习题参考答案-第5章

第五章习题答案：
5.1形式化地证明如下各个DO循环的验证项目
寻找x在b[0..n-1]中的位置i，若x不在其中，置i的值为n。

{P: 0≤n}
i:=0;
{Inv. 0≤i≤n and x∉b[0:i-1]}
{τ: n-i}
do i<n and x ≠b[i] i := i+1 od
{Q: 0≤i＜n and x=b[i] or i=n and x ∉b[0:n-1]}
证明：
(1)wp(“i:=0”, ρ)
=0≤0≤n∧x∉b[0:0-1]
=0≤0≤n∧x∉b[0:-1]
=0≤n
∴{0≤n } i:=0;{ ρ}成立
即循环开始时ρ成立
(2)∵wp(“i:=i+1”, ρ)
=0≤i+1≤n∧x∉b[0:i+1-1]
= 0≤i+1≤n∧x∈b[0:i]
∵ρ∧i<n∧x≠b[i]
= i<n∧x≠b[i]∧0≤i≤n∧x∉b[0:i-1]
=0≤i＜n∧x≠b[i] ∧x∉b[0:i-1]
=0≤i＜n∧x∉b[0:i]
∴ρ∧i<n∧x≠b[i]⇒wp(“i:=i+1”, ρ)成立
（3）ρ∧¬BB
= 0≤i≤n∧x∈b[0:i-1]∧（i≥n∨x=b[i]）
= (i=n∧x∈b[0:n-1]) ∨(0≤i≤n∧x=b[i])
= Q
(4) ρ∧BB
=0≤i≤n∧x∈b[0:i-1]∧i＜n∧x≠b[i]
=0≤i＜n∧x∈b[0:i]
⇒n-i＞0
⇒τ＞0
(5) wp(“τ1:=n-i;i=i+1”n-i<τ1)
=n-(i+1)<n-i
=Ture
∴ρ∧BB⇒wp(“τ1:=n-i;i=i+1”τ<τ1)成立
∴综上所述，可知{0≤n}程序{Q}正确
5.2 形式化地在证明下述算法，算法是set i to the highest power of 2 that at most n.
算法：{0<n}
i := 1;
{ρ: 0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p)}
{τ : n-i}
do 2*i ≤n i:= 2*i od
{R: 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p)}
证明：
1．证明{0<n } i := 1; {ρ: 0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p)} 为真，即：
证明0<n ⇒wp(“i := 1”, 0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p))为真. 而：0<n ⇒wp(“i := 1”, 0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p))
≡ 0<n ⇒ 0<1≤n ∧(∃p : 1=2p)
≡ 0<n ⇒ 0<1≤n ∧T
≡ 0<n ⇒ 0<1≤n
≡ T
∴{0<n } i := 1; {ρ: 0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p)} 为真
2．欲证明{0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n} i:= 2*i {0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p)}为真，即证明：
0<i≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒wp(“i:= 2*i”, 0<i≤n ∧(∃p : i=2 p)), 而，
0<i≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒wp(“i:= 2*i”, 0<i≤n ∧(∃p : i=2 p))
≡ 0<i≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒0<2*i≤n ∧(∃p : 2*i =2 p)
≡ 0<2*i≤n ∧(∃p : i=2 p) ⇒0<2*i≤n ∧(∃p : i =2 p)
≡ T
∴ {0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n} i:= 2*i {0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p)}为真，即r是循环不变式
3．欲证明0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i > n ⇒ 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p) 为真, 而：
0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i > n ⇒ 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p)
≡ 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p) ⇒ 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p)
≡ T
∴0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i > n ⇒ 0 ≤i ≤n <2*i ∧(∃p : i=2 p) 为真
4．欲证明0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒ n-i>0为真, 而：0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n
⇒0<i ≤n ∧2*i ≤n
⇒0< 2*i ≤n
⇒i<n
⇒n-i>0
∴0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒ n-i>0为真, 即r∧c ⇒τ>0 5．欲证明{0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n} t1:=n-i; i:= 2*i {t1>n-i }为真, 即：0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒wp(“t1:=n-i; i:= 2*i”, t1>n-i)为真, 而：0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒wp(“t1:=n-i; i:= 2*i”, t1>n-i) ≡0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n ⇒ n-i> n-2*i
≡0<2*i≤n∧(∃p : i=2 p)⇒ n-i> n-2*i (“⇒”的左端可以得出0<i，因此可以
得出右端成立)
≡T
∴ {0<i ≤n ∧(∃p : i=2 p) ∧2*i ≤n} t1:=n-i; i:= 2*i {t1>n-i }为真, 即循环每迭代一次界函数递减。

综上所述，上述算法正确。

5.3寻找第n个Fibinacci数
{n>0}
i,a,b := 1,1,0;
{Inv. 1<=i<=n and a=fi and b=fi-1} {BF: n-i}
do i<n i,a,b := i+1,a+b,a od
0, n=0;
f(n) = 1, n=1
f n-1-f n-2, n>=2
{Q: a=fn}
证明：（1）wp(“i,a,b:=1,1,0”,ρ)
=（1<=1<=n∧1=f1∧0=f0）
= true
{ n>0} i,a,b := 1,1,0; {ρ} 成立
∴循环开始时ρ成立。

（2）wp(“i,a,b:=i+1,a+b,a”, ρ)
= (1<=i+1<n∧a+b=f i+1∧a=f i)
= 0<=i<n-1∧a+b=f i+1∧a=f i
＝0<=i<n-1∧b=f i+1- f i∧a=f i
= 0<=i<n-1∧b=f i-1∧a=f i
而ρ∧i<n ＝1<=i<=n∧a=f i∧b=f i-1∧i<n
＝1<=i<n∧a=f i∧b=f i-1
∴ρ∧i<n → wp(“i,a,b:=i+1,a+b,a”, ρ)成立，即ρ是循环不变式。

（3）ρ∧¬BB
= 1<=i<=n∧a=f i∧b=f i-1∧i>=n
= i=n∧a=f i∧b=f i-1
= a=fn∧b=fn-1
→ Q
即循环终止时，Q成立。

（4）ρ¬BB
= 1<=i<=n∧a=f i∧b=f i-1∧i<=n
= n-i>0
=τ>0
(5)wp(“τ1:=n-i; i,a,b:=i+1,a+b,a”,n-i<τ1)
= n-( i +1) < n-i
= -1<0 =true
∴{n>0}程序{Q}正确。