高二上学期期中考试数学试题 含答案
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
山东省德州市2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或433.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.204.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++D.113444a b c -+ 6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C.10D.227.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.102B.52- C.10 D.258.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为26，且与x 轴的一个交点是(2,0)，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM的最小值为（）A.1B.2C.2D.22二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3-B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是23m 的值可能是（）A.13B.13C.19D.1911.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．15.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.16.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3yx +的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b =.（1）求()()2a b a b +⋅-；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．22.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的弦,PA PB所在直线交x轴于点,C D，且PC PD.求证：直线AB的斜率为定值.2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=【答案】B 【解析】【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，1,2a c ==，又222c a b =+，解得b =.所以双曲线C的一条渐近线方程为by x a=-=0y +=.故选：B.2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或43【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可．【详解】由题意得2cos ,3a b a b a b ⋅=== ，解得0λ=或43λ=-，故选:C ．3.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.20【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得直线1l 过定点(1,0)A -，直线2l 恒过定点(1,3)B -，结合1()10m m ⨯+-⨯=，得到PA PB ⊥，利用勾股定理，即可求解.【详解】由直线1:10l x my -+=过定点(1,0)A -，直线2:30l mx y m +-+=可化为(1)30m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1,3x y ==-，即直线2l 恒过定点(1,3)B -，又由直线1:10l x my -+=和2:30l mx y m +-+=，满足1()10m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥，所以PA PB ⊥，所以22222(11)(03)13PA PB AB +==--++=.故选：C.4.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个【答案】D 【解析】【分析】求直线过的定点，再判断直线与圆位置关系，【详解】():120l kx y k k ---=∈R 为(2)10k x y ---=，故l 过定点(2,1)-，在圆225x y +=上，故直线l 与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，故选：D5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++ D.113444a b c -+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，如图所示，连接OQ ，根据空间向量的线性运算法则，可得：11111111()[()]22222222OG OP PG OA PQ a OQ OP a OB OC OA =+=+=+-=+⋅+-1111[()]2222111444a b c a a b c =+⋅+++-= .故选：A.6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C. D.【答案】C 【解析】【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED ==，所以AB ED ==故选：C7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.2B.2-C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用点关于直线的找到最短距离，根据两点之间的距离公式即可求得.【详解】由已知得()3,1A 关于直线5x y +=的对称点为(),A a b '，AA '中点坐标为31,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，且直线AA '斜率为1所以31=522113a b b a ++⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得4a =，2b =即()4,2A '圆心()0,0O，可知OA '=2OA r '-故选：B8.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为，且与x轴的一个交点是(，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由题意可求得椭圆方程为22162y x +=，由0PA PB += ，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得2a b ==，则a b ==，2c ==，所以椭圆方程为22162y x +=，因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，所以13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB +=，所以点P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12121,3x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以21212121()()3()()0y y y y x x x x +-++-=，所以21213()3()0y y x x -+-=，即2121()()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，所以直线AB 为3122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==，故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3- B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内【答案】ABC【解析】【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.【详解】圆22:(4)(3)25M x y -++=的圆心为()4,3-，半径为5，AC 正确；由22(14)(03)2518+=-+<，得点()1,0在圆内，B 正确；由22(34)(13)2565-+=-+>，得点()3,1-在圆外，D 错误.故选：ABC 10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是m 的值可能是（）A. B.13C. D.19【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.【详解】由题知，==解得13m =或19m =.故选：BD11.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称【答案】ABD【解析】【分析】求解直线系结果的定点判断A ；圆的圆心求解D 、E 判断B ；求解直线被圆截的弦长判断C ，利用圆的圆心到直线的距离判断D ．【详解】直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，所以A 正确；圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为(2,1)，4D =-，2E =-，所以B 正确；圆22:4210M x y x y +--+=的圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2．直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，直线l 被圆M 截得的最短弦长为=≠，所以C 不正确；当1k =时，直线方程为：10x y --=，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确．故选：ABD ．12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B ，用空间向量求平面EFG 的法向量，再CF在法向量上的投影即可判断；对于C ，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D ，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，则1(2,2,2)A C =-- ，(1,1,0)EF = ，(0,2,2)EG = ，10A C EF ⋅= ，10A C EG ⋅= ，则1A C ⊥平面EFG ，故A 正确；向量1AC 为平面EFG 的法向量，且1(2,2,2)A C =-- ，(2,1,0)CF =- ，所以C 到平面EFG的距离为11|(2,1,0)(2,2,2)||(2,2,2)|CF A C A ⋅-⋅--==-- ，故B 正确；作11C D 中点N ，1BB 的中点M ，1DD 的中点T ，连接GN ，GM ，FM ，TN ，ET ，则正六边形EFMGNT 为对应截面面积，则截面面积为：2364S =⨯⨯=C 错误；平面11BCC B 的一个法向量为(0,1,0)n = ，平面EGF 的一个法向量为1(2,2,2)A C =--，设两个平面夹角为θ，11cos 3||n A C n A C θ⋅=== ，故D 正确．故选：ABD ．第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.【答案】290x y -+=【解析】【分析】通过解方程组，利用互相垂直直线的方程的特征进行求解即可.【详解】两直线方程联立，得3012604x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以交点为()1,4-设与直线230x y +-=垂直的直线方程为20x y c -+=，把()1,4-代入20x y c -+=中，得12409c c --⨯+=⇒=，故答案为：290x y -+=14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+ 求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：515.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.【答案】43【解析】【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形的性质即可求解.【详解】解： 椭圆22:1204x y C +=得25a =，2b =，4c =，设1||PF m =，2||PF n =，则45m n +=，12PF PF ⊥ ，2264m n ∴+=，2222()()16mn m n m n ∴=+-+=，22()()4803248m n m n mn ∴-=+-=-=，||43m n ∴-=，即12||||||43PF PF -=.故答案为：4316.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3y x +的最大值为__________.【答案】247##337【解析】【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.【详解】曲线C 方程化为()()22139x y -+-=，是以()1,3为圆心，3为半径的圆，3y x +表示点(),P x y 与点()3,0-连线的斜率，不妨设3y k x =+即直线l ：30kx y k -+=，又P 在圆上运动，故直线与圆C3≤，化简得27240k k -≤解得2407k ≤≤，故3y x +的最大值为247.故答案为:247.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b = .（1）求()()2a b a b +⋅- ；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.【答案】（1）-10（2）7（3）32k =或23-【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由()()ka b a kb +⊥- ,转化为数量积为0即可.【小问1详解】()()2a b a b +⋅- ()()5,3,11,0,510=⋅--=-；【小问2详解】cos ,7||||a b a b a b ⋅<>==⋅ ；【小问3详解】当()()ka b a kb +⊥- 时，()()0ka b a kb +⋅-= ，得(32,21,2)(32,2,12)k k k k k k ++-+⋅----=0，(32)(32)(21)(2)(2)(12)0k k k k k k +-++-+-+⋅--=，32k =或23-.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.【答案】（1）320x y -+=；（2）320x y +-=或360x y +-=.【解析】【分析】（1）联立直线方程求得交点(1,1)P ，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；（2）设垂直直线为2:30l x y c ++=，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】联立231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，交点(1,1)P ，设与直线310--=x y 平行的直线方程为130x y c -+=把(1,1)P 代入可得1130c -+=，可得12c =，∴所求的直线方程为：320x y -+=.【小问2详解】设与直线310--=x y 垂直的直线方程为2:30l x y c ++=，∵(1,1)P 到l 5=，解得22c =-或6-，∴直线l 的方程为：320x y +-=或360x y +-=19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.【答案】（1）()()223310x y -+-=（2）1【解析】【分析】（1）求出AB 的中垂线方程联立60x y +-=，即可求得圆心坐标，继而求得半径，可求得圆的方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线和圆的方程，可得根与系数的关系式，结合向量的数量积的坐标表示，即可求得答案.【小问1详解】因为()2,0A ，()0,4B ，所以40202AB k -==--，线段AB 的中点坐标为()1,2，则AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=，故圆C 的圆心在直线230x y -+=上.联立方程组23060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，故圆C 圆心的坐标为()3,3，圆C 的半径r ==，则圆C 的标准方程为22(3)(3)10x y -+-=.【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组()()223310370x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，整理得22630x x -+=，120∆=>，则123x x +=，1232x x =.故()()()12121212121237371021491OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++= .20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p 值作答.（2）求出直线l 的方程，与C 的方程联立，再求出三角形面积作答.【小问1详解】抛物线C ：22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-，依题意，4(52p --=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，则直线l 的方程为1y x =-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2440y y --=，解得12y =-，22y =+，所以OMN 的面积1211||||122OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯=21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53434【分析】（1）通过面面垂直的性质，找到CE AD ⊥后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；（2）通过已知条件以}{,,CA CB CD 为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计算公式求解即可.【小问1详解】因为AB 是⊙O 的直径，所以ACBC ⊥，因为10AB =，6BC =，所以8AC ==，又因为8CD =，E 为AD 的中点，所以CE AD ⊥，因为平面BCE ⊥平面ACD ，平面BCE 平面ACD CE =，AD ⊂平面ACD ，所以AD ⊥平面BCE ，因为BC ⊂平面BCE ，所以AD BC ⊥，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AD AC A ⋂＝，所以BC ⊥平面ACD【小问2详解】因为8AC =，8CD =，AD =，所以222AC CD AD +=，所以CD CA ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，CA,CD ⊂平面ACD ，所以,BC CA BC CD ⊥⊥，以}{,,CA CB CD 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则()8,0,0A ，()0,6,0B ，()0,0,8D ，()4,0,4E ．显然，()11,0,0n =u r是平面BDC 的一个法向量，设()2,,n x y z =u u r是平面ABD 的一个法向量，则22860880n AB x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令3x =，则()23,4,3n = ，所以121212334cos ,34n n n n n n ⋅=== ，设二面角A BD C --所成角为α，[]0,πα∈，则12sin sin ,34n n α== ，所以二面角A BD C --的正弦值为5343422.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的弦,PA PB 所在直线交x 轴于点,C D ，且PC PD =.求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2211612x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将点(2,3)P ，代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆C 的方程；（2）联立直线,PA PB 的方程与椭圆方程,可得,A B 坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【小问1详解】由题意可知：焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将(2,3)P 代入椭圆方程：2249143c c+=，解得：24c =，216a ∴=，212b =，∴椭圆的标准方程为：2211612x y +=；【小问2详解】由题意可知：直线PA 有斜率，且0k ≠，设直线PA 方程为()32y k x -=-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴222311612y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()()222(34)823423480k x k k x k +-+--=-，()()()22228234(34)42348016210k k k k k ∆⎡⎤---+-->⇒+>⎡⎤⎣⎣=⎦⎦，故12k ≠-由韦达定理可知：()()211222412382324343k k k k x x k k ---+=⇒=++，由PC PD =得：0PC PD k k +=,故直线PB 方程为()32y k x -=--()22224+12343k k x k -=+，因此()212212244348,4343k k x x x x k k -+-==++所以()()()()222121212121212443443224148243AB k k k k x k x k x x y y k k x x x x x x k ⎛⎫- ⎪-- ⎪+-----+--⎝⎭=====---+因此12ABk ，为定值.。
吉林省白城市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题含答案
白城市2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC ，且AP =uu u v 则点P 的坐标为（）A.()4,2,2-B.()2,2,4-C.()4,2,2-或()2,2,4- D.()4,2,2--或()2,2,4-【答案】C 【解析】【分析】设P 点坐标，由//AP BC可解出P 坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设(),,P x y z ，则()1,,3AP x y z =--uu u r ，()3,2,1BC =--uu u r，因为//AP BC ，所以()3,2,AP BC λλλλ==--uu u r uu u r ，1323x y z λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，3123x y z λλλ=+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，所以()31,2,3P λλλ+--+，又AP =uu u v=解得1λ=或1λ=-，所以()4,2,2P -或()2,2,4-，故选:C2.已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=和圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.4-B.1-C.6-D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出||||PM PN +的最小值.【详解】圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()2,3A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，∴若M '与M 关于x 轴对称，则PM PM '=，即||||||||PM PN PM PN '+=+，由图易知，当,,P N M '三点共线时||||PM PN '+取得最小值，∴||||PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，∴()()222||3132344524AC --=-+---=-.故选：A.3.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26， B.[]48， C.22 D.2232⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 2= 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离120222d ++=故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4.在四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心．若AG 与平面BCE 交于点F ，则AF AG=（）A.12B.23C.34D.45【答案】C 【解析】【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.【详解】如图：连接DG 交BC 于H ，则H 为BC 中点，连接,,AH EH AG ,因为AG ⊂平面AHD ，EH ⊂平面AHD ，设AG EH K = ，则,K EH K AG ∈∈，又EH ⊂平面BCE ，所以K ∈平面BCE ，故K 为AG 与平面BCE 的交点，又因为AG 与平面BCE 交于点F ，所以F 与K 重合，又E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心，因为点A ，F ，G 三点共线，则()23AF mAG m AD DG m AD DH ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()21323DB DC m AD m AD AB AD AC AD ⎛⎫+⎡⎤=+⨯=+⨯-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()13m AD AB AC =++又因为点E ，F ，H 三点共线，则(),1AF xAH y AE x y =++=，()22x y AF x AH y AE AB AC AD =+=++ ,所以32132m xx y m y⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得34m =，即34AF AG = ，故34AF AG =.故选：C.5.O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++，若A ，B ，C ，P 四点共面，则t =（）A.1B.98C.18D.14【答案】C 【解析】【分析】将1148AP OA OB tOC =-++化简为：3148OP OA OB OC t =++ ，利用四点共面定理可得31148t ++=，即可求解.【详解】因为AP OP OA =- ，所以1148AP OA OB tOC =-++，可化简为：1148OP OA OA OB tOC -++-=，即3148OP OA OB OC t =++ ，由于A ，B ，C ，P 四点共面，则31148t ++=，解得：18t =；故选：C6.已知直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，垂足为()1,c 则a b c ++=（）A.24B.20C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线垂直可求出a 的值，将公共点的坐标代入直线1l 的方程，可得出c 的值，再将公共点的坐标代入直线2l 的方程，可得出b 的值，由此可得出a b c ++的值.【详解】因为直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，则2200a -=，可得10a =，由题意可知，点()1,c 为两直线的公共点，则10420c +-=，解得2c =-，再将点()1,2-的坐标代入直线2l 的方程可得()2520b -⨯-+=，解得12b =-，因此，101224a b c ++=--=-.故选：D.7.已知圆221:(1)(2)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)4C x y -++=，,M N 分别是圆12,C C 上两个动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由2211||||(||)(||)PN PM PC r PC r -≤+--，求出点2C 关于x 轴的对称点3C ，结合2113||||||PC PC C C -≤即可求得结果.【详解】由题意知，圆1C 的圆心为1(1,2)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(3,4)C -，半径22r =，作2(3,4)C -关于x 轴的对称点3(3,4)C ，如图所示，22112121||||(||)(||)||||PN PM PC r PC r PC PC r r -≤+--=-++31211321||||||PC PC r r C C r r =-++≤++213=+=+13,,P C C 共线时等号成立，所以||||PN PM -的最大值为3+.故选：A.8.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（）①AOB V 面积的最小值为4；②以AF 为直径的圆与x 轴相切；③记OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k +=；④过焦点F 作y 轴的垂线与直线OA ，OB 分别交于点M ，N ，则以MN 为直径的圆恒过定点.A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项：AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误，计算1||||2EG AF =②正确，证明1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确，根据等式令0x =，得1y =-或3，所以④正确，得到答案.【详解】当AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误.设AF 的中点为E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，作AD ⊥准线交准线于点D ，交x 轴于点C ，则||||2E OFG AC +=，又1OF CD ==，所以||||11||||||222CD AC EG AD AF +===，所以②正确.直线AB 的方程为31y k x =+，联立24x y =，得23440x k x --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1234x x k +=，124x x =-，所以1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确.直线111:4y x OA y x x x ==，所以14,1M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得24,1N x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以以MN 为直径的圆的方程为()()2217122121222(1)x x x x x y x x x x +-⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎣⎦，即()222332(1)44x k y k ++-=+.令0x =，得1y =-或3，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的面积，斜率，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（2023·四川省成都市树德中学期中）9.点()00,P x y 是圆22:86210C x y x y +--+=上的动点，则下面正确的有（）A.圆的半径为3B.03y x -既没有最大值，也没有最小值C.002x y +的范围是11⎡-+⎣D.2200023x y x +++的最大值为72【答案】BC 【解析】【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A 错误.设03y k x =-，则转化为直线与圆有交点，可算得003y k x =-既没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.对于选项C 和D ，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.【详解】圆22:86210C x y x y +--+=转化为()()22434x y -+-=，则圆的圆心为()4,3，半径为2，选项A 错误.设003y k x =-，则直线()003y k x =-与圆有交点，即2≤，整理得23650k k +-≥，解得33k --≤或33k -+≥.既03y x -没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.设042sin x θ=+，032cos yθ=+，则()002114sin 2cos 11x y θθθϕ+=++=++，其中1tan 2ϕ=.则002x y +的取值范围为11⎡-+⎣，选项C 正确.又22000086210x y x y +--+=，则2200008621x y x y +=+-，因此()2200000231061820sin 12cos 4040x y x x y θθθα+++=+-=++=++其中3tan 5α=.则2200023x y x +++的最大值为40，选项D 错误.故选：BC.10.在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1CC 上异于端点的动点，（）A.三角形1D BP 面积的最小值为4B.直线1D B 与DP 所成角的余弦值的取值范围为0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.二面角1A BD P --的正弦值的取值范围为6,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.过点P 做平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB 【解析】【分析】根据三角形的面积公式，转化为求P 到直线1BD 距离最小值，进而转化为异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，从而得到三角形1D BP 面积的最小值，判定A ；1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，设直线1D B 与DP 所成角为γ，则根据射影三余弦定理cos cos cos γαβ=，计算求得其取值范围，进而判定B ；二面角的平面角的范围，可以排除C ；考虑到各种情况，取面积最大的的一个截面，可以排除D.【详解】对于A ，要使三角形1D BP 面积的最小，即要使得P 到直线1BD 距离最小，这最小距离就是异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，为2.由于1BD =，所以三角形1D BP 面积的最小值为1224=，故A 正确；对于B ，先证明一个引理：直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线,a b 的角为α，直线,b c 的角为β，直线,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.证明：如上图，在平面M 内任意取一点O 为原点，取两条射线分别为,x y 轴，得到坐标平面xOy ，然后从O 作与平面M 垂直的射线作为z 轴，建立空间直角坐标系，设直线a 的方向向量为()111,,x y z ,则()11,,0x y 为射影直线b 的方向向量,设直线c 的方向向量坐标为()22,,0x y ，则cos α=，cos β=，cos γ=，所以cos cos αβ=，cos γ=，引理得证.如上图所示，根据正方体的性质可知1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，cosα=设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，,42ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭,2cos 0,2β⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.设直线1D B与DP所成角为γ，根据上面的引理可得：cos cos cos0,3γαββ⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭，故B正确；对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接1A M，PM，由正方体性质易知1,BD AC BD AA⊥⊥，11,,AC AA A AC AA⋂=⊂平面11ACC A，所以BD⊥平面11ACC A，故1,BD A M BD MP⊥⊥,1A MP∠为二面角1A BD P--的平面角，当P与1C重合时，111π2A MC A MA∠=-∠，11tan122AAA MAAM∠===>，所以1ππ43A MA<∠<，∴11π2A MC∠<，P在1C C上从下往上移动时，1A MP∠逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误；对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线1BD垂直的截面中，当P为1CC中点时取得最大值，是一个边长为2的正六边形，如下图所示，面积为1223336sin6022242⨯⨯⨯⨯︒=>，不在区间0,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭内，故D不正确.故选：AB【点睛】直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，,a b 的角为α，,b c 的角为β，,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.这是常见的很好用的一个公式.11.已知直线1:880l ax y +-=与直线20:2l x ay a +-=，下列说法正确的是（）A.当8a =时，直线1l 的倾斜角为45︒B.直线2l 恒过()0,1点C.若4a =，则1//l 2l D.若0a =，则12l l ⊥【答案】BD 【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A ，利用直线过定点的求解判断B ，利用直线平行与垂直的性质判断CD ，从而得解.【详解】A 中，当8a =时，直线1l 的斜率11k =-，设其倾斜角为,[0,π)αα∈，所以1tan 1k α==-，则135α=︒，所以A 不正确；B 中，直线20:2l x ay a +-=，整理可得2(1)0x a y +-=，令2010x y =⎧⎨-=⎩，可得0,1x y ==，即直线2l 恒过定点(0,1)，所以B 正确；C 中，当4a =时，两条直线方程分别为：220,220x y x y +-=+-=，则两条直线重合，所以C 不正确；D 中，当0a =时，两条直线方程分别为：1,0y x ==，显然两条直线垂直，所以D 正确.故选：BD.12.正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，动点P 、Q 分别满足1AP mAC nAD =+ ，其中()0,1m ∈，Rn ∈且0n ≠，14QB QC +=；R 在11B C 上，点T 在平面11ABB A 内，则（）A.对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B DB.当1m n +=时，三棱锥1B A PD -的体积不为定值C.若直线RT 到平面1ACD的距离为1DD 与直线RT所成角正弦值最小为3．D.1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-【答案】ACD 【解析】【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项.【详解】对于A ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,4,0C ，()10,4,4D ，()10,0,4A ，()14,0,4B ，()4,0,0B 设平面11A B D 的法向量为()111,,m x y z =，()114,0,0A B =，()10,4,4A D =- 则11111140440m A B x m A D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，则10x =，11z =，则()0,1,1m =，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = ，()()()14,4,00,4,44,44,4AP mAC nAD m n m m n n =+=+=+，设平面ACP 的法向量为()222,,x n y z =，则()2222244044440n AC x y n AP mx m n y nz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+++=⎪⎩ ，令21x =，则21y =-，21z =，则()1,1,1n =-，又()11110m n ⋅=-⨯+⨯=，所以m n ⊥，所以对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B D ，故A 正确；对于B ，当1m n +=时，()4,4,4P m n 设平面1A BD 的法向量为()333,,u x y z =()14,0,4BA =- ，()4,4,0BD =-，则133334+404+40u BA x z u BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令31x =，则31y =，31z =，所以()1,1,1u =，又()4,4,4BP n n =-，点P 到平面1A BD的距离为3BP u d u⋅=== 又11B A PD P A BD V V --=，又因为1A BD 的面积为定值，所以三棱锥1B A PD -的体积为定值，故B 错误；对于C ，设()4,,4R b ，(),0,T a c ,则()4,,4RT a b c =---因为直线RT 到平面1ACD的距离为RT //平面1ACD ，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = 设面1ACD 为()444,,k x y z =，则44144440440k AC x y k AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令41y =-，则441,1x z ==，所以()1,1,1k =-所以440RT k a b c ⋅=-++-=，即8a b c ++=，又()4,,4AR b =，则AR k k⋅==2b =或14b =，若2b =，所以6a c +=，()4,2,4R ，又()10,0,4DD =，设直线1DD 与直线RT 所成角为θ，所以11cos RT DD RT DD θ⋅====当cos θ最大时，sin θ最小，令()22421224c g c c c -=-+，()()()224421224c c g c c c -'=-+，()g c 在[]0,4单调递增，所以()()max 142g c g ==，()()min 106g c g ==-，cos θ63=，所以sin θ最小为3，所以直线1DD 与直线RT 所成角正弦值最小为3；若14b =，所以6a c +=-，()4,14,4R ，根据对称性可得sin θ最小为33，故C 正确；对于D ，设(),,Q x y z 因为14QB QC += ，所以()4,,QB x y z =--- ，()4,4,4QC x y z =--- ，()182,42,42QB QC x y z +=---，所以14QB QC +=，整理得222844200x y z x y z ++---+=，即()()()2224224x y z -+-+-=所以点p 的运动轨迹为一个以()4,2,2为球心，半径为2的球面上一点，所以26x ≤≤，()()1,,4,,4,A Q x y z QD x y z =-=---所以222144208AQ QD x y z y z x ⋅=---++=- ，当6x =时，1AQ QD ⋅ 最小为28-，当2x =时，1AQ QD ⋅最大为4所以1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.直线()()()112360x y R λλλλ+--+-=∈被圆2225x y +=截得的弦长的最小值是______．【答案】8.【解析】【分析】首先化简直线求出直线恒过定点(0,3)P ，并判断点在圆内，由圆的性质知：当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.用弦长公式计算弦长即可.【详解】直线的方程可化简为：2360x x y y λλλ+-++-=，整理得：(26)(3)0x y x y λ+-+-+=.令26030x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点(0,3)P .又因为220325+<，所以点(0,3)P 在2225x y +=内.所以当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.3d ==，故最短弦长为.故答案为：8.【点睛】本题主要考查了含参直线恒过定点问题以及过圆内一点求最短弦长问题，考查了学生的图形转化计算的能力，属于中档题.14.若点()sin ,cos P θθ-与ππcos ,sin 44Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，写出一个符合题意的θ值为______．【答案】3π8（答案不唯一）【解析】【分析】由,P Q 中点在直线y x =上且所成直线斜率为1-，并应用和角正余弦公式展开化简得πsin sin()4θθ=+且πcos cos 4θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而求θ值.【详解】由题设，,P Q 中点ππsin cos()cos sin()44(,)22θθθθ++-++在直线y x =上，且1PQ k =-，所以ππsin cos()cos sin()4422θθθθ++-++=，且πsin()cos 41πcos()sin 4θθθθ++=-+-，即ππsin cos()cos sin()44θθθθ++=-++，且ππsin()cos sin cos(44θθθθ++=-+，所以sin cos sin cos cos sin 2222θθθθθθ+-=-++，且sin cos cos sin cos sin 2222θθθθθθ++=-+，πsin cos )4θθθθ=+=+πsin cos )4θθθθ=-=+，所以πsin sin(4θθ=+，且πcos cos(4θθ=-+，综上，π2(21)π,Z 4k k θ+=+∈，可得1π()π,Z 28k k θ=+-∈，显然3π8满足.故答案为：3π8（答案不唯一）15.如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅（的最小值为___________.【答案】3-【解析】【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到1)344AP BA QC ππαθ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （，最后根据正弦函数的性质即可得到答案.【详解】以O 为原点,以AB 为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系O xyz -,则圆O 的半径为32,(3,2)AP = ,(3,0)BA =-,1(2,2)3AP BA ∴+= ,设3333cos ,sin ,cos ,sin 2222C Q ααθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[)[]0,2π,π,0a θ∈∈-,则3333cos cos ,sin sin 2222QC αθαθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()()1ππ3cos cos 3sin sin 3344AP BA QC αθαθαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅=-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ [)[]0,2π,π,0a θ∈∈- ,ππ9ππ3ππ,,,442444αθ⎡⎫⎡⎤∴+∈+∈-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦,∴当π3πππ,4244αθ+=+=时,1)3AP BA QC +⋅ （取得最小值3-，故答案为：3-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值.16.已知A ，B是曲线||1x -=(0,1)C ，则CA CB +的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x 的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断CA CB +的最值，即可得其范围.【详解】由||1x -=22(||1)(1)4x y -+-=.由||10x -=，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，22(1)(1)4x y ++-=；当1x ≥时，22(1)(1)4x y -+-=.所以||1x -=22:(1)(1)4P x y ++-=的左半部分和圆22:(1)(1)4Q x y -+-=的右半部分.当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，||||CA CB +取得最大值，为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，||||CA CB +取得最小值，为.故||||CA CB +的取值范围是.故答案为：.四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.已知直线l ：12y x =和两个定点(1,1),(2,2)A B ，问直线l 上是否存在一点P ，使得|22||||PA PB +取得最小值？若存在，求出点P 的坐标和22||||PA PB +的最小值；若不存在，说明理由.【答案】存在，95,910⎛⎫ ⎪⎝⎭，1910【解析】【分析】设()002,P x x ，根据坐标运算22||||PA PB +可转化为关于0x 的二次函数，利用二次函数的最值求解即可.【详解】假设直线l 上存在一点()002,P x x ，使得22||||PA PB +取得最小值，如图，则22||||PA PB +()()()()22222000000211222101810x x x x x x =-+-+-+-=-+，因为0R x ∈，所以当01892010x -=-=，即点P 的坐标为99,510⎛⎫⎪⎝⎭时，22||||PA PB +取得最小值，且最小值为1910.18.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）请问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.【答案】（1）{|1b b <，且0b ≠}（2）222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）；（3）过定点(0,1)和(2,1)-，证明见解析.【解析】【分析】（1）令0x =得抛物线与y 轴交点，此交点不能是原点；令()0f x =，则方程∆＞0，即可求b 的范围．（2）设出所求圆的一般方程，令0y =得到的方程与220x x b ++=是同一个方程；令0x =得到的方程有一个根为b ，由此求得参数及圆C 的一般方程．（3）把圆C 方程里面的b 合并到一起，令b 的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点．【小问1详解】令0x =得抛物线与y 轴交点是(0,)b ；令2()20=++=f x x x b ，由题意0b ≠，且440b ∆=->，解得1b <，且0b ≠．即实数b 的取值范围{|1b b <，且0b ≠}．【小问2详解】设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴的三个交点即为圆220x y Dx Ey F ++++=和坐标轴的交点，令0y =得，20x Dx F ++=，由题意可得，这与220x x b ++=是同一个方程，故2D =，F b =．令0x =得，20y Ey F ++=，由题意可得，此方程有一个根为b ，代入此方程得出1E b =--，∴圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）．【小问3详解】把圆C 的方程改写为222(1)0x y x y b y ++---=，令22201x y x y y ⎧++-=⎨=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，故圆C 过定点(0,1)和(2,1)-．19.如图，已知ABC V 的三个顶点分别为)(4,3A ，)(1,2B ，)(3,4C -．（1）试判断ABC V 的形状；（2）设点D 为BC 的中点，求BC 边上中线的长．【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.(2)求出点D 坐标，再用两点间距离公式计算作答.【小问1详解】根据两点间的距离公式，得AB ==，BC ==，CA ==((222+=，即222AB BC CA +=，所以ABC V 是直角三角形.【小问2详解】依题意，线段BC 的中点(2,1)D -，AD ==，所以BC 边上中线的长为.（2023·安徽省淮北市树人高级中学期中）20.如图，在三棱锥P ABC -中，1AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为棱AC 的中点（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，求二面角M PA C --的大小【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到BO 和PO 长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到PO OB ⊥和PO AC ⊥，从而得到⊥PO 平面ABC ，从而得到平面PAC ⊥平面ABC ；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，同时点M 在棱BC 上，所以设点M 的坐标，从而分别求出PC和平面PAM 的法向量，并得到点M 的坐标。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含简单答案)
上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______2. 用斜二测画法画出水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．3. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面，则此球的表面积为___________．4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.6. 如图所示，以长方体的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为____________．7. 如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以的l ()2,0-(l ABC V 1B O C O ''''==ABC V A O ''=αO 1O α2π111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -1DB ()3,4,21AC u u u r 1111ABCD A B C D -111A C B D ⊥1111D C B A是______________（只需写出一个正确的条件）8. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______9. 已知直线，斜率为的直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点，过作x轴的平行线，交于点，过作y 轴的平行线，交于点，再过作x 轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则__________．10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大的AB C ABC 1:l y x =()01q q <<2l ()00,B a 0B 1l 1A 1A 2l 1B 1B 1l 2A 01B A 11A B 12B A 22A B 1n n B A -n n A B n x n B lim n n x →+∞=0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S12. 如图，在长方体中，已知，．动点P 从出发，在棱上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为，则的取值范围是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 814. 如图：在平行六面体中，M 为，的交点．若，，，则向量（ ）A. B. C. D. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（）1111ABCD A B C D -2AB =11AD AA ==1A 11A B θtan θ1111ABCD A B C D -11A C 11B D 11A B a = 11A D b = 1A A c = BM = 1122-++ a b c 1122a b c -+- 1122a b c --+ 1122a b c -+A. 2B. 4C. 6D. 816. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A 点作于点E ，过E 点作于点F ，则面AEF三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17. 如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为，，．111ABC A B C -AC BC ⊥12AA AB ==11B A ACC -11AC CB 11B A ACC -231AE A B ⊥1EF A B ⊥1A B ⊥1O O 20π2OA =120AOP ∠=︒（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18. 已知数列各项均为正数，且，记其前n 项和为．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时，n 的最小值．19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）求多面体的体积；（3）若点是线段上的一点，且满足平面.求二面角的大小.20. 如图，在直角梯形中，，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设.(1)当为直角时，求异面直线PC 与BD所成角的大小；1A P ABP A 1A BP {}n a 11a =n S {}n a 651S ={}n a {}n a 6132a =50n n S a >ABCDEF ABCD 60BAD ∠=︒BDEF BDEF ⊥ABCD ACE ⊥BDEF ABCDEF M BF DM ⊥ACE A DM B --P BCD -//,,22PB DC DC BC PB BC CD ⊥===PAB θ∠=θ(2)当为多少时，三棱锥?(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC 边上任取一点E ，把纸片沿AE 折成直二面角,问E 点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.21. 已知是底面边长为1正四棱柱，为与的交点．（1）设与底面所成角大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；（2）若点C 到平面的距离为，求正四棱柱的表面积；（3）若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P ，满足P 到线段BC 的距离与到线段的距离相等，求的最小值．上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）【1题答案】【答案】##【2题答案】【答案】1的的θP ABD -PAD ∆ABCD B D '、1111ABCD A B C D -1O 11A C 11B D 1AB 1111D C B A α1AD 11A C β22cos 2cos αβ=11AB D 431111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -11BB C C 11C D 1PD PAπ630【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】3【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】（答案不唯一）【8题答案】【答案】．【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】A(3,4,2)-1111AC B D ⊥1a q-12-π31[2三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）；（2）6.【19题答案】【答案】（1）证明略（2.（3）.【20题答案】【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE 折起后间距离最短【21题答案】【答案】（1）证明略（2）10 （3.32n a n =-arctan AGO ∠=4π34π1BE =B D '、。
北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案
房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。
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广东省清远市清城区三中高二第一学期期中考试
数学（理）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1．双曲线x 2m －y 2
n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则
mn 的值为( )A.316 B.38C.163 D.8
3
2．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1) D ．不确定
3．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α
＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( ) A ．41 B ．15 C ．9 D ．1 4．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.23
5．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( )
A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1
B ．∀x ∈R,2x －3>1
C ．∀x ∈R,2x －3≤1
D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 6．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2 B ． e C.ln 2
2 D ．ln
2
7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－1
8C ．8 D ．－8
8．下列说法中正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
9.函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则函数y=ax 2+bx+的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3] D.⎣⎡⎭⎫9
8，＋∞ 10．下列结论中，正确的为( )
①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“”为假的必要不充分条件；
④“”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③C ．②④ D ．③④
11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)
12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )
A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)
B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)
C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)
D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定
二、填空题（20分，每题5分）
13.在ABC ∆中，若角C B A ,,成等差数列，且边5,2==c a ,则=∆ABC S
14.若数列{}n a 的前n 项和S n ＝2n
＋1，则此数列的通项公式为=n a .
15已知S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，16,2541==a a ，当=n 时，S n 取得最大值。
16.在数列{}n a 中，12a =，
11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
三、解答题（70分） 17（12
分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c
,且
6a c +=,2b =,7cos 9
B =
. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.
18（12分）在等差数列{}n a 中，15,4742=+=a a a (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n b n a n +=-22，求10321b b b b ++++ 的值．
19（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足向量
(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==- ∥.
（1）求角A 的大小；
（2）若a =，求ABC ∆面积的最大值.
20（12分）如图，在ABC ∆中，3
π
=
B ，2=B
C ，点
D 在边AB
上，DC AD =，AC DE ⊥，E 为垂足，
(1)若BCD ∆，求CD 的长；
(2)若2
6
=ED ，求角A 的大小．
21（12分）等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a ，数列{}n b ，11b =，
对任意n N +∈满足1
21n n b b +=+
（Ⅰ）数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）设1n
n n a c b =
+，求数列}{n c 的前n 项和n T 。
22、（10分）设命题p :2
2
430x ax a -+<，命题q :2260
280
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩，
（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围
数学（理）答案
一、ABBAC BBDDB BA
二、13.32 14. 15. 21
16.n ln 2+
三、
17、（1）3==c a （2）227
10
18、（1）2+=n a n ；（2）2101
19．（I ）∵(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==-
∥,()2cos cos c b A a B ∴-=
由正弦定理，得()2sin sin cos sin cos C B A A B -= 整理得()2sin cos sin sin C A A B C =+= 在ABC ∆中，sin 0C ≠，∴1cos 2A =
，∵()0,A π∈，故3
A π= （2）由余弦定理，2221
cos 22
b c a A bc +-==，
又a =2220220b c bc bc +-=≥-，得20bc ≤，当且仅当b c =时取到“=”.
∴1
sin 2
S bc A =⋅≤
20、（1）3
7
2=
CD （2）4π=A
21.（Ⅰ）由,15,252==S a 得n
a n =
1+121n n b b +=+（），1122n n b -+= ，所以21n
n b =-
(II)2n n n c =
, 1231232222n
n
n
T =++++ 2341112322222
n n n
T +=++++ ,两式相减得 n n n n
T 22121
-
-
=-
22、
(1) 当1a =时，p ：13x <<，q ：23x <≤ 若p q ∧为真，则13
23x x <<⎧⎨
<≤⎩
，所以23x <<
故实数x 的取值范围为23x <<.
（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q p ⇒故p q ⊄ 当时，0≤a 不合题意舍去.
当时，
0>a p ：3a x a <<，q ：23x <≤ 所以2
33
a a ≤⎧⎨
>⎩，12a <≤. 所以a 的取值范围为(]1,2.。