2,所以a max =63.)。

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05不等式)一、选择题:1.(2015文)已知x,y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则yxz+-=2的最大值是()(A)-1 (B)-2(C)-5 (D)12.(2015理)若x,y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≤,≥,则2z x y=+的最大值为()A.0 B.1 C.32D.2【答案】D【解析】试题分析:如图,先画出可行域,由于2z x y=+,则1122y x z=-+,令0Z=,作直线12y x=-,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z取得最小值2.考点:线性规划;3.(2015文)若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,1),则a b+的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C考点:基本不等式.4.(2015理)若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( ) A.52- B.2- C.32- D.2【答案】A【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为2y x z=-,当z最小时,直线2y x z=-的纵截距最大,故将直线2y x=经过可行域,尽可能向上移到过点1(1,)2B-时,z取到最小值,最小值为152(1)22z=⨯--=-,故选A.考点:线性规划.5.(2015文)变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,若2z x y=-的最大值为2,则实数m等于()A.2- B.1-C.1 D.2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析:将目标函数变形为2y x z =-,当z 取最大值,则直线纵截距最小,故当0m ≤时,不满足题意;当0m >时,画出可行域,如图所示, 其中22(,)2121mB m m --.显然(0,0)O 不是最优解,故只能22(,)2121m B m m --是最优解,代入目标函数得4222121mm m -=--,解得1m =,故选C .考点:线性规划.6.(2015文)若变量x ,y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则23z x y =+的最大值为( )A .10B .8C .5D .2 【答案】C考点:线性规划.7.(2015理)若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为( )A .531 B. 6 C. 523D. 4【答案】C .【解析】不等式所表示的可行域如下图所示,由32z x y =+得322z y x =-+,依题当目标函数直线l :322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时,z 取得最小值即min42331255z =⨯+⨯=,故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题,属于容易题.8. (2015文)不等式2340x x --+>的解集为 .(用区间表示) 【答案】()4,1- 【解析】试题分析:由2340x x --+<得:41x -<<,所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-,所以答案应填:()4,1-. 考点:一元二次不等式.9、(2015文)若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则z=2x-y 的最小值为( )A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】AxyOA l考点:简单的线性规划10. (2015理)若变量x,y满足约束条件1 211 x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则3z x y=-的最小值为()A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x,1=y时,min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-,故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值,属于容易题,在画可行域时,首先必须找准可行域的围,其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小,从而确定目标函数取到最优解时所经过的点,切忌随手一画导致错解.11、(2015文)若实数a,b满足12aba b+=,则ab的最小值为( )A2 B、2 C、2 D、4【答案】C考点:基本不等式12.(2015理)已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y=+的最大值为4,则a=()(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3 【答案】B【解析】不等式组2xyx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示,若z ax y=+的最大值为4,则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==,经检验,2,0x y==是最优解,此时2a=;1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数a的值,考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性,意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015理)设()ln,0f x x a b=<<,若)p f ab=,()2a bq f+=,1(()())2r f a f b=+,则下列关系式中正确的是()A.q r p=< B.q r p=> C.p r q=< D.p r q=>【答案】C考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性.14. (2015文)设()ln ,0f x x a b =<<,若()p f ab =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q => 【答案】C 【解析】试题分析:1()ln ln 2p f ab ab ab ===;()ln22a b a bq f ++==;11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>,由()ln f x x =是个递增函数,()()2a b f f ab +>所以q p r >=,故答案选C考点:函数单调性的应用.15. (2015文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值324318z =⨯+⨯=故答案选D考点:线性规划.16. (2015理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )D .18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨,则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,其表示如图阴影部分区域:当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值,所以max 324318z =⨯+⨯=,故选D . 考点:线性规划.17. (2015文)下列不等式中,与不等式23282<+++x x x 解集相同的是( ).A. 2)32)(8(2<+++x x xB. )32(282++<+x x xC.823212+<++xxxD.218322>+++xxx【答案】B18、(2015理)记方程①:2110x a x++=,方程②:2220x a x++=,方程③:2340x a x++=,其中1a,2a,3a是正实数.当1a,2a,3a成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是()A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根,且②无实根时,22124,8a a≥<,从而4222321816,4aaa=<=即方程③:2340x a x++=无实根,选B.而A,D由于不等式方向不一致,不可推;C推出③有实根【考点定位】不等式性质19. (2015文)若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析:如图,;由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ,且其面积等于43,再注意到直线AB :x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直,所以三角形ABC 是直角三角形;易知,A (2,0),B (1-m,m+1),C(2422,33m m -+); 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43,化简得:2(1)4m +=,解得m=-3,或m=1;检验知当m=-3时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去;所以m=1; 故选B.考点:线性规划.20、(2015文)设实数x ,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识,考查知识的整合与运用,考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中,对可行域的处理并不是大问题,关键是“求xy 最大值”中,xy 已经不是“线性”问题了,如果直接设xy =k ,,则转化为反比例函数y =的曲线与可行域有公共点问题,难度较大,且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中,用基本不等式的思想,通过系数的配凑,即可得到结论,当然,对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点:线性规划22.( 2015天津理)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为( )(A )3 (B )4 (C )18 (D )40【答案】C864224681510551015AB考点:线性规划.23、(2015文)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:2m)分别为x,y,z,且x y z<<,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/2m)分别为a,b,c,且a b c<<.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax by cz++ B.az by cx++ C.ay bz cx++ D.ay bx cz++【答案】B考点:1.不等式性质;2.不等式比较大小.二、填空题:1、(2015文)如图,C∆AB及其部的点组成的集合记为D,(),x yP为D中任意一点,则23z x y=+的最大值为.【答案】7考点:线性规划.2.(2015文)若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________.【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题,属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题,重点考查线性规划问题的基本解决方法,体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性,能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为.【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线l:30x y+=,平移直线l,当直线l:z=3x+y 过点A时,z取最大值,由2=021=0x yx y+-⎧⎨-+⎩解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用z的几何意义,结合可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx是可行域一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故yx的最大值为3.考点:线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为.【答案】8考点:线性规划6.(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x,y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,,则z x y=+的最大值为____________.【答案】32【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为y x z=-+,当z取到最大时,直线y x z=-+的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D,则z x y=+的最大值为32.考点:线性规划.xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015文)若x,y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析:画出可行域及直线30x y+=,平移直线30x y+=,当其经过点(1,2)A时,直线的纵截距最大,所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.考点:简单线性规划.8. (2015文)定义运算“⊗”:22x yx yxy-⊗=(,0x y R xy∈≠,).当00x y>>,时,(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 .2【解析】试题分析:由新定义运算知,2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==,因为,00x y>>,,所以,2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=2x y=时,(2)x y y x⊗+⊗2考点:1.新定义运算;2.基本不等式.9. (2015文)若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx,则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域,简单的线性规划.10. (2015天津文)已知0,0,8,a b ab>>=则当a的值为时()22log log2a b⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析:()()()()22222222log log211log log2log2log164,244a ba b ab+⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b=时取等号,结合0,0,8,a b ab>>=可得4, 2.a b==考点:基本不等式.11. (2015文)设,0,5a b a b>+=,1++3a b+ ________.【答案】23考点:基本不等式.12、(2015文)已知实数x ,y 满足221x y +≤,则2463x y x y +-+--的最大值是 . 【答案】15 【解析】试题分析: 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时,满足的是如图的AB 劣弧,则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5;当22y x <-时,满足的是如图的AB 优弧,则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值,故1015z d -==,所以15z =,故该目标函数的最大值为15.考点:1.简单的线性规划;13. (2015理)若实数,x y 满足221x y +≤,则2263x y x y +-+--的最小值是 .三、解答题。

专题15 不等式—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)

专题15 不等式—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)

AB
,而
RQ
PQ
,由
x x
3y 4 y0
0

Q(1,1)
,由
x x
2 y
0

R(2,
2)

AB QR (1 2)2 (1 2)2 3 2 .故选 C.
2018 年暑假系统班,全国钜惠,99 元 16 课时
考点:线性规划.
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域,再根据题目中的定义确定 的值.画不等式
2 zmax 3 2 3 9 ,故选 D.
【考点】线性规划
x 0 7.【2017 浙江,4】若 x , y 满足约束条件 x y 3 0 ,则 z x 2 y 的取值范围是
x 2 y 0
A.[0,6]
B.[0,4]
C.[6, )
D.[4,
)
【答案】D 【解析】
2018 年暑假系统班,全国钜惠,99 元 16 课时
)
x
1
x
5
2
(III
)
x
1
x
5
2
(D)(1,5)
解(I)得: x 1 ,解(II)得:1 x 4 ,解(III)得: x ,
所以,原不等式的解集为 x x 4 .故选 A.
【考点定位】含绝对值的不等式的解法.
转化为不含绝对值的不等式(组)从而求解的能力,本题属中档题。
x y 0
a2 2 , b2 2 时取等号).
2
4
【考点】均值不等式
x 2y 1 11.【2017 课标 1,理 13】设 x,y 满足约束条件 2x y 1,则 z 3x 2 y 的最小值
x y 0

.

2015年高考数学(理)核按钮:第七章《不等式》(含解析)

2015年高考数学(理)核按钮:第七章《不等式》(含解析)

第七章 不 等 式§7.1 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.本节在高考中主要考查运用不等式的性质判断正误、比较大小等,也有与函数单调性综合的题目,小题居多,难度一般不大.1.比较原理两实数a ,b 之间有且只有以下三个大小关系之一:__________、__________、__________.其中a >b ⇔a -b >0;a <b ⇔______________; a =b ⇔__________. 2.不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分.第一部分为以下4条性质定理: (1)对称性:a >b ⇔__________;(2)传递性:a >b ,b >c ⇒__________;(3)不等式加等量:a >b ⇔a +c______b +c ; (4)不等式乘正量:a >b ,c >0⇒__________; 不等式乘负量:a >b ,c <0⇒__________.第二部分为两个不等式的运算性质,共有7条: (5)同向不等式相加:a >b ,c >d ⇒__________; (6)异向不等式相减:a >b ,c <d ⇒__________; (7)同向不等式相乘:a >b >0,c >d >0⇒__________;(8)异向不等式相除:a >b >0,0<c <d ⇒a c ______bd ;(9)不等式取倒数:a >b ,ab >0⇒1a ______1b;(10)不等式的乘方:a >b >0⇒______________; (11)不等式的开方:a >b >0⇒______________. 注:1.(5)(6)说明,同向不等式可相加,但不可相减,而异向不等式可相减;2.(7)(8)说明,都是正数的同向不等式可相乘,但不可相除,而都是正数的异向不等式可相除.【自查自纠】1.a >b a <b a =b a -b <0 a -b =0 2.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a +c >b +d (6)a -c >b -d (7)ac >bd (8)> (9)< (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0,那么下列不等式成立的是( )A .1a <1bB .ab <b 2C .-ab <-a 2D .-1a <-1b解:1a -1b =b -a ab >0,故1a >1b ,∴-1a <-1b.故选D.设f (x )=3x 2-x +1,g (x )=2x 2+x -1,x ∈R ,则f (x )与g (x )的大小关系是( )A .f (x )>g (x )B .f (x )≥g (x )C .f (x )=g (x )D .f (x )<g (x )解:f (x )-g (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1>0恒成立,故选A.已知a ,b ∈R +,A =a 3+b 3,B =a 2b +b 2a ,则A ,B 的大小关系为( )A .A ≥B B .A <BC .A ≤BD .与a ,b 的大小有关解:A -B =(a +b )(a 2+b 2-ab -ab )=(a +b )(a -b )2≥0,A ≥B .故选A.已知a =27,b =6+22,则a ,b 的大小关系是a________b .解:由于a =27,b =6+22,平方作差得a 2-b 2=28-14-83=14-83=8⎝⎛⎭⎫74-3>0,从而a >b .故填>.若a ,b ∈R +,则1a +1b 与1a +b的大小关系是__________.解:∵a ,b ∈R +,∴⎝⎛⎭⎫1a +1b ÷1a +b =(a +b )2ab >2ab ab =2>1,∴1a +1b >1a +b .故填1a +1b >1a +b.燃导火线后要在燃放前转移到域.已知导火线的燃烧速度为4 m/s,导火线的长度解:人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的已知一个铁钉受击>ad.以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题?解:(1)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件a范围是________解:由<-β<4,所以的取值范围是解:∵-<-β<π2的大小.解法一:a +m b +m - 的是________①log 0.5(②(-a )③(-a )a为正整数,则个结论:§7.2一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.一元二次不等式的解法是高考必考内容之一,常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题.小题易出现考查“三个二次”关系的题目,多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查;解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题,着重考查分类与整合思想.1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同,则称它们是;(2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的;(3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式.当a>0时,解集为;当a<0时,解集为.若关于x的不等式ax>b的解集是R,则实数a,b满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,且x1<x2(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于号取,小于号取”求解集.(4)解一元二次不等式见下表:)4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为f(x)g(x)的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:f(x)g(x)>0⇔f(x)g(x)>0;f(x)g(x)<0 ⇔f(x)g(x)<0;f(x)g(x)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)≥0,g(x)≠0;f(x)g(x)≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)≤0,g(x)≠0.【自查自纠】1.(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<b a a=0,b<03.(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)(Ⅰ){}x|x<x1或x>x2(Ⅱ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠-b2a(Ⅵ)若0<a<1,则不等式(x-a)⎝⎛⎭⎫x-1a<0的解是()的解集为的解集为-2a>0解:(1)当①当m=-时,原不等式的解集为②当m=.(2)当m2(1)x2-(3)x2-解:(1)而y=的解集为所以方程+1,x<1,x≥0,()A.{x|-|-5≤x≤1}解:∵不等式∴x1=-∴由韦达定理知<x<3},求不等式解:由题意知因为不等式a<0,由根与系数的关系得b解:(1),不等式的解集为(2)当m的系数是参数时,首先对它是否为∈R).解:不等式整理为当a=0当a≠0时,解:x2x21≥0.⎭⎬⎫-2x ≤0,则A .{x |-C .{x |0≤⎦⎤0,12成立,则A .0 解法一:-2,2]时,解法一:当-a2<-5有一解,则A .a <-C .-1<解法一:个实根一个小于-值范围是( A .-C .-2<速生产某种产品得利润是100(1)要使生产该产品15元的价格销售,每天能卖出1元,日销售量将减少盏售价不低于应怎样制定这批台灯的销售价格?.不等式x -2x +1≤0的解集是( ).(-∞,-1)∪(-1,2]B .[-1,2].(-∞,-1)∪[2,+∞) D .(-1,2]解:x -2x +1≤0⇔()x +1()x -2≤0,且x ≠-1,即x ∈(-1,2],故选D ..关于x 的不等式(mx -1)(x -2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是( ).m >0 B .0<m <2 .m >12D .m <0解:由不等式的解集形式知m <0.故选D . .(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集⎭⎬⎫<-1或x >12,则f (10x )>0的解集为( ) .{x |x <-1或x >lg2} .{x |-1<x <lg2}-1]·(x2--1中,令y=0,得⎭⎫1-12-aa-1-1=§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.本节属于高考常考内容,以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主;关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点,也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题,难度一般不太大,小题居多.1.二元一次不等式表示的区域(1)当B>0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By +C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By +C=0的.(2)当B<0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By +C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By +C=0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.Z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式,我们把它称为.由于Z=Ax+By是关于x,y的一次解析式,所以又可叫做.另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.(2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的的问题,统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫做,由所有可行解组成的集合叫做.其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上,且通常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:①首先,要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).②设,画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0,从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路:首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出条件,确定函数.然后,用图解法求得数学模型的解,即,在可行域内求得使目标函数.【自查自纠】1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z=0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是()A.点(0,1)在区域x-y+1>0内B.点(0,0)在区域x+y+1<0内C.点(1,0)在区域y≥2x内D.点(0,0)在区域x+y≥0内解:将(0,0)代入x+y≥0,成立.故选D.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y +6=0的()A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解:画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2013·天津)设变量x,y满足约束条件画出原不等式组表示的平面区域如图所示,由题意知,当目标函数z =y 时,z 取得最小值,所以示的平面区域为的取值范围是作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影y =a (x +1)恒过定点k BC =12,k AC =4,∴区域为D ,若指数函数的点,则a 的取值范围是A .(1,若要指数函数y =a x 与可行域有交点,则底利用指数函数的性质,),9时,底数a 最大,即点此时有a 2=9⇒ a =3,所以-y ≥-1,+y ≤3,≥0,≥0,依题意,画出可行域,如图所示,可行域为,显然,当直线y =12x -取得最小值为-3;过点B (3,0)A.有最小值B.有最小值C.有最大值画出不等式表示的平面区域,如图,由,令z=0,画出y=-(2,0)时,z取得最小值为,由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区向右上方移动时,z=x+区域被直线()由题目所给的不等式组可知,其表示的平面如图可得阴影部分即为满足x-的可行域,而直线ax-y+1=0恒过点,1)旋转,若不等式组所表示的平面区域内的面积等于则它是三角形,设该三角形为△ABC,因为标函数z=ax的取值范围是A.(-1+2y的斜率为-a2,目标函数在点画出可行域三角形ABO ,可知处取最大值为4,即4=+y -2≥02y +4≥0-y -3≤0.最小值?最大值、最小值各是多少?如图,作出可行域(图中的阴影部分包括边界),由⎩⎪⎨⎪⎧x -23x -,同理可得B (0,2),C (1,,y )到原点的距离的平方,所以, 个根在(0,1)(1)b -2a -1的值域;(2)(a -1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0,所表示的平面区域为纵坐标均为整数的点的通项公式为2y-5>+y-7>≥0,y≥0,()画出可行域如图,令3x+4y=z,,0),(2,0),(3,0),处作格子线,可知当y=-34x+z4过(42),(2,4),(4,1)逐个试验韭菜,种植面积不超过元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表黄瓜≤54,即⎩⎪⎨⎪⎧x+y≤50,4x+3y≤180,x≥0,y≥0.画出可行域如图所示.类产品,甲种设备每天能生产件,乙种设备每天能生产件.已知设备甲每天的租赁费为的租赁费为300对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x +65y =10,x +2y =14的交点(4,5)时,目标函数z =200x +300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置,如果直线Ax +By +C =0不经过原点,则把原点代入Ax +By +C ,通过Ax +By +C 的正负和不等号的方向,来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处,目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法:第一种方法:将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法:利用围成可行域的直线斜率来判断. 特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.第三种方法:将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数i P Z =mx +ny ,比较各个i P Z ,得最大值或最小值.1.(2012·天津)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x -1≤0,则目标函数z =3x -2y 的最小值为( )A .-5B .-4C .-2D .3解:不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分,作辅助线l 0:3x -2y =0,结合图形可知,当直线3x -2y =z 平移到过点(0,2)时,z =3x -2y 的值最小,最小值为-4,故选B.2.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0,x -y +1≥0,x +y -3≤0,则z=2x +y 的最大值为( )A .-2B .4C .6D .8解:不等式组表示的平面区域如图所示,当直线y =-2x +z 过点B (3,0)时,z 取得最大值6.故选C .3.(2012·福建)若函数y =2x 图象上存在点(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A .12B .1C .32D .2解:可行域如图阴影部分所示,函数y =2x 的图象经过可行域上的点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x,x +y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2, 即函数y =2x 的图象与直线x +y -3=0的交点坐标为(1,2),当直线x =m 经过点(1,2)时,实数m 取到最大值为1.故选B.4.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -19≥0,x -y +8≥0,2x +y -14≤0所表示的平面区域为M ,则使函数y =a x ()a >0,a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A .[1,3]B .[2,10]C .[2,9]D .[10,9]解:如图,阴影部分为平面区域M ,显然a >1,只需研究过(1,9),(3,8)两种情形,a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9,故选C .5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y ≥0,x +y ≤a表示的平面区域是一如图,由条件可知,当直线x右上方时,可行域可以组成一个三角形,即时,可行域可以组成一个△OAB;当=x+y,则y=-ABC,且x+y的最大值只在点-y-3=0,-my=-1先作出可行域,而目标函数就是将直线y=-kx平行移动发现,直线在y轴上的截距最大,故时,发现z不可能等于12.⎪⎧x-4y+3≤0,3作出可行域如图中阴影部分,联立易得1),C(5,2).⇔y=43x-z13,易知平移最大,z最大值为4×5-3×2如图,作出可行域,作直线l :6x +12向右上方平移至l 1位置,直线经过可行域上的点且与原点距离最大,此时z =6x +12y 取最大值.=300,得M (20,24).所以生产甲种ax +b =0的两根分别在区间上的几何意义是:函数y =轴的两个交点的横坐标分别在区间不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (f (f (则在坐标平面aOb 的切线,可求得切线方程为在区域内,故⎝⎛⎭⎫y x min =e.对应点C 时, ⎩⎪⎨⎪⎧5y =20-5x ,4y =20-12x ⇒§7.4 基本不等式及其应用1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 纵观近年高考,基本不等式一直都是热点,涉及范围较广,且常考常新,但一般不外乎以下四个层次:①直接考:即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查,属基础知识型测试;②变化考:即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①,属知识、技能型测试;③灵活考:即从题面上看不一定是考查基本不等式,但若能灵活应用基本不等式,往往能突破题目难点,优化解题思路,避免分类与整合等,多为解答题,属能力型测试;④综合考:如综合各种数学思想,或与其他学科、背景综合等,属较高能力要求.1.如果a >0,b >0,那么 叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a >0,b >0,那么 叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式:a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥ (当且仅当a =b 时取等号).4.基本不等式:a >0,b >0,则 ,当且仅当a =b 时等号成立,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值:a >0,b >0,当ab 为定值时,a +b ,a 2+b 2有 ,即a +b ≥ ,a 2+b 2≥ .6.求最大值:a >0,b >0,当a +b 为定值时,ab 有最大值,即,亦即 ;或a 2+b 2为定值时,ab 有最大值(a >0,b >0),即 .7.拓展:若a >0,b >0时,21a +1b ≤ ≤a +b 2≤ ,当且仅当a =b 时等号成立.【自查自纠】 1.a +b 2 2.ab 3.2ab 4.a +b 2≥ab5.最小值 2ab 2ab6.ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22 ab ≤14(a +b )2ab ≤a 2+b 227.ab a 2+b 22设a ,b ∈R ,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( )A .6B .42C .2 2D .2 6解:因为2a >0,2b>0,由基本不等式得2a +2b ≥22a ·2b =22a +b =42,当且仅当a =b =32时取等号,故选B .若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( )A .12 B .1 C .2 D .4解:∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤12.当且仅当a =1,b =12时等号成立.故选A.(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b ),其全程的平均时速为v ,则( )A .a <v <abB .v =abC .ab <v <a +b 2D .v =a +b2解:设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ,∴v =2s s a +s b=2ab a +b <2ab2ab =ab .又v -a =2aba +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b =0,∴v >a .故选A.下列函数中,最小值为4的是________.①y =x +4x;②y =sin x +4sin x (0<x <π);③y =4e x +e -x ;④y =log 3x +log x 3(0<x <1).解:注意基本不等式等号成立的条件是“a =b ”,同时考虑函数的定义域,①的定义域为x ∈R ,且x ≠0,函数没有最小值;②若sin x =4sin x取到最小值4,则sin 2x =4,显然不成立;③符合一正、二定、三相等,且最小值为4;④没有最小值.故填③.点(m ,n )在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则log 2m +log 2n 的最大值是 .解:由条件知,m >0,n >0,m +n =1,所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m +n 22=14,当且仅当m =n =12时取等号,的值域.解:∵y=(最小值为解:∵t当且仅当M,则对任意实常数A.2∈C.2∈解法一:m2+2m求矩形场地的一面利用旧墙三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用45元/m ,新墙的造价为的函数;,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.如图,设矩形的另一边长为x -2)+180·2a ,得a =360x ,3602制造一个底宽孔流入,经沉淀后从高度为b m ,已知排出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab 为排出的水中杂质的质量分数,y =kab,是比例系数且k >0.最小,只需ab 最大.2ab +2a ≤60(a >(a >0,b >0).,30,得0<ab 时取“=”号,ab =3 m 时经沉淀后排出的水中杂同解法一得b ≤30-a ,代入1.若a >1,则a +1a -1的最小值是(10.已知a >0,b >0,且2a +b =1,求S =2ab -4a 2-b 2的最大值.解:∵a >0,b >0,2a +b =1,∴4a 2+b 2=(2a+b )2-4ab =1-4ab .且1=2a +b ≥22ab ,即ab ≤24,ab ≤18,∴S =2ab -4a 2-b 2=2ab -(1-4ab )=2ab+4ab -1≤2-12.当且仅当a =14,b =12时,等号成立.11.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?解:(1)设每间虎笼长为x m ,宽为y m ,则由条件,知4x +6y =36,即2x +3y =18.设每间虎笼的面积为S ,则S =xy . 解法一:由于2x +3y ≥22x ×3y =26xy ,∴26xy ≤18,得xy ≤272,即S ≤272.当且仅当2x =3y 时等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x =3y ,2x +3y =18,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4.5,y =3. 故每间虎笼长为4.5 m ,宽为3 m 时,可使每间虎笼面积最大.解法二:由2x +3y =18,得x =9-32y .∵x >0,∴0<y <6.S =xy =⎝⎛⎭⎫9-32y y =32(6-y )y . ∵0<y <6,∴6-y >0.∴S ≤32⎣⎡⎦⎤(6-y )+y 22=272.当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5.故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时,可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知S =xy =24.设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y . 解法一:∵2x +3y ≥22x ·3y =26xy =24, ∴l =4x +6y =2(2x +3y )≥48,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x =3y ,xy =24,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =4. 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小.解法二:由xy =24,得x =24y .∴l =4x +6y =96y +6y =6⎝⎛⎭⎫16y +y ≥6×216y×y =48,当且仅当16y=y ,即y =4时,等号成立,此时x=6.故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小.(2013·惠州模拟)如图所示,已知树顶A 离地面212米,树上另一点B 离地面112米,某人在离地面32米的C 处看此树,则该人离此树________米时,看A ,B 的视角最大.解:问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围.过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD =x 米,看A ,B 的视角最大,即∠BCA 最大.不妨设∠BCD =α,∠ACD =β,则∠BCA=β-α,且tan α=4x ,tan β=9x ,所以tan(β-α)=9x -4x 1+9x ×4x=5x x 2+36=5x +36x ≤52x ×36x =512,当且仅当x =36x ,即x =6时取等号,此时∠BCA 最大.故填6.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ={x |0≤x <3},N ={x |x 2-3x -4<0},则集合M ∩N =( )A .{x |0≤x <3}B .{x |0≤x ≤3}C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0≤x <1}解:x 2-3x -4<0⇔ (x -4)(x +1)<0⇔-1<x <4,∴N ={x |-1<x <4},∴M ∩N ={x |0≤x <3}.故选A.2.不等式x +5()x -12≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤-3,12B.⎣⎡⎦⎤-12,3C.⎣⎡⎭⎫12,1∪(1,3]D.⎣⎡⎭⎫-12,1∪(1,3] 解:x +5(x -1)2≥2⇔(x +5)-2(x -1)2(x -1)2≥0⇔-2x 2+5x +3(x -1)2≥0⇔-2x 2+5x +3≥0(x ≠1)⇔2x 2-5x -3≤0(x ≠1) ⇔-12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≤0,x >0,则y x 的取值范围是( )A .(0,1) B.(]0,1 C .(1,+∞)D.[)1,+∞解:画出不等式组所表示的平面区域,而yx 表示过可行域上任意一点P ()x ,y 和原点连线的斜率,故选C .4.若一个矩形的对角线长为常数a ,则其面积的最大值为( )A .a 2B .12a 2C .aD .12a解:如图,设矩形的长和宽分别为x ,y ,则x 2+y 2=a 2,其面积S =xy ,由基本不等式得S ≤12(x 2+y 2)=12a 2,当且仅当x =y 时取等号,此时为正方形.故选B.5.函数y =log 2⎝⎛⎭⎫x +1x -1+5(x >1)的最小值为( )A .-4B .-3C .3D .4解:函数y =log 2⎝⎛⎭⎫x +1x -1+5(x >1)=log 2(x -1+1x -1+6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2(x -1)×1x -1+6=log 28=3,当且仅当x -1=1x -1,即x =2时取得等号.故选C.6.下列各式中,最小值等于2的是( )A .log a b +log b aB .x 2+5x 2+4C .tan θ+1tan θD .2x +2-x解:对于选项A ,可能有log a b <0,不正确;对于选项B ,x 2+5x 2+4=(x 2+4)+1x 2+4=x 2+4+1x 2+4≥2,但等号不可能成立,不正确;对于选项C ,可能有tan θ<0,不正确;对于选项D ,∵2x +2-x =2x +12x≥2,当且仅当x =0时等号成立,正确.故选D. 7.(2012·山东)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≥2,2x +y ≤4,4x -y ≥-1,则目标函数z =3x -y 的取值范围是()A .⎣⎡⎦⎤-32,6 B .⎣⎡⎦⎤-32,-1 C .[-1,6]D .⎣⎡⎦⎤-6,32解:作出不等式组所表示的区域如图,由z =3x(1+a)x+1+a+bf(x)=x2+(1+a)x 方程x2+(1+a)x+1图中的阴影部分为满足题意的可行域,(3,-4),C(-5,0)三点都在圆周上0经过原点,所以直线mx+P在线段DB上移动,因为直线若不等式的解集为因为不等式的解集为-16由图易知,直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中,点(5,2)使z=320x+504y取得最小值,504×2=2608.每天调出A型车5辆,B型车2辆,公司所花+4bx+c,。

历年高三数学高考考点之基本不等式必会题型及答案

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历年高三数学高考考点之<基本不等式>必会题型及答案体验高考1.(2015·四川)如果函数f (x )=12(m -2)x 2+(n -8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上单调递减,那么mn 的最大值为( )A .16B .18C .25 D.812答案 B解析 ①当m =2时,∵f (x )在[12,2]上单调递减, ∴0≤n <8,mn =2n <16.②m ≠2时,抛物线的对称轴为x =-n -8m -2. 据题意得,当m >2时,-n -8m -2≥2,即2m +n ≤12, ∵2m ·n ≤2m +n 2≤6, ∴mn ≤18,由2m =n 且2m +n =12得m =3,n =6.当m <2时,抛物线开口向下,据题意得,-n -8m -2≤12,即m +2n ≤18, ∵2n ·m ≤2n +m 2≤9, ∴mn ≤812, 由2n =m 且m +2n =18得m =9>2,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有m +2n =18(m <2,n >8).∴mn =(18-2n )n <(18-2×8)×8=16,综上所述,mn 的最大值为18,故选B.2.(2015·陕西)设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( )A .q =r <pB .q =r >pC .p =r <qD .p =r >q 答案 C解析 ∵0<a <b ,∴a +b 2>ab ,又∵f (x )=ln x 在(0,+∞)上为增函数,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2>f (ab ),即q >p . 又r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b ) =12ln a +12ln b =ln(ab )12=f (ab )=p .故p =r <q .选C.3.(2015·天津)已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为________时,log 2a ·log 2(2b )取得最大值.答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )=log 2a ·(1+log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a +1+log 2b 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab +122 =⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28+122=4, 当且仅当log 2a =1+log 2b ,即a =2b 时,等号成立,此时a =4,b =2.4.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中,若sin A =2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是________.答案 8解析 在△ABC 中,A +B +C =π,sin A =sin[π-(B +C )]=sin(B +C ),由已知,sin A =2sin B sin C ,∴sin(B +C )=2sin B sin C .∴sin B cos C +cos B sin C =2sin B sin C ,A ,B ,C 全为锐角,两边同时除以cos B cos C 得:tan B +tan C =2tan B tan C .又tan A =-tan(B +C )=-tan B +tan C 1-tan B tan C =tan B +tan C tan B tan C -1. ∴tan A (tan B tan C -1)=tan B +tan C .则tan A tan B tan C -tan A =tan B +tan C ,∴tan A tan B tan C =tan A +tan B +tan C=tan A +2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C , ∴tan A tan B tan C ≥22,∴tan A tan B tan C ≥8.5.(2016·上海)设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax +y =1,x +by =1无解,则a +b 的取值范围是________.答案 (2,+∞)解析 由已知,ab =1,且a ≠b ,∴a +b >2ab =2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有:(1)x +bx -a =x -a +bx -a +a (x >a ).(2)若a x +b y =1,则mx +ny =(mx +ny )×1=(mx +ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x +b y ≥ma +nb +2abmn (字母均为正数).例1 (1)已知正常数a ,b 满足1a +2b=3,则(a +1)(b +2)的最小值是________. 答案 509解析 由1a +2b =3,得b +2a =3ab , ∴(a +1)(b +2)=2a +b +ab +2=4ab +2,又a >0,b >0,∴1a +2b ≥22ab ,∴ab ≥89(当且仅当b =2a 时取等号), ∴(a +1)(b +2)的最小值为4×89+2=509. (2)求函数y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值. 解 设x +1=t ,则x =t -1(t >0),∴y =t -12+7t -1+10t=t +4t+5≥2 t ·4t +5=9. 当且仅当t =4t,即t =2,且此时x =1时,取等号, ∴y min =9.点评 求条件最值问题一般有两种思路:一是利用函数单调性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值.等号能够取得.变式训练1 已知x >0,y >0,且2x +5y =20,(1)求u =lg x +lg y 的最大值;(2)求1x +1y的最小值. 解 (1)∵x >0,y >0,∴由基本不等式,得2x +5y ≥210xy .∵2x +5y =20,∴210xy ≤20,即xy ≤10,当且仅当2x =5y 时等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +5y =20,2x =5y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =5,y =2,此时xy 有最大值10.∴u =lg x +lg y =lg(xy )≤lg 10=1.∴当x =5,y =2时,u =lg x +lg y 有最大值1.(2)∵x >0,y >0,∴1x +1y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1y ·2x +5y 20=120⎝ ⎛⎭⎪⎫7+5y x +2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7+25y x ·2x y =7+21020, 当且仅当5y x =2x y时等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +5y =20,5y x =2x y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =10 10-203,y =20-4103. ∴1x +1y 的最小值为7+2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为x 8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A .60件B .80件C .100件D .120件答案 B 解析 平均每件产品的费用为y =800+x 28x =800x +x 8≥2 800x ×x 8=20,当且仅当800x =x 8,即x =80时取等号,所以每批应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:仓库面积S 的最大允许值是多少?为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解 设铁栅长为x 米,一侧砖墙长为y 米,则顶部面积S =xy ,依题设,得40x +2×45y +20xy =3 200,由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y +20xy =120 xy +20xy =120 S +20S ,则S +6S -160≤0,即(S -10)·(S +16)≤0,故0<S ≤10,从而0<S ≤100,所以S 的最大允许值是100平方米,取得此最大值的条件是40x =90y 且xy =100,解得x =15,即铁栅的长应设计为15米.点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛,在最优化实际问题,平面几何问题,代数式最值等方面都要用到基本不等式,应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.变式训练2 (1)已知直线ax +by -6=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为25,则ab 的最大值是________. 答案 92 解析 圆的方程变形为(x -1)2+(y -2)2=5,由已知可得直线ax +by -6=0过圆心O (1,2),∴a +2b =6(a >0,b >0),∴6=a +2b ≥22ab ,∴ab ≤92(当且仅当a =2b 时等号成立), 故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x ),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (万元).当年产量不小于80千件时,C (x )=51x +10 000x-1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;②当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解 ①当0<x <80时, L (x )=1 000x ×0.05-(13x 2+10x )-250=-13x 2+40x -250. 当x ≥80时, L (x )=1 000x ×0.05-(51x +10 000x -1 450)-250 =1 200-(x +10 000x). ∴L (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -13x 2+40x -2500<x <80,1 200-x +10 000x x ≥80.②当0<x <80时,L (x )=-13x 2+40x -250. 对称轴为x =60,即当x =60时,L (x )最大=950(万元).当x ≥80时,L (x )=1 200-(x +10 000x)≤1 200-2 10 000=1 000(万元),当且仅当x =100时,L (x )最大=1 000(万元),综上所述,当x =100时,年获利最大.高考题型精练1.已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy ( ) A .有最大值e B .有最大值 eC .有最小值eD .有最小值 e答案 C解析 ∵x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,∴ln x ·ln y =14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x +ln y 22,∴ln x +ln y =ln xy ≥1⇒xy ≥e.2.若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( )A.245B.285C .5D .6答案 C解析 方法一 由x +3y =5xy 可得15y +35x =1,∴3x +4y =(3x +4y )(15y +35x )=95+45+3x5y +12y5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y5x ,即x =1,y =12时,等号成立),∴3x +4y 的最小值是5.方法二 由x +3y =5xy 得x =3y5y -1,∵x >0,y >0,∴y >15,∴3x +4y =9y5y -1+4y=135+95·15y -15+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y -15 ≥135+2 3625=5, 当且仅当y =12时等号成立, ∴3x +4y 的最小值是5.3.若正数a ,b 满足1a +1b =1,则1a -1+9b -1的最小值是( ) A .1B .6C .9D .16 答案 B解析 ∵正数a ,b 满足1a +1b=1, ∴b =a a -1>0,解得a >1.同理可得b >1, ∴1a -1+9b -1=1a -1+9a a -1-1 =1a -1+9(a -1)≥2 1a -1·9a -1=6,当且仅当1a -1=9(a -1),即a =43时等号成立, ∴最小值为6.故选B.4.已知a >0,b >0,若不等式m 3a +b -3a -1b≤0恒成立,则m 的最大值为( ) A .4 B .16 C .9 D .3答案 B解析 因为a >0,b >0,所以由m 3a +b -3a -1b ≤0恒成立得m ≤(3a +1b )(3a +b )=10+3b a +3a b恒成立.因为3b a +3a b ≥23b a ·3a b=6, 当且仅当a =b 时等号成立,所以10+3b a +3a b≥16, 所以m ≤16,即m 的最大值为16,故选B.5.已知x ,y ∈(0,+∞),2x -3=(12)y ,若1x +m y(m >0)的最小值为3,则m 等于( ) A .2 B .2 2 C .3 D .4答案 D解析 由2x -3=(12)y 得x +y =3, 1x +m y =13(x +y )(1x +m y) =13(1+m +y x +mx y) ≥13(1+m +2m )(当且仅当y x =mx y时取等号) ∴13(1+m +2m )=3,解得m =4,故选D. 6.已知直线ax +by +c -1=0(b ,c >0)经过圆x 2+y 2-2y -5=0的圆心,则4b +1c的最小值是( )A .9B .8C .4D .2答案 A解析 圆x 2+y 2-2y -5=0化成标准方程,得x 2+(y -1)2=6,所以圆心为C (0,1),因为直线ax +by +c -1=0经过圆心C ,所以a ×0+b ×1+c -1=0,即b +c =1.因此4b +1c =(b +c )(4b +1c)=4c b +b c +5. 因为b ,c >0,所以4c b +b c ≥24cb ·b c=4. 当且仅当4c b =b c时等号成立. 由此可得b =2c ,且b +c =1,即b =23,c =13时,4b +1c取得最小值9. 7.已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________.答案 6解析 由已知得x =9-3y 1+y.方法一 (消元法)∵x >0,y >0,∴0<y <3,∴x +3y =9-3y 1+y +3y =121+y +3(y +1)-6 ≥2121+y ·3y +1-6=6,当且仅当121+y=3(y +1), 即y =1,x =3时,(x +3y )min =6.方法二 ∵x >0,y >0,9-(x +3y )=xy =13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3y 22,当且仅当x =3y 时等号成立.设x +3y =t >0,则t 2+12t -108≥0,∴(t -6)(t +18)≥0,又∵t >0,∴t ≥6.故当x =3,y =1时,(x +3y )min =6.8.已知三个正数a ,b ,c 成等比数列,则a +cb +b a +c 的最小值为________. 答案 52解析 由条件可知a >0,b >0,c >0,且b 2=ac ,即b =ac ,故a +c b ≥2ac b =2,令a +c b =t ,则t ≥2,所以y =t +1t在[2,+∞)上单调递增, 故其最小值为2+12=52. 9.已知x ,y ∈R 且满足x 2+2xy +4y 2=6,则z =x 2+4y 2的取值范围为________. 答案 [4,12]解析 ∵2xy =6-(x 2+4y 2),而2xy ≤x 2+4y 22, ∴6-(x 2+4y 2)≤x 2+4y 22, ∴x 2+4y 2≥4(当且仅当x =2y 时取等号),又∵(x +2y )2=6+2xy ≥0,即2xy ≥-6,∴z =x 2+4y 2=6-2xy ≤12(当且仅当x =-2y 时取等号),综上可知4≤x 2+4y 2≤12.10.当x ∈(0,1)时,不等式41-x ≥m -1x 恒成立,则m 的最大值为________. 答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x +41-x, 设f (x )=1x +41-x =1-x +4x x 1-x =3x +1-x 2+x ,x ∈(0,1).令t =3x +1,则x =t -13,t ∈(1,4), 则函数f (x )可转化为g (t )=t-⎝ ⎛⎭⎪⎫t -132+t -13=t -19t 2+59t -49=9t -t 2+5t -4=9-t +4t+5, 因为t ∈(1,4),所以5>t +4t≥4, 0<-(t +4t )+5≤1,9-t +4t +5≥9, 即g (t )∈[9,+∞),故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x +41-x,因为x ∈(0,1),则1-x ∈(0,1),设y =1-x ∈(0,1),显然x +y =1.故1x +41-x =1x +4y =x +y x +4x +y y=5+(y x +4x y )≥5+2y x ·4x y=9, 当且仅当y x =4x y ,即y =23,x =13时等号成立. 所以要使不等式m ≤1x +41-x恒成立,m 的最大值为9. 11.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2+x 2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解 (1)设所用时间为t =130x(小时), y =130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2+x 2360+14×130x ,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y =2 340x +1318x ,x ∈[50,100].(2)y =2 340x +1318x ≥2610, 当且仅当2 340x =13x 18, 即x =1810时等号成立.故当x =1810千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元.12.某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x 元.公司拟投入16(x 2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.解 (1)设每件定价为t 元,依题意,有⎝ ⎛⎭⎪⎫8-t -251×0.2t ≥25×8, 整理得t 2-65t +1 000≤0,解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x >25时,不等式ax ≥25×8+50+16(x 2-600)+15x 有解, 等价于x >25时,a ≥150x +16x +15有解, ∵150x +16x ≥2150x ·16x =10(当且仅当x =30时,等号成立),∴a ≥10.2, ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.。

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基本不等式应用一:求最值 例:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧 技巧一:凑项 例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

技巧二:凑系数 例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。

解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。

变式:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。

解:∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三: 分离、换元例:求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+((当且仅当x =1时取“=”号)。

解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++)当,即t=时,4259y t t≥⨯+=(当t=2即x =1时取“=”号)。

技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()af x x x=+的单调性。

例:求函数2254x y x +=+的值域。

解:令24(2)x t t +=≥,则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+因10,1t t t >⋅=,但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥。

所以,所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

技巧五:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。

例:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值错解..: 0,0x y >>,且191x y+=,∴()1992212x y x y xy xy xy⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

错因:解法中两次连用均值不等式,在2x y xy +≥等号成立条件是x y =,在1992xyxy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误。

因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解:190,0,1x y x y >>+= ,()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时,上式等号成立,又191x y +=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。

技巧六例:已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22=1,求x 1+y 2 的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab ≤a 2+b 22 。

同时还应化简1+y 2中y 2前面的系数为 12, x 1+y 2 =x2·1+y 22 = 2 x ·12 +y 22下面将x ,12 +y 22分别看成两个因式: x ·12 +y 22≤x 2+(12 +y 22 )22 =x 2+y 22 +12 2 =34即x 1+y 2 = 2 ·x12 +y 22 ≤ 342 技巧七:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。

法一:a =30-2b b +1 , ab =30-2b b +1 ·b =-2 b 2+30bb +1由a >0得,0<b <15令t =b +1,1<t <16,ab =-2t 2+34t -31t =-2(t +16t )+34∵t +16t ≥2t ·16t=8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t =4,即b =3,a =6时,等号成立。

法二:由已知得:30-ab =a +2b ∵ a +2b ≥22 ab ∴ 30-ab ≥22 ab 令u =ab 则u 2+2 2 u -30≤0, -5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥118点评:①本题考查不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230ab a b =++)(+∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围. 技巧八、取平方例: 求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。

解析:注意到21x -与52x -的和为定值。

22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-=又0y >,所以022y <≤ 当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号。

故max 22y =。

应用二:利用均值不等式证明不等式例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。

求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又1121a b c bc a a a a-+-==≥,可由此变形入手。

解: a 、b 、c R +∈,1a b c ++=。

∴1121a b c bc a a a a -+-==≥。

同理121ac b b -≥,121abc c-≥。

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1112221118bc ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

应用三:均值不等式与恒成立问题例:已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解:令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=,99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。

16k ∴≥ ,(],16m ∈-∞应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 . 分析:∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q (p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R>Q>P 。

【高考真题训练】1.(2010·山东)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为__3___.2.(2011·陕西)设0<a <b ,则下列不等式中正确的是(B)A.a <b <ab <a +b2B.a <ab <a +b2<b C.a <ab <b <a +b2D.ab <a <a +b2<b3.(2010·四川)设a >b >c >0,则2a 2+1ab +1a a -b -10ac +25c 2的最小值是(B)A.2B.4C.2 5D.54.(2013课标全国Ⅱ,文24)选修4—5:不等式选讲 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1.证明:(1)ab +bc +ca ≤13;(2)222a b c bc a ++≥1. 解:(1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca , 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca .由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1.所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤13.(2)因为22a b a b +≥,22b c b c +≥,22c a c a +≥, 故222()a b c a b c b c a +++++≥2(a +b +c ), 即222a b c b c a ++≥a +b +c . 所以222a b c bc a ++≥1.5.[2014·重庆卷] 若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( ) A .6+2 3 B .7+2 3 C .6+4 3 D .7+4 3D [解析] 由log 4(3a +4b )=log 2ab ,得3a +4b =ab ,则4a +3b =1,所以a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫4a +3b =7+4b a +3a b≥7+2 4b a ·3a b =7+4 3,当且仅当4b a =3ab,即a =4+2 3,b =2 3+3时等号成立,故其最小值是7+4 3.6.[2014·湖北卷] 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =76 000vv 2+18v +20l.(1)如果不限定车型,l =6.05,则最大车流量为________辆/小时;(2)如果限定车型,l =5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. (1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知,l >0,v >0,所以当l =6.05时,F =76 000v v 2+18v +121=76 000v +121v +18≤76 0002v ·121v +18=1900,当且仅当v =11时,取等号.(2)当l =5时,F =76 000v v 2+18v +100=76 000v +100v +18≤2000,当且仅当v =10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.7.[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A .80元B .120元C .160元D .240元C [解析] 设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4 m 3,高为1 m .得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元,则 y =4×20+2⎝⎛⎭⎫x +4x ×1×10 =80+20⎝⎛⎭⎫x +4x ≥80+20×2x ·4x=160,当且仅当x =4x,即x =2时等号成立.因此,当x =2时,y 取得最小值160,即容器的最低总造价为160元,故选C.8.[2014·辽宁卷] 对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +b 2-c =0且使|2a +b |最大时,1a +2b +4c的最小值为________.-1 [解析] 因为4a 2-2ab +b 2-c =0,所以(2a +b )2-c =6ab =3×2ab ≤3×(2a +b )24,所以(2a +b )2≤4c ,当且仅当b =2a ,c =4a 2时,|2a +b |取得最大值.故1a +2b +4c =2a +1a 2=⎝⎛⎭⎫1a +12-1,其最小值为-1. 9.[2014·浙江卷] 已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值是________.63[解析] 方法一:令b =x ,c =y ,则x +y =-a ,x 2+y 2=1-a 2,此时直线x +y =-a 与圆x 2+y 2=1-a 2有交点,则圆心到直线的距离d =|a |2≤1-a 2,解得a 2≤23,所以a 的最大值为63.方法二:将c =-(a +b )代入a 2+b 2+c 2=1得2b 2+2ab +2a 2-1=0,此关于b 的方程有实数解,则Δ=(2a )2-8(2a 2-1)≥0,整理得到a 2≤23,所以a 的最大值为63.10.[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是______. 6-24[解析] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,则由正弦定理得a +2b =2c .故 cos C =a 2+b 2-c22ab=a 2+b 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +2b 222ab=34a 2+12b 2-22ab 2ab=34a 2+12b22ab-24≥234a 2·12b 22ab -24=6-24,当且仅当3a 2=2b 2,即a b =23时等号成立.。

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