FINTS第七章模拟

ln ST ~ N (ln 30 (0.1 0.12 / 2) * 0.5,0.1* 0.5 )
欧拉近似
模拟连续时间随机过程，是在固定的时点 上模拟随机变量的取值，固定的时点用 t0<t1<…<tn。 随机过程满足随机微分方程： dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dWt
X t i 1 X t i
股票价格行为
价格对数的增量满足如下分布 2 ln S t ln S0 ~ N ( r t, r t ) 容易知道，
ln S t ~ N (ln S0 r t, r t )
2
股票价格行为
例3：股票初始值30，预期收益率10％， 波动率10％，六个月后股票价格的概率 分布
股票价格行为的一种模式1
W是正态分布 W的均值＝0 W的标准差＝ t1/2 W的方差＝ t 如果经过一段时间T，那么W(T)-W(0)的 分布如何？ 是正态分布，均值＝0，方差等于T，标准 差等于T1/2 。
股票价格行为模式1
例1:某变量z是标准维纳过程，如果初始值是20， 以年为单位，一年后和二年后该变量的分布？ 答：一年后，变量值服从均值是20，标准差是1 的正态分布；第二年末均值是20，标准差是 20.5,或1.414。

金融时间序列模型
股票价格满足的随机微分方程
股票价格行为的一种模式1
标准维纳过程（标准布朗运动）W(.)是连续时间 随机过程，那么W满足如下性质 1）对于小的时间间隔上变量W的变化满足 W= t1/2 ， 服从标准正态分布 2 ） 对 任 意 ， 0t1< t2<…<tk1, W(t2) – W(t1), W(t3) – W(t2),…W(tK) – W(tK-1)相 互 独 立 ， 并 且 服 从 正 态 分 布 。 W(s)W(t)~N(0, s-t)
模拟
伪随机数 任意给出一个初值x0，称之为种子，利用下式迭代计算xn xn =a xn-1 modulo m 其中a和m是给定的正数。 用xn-1除以m，余数数赋值给xn 所以每个xn的取值可能为0，1，2，3，…m-1。xn /m是 伪随机数，用 它来近似均匀分布(0，1)的一个取值。 一个一般的规则是对32-位的计算机，令m=231-1，a=75
2 i i
金融时间序列模型
提高模拟效率
模拟的统计性质
Hale Waihona Puke 模拟研究一般是从已知的随机过程得到 样本，然后计算该样本的均值得到感兴 趣的变量。 样本均值的统计性质
E ( x ) ,Var ( x )
n ( X )
2
n

~ N (0,1)
提高模拟效率
模拟一般要重复足够多的次数才能实现要求的 误差范围，所以在实际模拟中往往采用一些其 他手段提高模拟的效率，既减少模拟的次数n。 提高效率的方法： 控制变量法(control variate method) 对偶变量法(antithetic variates) 分层抽样(stratified sampling) 重点抽样(importance sampling)
t i 1 ti
a(t , X t )dt

t i 1
ti
b(t , X t ) Z i 1
欧拉近似
如果假设在ti到ti＋1之间，漂移系数和标准 差不变，用ti时刻的值代替，就得到欧拉 近似：
X ti1 X ti a(ti )(ti 1 ti ) b(ti ) ti 1 ti Zi 1
x的分布是正态分布，并且 x的均值＝at x的方差＝b2t x的标准差＝ b(t)0.5 任意时间T后，X值的变化具有正态分布，并且 X－X0的均值＝aT X－X0的方差= b2T X－X0的标准差= b(T)0.5
股票价格行为的一种模式
例2：如果某公司的现金头寸是一般的维纳过程 每年的漂移是10，标准差是30。最初现金头 寸是40。 一年末，现金头寸的分布是 均值40＋10×1＝50， 标准差是30。 第6个月末： 均值是40＋10×0.5＝45， 标准差30×0.5 0.5 =21.21

模拟
模拟连续随机变量的取值接受－拒绝法acceptancerejection 假设g是已知的一个密度分布函数，它的随机数可以方便 的获得。如果对某个常数c，密度分布函数f满足 f(x)<cg(x),对所有的x成立。模拟方法是： 1产生g的一个随机数x 2产生均匀分布的随机数u 3如果u≤f(x)/cg(x) X也是f的随机数 4回到第一步
模拟股票价格路径
模拟出的股票价格图形
22 21
20
19
18
17 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
模拟期权的价格
假设某个卖权在0时刻签署，购买者有权在T时 刻以[0，T]时刻之间的最高价卖出。0时刻该 期权的价格为：
H (0) e e e
rT rT ~ p ~ p
股票价格行为的一种模式2
如何理解一般化维纳过程？ 缺省bdw项 dx=adt a是单位时间漂移率期望值。上面的方程等价的 等于如下： x=x0+at 经过时间T后，位移改变aT。 x0是初始位置。 bdw可以看作增加在X轨迹上的波动。这些波 动或噪声的波动率的值是标准维纳过程的b倍。
股票价格行为的一种模式2
模拟股票价格路径
例4：假设估计出对数收益率均值是0.2，波动率是0.15， 假设模拟时间间隔t=1/260（年），初始价格20元， 用EVIEWS模拟未来一年的一个股票价格路径。程序如 下： series p=20 series lp=log(p) smpl 2 @last lp=lp(-1)+0.2*(1/260)+0.15*@sqrt(1/260)*nrnd smpl @all p=@exp(lp)
ITO过程
dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW ITO过程的期望漂移率和方差率都随时间 和前一个时刻的值X的变化而变化。
股票价格行为的一种模式3
股票价格行为过程 几何布朗运动是ITO过程的一种 ds=sdt+sdw 投资者对股票的期望收益率与股票价格无关。当 股价10元和股价50元时，期望收益率都是一 样的，这样期望的股价变化就应该是不同的。 所以假设股价的期望漂移率是s。 不管股票价格是50元还是10元，投资者认为收 益率的方差是相同的。 是价格比率变化的方 差率。 s是股票价格变化的方差率。

模拟
计算离散随机变量的可能取值 假设某个离散随机变量分布如下 P（X=x j）=p j，j=0，1，2，… x0 x1 ... xn 计算(0，1)均匀分布的一个取值，用U表示，那么随机变 量X的模拟数值为

x , if U p 0 0 x1 , if p 0 U p1 X j-1 j x j , if p j U p j i 1 i 1
假设股票价格S满足如下随机过程 dS= Sdt+ Sdw 根据ITO定理，推导dlnS F=lnS
F 1 2 F 1 F , 2 2, 0 S S S S t
d ln S (
2
2
)dt dW
股票价格行为特征
整理 d ln S r dt r dW
则
ln ST ln St rT t r (T t ) r T t
rt r t r t * , ~ N (0,1) rt ~ N ( r t , r t )
2
对数收益率的分布是正态分布，年度化的均值等 于r ＝ 0.5 2 ， 年度化的标准差等于r＝
提高模拟效率对偶变量法

假设某随机变量x，对其进行独立随机抽样， 容易知道对于样本均值的方差满足 var( x) var( x ) n
假设

x1 h(u1,u2 ,...,um ) x2 h(1 u1,1 u2 ,..., um ) 1

u1与u2负相关，在一定条件下x1也与x2负相关。
模拟
模拟连续随机变量的取值 Inverse Transform 算法： 定理:假设U服从(0,1)均匀分布。对任何累积分布 函数F,如下定义的连续随机变量X X=F-1(U) 的累积密度函数是F。 因此随机得到（0 1）均匀分布的一个随机数U， 然后计算X=F-1(U)，得到服从分布F 的随机变 量的随机数。
股票价格行为的模式1
用公式表示维纳过程 w=*(t)0.5，其中服从标准正态分布 在连续情况下用随机微分方程表示： dw= *(dt)0.5 标准维纳过程用dw表示
股票价格行为的一种模式2
一般化的维纳过程 dx=adt+bdw 短时间dt后，x值的变化dx，a,b是常数。 等价的，可以表示如下： x=a t+b *(t)0.5 是标准正态分布。
金融时间序列模型
模拟
金融时间序列模型
模拟随机变量的值
模拟

Monte carlo casino Monte carlo是靠近意大利的一个小镇， 以名为monte carlo的赌场闻名。该名称 的命名是一个出生在意大利的美国物理 学家命名的。因为他最早使用该方法进 行核反应堆的研究（1942年）
rT
E [ Max p(t ) p(T )]
0t T
~ p
E [ Max p(t )] e rT p(T )
0t T 0t T
E [ Max p(t )] p(0)
r是无风险收益率，T是到期时间。
模拟期权价格
在风险中性概率测度下，资产价格满足如下随 机过程 ~ dp(t ) rp(t )dt p(t )dw(t )
模拟
计算某随机变量的均值
f ( x) xdx