高中数学 不等式专题训练
1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0
30
122x x x 的解集是（ ）
A ．｛x ｜－1＜x ＜1}
B ．｛x ｜0＜x ＜３}
C ．｛x ｜0＜x ＜1}
D ．｛x ｜－1＜x ＜３}
2、（01河南广东1）不等式
3
1
--x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1}
B ．{x |x >3}
C ．{x |x <1或x >3}
D ．{x |1 3、（02全国3）不等式（1＋x ）（1－｜x ｜）＞0的解集是（ ） A ．｛x ｜0≤x ＜1} B ．｛x ｜x ＜0且x ≠－1} C ．｛x ｜－1＜x ＜1} D ．｛x ｜x ＜1且x ≠－1} 4、（97全国14）不等式组??? ??+->+->|22|330x x x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜0＜x ＜2} B ．｛x ｜0＜x ＜2.5} C ．｛x ｜0＜x ＜6} D ．｛x ｜0＜x ＜3} 5、（95全国理16）不等式（ 3 1）8 2 -x ＞3－2x 的解集是_____。 6、（02全国文5理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A ．（ 4π，2π）∪（π，45π） B ．（ 4π ，π） C ．（4π，4 5π） D ．（4π，π）∪（45π，2 3π） 7、解不等式1|55|2<+-x x 8、不等式022>++bx ax 的解集为}3 1 21|{<<- x x ，求a , b 9、解不等式∣∣x +4∣-8∣>2 解：由原不式式得∣x +4∣-8>2或∣x +4∣-8<-2 ∴∣x +4∣>10或∣x +4∣<6 ∴x >6或x <-14或-10 13、解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 14、a 为何值时，不等式2)1()23(22+-++-x a x a a ＞0的解为一切实数？ 15、（06重庆文15）设0,1a a >≠，函数2 ()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的 解集为 。 16、（06重庆理15）设0,1a a >≠，函数2lg(23) ()x x f x a -+=有最大值，则不等式() 2log 570a x x -+>的 解集为 。 17、已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 （1）求t ，m 的值； （2）若函数4)(2++-=ax x x f 在区间(],1-∞上递增，解关于x 的不等式2 log (32)0a mx x t -++-<. 18、解关于x 的不等式 2 ) 1(--x x a ＞1(a ≠1)。 19、（1）设不等式x 2-2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围？ 20、（06安徽10）如果实数x y 、满足条件?? ? ??≤++≥+≥+-01010 1y x y y x ， 那么2x y -的最大值为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．3- 21、（06湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 22、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 23、（06天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 24、有两个粮食经销商，在同一粮食生产基地购粮两次（两次的价格不同），一个每次购粮10000 kg ，另一个每次购粮10000元，试问哪一种购粮方式更经济？请写出你的解答过程及结论。 25、直线l 经过点()23，且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求三角形AOB 的面积的最小值及此时直线l 的方程。（O 为直角坐标系原点） 26、建造一个容积是83()m ，深为2()m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别是1202元/m 和 802元/m ，求：水池的最低造价。 27、某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用)(x f 表示，且)()(m f n f =(1+ 20 m n -)(其中n ＞m ，m 、n ∈N*)，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层? 28、已知定点M （6，4）和射线l y x x ：=>40()，试在射线上求一点N ，使射线l ，直线MN 及x 轴的正半轴围成的三角形面积最小，并求此面积的最小值。 29、（06上海文14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） （A ） 11 a b < （B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b > 30、（03京春文1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a +c >b +d B ．a －c >b －d C ．ac >bd D ．c b d a > 31、设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2 +a a 的大小 32、比较 1 1n n +-与2n 的大小（n N ∈）。 33、已知P x x Q x x =-+= ++22 11 1 ，，则P 、Q 的大小关系为（ ） A ． P Q > B ． P Q < C ． P Q ≥ D ． 不确定 34、已知a b >>00，且a b ≠，比较a b a b 与a b b a 的大小。 35、求证：5273<+ 36、某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 2 5万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ） A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[3，5] D ．[4，6] 37、（06浙江理7）“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（ ） (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 38、(06陕西卷)设x ，y 为正数， 则(x +y )( 14 x y +)的最小值为( ) A ． 6 B ．9 C ．12 D ．15 39、（07上海理5）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为_____ 40、求y =x sin + x sin 5 的最小值， x ∈（0，π） 41、（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 42、（00全国7）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ?，Q ＝ 2 1 （lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ） A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜R C ．Q ＜P ＜R D ．P ＜R ＜Q 43、甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为t 1、t 2，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走（m ≠n ）；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，则下列结论成立的是 （ ） A ．t 1>t 2 B ．t 1=t 2 C ．t 1 D ．t 1、t 2的大小无法确定 44、(06陕西卷)已知函数)(x f =ax 2+2ax +4(a >0)，若21x x < ，021=+x x ， 则( ) A ．)(1x f <)(2x f B ．)(1x f =)(2x f C ．)(1x f >)(2x f D ．)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定 45、(06上海卷)若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2?M ，0?M ； （C ）2∈M ，0?M ； （D ）2?M ，0∈M ． 46、 (06重庆卷文)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 （A ）23 （B ）3 （C ）2 （D ）3 47、 (06重庆理)若a ，b ，c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23，则2a +b +c 的最小值为 （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 48、某公司第一年产值增长率为p ，第二年的产值增长率为q ，这两年的年平均增长率为x ，那么x 与 2 q p +（p ≠Q ）的关系是（ ） A ． 2q p x +< B ．2q p x += C ．2 q p x +> D ．与p 、q 的值有关 49、（07山东理16）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线 10mx ny ++=上,其中0mn >,则 12 m n +的最小值为_______． 50、已知0>a ，0>b ，且12 2 2 =+b a ，求21b a +的最大值 51、已知a b ，>0且ab a b ++= 29 8 ，求：ab 的最大值。 52、已知a >2，b >3，求a b a b ++--1 23()() 的最小值。 解答 1、C 解析：原不等式等价于：????<<<<-??? ?<-<3 01 10)3(12x x x x x 0＜x ＜1。 2、C 解析：由已知 ?>--03 1 x x （x －1）（x －3）>0，∴x <1或x >3． 3、D 解法一：①x ≥0时，原不等式化为：（1＋x ）（1－x ）＞0，∴（x ＋1）（x －1）＜0， ∴??? ?≥<<-0 1 1x x 0≤x ＜1。 ②x ＜0时，原不等式化为：（1＋x ）（1＋x ）＞0?（1＋x ）2＞0，∴x ≠－1，∴x ＜0且x ≠－1。 综上，不等式的解集为x ＜1且x ≠－1。 解法二：原不等式化为：???>->+0||101x x ①或???<-<+0 ||10 1x x ② ①解得??? ?<->1||1x x －1＜x ＜1， ②解得???>-<1 ||1 x x 即x ＜－1，∴原不等式的解集为x ＜1且x ≠－1。 4、C 解法一：当x ≥2时，原不等式化为 2 2 33+->+-x x x x ， 去分母得（x +2）（3－x ）＞（x +3）（x －2）， 即－x 2＋x ＋6＞x 2＋x －6，2x 2－12＜0，66<<-x 。注意x ≥2，得2≤x ＜6； 当0＜x ＜2时，原不等式化为 x x x x +->+-2233，去分母得－x 2＋x ＋6＞－x 2－x ＋6。 即2x ＞0 注意0＜x ＜2，得0＜x ＜2。综上得0＜x ＜6。 5、｛x |－2＜x ＜4｝ 将不等式变形得x x 28 33 2-+->，则－x 2＋8＞－2x ， 从而x 2－2x －8＜0，（x ＋2）（x －4）＜0，－2＜x ＜4，所以不等式的解集是｛x |－2＜x ＜4｝． 6、C 解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标 4π和4 5π 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C ． 7、解：原不等式化为15512<+-<-x x 即???->+-<+-15515522x x x x ? ?? ?><<<3 ,24 1x x x 或 求交集得解集为：}4321|{<<< 8、解法1：∵3 1 21<<- x ，原不等式应为0)31)(21(<-+x x 即061612<-+x x 原不等式化为022<++a x a b x ，即61=a b ，61 2-=a 解得： ???-=-=212b a 解法2： x x b a x x a b a 1212121312132 212+=-+=-=-?=????? ???=-=-??? 9、解：由原不式式得∣x +4∣-8>2或∣x +4∣-8<-2 ∴∣x +4∣>10或∣x +4∣<6 ∴x >6或x <-14或-10 当x <1时，x -1<0 ∴-x +1>2x ? x <31 ∴不等式的解集：{x ∣x <3 1} 解法②：当x ≤0时，2x ≤0，不等式成立，∴x ≤0是不等式的解 当x >0时，不等式化为x -1>2x 或 x -1<-2x 分别解得：x <1或x <31 ∴0 1} 11、解：-3和2将实数分成三部分：x <-3，-3≤x <2，x ≥2 ① 当x <-3时，不等式为：-x -3-2x +4>2 解得：x <-3 1，∴x <-3 ② 当-3≤x <2时，不等式为：x +3-2x +4>2 解得：x <5，∴-3≤x <2 ③ 当x ≥2时，不等式为：x +3+2x -4>2 解得：x >1 ∴x ≥2 ∴不等式的解：R 12、解：原不等式可化为：018329332>+?-?x x 即：0)233)(93(>-?-x x 解之：93>x 或3 23 2log 3 若)1(-->a a 即21 > a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(-- 1 14、解：(1)当0232=+-a a 得1=a 或2 1=a 时，原不等式为2>0恒成立 ∴1=a 适合 2=a 时，原不等式为2+x ＞０，其解不是一切实数 ∴2=a 不适合 (2)当232 +-a a ≠0时，有 ???<+---=?>+-0)23(8)1(0232 22a a a a a ??? ???><><715121a a a a 或或 ∴不等式组的解为a ＜1或a ＞ 7 15 15、｛x | 1>x ｝由于函数有最小值，故1>a 。原不等式化为01>-x ，即1>x 。 16、｛x |32< 17502<+- 3 )25(7522>+-=+-x x x 恒成立，由1752<+-x x 解得32< 17、解：（1） 不等式t x x +-32＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈ 由韦达定理，得???==+t m m 31 ∴ ???==22 t m （2） )(x f =44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22 a a ≥≥ 又0log log )32() 23(22＜x x a t x mx a +--++-= ， 由2≥a ，可知0＜x x 322+-＜1 由2230x x -<， 得0＜x ＜2 3 由22310x x -+>，得x ＜21或x ＞1 故原不等式的解集为{x|0＜x ＜21或1＜x ＜ 2 3 } 18、解：原不等式可化为： 2) 2()1(--+-x a x a ＞0， ①当a ＞1时，原不等式与(x －1 2 --a a )(x －2)＞0同解。 由于 2111211 a a a -=-<<--，∴原不等式的解为(－∞， 12 --a a )∪(2，+∞)。 ②当a ＜1时，原不等式与(x －12 --a a )(x －2) ＜0同解。由于21111 a a a -=- --， 若a ＜0，211211 a a a -=-<--，解集为( 12 --a a ，2)； 若a =0时，21 1211a a a -=-=--，解集为?； 若0＜a ＜1，211211 a a a -=->--，解集为(2， 12 --a a )。 综上所述：当a ＞1时解集为(－∞， 12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，1 2--a a )； 当a =0时，解集为?；当a ＜0时，解集为(12 --a a ，2)。 19、解：设)(x f =x 2-2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =??［1，4］； 当Δ=0时，a =－1或2； 当a =－1时M ={－1}?［1，4］；当a =2时，m ={2}?［1，4］。 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2。 设方程)(x f =0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 那么M =［x 1，x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4? ??>?≤≤>>?0,410 )4(,0)1(且且a f f ， 即???? ???>-<>>->+-2 10 71803a a a a a 或，解得2＜a ＜718，∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718)。 20、B 解析：（1）当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大 21、y x z 32+= 由?? ? ??≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是 5. 22、解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为???????≥≥≤≥≤+0,05.12000 2050y x x y x y y x 由??? ??? ?==???==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由?? ? ??==???==+27525 ,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，275 ) 所以满足约束条件的可行域是以A ( 7200，7 200 )，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275 )，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37. 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择. 23、20 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400 x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ?+万元，400 44x x ?+≥160， 当16004x x =即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。 24、解：设两次的粮价分别为a ，b 元，两人两次购粮的平均单价为x ，y 则2 200001000010000b a b a x +=+=；b a y 100001000020000+== b a ab +2 ∵ b a a b b a y x +-+=-22=)(24222b a ab ab b a +-++= 0)(2)(2 >+-b a b a 所以y x >，即每次购粮10000 kg 的经销商购买的单价经济。 25、解： 直线过（2，3） ∴设直线方程为y k x -=-32() 当x =0时，y k =-32；y =0时，x k k = -23 )23(322121k k k xy S ABC --?== ∴? )0( 4≥+--=k k 当且仅当-=-49k k ，即k k 223232 ==-()，时， S ABC ?最小＝12 此时直线l 方程为：y x -=--33 2 2() ∴+-=32120x y 26、解：设水池底的一边长为xm ，水池总造价为y 元，依题意水池另一边长为4x 1202880)422(2?+??+=x x y 480 )4 (320++=x x 48042320+?≥x x （元）1760= （当x x = 4 ，即x =2时取“＝”） ∴水池底面边长为2m 的正方形时，水池总造价最低为1760元。 27、解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284?＝x 1280 由题意知)5(f ＝400, )5()(f x f =(1+205-x )＝400(1+20 5 -x ) 从而每平方米的综合费用为 )(x f y =+ x 1280 ＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元）， 当且仅当x =8时等号成立 ，故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. 28、 y N M(6,4) O A x 解：如图，设N t t ()，4()t >0，M （6，4）， 则l MN ：y t t x -= ---444 6 6() 令y =0 则?-=15t t x 直线MN 交x 轴于A ()510t t -， 001 5>>-t t t ∴>t 1， t t t y OA S N NOA 41 521||21?-?=?=?1102-= t t 11)1(2)1(102-+-+-=t t t ]21 1 )1[(10+-+-=t t 40]211)1(2[10=+-?-?≥t t （当t t t -= -?=11 1 2时取“＝”） ∴?=N S N O A ()()m i n 2440，? 29、A ；显然0,0a b <>，但无法判断b a ,-与|||,|b a 的大小； 30、A ；∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d ； 31、解：)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10<)1(log 2 +a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2 +a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2 +a a 32、解： 1121210n n n n n n n n +--=++-=+-> ∴+->1 12n n n 33、C 0>P 且0>Q ， 又 P Q x x x x =-+++()()221111)1(24222≥++=-+=x x x x ∴≥P Q 34、解： a b a b a b a b b a >>∴>>0000，，， 作商a b a b a b a b a b b a a b b a a b ==---() 若a b >，则a b >1且a b ->0 若a b <，则01< b 且a b -<0 由指数函数的单调性知()a b a b ->1恒成立。∴>a b a b a b b a 35、分析法：证： ∵052,073>>+ 只需证明：22)52()73(<+ 展开得： 2021210<+ 即： 10212< ∴ 521< 即： 21 < 25（显然成立） ∴5273<+ 综合法：证明 ∵21 < 25 ∴521< ∴10212< ∴2021210<+ ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ 36、C %)2 520(240t t - ≥90，求得：3≤t ≤5 37、A 22b a +ab 2≥中参数的取值不只是指可以取非负数。均值不等式满足 )0,0(,2 >>≥+b a ab b a 。 38、B x ，y 为正数，(x +y )(14x y +)≥414y x x y +++≥9 39、 161 211414()44216x y xy x y +=?≤=，当且仅当x =4y=1 2 时取等号． 40、解：设x t sin = 则t t y 5 + =，∵0 41、B 3a +3b ≥2b a b a +=?3233=6，当且仅当a =b =1时取等号。故3a +3b 的最小值是6； 42、B ；∵lg a ＞lg b ＞0，∴ 2 1（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ?，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2， ∴2 1 lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R 43、C 设AB=d ，则n m d t +=21，)21 21( 2n m d t +=，0)(2)(221<+--=-n m mn n m d t t 44、 (06陕西卷)已知函数)(x f =ax 2+2ax +4(a >0)，若21x x < ，021=+x x ， 则( ) A ．)(1x f <)(2x f B ．)(1x f =)(2x f C ．)(1x f >)(2x f D ．)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定 A 函数)(x f =ax 2+2ax +4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，a >0，∴ x 1+x 2=0，x 1与x 2的中点为0，x 1 45、A 方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ； 方法2：求出不等式的解集：x k )1(2+≤4k ＋ 4 422min 222455(1)2[(1)2]252111 k x k x k k k k +?≤=++-?≤++-=-+++； 46、A （a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2≥12，当且仅当b ＝c 时取等号 47、D 若,,0a b c >且()423,a a b c bc +++=- 所以2423a ab ac bc +++=-， 2222211 423(44422)(4442)44 a a b a c bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=+++++++++≤ ∴ 22(232)(2)a b c -++≤，则(2a b c ++)≥232- 48、A 2)1()1)(1(x q p +=++ ，从而)1)(1(2)1()1(q p q p ++>+++=)1(2x +，即2 q p x +< 49、8 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -?+-?+=， 21m n +=，,0m n >， 121244()(2)4428.n m n m m n m n m n m n m n +=+?+=++≥+?= 50、解：2 1b a +=)221(22b a +=2 2122 b a + ≤)]221([2222b a ++=423 当且仅当2 212b a + =时，即23=a ，21 =b 时，21b a +取最大值为423 51、解： a b ab ab +≥=?22222 ∴+- ≤ab ab 22980() 令ab t = ∴+-≤t t 2229 80 8142≤∴≤∴ab t 当且仅当ab a b ==?????182 即 a b ==? ? ??? ??12 14取等号 ∴最大值是18 52、原式=5)3)(2(1)3()2(+--+ -+-b a b a 5) 3)(2(1 )3)(2(2+--+--≥b a b a 5) 3)(2(1 )3)(2(22+--? --≥b a b a 522+= 第一个等号成立条件是a b -=->230，第二个等号成立的条件是 ) 3)(2(1)3)(2(2--= --b a b a ，即()()a b --=231 2。 ∴=+ =+a b 22232 2 ，时等号成立，最小值为225+。 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 高中数学概率统计专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高三文科数学：概率与统计专题 一、选择题： 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A．1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 3、在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相 等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2,…,n)都在直线y=1 2x+1上，则这组样本 数据的样本相关系数为 （A）－1 （B）0 （C）1 2（D）1 4.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A）10 3 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学科&网则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4B． π 8 C．1 2 D．π4 6.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( ) 二、填空题： 7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。 8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，制作了对照表： 方程y ^＝b ^x ＋a ^由表中数据得回归直线 中的b ^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 三、解答题 10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量 气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公 比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =. 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第二讲 解不等式（一） 一、知识梳理 （一）考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。 （二）复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1} 2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－ 23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ，，解得?????-=-=121b a ，或???-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???，， ． 三、典型例题 例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+2 1 解：原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时； 当11+>-x x 解一：原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人． 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x高中数学不等式练习题
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
高中数学解不等式方法+练习题
高中数学不等式训练习题
高中数学概率统计专题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
高中数学不等式知识点总结
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
高中数学不等式练习题(供参考)
高中数学解不等式解答
高中数学专题――概率统计专题.
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
(完整)高中数学不等式习题及详细答案
高中数学概率统计教案
高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--
(最全)高中数学概率统计知识点总结
最新高一数学不等式练习题