山东省潍坊市高三数学下学期第五次单元过关测试试题 理
山东省潍坊市高三数学下学期模拟训练试题(五)文
2016年高考模拟训练试题文科数学(五)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，共150分，考试时间120分钟，考试结束后将答题卡交回.第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
有且只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1=2z bi b R z =+∈且，则复数z 的虚部为B.C. 1±D.2.已知集合{}21log ,1,,12xA y y x xB y y x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. ()01，C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. ∅3.“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A.2B.92C.32D.35.将函数()2sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象分别向左、向右各平移4π个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为 A.12B.1C.2D.46.点A 是抛物线()21:20C y px p =>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于7.曲线()21xf x e x x =+++上的点到直线230x y --=的距离的最小值为D. 8.已知函数()()2,log x a f x ag x x -==（其中01a a >≠且），若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是9.已知()()()()11,2f x f x f x f x +=-=-+，方程()[]001f x =在，内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2014内根的个数为 A.2014B.2013C.1007D.100610.已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，且12112x x -<<<<，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是A. 22,53⎛⎫-⎪⎝⎭B. 23,52⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 21,52⎛⎫-⎪⎝⎭D. 22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11.已知函数()()1,3,21,3,xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则121log 3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 12.已知实数[]2,30x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是_________.13.已知定义在上R 的函数()(),f x g x 满足()()x f x b g x =，且()f x '()()()()()()()115,112f fg x f x g x g g -'<+=-，若{}n a 是正项等比数列，()()57681412424f a a a a a a g ++=，则68a a +等于________.14.已知平面区域0,:1,30,x P y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩设圆()()22:2C x a y b -+-=，若圆心C P ∈且圆C 与直线70x y +-=相切，则2z a b =-则的最大值为_________.15.对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同域区间”.给出下列四个函数： ①()cos2f x x π=；②()21f x x =-；③()21x f x =-；④()()2log 1f x x =-. 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-.（I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，A,B,C 分别为三边,,a b c所对的角，若()1,a f A b c ==+求的最大值.17. （本小题满分12分）甲、乙两人用四张扑克牌（红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，将牌洗匀后，背面朝上，按如下规则抽取：甲先抽，乙后抽，抽取的牌不放回，各抽取一张. （I ）写出甲、乙两人抽到牌的所有情况；（II ）若甲抽到的红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（III ）甲、乙约定：若甲抽出的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.18. （本小题满分12分） 在Rt ABF ∆中，AB=2BF=4,C,E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点. （I ）求证：CD//平面AE F ； （II ）求证：平面AEF ⊥平面ABF ； （III ）求三棱锥C AEF -的体积.19. （本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式()*312232222n n n b b b b a n N =+++⋅⋅⋅+∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .20. （本小题满分13分） 已知函数()()1ln 1af x x a x a x+=+->-. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在[]1,e （e=2.718…为自然对数的底数）上存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）如图，椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交C 于A,B 两点，1ABF ∆的周长为8，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若直线l 交y 轴于点M ，且22,MA AF MB BF λμ==，求λμ+的值；（III ）是否存在实数t ，使得2222AF BF t AF BF +=恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.。
山东省潍坊市高三数学下学期第五次单元过关测试试题
山东省潍坊市2017届高三数学下学期第五次单元过关测试试题 文第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}01|{2=-=x x A ，}5,2,1{-=B ，则=⋂B A （ ） A ．}2,1{- B ．{-1} C ．{-1，5} D ．Φ2.已知i zi +=-1)1(2（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知q p ,为命题，则“q p ∨为假”是“q p ∧为假”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知两个非零向量a 与b ，)6,3(-=+b a ，)2,3(-=-b a ，则=-22b a （ ） A ． -3 B ．-24 C.12 D ．215.在正项等比数列}{n a 中，已知6453=⋅a a ，则71a a +的最小值为（ ） A ．64 B ．32 C.16 D ．86.判断大小：)10lg(lg ,)21(,61log 102.05===c b a ，则（ ） bc a D ba c C cb a B ac b A <<<<<<<<....7.如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A 的面积.若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数.经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．8 8.已知)62sin(2)(π+=x x f ，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴的方程为（ ）A.3π=x B ．4π=x C. 6π=x D ．12π=x9.函数ax x f =)(满足4)2(=f ，那么函数|)1(log |)(+=x x g a 的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∈+=,1,273211,0)1(log )(22x x x x x x f ，，则关于x 的方程)10(0)(<<=+a a x f 的所有根之和为（ ）A ．1﹣（）aB ．（）a ﹣1 C ．1﹣2a D ．2a﹣1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数322--=x x y 与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 .12．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ，则yx z -=2)21(的最小值为 ．13.在如图所示的程序框图中，若输入的5,7==m n 则输出的s 的值是 ．14.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥的体积是 ．15.已知点)0,22(-Q 及抛物线y x 42-=上一动点),(y x P ，则||||PQ y +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知)cos ,(cos B A =，)2,(b c a -=，且//. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC b ∆=,3的面积33=∆ABC S ，求a 的值.17. 全世界越来越关注环境保护问题，某省一监测站点于2016年8月某日起连续x 天监测空气质量指数()AQI ，数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出y x ,的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）在空气质量指数分别为[)50,100和[)150,200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.18.．如图，四边形ABCD 为菱形，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，EF=BD ． （Ⅰ）求证：DF ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面AFC ．19.已知n S 为等差数列{}n a 的前项和，52a =，()1152n n n a a a a n -++=≥且3a 是1a 与85-的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1a 为整数，()()2231n n nb S n n =++，求数列{}n b 的前项和n T .20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F，且经过点(P ，离心率为23，A 为直线4x =上的动点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点B 在椭圆C 上，满足AB OA ⊥，求线段AB 长度的最小值. 21.已知函数()1ln f x k x x=+，0>k . （Ⅰ）当2k =时，求函数()f x 切线斜率中的最大值； （Ⅱ）若关于x 的方程()f x k =有解，求实数k 的取值范围.潍坊实验中学高三年级下学期第五次单元过关检测数学（文科）试题参考答案一：1-5BCADC 6-10DBACC 二：2.1563.14840.1341.125)1()1.(1122=++-y x16.解：（Ⅰ）b a // 0cos cos )2(=--∴B a A b c 由正弦定理得0cos sin cos )sin sin 2(=--B A A B C 即0cos sin sin cos sin cos 2=--B A B A C A2cos sin cos sin sin cos A C A B A B \=+?()2cos sin sin A C A B \=+即2cos sin sin A C C =1cos 20sin =∴≠A A ，即1cos 2A =又0A π<<3π=∴A （Ⅱ）3323321sin 2131,3=⋅⋅====∆c A bc S A b ABC ，）知由（π4c \=，由余弦定理有2143243cos 222222⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，13=∴a17.解：（Ⅰ）100,2050004.0==⋅x x ，25,1005104020==++++y y ，400.00810050=´，250.00510050=´，100.00210050=´,50.00110050=´（Ⅱ）在空气质量指数为51-100和151-200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共10种，其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==. 18.证明：（I ）设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，因为，所以EF=OD ．因为EF ∥BD ，所以EF ∥OD ．故四边形DOEF 为平行四边形，所以DF ∥OE ， 又OE ⊂平面AEC ，DF ⊄平面AEC ，所以DF ∥平面AEC ． （Ⅱ）连结OF，因为，所以EF=OB ，因为EF ∥BD ，所以EF ∥OB ，故四边形BOFE 为平行四边形．所以EB ∥FO ， 因为EB ⊥平面ABCD ，所以FO ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以FO ⊥OB ． 因为四边形ABCD 为菱形，所以OB ⊥AC ，又AC ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，AC∩OF=O，所以OB ⊥平面AFC ． 又EF ∥OB 所以EF ⊥平面AFC ．因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．19.当35d =时，()3325155n a n n =+-=-. 当3d =时，()235313n a n n =+-=-. （2）若1a 为整数，则313n a n =-，()2323,22332n n n n S S n n -=+=∴∴， ()()()111122313131n n n b S n n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++++⎝⎭∴，111111111131223131n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴ (33)nn +. 20.（Ⅰ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222325c b a a c e b 解得⎩⎨⎧==23c a所以椭圆C 的方程为22195x y +=. （Ⅱ）点B 在椭圆C 上，设(),B m n，)(n ??，()4,A y .因为OB OA ⊥，所以0=⋅，即40m ny +=.因为点B 在椭圆C 上，所以22195m n +=， 所以()()2224AB m n y =-+-2228162m m n ny y =-++-+2228168m m n m y =-++++，2214441955n n =--设2t n =，(]5,0∈t ()14441955t g t t =--.因为()'2144405g t t -=-<，所以()g t 在(]0,5上单调递减.所以当5t =，即n =?min AB =.21.解：（Ⅰ）函数()1ln f x k x x =+的定义域为()+∞,0.()()'210kf x x x x =-+> 当2k =时，22'121)(xx x x x f -=+-=，所以函数()f x 切线斜率的最大值为1.（Ⅱ）因为关于x 的方程()f x k =有解， 令()()1ln g x f x k k x k x=-=+-，则问题等价于函数()g x 存在零点，所以()'2211k kx g x x x x-=-+=.当0k <时，()∞+<，对00)('x g 成立， 函数()g x 在()+∞,0上单调递减.而()110g k =->，01111)11(1)(111111<-<-=--+=---e e k k k eeg k k k1111110ke e -=-<-<， 所以函数()g x 存在零点.当0k >时，令()'0g x =，得1x k=. ()g x ‘，()g x 随x 的变化情况如下表：所以)1(k g 11ln ln g k k k k k k k 骣÷ç=-+=-÷ç÷ç桫为函数()g x 的最小值， 当)1(k g 10g k 骣÷ç>÷ç÷ç桫时，即01k <<时，函数()g x 没有零点， 当)1(k g 10g k 骣÷ç£÷ç÷ç桫时，即1k ³时，注意到()10g e k k e=+->， 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1 k 时，关于x 的方程()f x k =有解.潍坊实验中学高三年级下学期第五次单元过关检测满分答卷指导你如何总结题型，如何归纳做题方法，具体题目的更改及错题纠错在答题纸上完成 一、整体分析实得分数 应得分数本次考试做的较好的方面： 做的不足的方面： 二、满分试题对数学课堂、数学老师的建议，以及自己下一步的具体可操作的措施：。
山东省济宁市2020届高三数学下学期第五次考试试题及答案解析
2019-2020学年高三第二学期第五次考试数学试卷一、选择题1.设集合{}30log 2A x x =≤≤，{B x y ==，则A B =I （ ）A.[]13，B. []36-，C. []39，D. []69，【答案】D 【解析】 【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A ,B ，直接进行交集运算.【详解】因为{}{}30log 219A x x x x =≤≤=≤≤，231803x x x --≥⇒≤-或6x ≥， 所以[6,9]A B ⋂=. 故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题. 2.已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 3.设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】C 【解析】【分析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系.【详解】因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题. 4.函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC.2π D. π【答案】D 【解析】 【分析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期.【详解】因22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 5.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题. 6.已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A. 16 B. 10 C. 12 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A. y x =-B. 2y x =-+C. y x =D.2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.8.在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( )A. 8B. 6C. 7D. 5【答案】D 【解析】 【分析】先求出ACD ∆的面积，再求出点B 到面ACD 的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】解：由题意，如图所示，AB AC ⊥，AC CD ⊥，过点A 作CD 的平行线AE ，则AC ⊥平面ABE ，且EAB ∠为30°或150°，从B 点向AE 作垂线，垂足为E ， 易证BE ⊥平面ACD .则点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=， 162ACD S AC CD ∆=⋅=则， 则四面体ABCD 的体积为153ACD V S BE ∆=⋅⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-v v，,a b v v 的夹角为θ，则sin θ=__________.5【解析】 【分析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值. 【详解】依题意[]0,πθ∈，所以2255cos ,sin 1cos 55||||55a b a b θθθ⋅===-=-=⨯r r r r .5【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 10.（2x 31x-）8的展开式中常数项是_____.（用数字表示） 【答案】112 【解析】 【分析】 根据二项式（2x 31x-）8的展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】（2x 31x -）8的展开式的通项为：T r +1＝C 8r （2x 3）8﹣r （1x-）r ＝28﹣r （﹣1）r C 8r x 24﹣4r ， 令24﹣4r ＝0，解得r ＝6，则（2x 31x-）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C 86＝112， 故答案为：112.【点睛】本题考查了利用二项式的通项公式求二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.11.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为_____． 【答案】112【解析】 【分析】分别求得骰子向上为6点和硬币向上为正面的概率，由独立事件概率公式即可求解. 【详解】骰子向上为6点的概率为16； 硬币向上为正面的概率为12； 由独立事件概率公式可知“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为1116212⨯=， 故答案为：112. 【点睛】本题考查了古典概型概率求法，独立事件概率乘法公式应用，属于基础题. 12.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．【答案】1 【解析】 【分析】画出抛物线，过P 作PN ^抛物线准线于N ，连接PH ，设直线PH 的倾斜角为α，由抛物线定义可得1cos PFPN k PH PHα===，由题意当k 最大时，cos α取得最小值.而当cos α取得最小时，直线PH 与抛物线相切，设出直线PH 方程，联立抛物线可求得k ，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性质求得离心率.【详解】根据题意画出抛物线，过P 作PN ^抛物线准线于N ，连接PH .由抛物线定义可知PF PN =，由PH k PF =，（0k >）， 设直线PH 的倾斜角为α，则cos cos PNHPN PHα=∠=， 可得1cos PFPN k PH PHα===， 当k 最大时，cos α取得最小值，且cos 0α>， 当cos α取得最小值时直线PH 与抛物线24y x =相切，设直线PH 的方程为y kx k =+， 则24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，化简可得()2222220k x k x k +-+=， 因为直线PH 与抛物线相切，则()2244240k k ∆=--=，解得1k =±，由0k >可得1k =，同时可得切点横坐标为1x =， 将切点横坐标带入抛物线可得()1,2P ±， 因为点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得2222a PH PF =-=，22c HF ==，所以双曲线离心率为1c e a ===，故答案为：11.【点睛】本题考查了抛物线定义及几何性质的应用，双曲线定义及几何性质应用，直线与抛物线相切位置关系的应用，属于中档题.三、多项选择题13.一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. 7a =B. 11a =C. 12b =D. 9b =【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得()(),E X D X ，进而求得平均值为a ，方差为b .【详解】设()123,,n X x x x x =⋅⋅⋅，数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4， 即()()217,214E X D X +=+=，由离散型随机变量均值公式可得()()21217,E X E X +=+=所以()3E X =, 因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为()()323233211a E X E X =+=+=⨯+=；由离散型随机变量的方差公式可得()()2144,D X D X +==所以()1D X =, 因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的方差为()()3299b D X D X =+==，故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.14.设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A. 若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B. 若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D. //,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 15.在三棱锥D -ABC 中，1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（ ） A. AC BD ⊥B. //MN 平面ABDC. 三棱锥A -CMN 的体积的最大值为12D. AD 与BC 一定不垂直【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意画出三棱锥D -ABC ，取AC 中点O ，连接,OB OD ：对于A ，根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明AC ⊥平面BOD ，从而即可判断A ；对于B ，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C ，当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥A -CMN 的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D ，假设AD BC ⊥，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原命题成立即可.【详解】根据题意，画出三棱锥D -ABC 如下图所示，取AC 中点O ，连接,OB OD ：对于A ，因为1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥， 所以,ABC ADC ∆∆为等腰直角三角形， 则,,OD AC BO AC ⊥⊥且OD BO O ⋂=， 则AC ⊥平面BOD ， 所以AC BD ⊥，即A 正确；对于B ，因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，由中位线定理可得//MN BD ，而BD ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ， 所以//MN 平面ABD ，即B 正确；对于C ，当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥A -CMN 的体积最大， 则最大值为111212113222248A CMN N ACM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D ，假设AD BC ⊥，由AB BC ⊥,且AD AB A ⋂=, 所以BC ⊥平面ABD ，则BC BD ⊥， 又因为AC BD ⊥，且AC BC C =I ，所以BD ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABC ，则BD OB ⊥，由题意可知OB OD =，因而BD OB ⊥不能成立，因而假设错误，所以D 正确； 综上可知，正确的为ABD ， 故选：ABD.【点睛】本题考查了空间几何体性质及综合应用，三棱锥体积公式，线面平行、线面垂直的判定定理及性质应用，属于中档题.16.定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A. []0,1是()f x 的一个“完美区间”B. ⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误； 对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，Ü，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-， 解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b =12b =（舍）.所以此时完美区间为10,2⎡+⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x -=，212x +=，所以1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=+，所以C 正确，D错误； 故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.四、解答题17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B -+=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B --+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =． 当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E F ，分别为AB SC ，的中点.（1）证明：//EF 平面SAD .（2）若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】 【分析】（1）记SD 的中点为G ，连接GF ，GA ，通过证明//GF AE ，且GF AE =推出四边形GFEA 为平行四边形，则//EF AG ，由线线平行推出线面平行；（2）以D 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF 、平面SEF 的法向量，代入,m ncosm n m n⋅=r r r r r r 即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.【详解】（1）证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA . 因为E F ，分别为AB SC ，的中点，则//GF CD ，且12GF CD =. 因为//AE CD ，且12AE CD =，所以//GF AE ，且GF AE =， 所以四边形GFEA 为平行四边形， 则//EF AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ， 所以//EF 平面SAD .（2）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DS 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()008S ，，，()000D ，，，()420E ，，，()024F ，，， (4,2,0),(0,2,4),(4,0,4),(4,2,8)DE DF EF ES ===-=--u u u r u u u r u u u r u u u r设平面DEF 的法向量()111m x y z =r，，，则1111420240DE m x y DF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令12x =，则()242m =-r，，. 设平面SEF 的法向量为()222n x y z =r，，，则222224404280EF n x z ES n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u r ru u u r r 令22x =，则()242n =r，，. 1,3m ncosm n m n ⋅==-r rr r r r ，设二面角D EF S --为θ，则223sin θ=， 即二面角D EF S --的正弦值为223.【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 20.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60. （1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，167EX = 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 3.84110595100100133K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.1343474(1)35C C P X C ⋅===； 224344C C 18(2)C 35P X ⋅===； 314344C C 12(3)C 35P X ⋅===；44471(4)35C P X C ===.X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.21.已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B . （1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，(1,0)T 【解析】 【分析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆C 上.（2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及2PTQ π∠=，利用0TP TQ ⋅=u u r u u u r列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.【详解】（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22143s t+=.直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4t y x s -=--， 联立可得5825B s x s -=-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫⎪--⎝⎭. 因为22222222(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设()0,0T x ，由22,1,43y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以()()()2222226444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43,P P P k x y kx b b b=-=+=. 又因为(4,4),2Q k b PTQ π+∠=，所以()0043,4,40k TP TQ x x k b bb ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭u u r u u u r ， 即()0043(4)40k k b x x b b+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 所以()200043440kx x x b-++-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立， 所以0200440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2PTQ π∠=恒成立.【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()H x 的表达式并求导，分类讨论()H x 的单调性；（2）由题意可得1ax lnx x=-有两个不同的根，则1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②， 消去参数a 得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，构造函数()()()2111t F t lnt t t -=->+求导研究函数单调性并利用放缩法推出1>，再次构造函数()2x lnx xφ=-，通过证明)φφ>来证明()1222ln x x ln >+.【详解】（1）()()()()221H x f x g x lnx ax a x =-=++-+'，定义域为(0,)+∞，()()()()()2221211122ax a x x ax H x ax a x x x -+-+-++=-+-='=. 当0a ≥时，()H x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. 当20a -<<时，令()0H x '>，得1102x a⎛⎫⎛⎫∈-+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在1a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增； 令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减. 当2a =-时，()0H x '≥，()H x 在()0+∞，上单调递增. 当2a <-时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，10a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）()()()22G x g x a x ax =+-=，因为函数()f x 的图象与()G x 的图象有两个不同的交点， 所以关于x 的方程21ax xlnx =-，即1ax lnx x=-有两个不同的根. 由题知1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②，①+②得()()12121212x x ln x x a x x x x +-=+③， ②-①得()22121112x x x ln a x x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭④. 由③，④得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>. 令()()()2111t F t lnt t t -=->+，则()()()2101t F t t t '-=>+，所以()F t ()1+∞，上单调递增，所以()()10F t F >=， 则()211t lnt t ->+，即()2121122x x x lnx x x ->+，所以()()12122121221122x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=>-. 因为()()()()12121212121222x x ln x x ln x x ln x x x x +-<=-=所以22>，即1>. 令()2x lnx xφ=-，则()x φ在()0+∞，上单调递增.又)12112ln ln =+-<，所以)1ln >>，即)φφ>，所以2122x xe >.两边同时取对数可得()1222ln x x ln >+，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数研究含参函数的零点问题及单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.。
山东潍坊2024届高三一模数学试题(解析版)
潍坊市高考模拟考试数学1. 已知平面向量()1,2a =注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ，()1,b λ=−，若a b ⊥，则实数λ=（ ）A.12B. 12−C. 2−D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =，)1,b λ=− ，由a b ⊥ ，得120a b λ⋅=−+=，所以12λ=. 故选：A2. 已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ） A. 1 B.54C.32D. 2【答案】B 【解析】【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =−， 又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154 −−= .故选：B3. 已知集合(){}3log212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ∪=，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ∪=，即A B ⊆，所以4a =. 故选：D4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +×===， 又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =， 则()()1444415822a a S +−+===. 故选：C5. 12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目： IV XLCDM1 5 10 50 100 500 1000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（ ） A. 2025 B. 2035C. 2050D. 2055【答案】B 【解析】【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000， 每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5， 因此MMXXXV 表示的数是20003052035++= 所以2035MMXXXV =. 故选：B6. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（ ）A.B.C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ， 于是1BD A C ⊥，同理11BC A C ，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ， 因此1A C ⊥平面1BC D ，因1DP AC ⊥，则DP ⊂平面1BC D ， 而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ∩平面11BC D BC =，为所以点P 的轨迹是线段1BC. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列1n n a a −+是公比为2的等比数列，则2024a =（ ）A.2023213+ B. 2024213+C. 101221−D. 101121−【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列求出112n n n a a −++=，进而求得2112(2)n n n a a n −+−−=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a −++=，当2n ≥时，212n n n a a −−+=，则2112n n n a a −+−−=， 所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+−+−++−=+++++101120232(14)211143−+=+=−. 故选：A8. 已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（ ） A. 8 B. 12C. 16D. 24【答案】C 【解析】【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，为直三棱柱111ABC A B C外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点， 连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO∴该棱柱的体积12162V x =×≤=．当且仅当2232x x =−，即4x =时等号成立．故选：C ．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A. 8a =B. 6人年龄的平均数为35C. 6人年龄的75%分位数为36D. 6人年龄的方差为643【答案】ACD 【解析】【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a −+=，解得8a =，故A 正确； 所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42， 则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误； 又675% 4.5×=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确； 又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S =−+−+−+−+−+−= ，故D 正确. 故选：ACD10. 函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+−（01ω<<）的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为2πB. )3π(2y f x =+是奇函数C. π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D. 若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈ 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<， 解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确； π(2)2sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[()]2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x −=−−=−+=+=， π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π]666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，且()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=，则（ ）A. ()01g =B. ()f x y x=的图象关于点()0,1对称C. ()()20f x f x +−=D. ()212nk n n g k =−=∑（*N n ∈）【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x −−=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x −−=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +−=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =−，所以有(2)()2g n g n +−=−，()()211g g −=−，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x −−=， 所以()()2f x f x ′+−=′，即()()2g x g x +−=， 令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x −−=， 当0x ≠时，()()2f x f x x x −+=−，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确； 对于C ，假设()(2)0f x f x +−=成立， 求导得()(2)0f x f x ′′−−=， 即()(2)0g x g x −−=，又()(2)0g x g x +−=， 所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +−=，()(2)0g x g x +−=， 所以(2)()2g x g x −−−=−，(0)1g =，()10g =，()21g =−， 所以有(2)()2g n g n +−=−， 所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2−为公差的等差数列， 数列{}()g n 的偶数项是以1−为首项，2−为公差的等差数列，又()()211g g −=−，*N n ∈， 所以数列{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列， 所以()1g n n =−，所以21()2nk n n g k =−=∑，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z=−______． 【答案】i 5【解析】【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】()i 2i i 2i z z +=⇒=+，故()()2ii ii i i i 22245z ===−+−−. 故答案为：i513. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种， 则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120×=种排法． 故答案为：120．14. 已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =−，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是______．【答案】()1,4 【解析】【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d 再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =直线PD 方程为0022y x x y =−++， 联立00222y x x y y x =−++=，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d =平行四边形，所以22014y x −=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x −=、2214y x −=， 因为双曲线2214y x −=的实半轴长为1，双曲线2214y x −=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<<，即14t <<， 所以实数t 的取值范围是(1,4)． 故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=． （1）求A ；（2）若c =a =，D 为BC 的中点，求AD ． 【答案】（1）π4（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】因为()sin cos a B B c +=， 由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=， 在ABC 中，sinsin()C A B =+， 则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=； 【小问2详解】根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+−，则有2522b b =+−，解得3b =或1b =-（舍去）， D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+， ()222111722923444AD AB AC AB AC ∴=++⋅=×++= ，AD ∴16. 已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E的左、上顶点，AC =E的焦距为（1）求E 的方程和离心率；（2）过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=−，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=，e =（2）3 【解析】【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小． 【小问1详解】由题意可得(,0)A a −，(0,)C b ，可得AC =2c =c =可得2223a b c −==，225a b +=， 解得24a =，21b =，所以离心率ce a == 所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率e =【小问2详解】 由（1）可得(0,1)C ，小问3详解】 【小问4详解】由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=， 设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my +==+，整理可得22(4)230m y my ++−=， 显然0∆>，且12224my y m +=−+，12234y y m =−+， 直线CR ，CS 的斜率1111y k x −=，2221y k x −=， 则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my −−+−++−+=+=++ 1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +−+−=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m −−⋅+−⋅−++=−−−⋅+⋅+++， 因为123k k +=−，即231m −=−，解得13m =， 所以直线RS 的斜率13k m==． 即k 的值为3．【17. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=°，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】ABCD 中，由120ABC ∠=°，得60DCM ∠=°，而2,4DC CM ==， 在DCM △中，由余弦定理，得DM =，则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，在所以平面11CDD C ⊥平面1D DM . 【小问2详解】在四棱台1111ABCD A B C D −中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =， 在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ， 则14,4AE A E ==，又1AA =，显然22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥， 又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz −，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC −=−， 设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⋅=−+= ⋅=−+=，令z =，得(4,n = ，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||sin |cos ,|||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B. 18. 若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ． （1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ijj P a pξ+∞===∑．【答案】（1）①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅−−；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可. 【小问1详解】①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=， 显然3312()C ()()33nnnP n η−==，则3333111(|)C ()()C ()222mmn mmn n nm n ξη−−−−−====， 所以3333112(,)C ()C ()()233mnn n n n P m n ξη−−−===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n −=⋅−−. 【小问2详解】 由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη====== 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b P a b ξηξηξη===+==++==+11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞======∑∑ 1ij j p +∞==∑. 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.的19. 已知函数1()2ln f x m x x x=−+（0m >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；（3）若函数221()ln 2g x m x x x=−−+有三个不同的零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； （3）(1,)+∞. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间. （2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x−+−′=−−=， 设2()21k x x mx =−+−，则24(1)m ∆=−，①当01m <≤时，0,()0f x ∆′≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减； ②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =−>=>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x ′<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x ′>， 即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增， 所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m ++∞，递增区间为(m m . 【小问2详解】由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=−+<=， 则1ln 22x x x<−，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ， 于是2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+−=+<<++−111122n n −−+，22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <−+−++−=−<−+−+−++ ， 所以2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.【小问3详解】函数222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x −=−−+=−=+， 由于ln x 与1x −同号，则ln y m x +1x =，令t =，由(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =， 则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<−，则<，即ln t < 因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m−=−+<−−+=<， 由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=−++−+=， 而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ， 所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
山东省潍坊市高三下学期数学5月模拟考试试卷
山东省潍坊市高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高一上·上海月考) 已知集合，集合，若，则x的值为________.2. （1分）若z1=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为________3. （1分） (2019高一下·广东期末) 某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________．4. （1分）已知抛物线的焦点，点，则曲线上的动点到点与点的距离之和的最小值为________．5. （1分）执行如下图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．6. （1分） (2016高一上·蕲春期中) 若函数y=x2﹣4x的定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，则实数a 的取值范围为________7. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则 ________．8. （1分） (2016高一下·南京期末) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是________．9. （1分）已知tan（α+β）=﹣3，tan（α﹣β）=2，则的值为________．10. （1分） (2020高一下·台州期末) 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为________；此约束条件所表示的平面区域的面积为________.11. （1分）(2017·揭阳模拟) 已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=________．12. （1分）设α∈（﹣，0），cosα= ，则tan（α+ ）=________．13. （1分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=________.14. （1分） (2017高二下·雅安期末) 函数f（x）= x3﹣ax2+3x+4在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．二、解答题 (共11题；共95分)15. （10分） (2020高一下·常熟期中) 已知函数f(x)=（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若α∈ ,且f(α)= ,求16. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．17. （10分） (2019高二上·惠州期末) 已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若存在与直线平行的切线，求的取值范围。
山东省潍坊市昌邑第五中学2022年高三数学理月考试题含解析
山东省潍坊市昌邑第五中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 运行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（A）3 （B）4（C）5 （D）6参考答案：B略2. 已知集合，R是实数集，( )A.B.RC.D.参考答案：A略3. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为( )参考答案：A 4. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．5. 在中，若，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定参考答案：A6. “x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．7. 函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，在函数在开区间内极大值点有（）A.1个B.2个C. 3个D. 4个参考答案：B8. 复数满足则等于（）A. B. C. D.参考答案：B9. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为(A) 3 （B) 4 (C) 5 (D) 6参考答案：B10. 右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B．C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，，，则的最小值为__________.参考答案：等号成立的条件是.，等号成立的条件是.故所求最小值为8.12. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
山东省潍坊市高三数学下学期第五次单元过关测试试题文
山东省潍坊市2017届高三数学下学期第五次单元过关测试试题 文第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}01|{2=-=x x A ，}5,2,1{-=B ，则=⋂B A （ ） A ．}2,1{- B ．{-1} C ．{-1，5} D ．Φ2.已知i zi +=-1)1(2（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知q p ,为命题，则“q p ∨为假”是“q p ∧为假”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知两个非零向量与，)6,3(-=+b a ，)2,3(-=-b a ，则=-22（ ） A ． -3 B ．-24 C.12 D ．215.在正项等比数列}{n a 中，已知6453=⋅a a ，则71a a +的最小值为（ ） A ．64 B ．32 C.16 D ．86.判断大小：)10lg(lg ,)21(,61log 102.05===c b a ，则（ ） bc a D b a c C cb a B ac b A <<<<<<<<....7.如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A 的面积.若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数.经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．8 8.已知)62sin(2)(π+=x x f ，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴的方程为（ ）A.3π=x B ．4π=x C. 6π=x D ．12π=x9.函数a x x f =)(满足4)2(=f ，那么函数|)1(log |)(+=x x g a 的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∈+=,1,273211,0)1(log )(22x x x x x x f ，，则关于x 的方程)10(0)(<<=+a a x f 的所有根之和为（ ）A ．1﹣（）aB ．（）a ﹣1 C ．1﹣2a D ．2a ﹣1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数322--=x x y 与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 .12．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ，则yx z -=2)21(的最小值为 ．13.在如图所示的程序框图中，若输入的5,7==m n 则输出的s 的值是 ．14.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥的体积是 ．15.已知点)0,22(-Q 及抛物线y x 42-=上一动点),(y x P ，则||||PQ y +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知)cos ,(cos B A =，)2,(b c a -=，且//. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC b ∆=,3的面积33=∆ABC S ，求a 的值.17. 全世界越来越关注环境保护问题，某省一监测站点于2016年8月某日起连续x 天监测空气质量指数()AQI ，数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出y x ,的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）在空气质量指数分别为[)50,100和[)150,200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.18.．如图，四边形ABCD 为菱形，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，EF=BD ． （Ⅰ）求证：DF ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面AFC ．19.已知n S 为等差数列{}n a 的前项和，52a =，()1152n n n a a a a n -++=≥且3a 是1a 与85-的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1a 为整数，()()2231n n nb S n n =++，求数列{}n b 的前项和n T .20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F，且经过点(P ，离心率为23，A 为直线4x =上的动点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点B 在椭圆C 上，满足AB OA ⊥，求线段AB 长度的最小值. 21.已知函数()1ln f x k x x=+，0>k . （Ⅰ）当2k =时，求函数()f x 切线斜率中的最大值； （Ⅱ）若关于x 的方程()f x k =有解，求实数k 的取值范围.潍坊实验中学高三年级下学期第五次单元过关检测数学（文科）试题参考答案一：1-5BCADC 6-10DBACC 二：2.1563.14840.1341.125)1()1.(1122=++-y x16.解：（Ⅰ）b a // 0cos cos )2(=--∴B a A b c 由正弦定理得0cos sin cos )sin sin 2(=--B A A B C 即0cos sin sin cos sin cos 2=--B A B A C A2cos sin cos sin sin cos A C A B A B \=+?()2cos sin sin A C A B \=+即2cos sin sin A C C =1cos 20sin =∴≠A A ，即1cos 2A =又0A π<<3π=∴A （Ⅱ）3323321sin 2131,3=⋅⋅====∆c A bc S A b ABC ，）知由（π4c \=，由余弦定理有2143243cos 222222⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，13=∴a17.解：（Ⅰ）100,2050004.0==⋅x x ， 25,1005104020==++++y y ，400.00810050=´，250.00510050=´，100.00210050=´,50.00110050=´（Ⅱ）在空气质量指数为51-100和151-200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共10种，其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==. 18.证明：（I ）设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，因为，所以EF=OD ．因为EF ∥BD ，所以EF ∥OD ．故四边形DOEF 为平行四边形，所以DF ∥OE ， 又OE ⊂平面AEC ，DF ⊄平面AEC ，所以DF ∥平面AEC ． （Ⅱ）连结OF，因为，所以EF=OB ，因为EF ∥BD ，所以EF ∥OB ，故四边形BOFE 为平行四边形．所以EB ∥FO ， 因为EB ⊥平面ABCD ，所以FO ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以FO ⊥OB ． 因为四边形ABCD 为菱形，所以OB ⊥AC ，又AC ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，AC∩OF=O，所以OB ⊥平面AFC ． 又EF ∥OB 所以EF ⊥平面AFC ．因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．19.当35d =时，()3325155n a n n =+-=-. 当3d =时，()235313n a n n =+-=-. （2）若1a 为整数，则313n a n =-，()2323,22332n n n n S S n n -=+=∴∴， ()()()111122313131n n n b S n n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++++⎝⎭∴，111111111131223131n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴ (33)n n +. 20.（Ⅰ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222325c b a a c e b 解得⎩⎨⎧==23c a所以椭圆C 的方程为22195x y +=. （Ⅱ）点B 在椭圆C 上，设(),B m n，)(n ??，()4,A y .因为OB OA ⊥，所以0=⋅，即40m ny +=.因为点B 在椭圆C 上，所以22195m n +=， 所以()()2224AB m n y =-+-2228162m m n ny y =-++-+2228168m m n m y =-++++，2214441955n n =--设2t n =，(]5,0∈t ()14441955t g t t =--.因为()'2144405g t t -=-<，所以()g t 在(]0,5上单调递减.所以当5t =，即n =?min AB =21.解：（Ⅰ）函数()1ln f x k x x =+的定义域为()+∞,0.()()'210kf x x x x =-+> 当2k =时，22'121)(xx x x x f -=+-=，所以函数()f x 切线斜率的最大值为1.（Ⅱ）因为关于x 的方程()f x k =有解， 令()()1ln g x f x k k x k x=-=+-，则问题等价于函数()g x 存在零点，所以()'2211k kx g x x x x-=-+=.当0k <时，()∞+<，对00)('x g 成立， 函数()g x 在()+∞,0上单调递减.而()110g k =->，01111)11(1)(111111<-<-=--+=---ee k k k eeg kk k1111110k e e -=-<-<， 所以函数()g x 存在零点.当0k >时，令()'0g x =，得1x k=. ()g x ‘，()g x 随x 的变化情况如下表：所以)1(k g 11ln ln g k k k k k k k 骣÷ç=-+=-÷ç÷ç桫为函数()g x 的最小值， 当)1(k g 10g k 骣÷ç>÷ç÷ç桫时，即01k <<时，函数()g x 没有零点， 当)1(k g 10g k骣÷ç£÷ç÷ç桫时，即1k ³时，注意到()10g e k k e =+->， 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1 k 时，关于x 的方程()f x k =有解.潍坊实验中学高三年级下学期第五次单元过关检测满分答卷指导你如何总结题型，如何归纳做题方法，具体题目的更改及错题纠错在答题纸上完成 一、整体分析实得分数 应得分数本次考试做的较好的方面： 做的不足的方面： 二、满分试题对数学课堂、数学老师的建议，以及自己下一步的具体可操作的措施：。
2021-2022年高三数学下学期第五次单元过关测试试题理
2021-2022年高三数学下学期第五次单元过关测试试题理一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则集合A．B．C．D．2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，“，，为等比数列”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.以下四个结论，正确的是①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；③在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2个单位；④对于两个分类变量X与Y，求出其统计量的观测值k，观测值k越大，我们认为“X 与Y有关系”的把握程度就越大.A.①④B.②③C.①③D.②④5.设实数满足：3432y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩，则的最大值为A. B. C.4 D.26.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有A.140种B.80种C.70种D.35种7.在中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足，若(),AN AB AC R λμλμ=+∈，则的值为A. B. C. D.18.已知定义在R 上的函数为偶函数，记()()22,log 5a f b f =-=，的大小关系为A. B. C. D.9.已知定义在R 上的函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则使是减函数的区间为A. B. C. D.10.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数()()1g x f x ax ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知（，2,3，…，），观察下列不等式：；；1234412344a a a a a a a a +++≥； ……照此规律，当（）时， ． 12.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．(参考数据：，sinl5°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)13.不等式的解集为 ．第12题图14．一个三棱锥的三视图如右图所示，则其外接球的体积是 ．15.已知椭圆C 1：与双曲线C 2：有公共的焦点，双曲线C 2的一条渐近线与以椭圆C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆C 1交于M 、N 两点，若，则椭圆C 1的标准方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(I)求角B 的大小，(Ⅱ)设))22cos(,2(),1,cos (sin A A A -=+=π，求的取值范围．17．(本小题满分12分)某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A 、B 两条道路．已知开车走道路A 遭遇堵车的概率为；开车走道路B 遭遇堵车的概率为p ．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A ，李教授走道路B ，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为．求(I)走道路B 遭遇堵车的概率p ；(Ⅱ)三人中遭遇堵车的人数X 的概率分布列和数学期望．18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ，AC 、BD 交于点O ．(I)求证：FC//平面EAD ；(II)求证：AC ⊥平面BDEF ．(III)求二面角F —AB —C(锐角)的余弦值．19．(本小题满分12分)知数列的前n 项和为，且满足，数列为等差数列，且满足．(I)求数列，的通项公式；(II)令，关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ，求所有的和S ．20．(本小题茹分郴分)设()()()1,ln 2.71828x a f x e x g x a x e x -⎛⎫=-==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．(I)当时，讨论函数的单调性；(II)求证：当时，不等式对任意都成立．21．(本小题满分14分)如图，已知线段AE，BF为抛物线的两条弦，点E、F不重合．函数的图象所恒过的定点为抛物线C的焦点．(I)求抛物线C的方程；(Ⅱ)已知，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧．①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求的取值范围．数学理答案@35410。
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山东省潍坊市2017届高三数学下学期第五次单元过关测试试题 理 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()=M N C U I
A ．{}2
B ．{}1,3
C ．{}2,5
D ．{}4,5
2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.设a R ∈，“1，a ，16为等比数列”是“4a =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.以下四个结论，正确的是
①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；
③在回归直线方程ˆ0.212y
x =+中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2个单位； ④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2
K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大.
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④ 5.设实数,x y 满足：3432y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩
，则的最大值为
A.2-
B.8-
C.4
D.2
6.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有
A.140种
B.80种
C.70种
D.35种
7.在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =u u u r u u u u r ，若(),AN AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的值为
A.14
B. 13
C. 12
D.1
8.已知定义在R 上的函数()()21x m f x m R -=-∈为偶函数，记()()22,log 5a f b f =-=，()2,,c f m a b c =，则的大小关系为
A.a b c <<
B. c a b <<
C. a c b <<
D. c b a <<
9.已知定义在R 上的函数()()sin 0f x x ωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数
() =
y g x
的图象，则使()y g x =是减函数的区间为 A.,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭
10.定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈1,1πx 时，x x f ln )(=，若函数()()1g x f x ax ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
在，上有零点，则实数a 的取值范围是 A.ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.[]ln ,0ππ- C.1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知0i a >（1i =，2,3，…，n ），观察下列不等式：
12122
a a a a +≥； 12331233
a a a a a a ++≥； 1234412344
a a a a a a a a +++≥； ……
照此规律，当*n N ∈（2n ≥）时，12n a a a n +++≥… ． 12.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．
(参考数据：3 1.732=，sin l5°≈0.2588，sin 7.5°≈0.1305)
13.不等式⎰>++-2
0212xdx x x 的解集为 ．
14．一个三棱锥的三视图如右图所示，则其外接球的体积是 ．
15.已知椭圆C 1：()22
2210x y a b a b
+=>>与双曲线C 2：221x y -=有公共的焦点，双曲线C 2的一条渐近线与以椭圆C 1的长轴为直径的圆相交于A 、
第12题图
B 两点，与椭圆
C 1交于M 、N 两点，若2AB MN =，则椭圆C 1的标准方程是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
在△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
C B A a c b c sin sin sin 2+=-- (I)求角B 的大小，
(Ⅱ)设))22
cos(,2(),1,cos (sin A n A A m -=+=π
，求n m ⋅的取值范围．
17．(本小题满分12分)
某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A 、B 两条道路．已知开车走道路A 遭遇堵车的概率为15
；开车走道路B 遭遇堵车的概率为p ．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A ，李教授走道路B ，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为
25． 求(I)走道路B 遭遇堵车的概率p ；
(Ⅱ)三人中遭遇堵车的人数X 的概率分布列和数学期望．
18.(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ，
AC 、
BD 交于点O ．
(I)求证：FC//平面EAD ；
(II)求证：AC ⊥平面BDEF ．
(III)求二面角F —AB —C(锐角)的余弦值．
19．(本小题满分12分)
知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
22n n S a n N *=-∈，数列{}n b 为等差数列，且满足2183,b a b a ==．
(I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(II)令()111n n n c a +=--，关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k a b k M +∈的和S ．
20．(本小题茹分郴分)
设()()()1,ln 2.71828x a f x e x g x a x e x -⎛
⎫=-==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．
(I)当1a >时，讨论函数()()()x f x F x g x e
=-的单调性； (II)求证：当0a =时，不等式()2f x e >对任意()0,x ∈+∞都成立．
21．(本小题满分14分)
如图，已知线段AE ，BF 为抛物线()2
:20C x py p =>的两条弦，点E 、F 不重合．函数()01x y a
a a =>≠且的图象所恒过的定点
为抛物线C 的焦点．
(I)求抛物线C 的方程； (Ⅱ)已知()12,114A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
、，，直线AE 与BF 的斜率互为相反数，且A ，B 两点在直线EF 的两侧． ①问直线EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②求OE OF u u u r u u u r g
的取值范围．
数学理答案
)
,25(23,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-Y。