2020年浙江高三数学总复习：基本不等式 复习讲义
浙江专用2020版高考数学一轮总复习专题7不等式7.5绝对值不等式课件201903092217
7.5 绝对值不等式
考点清单
考点
考向基础 1.含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} ① {x|x>a或x<-a} a=0 ⌀ ② {x|x∈R且x≠0} a<0 ⌀ R
含绝对值不等式的解法
例 (2018课标全国Ⅰ文,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解析 (1)解法一:当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,
2, x 1, 即f(x)= 2 x, 1 x 1, 2, x 1.
(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
考向突破 考向一 含绝对值不等式的解法
例1 (2017课标全国Ⅲ,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解析
3, x 1, (1)f(x)= 2 x 1, 1 x 2, 3, x 2.
当x<-1时, f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1, 所以1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. |x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习课件：7.4 基本不等式及不等式的应用
a b
m m
>
a b
.基本步骤:作差,
变形,定号.
b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小.
(2)分析法与综合法
令字母A、A1、A2、…、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等 式,A为待证不等式.
若有A⇔A1⇔A2⇔…⇔An⇔B,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是 由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分.
am a am
(2)a,b,c,d∈R+, b < d ,则 b < b d < d ;
a c a ac c
(3)n∈N*, n 1- n < 1 < n - n 1;
2n
(4)n∈N*,n>1, 1 - 1 < 1 < 1 - 1 .
n n 1 n2 n 1 n
3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上 恒成立⇔f(x)min>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max <B(x∈D). (2)能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使 不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成 立⇔f(x)min<B(x∈D). (3)恰成立问题:不等式f(x)>A在区间D上恰成立⇔f(x)>A的解集为D; 不等式f(x)<B在区间D上恰成立⇔f(x)<B的解集为D.
y
2
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第七章 第4讲 基本不等式
＋
1 b
＝
a＋b a
＋
a＋b b
＝
2
＋
b a
＋
a b
≥2
＋
2
ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝12时，取等号，所以最
小值为 4.
(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知函数 f(x)＝x2－x－4x2＋5 (x＞2)，当且仅当 x＝________时，f(x)取到最小值为________．
x≥0，y≥0
联立x3－x－y＝y－02＝0，解得 A(1，1)．
由 z＝ax＋by(a＞1，b＞2)，得 y＝－abx＋bz， 由图可知，zmax＝a＋b＝5.可得 a－1＋b－2＝2. 所以a－1 1＋b－4 2＝12a－1 1＋b－4 2(a－1＋b－2) ＝125＋ba－－21＋4（ba－－21） ≥125＋2 ba－－21×4（ba－－21）＝92.
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________．
【解析】
(1) 因 为
x>0 ， 则
f(x)
＝
x x2＋3x＋1
＝
1 x＋1x＋3
≤ 2
x1·1x＋3＝15，当且仅当 x＝1x时等号成立．
(2)因为 x<54，所以 5－4x>0， 则 f(x)＝4x－2＋4x1－5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1.
某公司生产的商品 A，当每件售价为 5 元时，年销售 10 万件． (1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销量相应减少 1 万件，要 使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高 多少元？
2020年浙江高三数学总复习：基本不等式--复习讲义
复习目标学法指导1.会推导基本不等式.2.会用基本不等式求最值.1.基本不等式具有放缩功能.2.基本不等式可以用来求函数式的最值,但必须具备三个条件,即一正、二定、三相等. —3.合理配凑基本不等式的三个条件求最值.4.求最值时尽量避免多次使用基本不等式,若多次使用,必须保证它们等号成立的条件一致,否则会出现错误.(对应学生用书第50页)一、基本不等式 基本不等式:ab ≤2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. }(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,ab 称为正数a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 、(1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0). (5)211a b+≤ab ≤2a b+≤222a b +(a>0,b>0).(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大) …2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥2P ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 *用f(x)+()b f x ≥2b (b>0)或f(x)+()bf x ≤-2b (b>0),求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +ab ( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +ab .!当2a b +ab ,有两个结论出现:20,0,a b ab ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a +4a b )]≥1292, 当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩"即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C.3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1, &所以原式=(1+a b a +)(1+a bb +)=(2+b a )(2+ab ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)(考点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( ) (A)3(B)72(C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ; (4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 . 解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x y xy +,.因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab, 可得b=231a aa-->0,解得1<a<3. —故2a+b=2a+231a a a--=a-1+21a -+3≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0,所以3 =1a +2b≥ab ≥89. 当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立,[所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3,所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy+-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+=2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥"f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增,所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1(1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B ) (A)1 (B)6(C)9(D)16】解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1,所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥19(1)1a a ⋅--当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, }x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x+ 1y)=3+x y +2y x≥3+22x y y x⋅=3+22,当且仅当x y =2yx, 即x=1+2,y=22+时取等号. 】答案:1 3+22考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b +1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a +1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b+b c)≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,取等号. 利用基本不等式证明不等式的策略[(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件; (2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换;(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +b a≥2+2=4. ,所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明12a +12b +2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1, 12a +12b +1()12a +⨯1()12b +⨯≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. (考点三 基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)设所用时间为t=130x(小时), y=130x ×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥2610,:当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即x=1810时,等号成立.故当x=1810千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.—1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少最少值是多少(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x⨯ =560+48x+10800x(x ≥10,x ∈N *). (2)因为x>0, )所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元). 故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大解:(1)由题意有1=4-1k,得k=3,故x=4-321t +.}故y=×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥ 故y=27-1821t +-t=[912t ++(t+12)]≤=. 当且仅当912t +=t+12,即t=时,等号成立,y 有最大值. ~所以,该厂家这一年的年促销费用投入万元时,厂家利润最大,最大利润为万元.考点四 易错辨析【例4】 已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,[即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥214ab ab⋅=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即222,2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取得等号. `故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).|(对应学生用书第53页)类型一 利用基本不等式比较大小 1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )(A)a<b<2a b + 2a b +<b2a b + 2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab<b 2,即a<又因a+b<2b,所以2a b+<b,2a b+,:所以a<2a b +<b.故选B.类型二 利用基本不等式求最值2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3] 解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y=1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4yx =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 .解析:由题意得y=232x x-, 所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, ￥当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg2xx -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b 的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2bb-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b=2a b +(3a +1b)=12(4+3b a +ab)≥12,当且仅当3ba=a b,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是.答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b +恒成立,则m 的最大值为 . 解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b+恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b )=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三 基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立, 即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a⊗为正实数).若1⊗k=3,则k的值为,此时函数的最小值为.解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”.答案:138.已知a>0,b>0,设M=max(a,ba+9ab),则M的最小值为.解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9bba+的图象(图略),可得M=9,,,bbaa a a⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a≤a0,其中a0是函数y=a,y=9bba+图象的交点横坐标,即2a=b+9b≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M的最小值为a0,而a0所以M答案。
2020版新攻略高考数学总复习浙江专用课件：7.4 基本不等式
考点突破 栏目索引
方法指导
1.善于将要求解的参数分离. 2.若发现两正数的和为定值或积为定值,则可考虑用基本不等式求出积 的最大值或和的最小值.
3.利用基本不等式求出的最大(小)值往往可以得到所求参数的范围.
第三十五页，编辑于星期日：一点 三十分。
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2-1 已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的最
利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,则有 +1 =(1ax+by)·
xy
b+2 =(ab + )a2. b
1 x
=1ya+ b+
+ by≥aax+
xy
(2)已知a,b,x,y∈R+,若 a+ b=1,则有x+y=(x+y)·
xy
a x
by=a+b+
4
4x 5
第十四页，编辑于星期日：一点 三十分。
解析 (1)令x+y=s,x+2y=t,
则x=2s-t,y=t-s,
由xy>0,可得x,y同号,s,t同号,
x + 2 y = 2s t+ 2t 2s=2- t+2- 2s
x y x2y s
t
st
=4-
t s
2s t
≤4-2
t 2s-4-2
st
a=-
b
b a
ab≤ -2
D. ab< a b
2
b a
ba=-2
浙江专用2020高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语函数与导数不等式第4讲不等式课件2020021401109
2．简单分式不等式的解法 (1)gf（（xx））>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)gf（（xx））≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.
[典型例题]
(1)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式 f(x)＞0 的解集是(－1，3)，则不等式
f(－2x)＜0 的解集是( )
(2)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形 及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数 z＝x＋3y 在点(2，2)处取得最 大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值 zmin＝4－6＝－2，最大值 zmax＝2＋6＝8.
(3)A(1，1)，B(－2，1)，O 为坐标原点，若直线 l：ax＋by＝2 与△ABO 所围成区域(包含 边界)没有公共点， 得不等式组a－＋2ba＜ ＋2b＜2， 令 z＝a－b， 画出不等式组表示的平面区域，判断知，z＝a－b 在 M 取得最小值， 由－a＋2ab＋＝b2＝，2
简单的线性规划问题
[核心提炼] 1．平面区域的确定方法 平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区 域是各个不等式所表示的区域的交集． 2．线性目标函数 z＝ax＋by 最值的确定方法 线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y ＝－abx＋bz可知bz是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什 么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
解析：当 a>1 时，由题意可得 x2－ax－2a2>0 的解集为(－a，2a)，这显然是不可能的．当
2020版高考数学(理科)复习课件 第34讲 基本不等式
f(x)=alog2x+b 的图像经过点 4,12 ,则���1���+���2���的最小值
为
.
[思路点拨]
(1)将���1��� +���1��� 转化为13
1 ������
+���1���
(a+b),展开后再利用基本不等式
求解;(2)首先利用函数知识得到
2a+b=12,然后利用常数代换法将 ���1���+���2���代换为 2 ���1���+���2��� (2a+b),展开后
经过点 4,12 ,则���1���+���2���的最小值
为
.
[答案] (1)C (2)16
[解析]
(1)∵a+b=3,a,b
均为正实数,∴���1��� +���1��� =13
1 ������
+���1���
(a+b)=13
2+������������+������������ ≥13 2+2
)
A.16 B.9
C.5 D.4
[答案] A
[解析]
∵1
������
,12,���1��� 成等差数列,∴���1��� +���1��� =1,
∴a+9b=(a+9b) ���1���+���1��� =10+������������+9������������≥
10+2
������ ������
再利用基本不等式求最值.
课堂考点探究
例 2 (1)[2018·山东枣庄三中一调]
已知 a,b 均为正实数,且 a+b=3,则
(浙江专版)2020版高考数学一轮复习第二章不等式第三节绝对值不等式课件
即x－a2＋12－x≥3－2 a. 又x－a2＋12－xmin＝12－a2， 所以12－a2≥3－2 a，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
D．|a－b|＜|a|＋|b|
解析：∵ab＜0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
答案：B
()
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
第三 节 绝对值不等式
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
[即时应用] 已知 x，y∈R ，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y) －2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y| ≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.
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第三节 基本不等式(对应学生用书第50页)一、基本不等式 基本不等式2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0).(5)211a b+2a b+≤(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 用f(x)+()b f x ≥或f(x)+()b f x ≤求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +≥( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +.当2a b +,有两个结论出现:0,0,a b ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩ 所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a+4a b )]≥1292,当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( )(A)3 (B)72 (C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 .解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x yxy +,因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,可得b=231a aa-->0, 解得1<a<3. 故2a+b=2a+231a aa --=a-1+21a -+3 ≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a+2b≥ab ≥89.当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy +-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B )(A)1 (B)6 (C)9 (D)16解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1, 所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥=6,当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x≥当且仅当x y =2yx,即. 答案:1考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b+1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c)+(c b +b c)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +ba≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130x×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥,当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即时,等号成立.故当千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平)均购地费用=购地总费用建筑总面积解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x=560+48x+10800(x≥10,x∈N*).x(2)因为x>0,所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当912t +=t+12,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四 易错辨析【例4】 已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab ++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得等号. 故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).(对应学生用书第53页)类型一 利用基本不等式比较大小1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )2a b+2a b +<b2a b +2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab<b 2,即又因a+b<2b,所以2a b+<b,2a b+,所以2a b +<b.故选B.类型二 利用基本不等式求最值2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=232x x-,所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2b b-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12,当且仅当3ba =ab ,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b+恒成立,则m 的最大值为 .解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b)=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三 基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥×2-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立,即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a ⊗为正实数).若1⊗k=3,则k 的值为 ,此时函数的最小值为 .解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1=-2(舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 38.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9ab),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b ba+的图象(图略),可得M=09,,,b b a a a a ⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a ≤a 0, 其中a 0是函数y=a,y=9b ba +图象的交点横坐标,即20a =b+9b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,而a 0所以M答案。