2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案
九年级(上)期中数学试卷(答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．75．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：36．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．212．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a220．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是．（写出一个即可）22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；C、D根据相似图形的定义进行判断．【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；故选：B．2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴tanA=．故选A．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．故选C．4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．7【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：BC=12．故选：B．5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEF∽△CBF，∴EF：BF=DE：BC=1：2，∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；故选：A．6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是：=2，③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．综上所述，正确的结论是：①③④．故选：B．7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴，故A正确；∴，∴，故B正确；∴，故C错误；∴，∴，故D正确．故选C．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选：C．9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵cosB=，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选：B．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．2【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=A B﹣AB=20解得：AB=10．故选A．13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，∴OC==3（cm），∴3cm≤OP≤5cm，∵OP的长是整数，∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，∴满足条件的点P有5个．故选D．14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，∴∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，故选C．15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，故选D．16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．【解答】解：连接OC和OB，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，BC===4cm，∴AB=2BC=8cm．故选D．17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，∴∠AOB=120°，∠AOB所对弧的长度==2π．故选D．18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．圆【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故选C．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a2【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．故选C．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM 与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是∠D=∠B．（写出一个即可）【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，又∵∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC．22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=75°．【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，解得：∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，故答案为：75°．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为6．【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．【解答】解：过C作直径CD，连AD，∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，∴CD=2AC=6，∴⊙O的直径为6；故答案为：6．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ=90°=∠ACB，又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC=，∴=，∴CQ=•CP=CP．∵线段CP是⊙O内一弦，∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．∴CQ=×5=．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=4，∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°，在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，∴AB=2+2．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，∵∠AEC=∠AED+∠DEC，∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，又∵∠AED=∠B=60°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴=，∵BE=2，BC=5，∴EC=3，∴CD===．27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD•BD；（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，∴，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB==5，由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，∴5CD=3×4，∴CD=，∴，解得：BD=，sin∠BCD===．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．【解答】（1）证明：连接OD，（1分）∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE=90°，（2分）又∵AD=DC，AO=OB，∴OD是中位线，∴OD∥BC，（3分）∴∠DEC=∠ODE=90°，∴DE⊥BC；（4分）（2）解：连接BD，（5分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，（6分）∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，又∵DE⊥BC，Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）∴，∴BC=，（9分）又∵OD=BC，∴OD=，即⊙O的半径为．（10分）29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC 的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，则EF为圆O的切线；（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，∴∠CAD=∠OCA=60°，∴△AOC为等边三角形，∴AC=OC=OA=2，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．。
浙江省温州市永嘉中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
2014-2015学年浙江省温州市永嘉中学高二（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等腰△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣3，4），B（﹣5，0），C（﹣1，0），则BC边的中线AD所在直线的方程是（ ） A． x=﹣3 B． y=﹣3 C． x+y=1 D． x=2y2．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A． πS B． 2πS C． 4πS D．3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A．B．C．D．4．直线a，b是异面直线是指①a∩b=∅，且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=∅；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立．上述结论正确的有（ ） A． ①④ B． ②③ C． ③④ D． ②④5．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是（ ） A． [，] B． [0，]∪[，π） C． [0，] D． [，）∪（，]6．过直线x+2y+1=0上点P作圆C：（x+2）2+（y+2）2=1的切线，切点为T，则|PT|的最小值为（ ） A．B．C．D． 27．实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为（ ） A．B．C．D．8．已知a，b，c是三角形的三边，且直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则此三角形（ ） A． 是锐角三角形 B． 是直角三角形 C． 是钝角三角形 D． 不确定9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱线长为1，线段AC′上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中正确的是（ ）①直线AA′与CF是异面直线②三棱锥B′BEF体积为定值③异面直线DD′与BE所成角的余弦值范围是④BD⊥EF． A． ①②④ B． ②④ C． ②③ D． ②③④10．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（ ） A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ．12．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= ．13．如图梯形O′A′B′C′是一个平面图形的直观图，在直观图中，O ′C′=C′B′=2O′A′=3，则原平面图形的面积为 ．14．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为 m3．15．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab 的取值范围是 ．16．已知圆C：x2+（y﹣3）2=4，一动直线l过A（﹣1，O）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线x+3y+6=0相交于N，则|AM|•|AN|= ．三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x+（k﹣3）y﹣2k+4=0，k∈R．（Ⅰ）若坐标原点O关于直线l的对称点O′坐标为（a，2），求k的值．（Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最大值．18．已知点M（3，﹣2）及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（Ⅰ）求过点M的圆C的切线方程；（Ⅱ）过点M作直线l圆C交于A，B两点，求弦AB中点N的轨迹方程．19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．20．如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A、B，连接AN、BN．求证：∠ANM=∠BNM．2014-2015学年浙江省温州市永嘉中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等腰△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣3，4），B（﹣5，0），C（﹣1，0），则BC边的中线AD所在直线的方程是（ ） A． x=﹣3 B． y=﹣3 C． x+y=1 D． x=2y考点： 直线的一般式方程．专题： 直线与圆．分析： 由已知条件得BC边中点D（﹣3，0），A（﹣3，4），由此求出BC边的中线AD所在直线的方程：x=﹣3．解答： 解：∵等腰△ABC的三个顶点的坐标是A（﹣3，4），B（﹣5，0），C（﹣1，0），∴BC边中点D（﹣3，0），∴BC边的中线AD所在直线的方程：x=﹣3．故选：A．点评： 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．2．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A． πS B． 2πS C． 4πS D．考点： 棱柱的结构特征．专题： 空间位置关系与距离．分析： 通过圆柱的底面积，求出底面半径，进而求出圆柱的高，然后求圆柱的侧面积．解答： 解：圆柱的底面积为S，所以底面半径为：，底面周长为：2；∵侧面展开图为一个正方形，所以圆柱的高为：2，所以圆柱的侧面积为：（2）2=4πS故选C．点评： 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系，是解题的突破口，基础题．3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A．B．C．D．考点： 简单空间图形的三视图．专题： 规律型；空间位置关系与距离．分析： 根据题意几何体是球缺，利用球的视图是圆，看不到的线要画虚线，可得答案．解答： 解：用一个平行于水平面的平面去截球，截得的几何体是球缺，根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影，∴内圆应是虚线，故选：B．点评： 本题考查了几何体的三视图，要注意，看不到的线要画虚线4．直线a，b是异面直线是指①a∩b=∅，且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=∅；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立．上述结论正确的有（ ） A． ①④ B． ②③ C． ③④ D． ②④考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用空间中线线、线面、面面的位置关系和异面直线的性质求解．解答： 解：在①中，∵异面直线即不相交又不平行，∴a∩b=∅，故①正确；在②中，a⊂面α，b⊂面β，平面α与β相交或平行，故②错误；在③中，a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅，此时a，b平行或异面，故③错误；在④中，不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立，由异面直线的概念得④正确．故选：A．点评： 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．5．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是（ ） A． [，] B． [0，]∪[，π） C． [0，] D． [，）∪（，]考点： 直线的一般式方程．分析： 由直线xcosθ+y+m=0的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，得﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，由此能求出直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围．解答： 解：直线xcosθ+y+m=0的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴或0．∴直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是[0，]∪[，π）．故选：B．点评： 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的合理运用．6．过直线x+2y+1=0上点P作圆C：（x+2）2+（y+2）2=1的切线，切点为T，则|PT|的最小值为（ ） A．B．C．D． 2考点： 圆的切线方程．专题： 直线与圆．分析： 求出圆心C（﹣2，﹣2）到直线x+2y+1=0的距离d，可得|PT|的最小值为，计算求得结果．解答： 解：要使|PT|最小，需圆心C（﹣2，﹣2）到直线x+2y+1=0上的点P的距离最小，而CP的最小值即圆心C（﹣2，﹣2）到直线x+2y+1=0的距离d==，故|PT|的最小值为==2，故选：D．点评： 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为（ ） A．B．C．D．考点： 圆的一般方程．专题： 直线与圆．分析： 把方程x2+y2﹣4x+1=0化为标准形式，求出圆心和半径，设z=，即 y=（z﹣1）x，该方程表示一条过原点且斜率为z﹣1的一条直线，当此直线和圆相切时，求得z=1±，由此可得z的最大值．解答： 解：方程x2+y2﹣4x+1=0，即 （x﹣2）2+y2=3，表示以（2，0）为圆心、半径等于的圆．设z=，即 y=（z﹣1）x，该方程表示一条过原点且斜率为z﹣1的一条直线，当此直线和圆相切时，由r==，求得z=1±，可得z的最大值为1+，故选：C．点评： 本题主要考查圆的一般方程，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．已知a，b，c是三角形的三边，且直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则此三角形（ ） A． 是锐角三角形 B． 是直角三角形 C． 是钝角三角形 D． 不确定考点： 直线与圆的位置关系．专题： 计算题；直线与圆．分析： 先根据ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，可得到圆心到直线ax+by+c=0的距离大于半径1，进而可得到c2＞a2+b2，可得到cosC=＜0，从而可判断角C为钝角，故三角形的形状可判定．解答： 解：由已知得，圆心到直线的距离d=＞1，∴c2＞a2+b2，∴cosC=＜0，故△ABC是钝角三角形．故选C．点评： 本题主要考查三角形形状的判定、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用．9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱线长为1，线段AC′上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中正确的是（ ）①直线AA′与CF是异面直线②三棱锥B′BEF体积为定值③异面直线DD′与BE所成角的余弦值范围是④BD⊥EF． A． ①②④ B． ②④ C． ②③ D． ②③④考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答： 解：在①中，∵A′F∥AC，∴A′、F、C、F四点共面，∴直线AA′与CF是共面直线，故①错误；在②中，∵线段AC′上有两个动点E，F，且EF=，点B′到直线A′C′的距离为定值，∴三棱锥B′BEF体积为定值，故②正确；在③中，当点E在A′处时，异面直线DD′与BE所成角的余弦值取最小值，当点E在A′C′中点位置时，异面直线DD′与BE所成角的余弦值取最大值，故③正确；在④中，∵BD⊥AC，AC∥EF，∴BD⊥EF，故④正确．故选：D．点评： 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．10．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（ ） A．B．C．D．考点： 圆与圆的位置关系及其判定．专题： 计算题；直线与圆．分析： △OAB面积的大小与线段AB的大小有关，要求△OAB面积的取值范围，只需求出AB的范围，即可求解．解答： 解：圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积，S=，圆O：x2+y2﹣4=0，的半径为r=2，AB是圆C：x2+y2+2x﹣15=0的弦长，圆C：x2+y2+2x﹣15=0的圆心（﹣1，0），半径为：4，圆心到AB的距离最小时，AB最大，圆心到AB的距离最大时，AB最小，如图：AB的最小值为：2=2；AB的最大值为：2=2；∴△OAB面积的最小值为：．∴△OAB面积的最大值为：．△OAB面积的取值范围是：．故选：A．点评： 本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣y=0或x+y﹣3=0 ．考点： 直线的两点式方程．专题： 计算题；分类讨论．分析： 分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．解答： 解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y ﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0点评： 此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．12．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．考点： 圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．专题： 直线与圆．分析： 画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．解答： 解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．点评： 本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．13．如图梯形O′A′B′C′是一个平面图形的直观图，在直观图中，O ′C′=C′B′=2O′A′=3，则原平面图形的面积为 27 ．考点： 斜二测法画直观图．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 由原图和直观图的关系，可得原图中，上底长6，下底长3，高为6的梯形的面积．解答： 解：∵直观图中，O′C′=C′B′=2O′A′=3，∴原图中，上底长6，下底长3，高为6的梯形的面积S==27，故答案为：27．点评： 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本知识的考查．14．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为 4 m3．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题；压轴题．分析： 由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．解答： 解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4点评： 本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．15．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab 的取值范围是 ．考点： 关于点、直线对称的圆的方程．专题： 计算题；转化思想．分析： 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答： 解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故答案为（﹣∞，]．点评： 本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．16．已知圆C：x2+（y﹣3）2=4，一动直线l过A（﹣1，O）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线x+3y+6=0相交于N，则|AM|•|AN|= 5 ．考点： 直线与圆相交的性质．专题： 计算题；压轴题；转化思想．分析： 设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂径定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，将比例线段转化为等积式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|=5解答： 解：设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，连接CM可得AC的斜率为∵，∴直线AC与直线x+3y+6=0垂直又∵圆C中，M为弦PQ的中点∴CM⊥PQ因此△AGN∽△AMC，可得∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|又∵∴|AC|•|AG|=故答案为5点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题，利用垂径定理得到三角形相似是解决本题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x+（k﹣3）y﹣2k+4=0，k∈R．（Ⅰ）若坐标原点O关于直线l的对称点O′坐标为（a，2），求k的值．（Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最大值．考点： 直线的一般式方程．专题： 直线与圆．分析： （I）把线段OO′的中点M代入直线l的方程即可解出；（II）利用点到直线的距离公式、基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（I）线段OO′的中点M，代入直线l的方程可得2×+（k﹣3）×1﹣2k+4=0，化为k=a+1．（II）坐标原点O到直线l距离d=，考虑k＞2时，d=≤=，当且仅当k=2+时取等号．∴d的最大值为：．点评： 本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．18．已知点M（3，﹣2）及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（Ⅰ）求过点M的圆C的切线方程；（Ⅱ）过点M作直线l圆C交于A，B两点，求弦AB中点N的轨迹方程．考点： 轨迹方程．专题： 直线与圆．分析： （Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，然后分切线的斜率存在和不存在求解，当斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时，设出切线方程的点斜式，化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径求斜率，则曲线方程可求；（Ⅱ）直接利用点差法求得弦AB中点N的轨迹方程．解答： 解：（Ⅰ）由圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，∴圆C的圆心坐标C（1，2），半径为2，当过点M的圆C的切线的斜率不存在时，圆的切线方程为x=3；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设过点M的圆C的切线方程为y+2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣2=0．由题意得：，解得k=﹣．∴过点M的圆C的切线方程为，即3x+4y﹣1=0．综上，过点M的圆C的切线方程为x=3或3x+4y﹣1=0；（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，①，②，两式作差得：=．∴．整理得：x2+y2﹣4x﹣2y+11=0．点评： 本题考查了圆的切线方程的求法，考查了点差法求与弦中点有关的曲线的轨迹方程，是中档题．19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： （I）分别求出直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V．三棱锥E﹣A ′B′C′的体积V1．即可得出多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1；（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．解答： 解：（I）直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V==2．三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1=A′E==．∴多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1=；（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．∴C′D∥CF．∴∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．在Rt△C′DE中，C′D=，C′E=．∴cos∠EC′D===．∴异面直线C′E与CF所成角的余弦值为．点评： 本题考查了直三棱柱的体积及其性质、异面直线所成的角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A、B，连接AN、BN．求证：∠ANM=∠BNM．考点： 圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定．专题： 计算题．分析： （1）设圆的圆心为（a，2），则半径为a，根据|MN|=3，圆心C到弦MN的距离为2，得，求得r=a=，从而可以写出圆的标准方程．（2）写出M，N的坐标，设出直线AB的方方程，和圆x2+y2=4联立，根据韦达定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互为相反数，故∠ANM=∠BNM．解答： 解：（Ⅰ）由已知可设C（a，2）（a＞0），圆C的半径r=a，（2分）又∵|MN|=3 圆心C到弦MN的距离为2，故，所以a=r=，（4分）所以，圆C的方程为； （6分）（Ⅱ）令y=0，解得M（1，0），N（4，0），（7分）若直线AB斜率不存在，显然∠ANM=∠BNM；（8分）若直线AB斜率存在，设为y=kx﹣k，代入x2+y2=4得，（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，①（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，（10分）则=．（13分）∴∠ANM=∠BNM．（14分）点评： 本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键．。
浙江省温州市永嘉五校联考2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷
浙江省温州市永嘉五校联考2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷一、单选题1．如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180︒后得到的图形不变的是（）A ．B ．C ．D ．2．二次函数2351y x x =-+的一次项系数是（）A ．5-B ．1C ．3D ．53．下列函数图像经过原点的是（）A ．21y x =+B ．()23y x =+C ．231y x x =--+D ．23y x x =-4．如图，点A 、B 、C 在O 上，已知30B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．30︒B ．50︒C ．40︒D ．60︒5．小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（）A ．盒子里一定都是红球B ．他第6次摸到的一定还是红球C ．他第6次摸到的可能还是红球D ．盒子里一定还有其他颜色的球6．在平面直角坐标系中，将二次函数21y x =-向左平移2个单位，所得函数的解析式为（）A ．()221y x =-+B ．()221y x =+-C ．23y x =-D ．()223y x =+-7．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（）A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心8．如图，以量角器的直径AC 为斜边作Rt ABC ，过点B 作BD AC ⊥交半圆弧于点D ，点D 对应的读数为104︒，则BAC ∠的度数为（）A ．38°B ．76°C ．52°D ．40°9．已知()11,A y -，()21,B y ，()34,C y 三点都在二次函数()221y x k =-+的图像上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分如图所示，该函数图像经过点()1,0-，对称轴为直线2x =，则以下说法错误的是（）A ．0abc <B ．当10a -≤<时，关于x 的方程28ax bx c ++=必无实数根C ．a c b +=D ．直线5y ax a =-+与该函数必有两个交点二、填空题11．二次函数2(1)3y x =--的顶点是．12，0，π这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为．13．如图，三角形OAB 绕点O 逆时针旋转75︒到三角形OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠=．14．同一平面内，O 内一点P 到圆上的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，则O 的半径为cm ．15．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线1x =，且3OD OB OA ==，AB 为半圆的直径，则这个“果园”被y 轴截得的弦CD 的长为．16．如图以AB 为直径的半圆上，AB =C 是半圆弧上的任意点，F 为弧AC 上的中点，连结BF 交AC 于点E ，作OD BF ⊥于点D ，连结AD ，若AD 为ODF ∠的角平分线，则BF =，AC =．三、解答题17．已知函数()2210y ax x a =-+≠．(1)若点()1,2-在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向；(2)在（1）的条件下，判断点()1,2是否在此函数图象上．18．近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选n 名．(1)当n =_______时，“男生小明参加”是必然事件．(2)当1n =时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格）19．如图，AB 是O 的弦，点D 是AB 的中点，连接OD 并反向延长交O 于点C ．若16AB CD ==，求O 的半径．20．2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？21．已知抛物线()2280y ax ax a =--≠，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)若有一直线l 与抛物线交于点()3,A m -，(),16B n ，且0n >.若点P 在抛物线上且在直线l 下方，且点P 不与点A ，B 重合，分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．22．如图，AB 为O 的直径，ADC △内接于O ，30ADC ∠=︒，CD 交AB 于点E ．(1)求BAC ∠的度数；(2)若E 为OB 的中点，7CE =，求直径AB 的长．23．某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润1y 与投资金额成正比；乙产品的利润2y 与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点A 、B 、C 的坐标分别为()4,2-，()10, 1.25-，()8,2．(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式；(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利；(3)该企业准备筹集a 万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的20%，那么该企业至少要筹集到多少资金？24．已知，AB 是O 的直径，点C 为圆上一点，点D ，E 分别为弧AC ，弧BC 的中点，过点E 作EF AB ⊥于点F ，点D ，G 关于直线AB 对称，连接DG ．(1)求弧DE 的度数；(2)若EG 为O 的直径，请猜想DE 与OF 的数量关系，并给出证明；(3)设EG x =，OEF 的面积为S ，若O 的半径为1，求S 关于x 的函数解析式．。
2014-2015年浙江省温州市实验中学初三上学期期末数学试卷及参考答案
2014-2015学年浙江省温州市实验中学初三上学期期末数学练习试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）A．B．C．D．2．（5分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A．两个外离的圆B．两个外切的圆C．两个相交的圆D．两个内切的圆3．（5分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．正方体4．（5分）下列立体图形中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．5．（5分）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥6．（5分）如图，AP、BP分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，点C是圆上一动点，则∠C的度数为（）A．60B．40C．72°D．60°或120°7．（5分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．40°8．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5B．1.6C．1.5D．19．（5分）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A．B．πC．2πD．4π10．（5分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为．12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=．13．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=．14．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．16．（3分）+2cos30°的值为．17．（3分）如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=米．18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C 点，sinA=，OA=10cm，则AB长为cm．19．（3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于海里．20．（3分）为了测量一个圆铁环的半径，某同学用了如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用有一个角为30°的直角三角板和刻度尺按如图所示的方法得到相关数据，进而求出铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是cm．三、解答题（共2小题，满分20分）21．（10分）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B 两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（10分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长．2014-2015学年浙江省温州市实验中学初三上学期期末数学练习试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选：D．2．（5分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A．两个外离的圆B．两个外切的圆C．两个相交的圆D．两个内切的圆【解答】解：观察图形可知，两球都与水平线相切，所以，几何体的左视图为相内切的两圆，故选：D．3．（5分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．正方体【解答】解：根据三视图可以想象出该物体由三条棱组成，底面是三角形，此只有三棱柱的三视图与题目中的图形相符．故选：B．4．（5分）下列立体图形中，左视图是圆的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；B、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；C、六棱柱的左视图是矩形，中间有一条竖杠，故此选项不合题意；D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；故选：D．5．（5分）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选：C．6．（5分）如图，AP、BP分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，点C是圆上一动点，则∠C的度数为（）A．60B．40C．72°D．60°或120°【解答】解：当点C在优弧上时，∵AP、BP分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°，∴∠C=∠AOB=60°．当点C在劣弧上时，∠C=180°﹣60°=120°．故选：D．7．（5分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．40°【解答】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选：A．8．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5B．1.6C．1.5D．1【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴=，∴=，解得x=1.6，故选：B．9．（5分）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：连接OA，OB．则OA⊥PA，OB⊥PB∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴劣弧AB的长是：=2π．故选：C．10．（5分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°，∴∠BOC=180°﹣50°=130°．故选：A．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为6+π．【解答】解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，则∠CAO=90°，∠ACB=30°，∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO=1，∴CO=2AO=2，∴BC=2+1=3，∴扇形的弧长为：=π，∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．故答案为：6+π．12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=2．【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB==10；四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）；即：r=（6+8﹣10）=2．13．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=．【解答】解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．14．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为750米．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），∴AD=AC•sin45°=375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）．故答案为：750．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．【解答】解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD，且等于BD，∴BD=4，∵BD=4，BC=5，CD=3，∴△BDC是直角三角形，∴tan C==，故答案为：16．（3分）+2cos30°的值为2．【解答】解：原式=+2×=+=2．故答案为：2．17．（3分）如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 4.7米．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴tan∠CAD=，∴CD=×3=3，∴CE=3+1.7=4.7（米）．即这棵树的高度为4.7米．故答案为：4.7．18．（3分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C 点，sinA=，OA=10cm，则AB长为16cm．【解答】解：连接OC，∵大圆的弦AB与小圆相切于C点，∴OC⊥AB，∴AC=BC，∵sinA=，OA=10cm，∴OC=6cm，∴AC==8cm，∴AB=2AC=16cm，故答案为：16．19．（3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．【解答】解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=20×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．20．（3分）为了测量一个圆铁环的半径，某同学用了如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用有一个角为30°的直角三角板和刻度尺按如图所示的方法得到相关数据，进而求出铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是5cm．【解答】解：连接FA，FE，FP，∴∠APE=120°，∠FAP=∠FEP=90°．∵PA=PE，∴△FAP≌△FEP．∴∠APF=60°，∴AF=AP•tan60°=5．三、解答题（共2小题，满分20分）21．（10分）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B 两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C 的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD=x，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x，由题意得x﹣x=6，解得：x═3（+1）≈8.2．答：生命所在点C的深度为8.2米．22．（10分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长．【解答】解：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC∙tan30°=，CD=2AD=2，∴DO=AO=CD=，在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，∴32+（）2=（PD+）2，∵PD的值为正数，∴PD=．。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷含答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．y ＝21x 8B ．yC ．y ＝21xD ．y ＝x 3﹣2x 2．下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是13B ．一个袋子里有100个球从中随机摸出一个球再放回，小军摸了6次，每次摸到的球的颜色都是黄色，小军断定袋子里只有黄球C ．连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同D ．在同一年出生的400个同学中至少会有2个同学的生日相同3．如图所示，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若△AOB ＝15°，那么△AOB'的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°4．已知二次函数223y x x =-+-，用配方法化为()2y a x h k =-+的形式，结果是（ ） A ．()212y x =--- B ．()212y x =--+ C ．()214y x =--+ D ．()214y x =-+- 5．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是弦，若36,BCD ∠=则ABD ∠等于（ ）A ．54B ．56C ．64D ．666．如图，△O 是△ABC 的外接圆，△B=60°，OP△AC 于点P ，△O 的半径为A ．B ．C ．8D ．127．如图，正方形三个顶点的坐标依次为()3,1，()1,1，()1,3．若抛物线2y ax =的图象与正方形的边有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤B ．119a ≤≤C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 8．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE△AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △BDE ：S △ADC 的值为（ ）A ．1：16B ．1：18C ．1：20D ．1：249．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，动点P 从点B 出发，沿着B→A→D 在菱形ABCD 的边AB ，AD 上运动，运动到点D 停止．点P′是点P 关于BD 的对称点，连接PP'交BD 于点M ，若BM ＝x （0＜x ＜8），△DPP′的面积为y ，下列图象能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如图，已知在O 中，CD 为直径，A 为圆上一点，连结OA ，作OB 平分AOC ∠交圆于点B ，连结BD ，分别与AC ，AO 交于点N ，M ．若AM AN =，则DM DN的值为（ ）A B ．23 C ．12 D 二、填空题11．把抛物线y ＝﹣3x 2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为_________． 12．已知A （－3，y 1），B （－1，y 2）是抛物线上y ＝－（x －3）2＋k 的两点，则y 1，y 2的大小关系为________．13．一个直角三角形的两条边长是方程27120x x -+=的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________．14．如图，在3×3正方形网格中，A 、B 在格点上，在网格的其它格点上任取一点C ，能使△ABC 为等腰三角形的概率是_____．15．如图，在ABC 中，点D 是边AC 上的任意一点，点M ，N 分别是ABD 和BCD 的重心，如果AC ＝6，那么线段MN 的长为 ___．16．如图，已知二次函数3(1)(4)4y x x =-+-的图象与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点,C P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则PK AK的最大值为__________.三、解答题17．计算题：（1）计算：(2012213-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）解方程：()21250x +-=18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，0），B （﹣4，1），C （﹣2，2）．（1）直接写出点B 关于原点对称的点B′的坐标： ；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．19．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4．（1）随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率：；（2）一次性随机抽取2张卡片，用列表法或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率．20．如图,二次函数y2=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(−3,0)、B(1,0),交y轴于点C,C、D 是二次函数图象上的一对对称点,一次函数y1=mx+n的图象经过B．D两点.(1)求a、b的值及点D的坐标；(2)根据图象写出y2>y1时，x的取值范围.21．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作//DE AC，过点C作CE△CD，两线相交于点E．（1）求证：ABC DEC△△；∽（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．22．如图，AB＝AC，AB为△O的直径，AC、BC分别交△O于点E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；（2）如果BD ＝，AE ＝2，求△O 的直径．23．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（x≥24），每天销售利润为y （元）．（1）直接写出y 与x 的函数关系式为： ；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．24．在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD ⋅=时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求AB BC 出的值．参考答案1．A【解析】【分析】二次函数为形如2y ax bx c =++(0)a ≠的形式；对比四个选项，进而得到结果．【详解】解：A 符合二次函数的形式，故符合题意；B 中等式的右边不是整式，故不是二次函数，故不符合题意；C 中等式的右边分母中含有x ，但是分式，不是整式，故不是二次函数，故不符合题意；D 中最高次幂为三，是三次函数，故不是二次函数，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考察了二次函数的概念．解题的关键与难点在于理清二次函数的概念．2．D【解析】【分析】A 中掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为123456、、、、、的结果相等，故可得出掷得的点数为3的概率，进而判断选项的正误；B中摸球为随机事件，无法通过小量的重复试验反映必然事件的发生与否，进而判断选项的正误；C中可用列举法求概率，进而判断选项的正误；D中假设400人中前365个人生日均不相同，而剩余的35个人的生日会有与365个人的生日有相同的情况，进而判断选项的正误．【详解】解：A掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是16，此选项错误，不符合题意；B一个袋子里有100个球从中随机摸出一个球再放回，小军摸了6次，每次摸到的球的颜色都是黄色，这种情况是偶然的，故小军断定袋子里只有黄球是错误的，此选项不符合题意；C连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是14，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是12，此选项错误，不符合题意；D在同一年出生的400个同学中至少会有2个同学的生日相同是正确的，此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考察了概率．解题的关键与难点在于了解概率概念与求解．3．B【解析】【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【详解】解：△将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，△△A′OA＝45°，△AOB＝△A′OB′＝15°，△△AOB′＝△A′OA−△A′OB′＝45°−15°＝30°，故选：B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出△A′OA＝45°，△AOB＝△A′OB′＝15°是解题关键．4．A【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：y=-x 2+2x -3=-（x 2-2x+1）+1-3=-（x -1）2-2，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x -h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x -x 1）（x -x 2）．5．A【解析】【分析】先由圆周角定理得到△DAB=△BCD=36°，然后根据AB 是O 的直径确定△ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：△CD 是弦，若36,BCD ∠=△△DAB=△BCD=36°△AB 是O 的直径△△ADB=90°△△ABD=90°-△DAB=54°．故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键． 6．A【解析】【详解】△圆心角△AOC 与圆周角△B 所对的弧都为 AC ，且△B=60°，△△AOC=2△B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）．又OA=OC ，△△OAC=△OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）．△OP△AC ，△△AOP=90°（垂直定义）．在Rt△AOP 中，，△OAC=30°，30度角所对的边是斜边的一半）．△△O的半径故选A．7．A【解析】【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据△a△越大，抛物线的开口越小即可解决问题．【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=19，观察图象可知：139a≤≤，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．C【解析】【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：4，得到BE：CE＝1：4，于是得到BE：BC＝1：5，根据DE△AC，推出△BDE△△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△S△BDE：S△CDE＝1：4，△BE：CE＝1：4，△BE：BC＝1：5，△DE△AC，△△BDE△△BAC，△S△BDE：S△BAC＝（15）2＝125．△S△BDE：S△ADC=1：（25-1-4）=1：20．故选：C．9．D 【解析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC△BD，分两种情况：△当BM≤4时，先证明△P′BP△△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；△当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与△中的相同；即可得出结论．【详解】解：△四边形ABCD是菱形，△AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC△BD，△当BM≤4时，△点P′与点P关于BD对称，△P′P△BD，△P′P△AC，△△P′BP△△CBA，△PP BMAC OB'=，即64PP x'=，△PP′=32x，△DM=8-x，△△DPP′的面积y=12PP′•DM=12×32x（8-x）=-34x2+6x；△y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；△当BM≥4时，如图：同理△P′DP△△CDA，△PP DMAC OD'=，即864PP x'-=，△PP′=3(8)2x-，△△DPP′的面积y=12PP′•DM=12×32（8-x）2=34（8-x）2；△y与x之间的函数图象是抛物线，开口向上，过（4，12）和（8，0）；综上所述：y与x之间的函数图象大致为：故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．D【解析】【分析】由垂径定理可得OB△AC，AB BC=，则△ADM=△BDC，易证△OMD△△AND，则△AOD=90°，且DM：DN=OD：AD=1．【详解】解：△OB平分△AOC，△△AOB=△COB，△AB BC=，△△ADB=△BDC，△AM=AN，△△ANM=△AMN，又△△AMN=△OMD，△△ANM=△OMD，△△OMD△△AND，△DM ODDN AD=，△MOD=△NAD，△CD 是直径， △△NAD=90°， △△MOD=90°， △OA=OD ， △△OAD=45°，，△2DM OD DN AD ==． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，熟记圆内相关定理是解题基础． 11．y ＝﹣3（x+2）2﹣3 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”即可求得答案． 【详解】解：把抛物线y ＝﹣3x 2向左平移2个单位，得到的抛物线为y ＝﹣3（x+2）2， 再将抛物线为y ＝﹣3（x+2）2向下平移3个单位，得到抛物线为y ＝﹣3（x+2）2﹣3， 故答案为：y ＝﹣3（x+2）2﹣3． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换、解题的关键是熟练掌握抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”． 12．12y y < 【解析】 【分析】根据抛物线y ＝－（x －3）2＋k 开口向下，对称轴为直线3x =，由A （－3，y 1），B （－1，y 2）在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，可得最终结果． 【详解】抛物线y ＝－（x －3）2＋k 开口向下，对称轴为直线3x =，313-<-<，12y y ∴<，故答案为：12y y <． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键． 13．4或5##5或4 【解析】 【分析】解方程27120x x -+=得到x ＝3或4，本题应分两种情况进行讨论，当4是直角边时，根据勾股定理得到斜边是5，这个直角三角形外接圆的直径是5，当4是斜边时，直角三角形外接圆直径是4． 【详解】解：27120x x -+=， 解得x ＝3或4；△当4是直角边时，斜边长 ，所以直角三角形外接圆直径是5； △当4是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是4． 故答案为：4或5． 【点睛】此题主要考查直角三角形外切圆半径，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用，难度不大． 14．514【解析】 【分析】分三种情况：△点A 为顶点；△点B 为顶点；△点C 为顶点；得到能使△ABC 为等腰三角形的点C 的个数，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】如图，△AB =△△若AB ＝AC ，符合要求的有3个点； △若AB ＝BC ，符合要求的有2个点； △若AC ＝BC ，不存在这样格点．△这样的C 点有5个．△能使△ABC 为等腰三角形的概率是514． 故答案为：514．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝mn． 15．2 【解析】 【分析】连接BM 并延长交AC 于E ，连接BN 并延长交AC 于F ，根据三角形的重心是中线的交点可得ED ＝12AD ，DF ＝12CD ，然后求出EF 的长，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得BM ＝2ME ，BN ＝2NF ，再根据相似三角形对应边成比例列出求解即可． 【详解】解：连接BM 并延长交AC 于E ，连接BN 并延长交AC 于F ， △点M 、N 分别是△ABD 和△ACD 的重心， △ED ＝12AD ，DF ＝12CD ，BM ＝2ME ，BN ＝2NF ，△BC ＝6，△EF ＝DE+DF ＝12（AD+CD ）＝12BC ＝12×6＝3， △BM BE＝BN BF ＝23，△EBF ＝△MBN ，△△BEF△△BMN ， △MN EF ＝23， 即3MN ＝23，△MN ＝2． 故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形重心，解题关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍． 16．45【解析】 【分析】由抛物线的解析式易求出点A 、B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC 的解析式，过点P 作PQ△x 轴交直线BC 于点Q ，则△PQK△△ABK ，可得PK PQAK AB=，而AB 易求，这样将求PKAK的最大值转化为求PQ 的最大值，可设点P 的横坐标为m ，注意到P 、Q 的纵坐标相等，则可用含m 的代数式表示出点Q 的横坐标，于是PQ 可用含m 的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：对二次函数2339(1)(4)3444y x x x x =-+-=-++，令x=0，则y=3，令y=0，则3(1)(4)04x x -+-=，解得：121,4x x =-=，△C(0，3)，A(－1，0)，B(4，0)， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把B 、C 两点代入得：340b k b =⎧⎨+=⎩，解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， △直线BC 的解析式为：334y x =-+， 过点P 作PQ△x 轴交直线BC 于点Q ，如图， 则△PQK△△ABK ， △PK PQ AK AB=， 设P （m ，239344m m -++），△P 、Q 的纵坐标相等，△当239344y m m =-++时，233933444x m m -+=-++，解得：23x m m =-，△()2234PQ m m m m m =--=-+，又△AB=5，△()224142555PK m m m AK -+==--+. △当m=2时，PK AK 的最大值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是利用相似三角形的判定和性质将所求PKAK的最大值转化为求PQ 的最大值、熟练掌握二次函数的性质. 17．（1）12-；（2）14x =或26x =-． 【解析】【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂的意义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后进行加减运算即可得到答案； （2）方程变形后，利用平方根定义开方即可求解． 【详解】解：()(2112213-⎛⎫---- ⎪⎝⎭219--12=-；()()221250x +-=()2125x +=15x +=或15x +=-14x =或26x =-． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可； （3）将三个点分别绕原点O 逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）点B 关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1）， 故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．19．（1）38（2）16【解析】【分析】(1)列表展示所有16种等可能的结果数，再找出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的结果数，然后根据概率公式求解；(2)列表展示所有12种等可能的结果数，再找出两张卡片上的数都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有16种等可能的结果数，其中第二次取出的数字小于第一次取出的数字的有6种结果，所以第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率为63=168；（2）列表如下：由表知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上的数都是偶数的有2种结果，所以两张卡片上的数都是偶数的概率为21=126．【点睛】此题考查的是用列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）a=-1，b=-2，D（-2，3）；（2）−2<x<0【解析】【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设交点式y=a（x+3）（x-1）=223ax ax a+-，则-3a=3，解得a=-1，所以b=-2，抛物线的对称轴为直线x=-1，再求出C点坐标为（0，3），然后根据对称的性质确定D点坐标为（-2，3）；（2）观察函数图象得到当-2<x<0时，抛物线都在直线y=mx+n的上方，即y2>y1．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)= 223ax ax a+-，则−3a=3，解得a=−1，所以抛物线解析式为y=223x x---；所以b=−2，抛物线的对称轴为直线x=−1，当x=0时, 223y ax bx=++,则C点坐标为(0,3)，由于C. D 是二次函数图象上的一对对称点，△D 点坐标为(−2,3)；（2）观察函数图象得到当-2<x<0时，抛物线都在直线y=mx+n 的上方，即y 2>y 1．当−2<x<0时, 21y y >.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，解题关键在于结合二次函数图象解决问题.21．（1）见解析；（2）254【解析】【分析】（1）先证出△DCE ＝△ACB ，△CDE ＝△ACD ，再利用CD 是Rt ABC 斜边AB 中线，可得CD=AD ，证得△A=△ACD ，从而△CDE ＝△CAD ，进而可以证明ABC DEC ∽△△；（2）先利用勾股定理求得AB ＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD ＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB△DE ＝AC△CD ，即可求得答案．【详解】解（1）由题意：△CE△CD ，△90DCE ACB ∠∠︒＝＝，又△//DE AC ，△△CDE ＝△ACD ，△在Rt ABC 中，CD 是AB 边上的中线，△CD ＝AD ，△△ACD ＝△CAD ，△△CDE ＝△CAD ，△ABC DEC ∽△△．（2）△AC ＝8，BC ＝6，△利用勾股定理得：AB△在Rt ABC 中，CD 是AB 边上的中线，△CD ＝5，△ABC DEC ∽△△△AB△DE ＝AC△CD ，即10△DE ＝8△5，△DE ＝254． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键．22．（1）DE DC =，证明见详解；（2）△O 的直径为8．【解析】【分析】（1）连接AD ，根据直径所对圆周角可得AD BC ⊥，根据等腰三角形三线合一的性质可得到ED BD =，即可得解；（2）根据已知条件求出BC ，再根据勾股定理建构方程求解即可得解；【详解】解：（1）DE BD =，证明：连接AD ，△AB 为△O 的直径，△△ADB=90°，即AD BC ⊥，在△ABC 中，AB=AC ，AD BC ⊥，CAD BAD ∴∠=∠， BD=DC ，（等腰三角形三线合一），∴ED BD =，DE BD ∴=；△DE=DC ；（2）△12BD BC ==2AE =△BC =设AB AC x ==，2EC AC AE x =-=-，△AB 为△O 的直径，△△AEB=90°，在Rt△AEB 中，，在Rt△CEB 中，BE即(()22242x x -=-- 整理得22480x x --=因式分解得()()860x x -+=解得86x x ==-，（舍去），△△O 的直径为8．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，是解题的关键．23．（1）2106408800y x x =-+-；（2）此时的销售单价为30元或34元；（3）该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及题意可得21064088001400x x -+-=，进而求解方程即可；（3）由2106408800y x x =-+-可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线32x =，进而根据二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）由题意得：y 与x 的函数关系式为：()()2202001024106408800y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦；故答案为2106408800y x x =-+-；（2）由题意得：21064088001400x x -+-=，解得：1230,34x x ==；答：此时的销售单价为30元或34元．（3）由2106408800y x x =-+-可得100-<，△该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线32x =，△每件小商品的售价不超过36元，△当32x =时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440；答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．24．（1）15°；（2）（3）35【解析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB ∠=︒，再由折叠的性质可得到15CBE ∠=︒；（2）由三等角证得FAB EDF ∆∆∽，从而得2DE =，3EF CE ==，再由勾股定理求出DE ，则BC AD ==（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，可证得NFG BFA ∆∆∽．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）△矩形ABCD ，△90A ∠=︒，//AD BC由折叠的性质可知BF=BC=2AB ，12CBE CBF ∠=∠， △30AFB ∠=︒，△30FBC AFB ∠=∠=°，△15CBE ∠=︒（2）由题意可得90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∠+∠=︒，90FED DFE ∠+∠=︒△AFB DEF ∠=∠△FAB EDF ∆∆∽ △AF AB DE DF=， △1025AF DF DE AB === △3EF CE ==，由勾股定理得DF==△AF==△BC AD AF FD==+=（3）过点N作NG BF⊥于点G．△90NGF A∠=∠=°又△BFA NFG∠=∠△NFG BFA∆∆∽．△NG FG NFAB FA BF==．△NF AN FD=+，即111222NF AD BC BF===△12NG FG NFAB FA BF===，又△BM平分ABF∠，90NG BF A⊥∠=︒，，△NG=AN，△12NG AN AB==，△111222FG BF BG BC ABFA AN NF AB BC--===++整理得：35ABBC=．。
九年级(上)期中数学试卷附答案解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE ∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC ∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE ∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=6cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．。
2014-2015年浙江省嘉兴实验中学九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年浙江省嘉兴实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（4分）抛物线的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）2．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（4分）半径为2cm 的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为（）A．600B．900C．60°或120°D．45°或90°5．（4分）已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定6．（4分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（4分）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π8．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y29．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④c＞﹣15a，则正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1 C．2 D．2二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）抛物线y=﹣2x2+4x+3的开口向，顶点坐标是．12．（5分）有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为．13．（5分）将抛物线y=2（x﹣3）2+3向右平移2个单位后，在向下平移5个单位后所得抛物线顶点坐标为．14．（5分）在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为厘米．15．（5分）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得．16．（5分）如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每小题8分，第21题10分，第22，23题每小题8分，第24题14分，共80分）17．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？18．（8分）已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．19．（8分）已知二次函数y=﹣（x﹣1）2+4（1）求出二次函数的顶点坐标及与x轴交点坐标，结合开口方向再在网格中画出草图．（2）观察图象确定：x取何值时，y随着x的增大而增大，当X取何值时，y随着x的增大而减少．（3）观察图象确定：x取何值时，①y＞0；②y＜0．20．（8分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．21．（10分）如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．22．（12分）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．23．（12分）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？24．（14分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；（3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式；②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省嘉兴实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（4分）抛物线的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）【解答】解：抛物线y=x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3）．故选：C．2．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为：=．故选：C．3．（4分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．4．（4分）半径为2cm 的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为（）A．600B．900C．60°或120°D．45°或90°【解答】解：连接OA，做OD⊥AB，∵OA=2cm，AB=2 cm，∴AD=BD=，∴AD：OA=：2，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AMB=60°，∴∠ANB=120°．∴弦AB所对的圆周角度数为60°或120°．故选：C．5．（4分）已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定【解答】解：∵当OP=6厘米时，OA=3cm＜5cm，∴根据点到圆心的距离＜半径的性质，可知点A在⊙O内．故选：A．6．（4分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．7．（4分）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长==4π．故选：B．8．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．9．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④c＞﹣15a，则正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac＞，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以②错误；又∵对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以③错误；∵x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，而b=2a，∴9a+6a+c＞0，即c＞﹣15a，所以④正确．故选：B．10．（4分）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1 C．2 D．2【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）抛物线y=﹣2x2+4x+3的开口向下，顶点坐标是（1，5）．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x﹣1）2+5，∴开口向下，顶点坐标为（1，5），故答案为：下；（1，5）．12．（5分）有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两个人同坐2号车的只有1种情况，∴两个人同坐2号车的概率为：．故答案为：．13．（5分）将抛物线y=2（x﹣3）2+3向右平移2个单位后，在向下平移5个单位后所得抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．【解答】解：∵抛物线y=2（x﹣3）2+3的顶点坐标为（3，3），∴把点（3，3）向右平移2个单位后得到（5，3），再向下平移5个单位后得到（5，﹣2）．故答案为：（5，﹣2）．14．（5分）在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为7或1厘米．【解答】解：如图，CD=8，AB=6，OA=OC=5，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD，根据垂径定理知，点E为CD中点，CE=4cm，点F为AB中点，AF=3cm，由勾股定理知，OE==3cm，OF==4cm，分两种情况，①当弦AB与弦CD在圆心的同侧时，弦AB与弦CD的距离EF=OF﹣OE=4﹣3=1cm，②当弦AB与弦CD在圆心的异侧时，弦AB与弦CD的距离EF=OF+OE=4+3=7cm．因此，两弦间的距离是1cm或7cm．15．（5分）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得x（x﹣1）=45．【解答】解：由题意列方程得，x（x﹣1）=45．故答案为：x（x﹣1）=45．16．（5分）如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为+．【解答】解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F，∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，∴AM=OM=OC=CB=1，∵DC⊥MD，∴在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，∴DM=MC，即∠DCM=30°，∴∠DMC=60°，∵AM=DM，∴∠MAD=∠MDA=30°，∴∠EOB=60°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=30°，∴OD=OA=1，AD==，∵OD⊥AE，∴AE=2AD=2，∴DF=AD=，AF=，∴AC=2AF=3，则S阴影=S△AOE+S扇形EOB﹣S△ACD=×2×1+﹣×3×=+．故答案为：+．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每小题8分，第21题10分，第22，23题每小题8分，第24题14分，共80分）17．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题意，得≥，解得：x≥，∵x为整数，∴x的最小正整数解是x=9．答：至少取走了9个黑球．18．（8分）已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．【解答】解：设这个函数解析式为y=a（x﹣1）2+5把点（2，3）代入，3=a（2﹣1）2+5，解得a=﹣2，∴这个函数解析式是y=﹣2（x﹣1）2+5．19．（8分）已知二次函数y=﹣（x﹣1）2+4（1）求出二次函数的顶点坐标及与x轴交点坐标，结合开口方向再在网格中画出草图．（2）观察图象确定：x取何值时，y随着x的增大而增大，当X取何值时，y随着x的增大而减少．（3）观察图象确定：x取何值时，①y＞0；②y＜0．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线开口方向向下，且顶点坐标（1，4）．令y=0，则=﹣（x﹣1）2+4=0，解得x=﹣1或x=3．解交点坐标（﹣1，0）（3，0）．其图象如图所示：（2）如图所示，当x≤1时，y随着x的增大而增大，当x≥1时，y随着x的增大而减少；（3）如图所示：当﹣1＜x＜3时，y＞0；当x＞3或x＜﹣1时，y＜0．20．（8分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）21．（10分）如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．【解答】解：连接DE，∵DC是圆的直径，∴∠DEC=90°．∵弧EC的度数是40°，∴∠EDC=20°．∴∠ECD=70°．∵CE∥AB，∴∠AOD=∠ECD=70°．∴∠BOD=110°．22．（12分）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．23．（12分）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，∴，解得，所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6，∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．24．（14分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；（3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式；②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2，∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3﹣1）2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，解得m=1；（2）直线y=x+1与y轴的交点B的坐标为B（0，1），B点关于x轴的对称点B′点的坐标为B′（0，﹣1），设直线AB′的解析式为y=kx+b，将A、B′两点坐标代入y=kx+b，解得k=，b=﹣1，∴设直线AB的解析式为y=x﹣1，当A、Q、B′三点在一条直线上时，AQ+BQ的值最小，即△QAB的周长最小，Q点即为直线AB′与x轴的交点．Q点坐标为（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2﹣2a+1），D点坐标为D（a，a+1），h=DE=y D﹣y E=a+1﹣（a2﹣2a+1）=﹣a2+3a，∴h与a之间的函数关系式为h=﹣a2+3a（0＜a＜3）（3分）②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形理由是∵M（1，0），∴把x=1代入y=x+1得：y=2，即N（1，2），∴MN=2，要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，由①知DE=|﹣a2+3a|，∴2=|﹣a2+3a|，解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=，∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（，0），（，0）∴P的坐标是（2，0），（，0），（，0）．。
2014-2015年浙江省温州三中初三上学期期末数学练习试卷及参考答案
2014-2015学年浙江省温州三中初三上学期期末数学练习试卷一、填空题（共9题）1．（3分）如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=2BD．则实数k的值为．2．（3分）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）都在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），已知点A1的坐标为（2，0），则点P1的坐标为；点P2的坐标为；点P n的坐标为（用含n的式子表示）．3．（3分）在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．如果点M在y轴右侧=S△COB，那么点M的坐标是．的抛物线上，S△AMO4．（3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x ≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．5．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）6．（3分）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．7．（3分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=．二、解答题（共6题）10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D 作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．11．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D 在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．=S△BCD？（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP 若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．13．如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．15．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE 中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt △CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．2014-2015学年浙江省温州三中初三上学期期末数学练习试卷参考答案与试题解析一、填空题（共9题）1．（3分）如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=2BD．则实数k的值为4．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，则OE=x，CE=x，则点C坐标为（x，x），在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，则BF=x，DF=x，则点D的坐标为（5﹣x，x），将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，则x2=x﹣x2，解得：x1=2，x2=0（舍去），故k=x2=×4=4．故答案为：4．2．（3分）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）都在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），已知点A1的坐标为（2，0），则点P1的坐标为（1，1）；点P2的坐标为（；点P n的坐标为（（用含n的式子表示）．【解答】解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，∵△P1OA1是等腰直角三角形，点A1的坐标为（2，0），∴P1E=OE=A1E=OA1，因为点P1的坐标是（x1，y1），得y1=x1=1，所以k=1．所以点P1的坐标为（1，1）．设点P2的坐标为（b+2，b），将点P1（b+2，b）代入，可得b=，故点P2的坐标为，=3则A1F=A2F=，OA2=OA1+A1A2=，设点P3的坐标为（），可得c=，故点P3的坐标为（），总结规律可得：P n坐标为：（）．故答案为：（1，1），，（）．3．（3分）在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．如果点M在y轴右侧=S△COB，那么点M的坐标是（1，﹣6）或（4，6）．的抛物线上，S△AMO【解答】解：∵y=x2﹣x﹣6为抛物线，∵抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点，令y=0，设方程x2﹣x﹣6=0的两根为x1，x2，∴x1=﹣2，x2=3，∴A（﹣2，0），B（3，0），设M点坐标为（a，a2﹣a﹣6），（a＞0）=S△COB，∵S△AMO∴×AO×|y M|=××OC×|x B|，∴2×|a2﹣a﹣6|=××6×3，解得，a1=0，a2=1，a3=﹣3，a4=4，∵点M在y轴右侧的抛物线上，∴a＞0，∴a=1，或a=4，a2﹣a﹣6=12﹣1﹣6=﹣6，或a2﹣a﹣6=42﹣4﹣6=6∴M点坐标为（1，﹣6）或（4，6）．故答案为：（1，﹣6）或（4，6）．4．（3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x ≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==．故答案是：．5．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确结论的序号是②③④．（填上你认为正确结论的所有序号）【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣＞0，又∵a＞0，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＞0，∴①错误；∵由图象可知：对称轴x=﹣＞0且对称轴x=﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，∴②正确；∵由题意可知：当x=﹣1时，y=2，∴a﹣b+c=2，当x=1时，y=0，∴a+b+c=0．a﹣b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，即a+c=1，移项得a=1﹣c，又∵a＞0，c ＜0，∴a＞1，∴③④正确．故答案为：②，③，④．6．（3分）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=6，∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，OM=×6=3，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=1×=，在Rt△MOH中，MH===，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN=．故答案为：．7．（3分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．【解答】解：作OH⊥DK于H，连接OK，∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°，∴∠ODH=30°，∴∠DOH=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴△ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．故答案为：（3π﹣）cm2．8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=8cm．【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么=．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB==，设BC=3x，则AB=5x，AC==4x，在Rt△HBC中，cosB==，而BC=3x，∴BH=x，∵Rt△ABC绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，∵CH⊥BB′，∴B′H=BH=x，∴AB′=AB﹣B′H﹣BH=x，∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，∴△ADB′∽△A′DC，∴=，即=，∴=．故答案为．二、解答题（共6题）10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D 作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，∴∠C=30°，∵CD=x，DF=y．∴y=x；（2）∵四边形AEFD为菱形，∴AD=DF，∴y=60﹣x∴方程组，解得x=40，∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；（3）①当∠EDF=90°，∵∠FDE=90°，FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，∴EF=2DF，∴60﹣x=2y，与y=x，组成方程组，得解得x=30．②当∠DEF=90°时，在Rt△ADE中，AD=60﹣x，∠AED=90°﹣∠FEB=90°﹣∠A=30°，AE=2AD=120﹣2x，在Rt△EFB中，EF=AD=60﹣x，∠EFB=30°，∴EB=EF=30﹣x，∵AE+EB=30，∴120﹣2x+30﹣x=30，∴x=48．综上所述，当△DEF是直角三角形时，x的值为30或48．11．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D 在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD∥AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣CE=．∴tan∠DBC==；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S=S△BCD？△ADP 若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）∴，解得∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，又∵点A（2，0），对称轴为x=4，∴点D的坐标为（6，0）．（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．∴C点的坐标为（4，0）∵B（8，6），设BC所在的直线解析式为y=kx+b′，∴，解得，∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，∴x﹣6=x2﹣4x+6解得x1=3，x2=8（舍去），当x=3时，y=﹣，∴E（3，﹣），∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．（4）存在，设点P到x轴的距离为h，∵S=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h△BCD=S△BCD∵S△ADP∴2h=6×，解得h=，当P在x轴上方时，=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，当P在x轴下方时，﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．13．如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x12+x22+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）能如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．若∠POC=∠PCO则PD应是线段OC的垂直平分线∵C的坐标为（0，﹣3）∴D的坐标为（0，﹣）∴P的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=﹣，解得，x1=，x2=因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤t≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．15．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE 中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt △CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【解答】解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；（2）如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h＜2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴=，∴=，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC ﹣S△EGM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣h）=﹣h2+4h+8，S最大=15﹣．②当2≤h＜6﹣2时，S=S△AOB﹣S△ACM=×6×6﹣h（h+）=18﹣h2，S最大=15﹣．③如图3，当6﹣2＜h≤6时，S=S△OBC=OB×OC=（6﹣h）2，S最大=6．。
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2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，着地时反面向上B．星期天一定是晴天C．打开电视机，正在播放动画片D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾2．（3分）二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．（3分）将抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣3）2+1 D．y=3（x﹣3）2﹣1 4．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128° D．154°6．（3分）将二次函数y=2x2+8x﹣7化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（）A．y=2（x+4）2﹣7 B．y=2（x+2）2﹣7 C．y=2（x+2）2﹣11 D．y=2（x+2）2﹣157．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣278．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④4a﹣2b+c＜0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣B．πC．π﹣D．π二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的对称轴为直线．12．（3分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．13．（3分）边长为6的正六边形的边心距为．14．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=．15．（3分）如图，在⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，若AB=24，半径OC=13，则CD的长是．16．（3分）已知二次函数y=2x2+8x+m，当自变量x1=﹣2对应的函数值为y1，当自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）17．（3分）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为．18．（3分）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则a=，点E的坐标是．三、解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）利用尺规作图，补全下图残缺的圆轮，圆心为点O，并保留作图痕迹．20．（6分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．21．（8分）一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n 的值．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径．23．（8分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？24．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，着地时反面向上B．星期天一定是晴天C．打开电视机，正在播放动画片D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾【解答】解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；B、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；C、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；D、必然事件，故选项正确．故选：D．2．（3分）二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：因为y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）．故选：C．3．（3分）将抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣3）2+1 D．y=3（x﹣3）2﹣1【解答】解：抛物线y=3x2+1向左平移1个单位后的解析式为：y=3（x+1）2+1．再向下平移3个单位得到：y=3（x+1）2+1﹣3=y=3（x﹣1）2﹣2．故选：B．4．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．故选：D．5．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128° D．154°【解答】解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．6．（3分）将二次函数y=2x2+8x﹣7化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（）A．y=2（x+4）2﹣7 B．y=2（x+2）2﹣7 C．y=2（x+2）2﹣11 D．y=2（x+2）2﹣15【解答】解：提出二次项系数得，y=2（x2+4x）﹣7，配方得，y=2（x2+4x+4）﹣7﹣8，即y=2（x+2）2﹣15．故选：D．7．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，∴y=a（x+3）2+5，把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，当x=1时，y=﹣27．故选：D．8．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④4a﹣2b+c＜0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，故①正确；∵对称轴x=﹣＞0，∴b＞0，故②错误；∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，故③正确；∵对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴另一个交点为：（﹣1，0），∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0，故⑤正确．故选：D．10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣B．πC．π﹣D．π【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°∵OA=OE=OD=OB∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，∴AB∥DE，∴S△ODE=S△BDE；∴图中阴影部分的面积=S扇形OAE ﹣S△OAE+S扇形ODE=×2﹣=π﹣．故选：A．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的对称轴为直线x=﹣2．【解答】解：因为抛物线y=﹣（x+2）2﹣3是顶点式，顶点坐标是（﹣2，﹣3），故对称轴是直线x=﹣2．12．（3分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为60π．【解答】解：依题意知母线长=10，底面半径r=6，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×10×6=60π．故答案为：60π．13．（3分）边长为6的正六边形的边心距为3．【解答】解：如图所示，此正六边形中AB=6，则∠AOB=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∴OG=OA•cos30°=6×=3，故答案为3．14．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= 32°．【解答】解：连接OD．∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；∴∠BCD=32°；另法：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣58°=32°，∵∠BCD和∠A都是BD所对圆周角，∴∠BCD=32°．故答案为：32°．15．（3分）如图，在⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，若AB=24，半径OC=13，则CD的长是8．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，AB=24，∴AD=AB=12．∵半径OC=13，∴OD===5，∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8．故答案为：8．16．（3分）已知二次函数y=2x2+8x+m，当自变量x1=﹣2对应的函数值为y1，当自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1＜y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）【解答】解：∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点（﹣2，y1）比点（﹣4，y2）离直线x=﹣2要近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为＜．17．（3分）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为6．【解答】解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC=n°，根据题意得2π=，解得n=60，即∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，∵BC∥OD，∴∠2=∠C=60°，∵∠1=∠2，∴∠1=30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE=DE，在Rt△CBE中，CE=BC=3，∴BE=CE=3，∴BD=2BE=6．故答案为6．18．（3分）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则a=，点E的坐标是（1+，1+）．【解答】解：把点A（3，0）代入抛物线，解得a=；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y=x2﹣x﹣，解得x1=1+，x2=1﹣（不合题意，舍去），因此正方形BDEF的边长B为1+﹣3=﹣2，所以AF=3+﹣2=1+，由此可以得出点E的坐标为（1+，1+）；故答案为：，（1+，1+）．三、解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）利用尺规作图，补全下图残缺的圆轮，圆心为点O，并保留作图痕迹．【解答】解：如图：20．（6分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a（x+1）2+4（a ≠0）．∵二次函数的图象过点B（2，﹣5），∴点B（2，﹣5）满足二次函数关系式，∴﹣5=a（2+1）2+4，解得a=﹣1．∴二次函数的关系式是y=﹣（x+1）2+4；（2）令x=0，则y=﹣（0+1）2+4=3，∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）；令y=0，则0=﹣（x+1）2+4，解得x1=﹣3，x2=1，故图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（1，0）．21．（8分）一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．∴摸出1个球是白球的概率为：；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有10种情况，∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为：；（3）由题意得，，解得，n=3经检验符合题意．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB过O，∴弧BC=弧BD，∴∠BCD=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD；（2）解：∵AB⊥CD，AB过O，CD=8m，∴CE=DE=4m，在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC==2（m），∵AB为直径，AB⊥CD，∴∠BCA=∠CEB=90°，∵∠B=∠B，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BA===10（m），即⊙O的直径是10m．23．（8分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【解答】解：（1）当y=70时，70=﹣5x+150，解得x=16，则（16﹣10）×70=420元；（2）w=（x﹣10）（﹣5x+150）=﹣5x2+200x﹣1500，∵，∴自变量的取值范围为10≤x≤18；（3）w=﹣5x2+200x﹣1500=﹣5（x﹣20）2+500∵a=﹣5＜0，∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，∴当x=18时，w有最大值，为480元．答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．24．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，得到，解得，即抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在，如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，在△AND与△MCO中，∵，∴△AND≌△MCO（ASA），∴ND=OC=，即N点的纵坐标为，∴x2﹣2x﹣=，解得x=2±，∴N2（2+，），N3（2﹣，），综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．。