2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试(正月联考)数学(理)试题
2017-2018学年广东省揭阳市第一中学高一下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年广东省揭阳市第一中学高一下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}24xA x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B ⋂等于（ ）A. []1,2B. ()1,2C. [)1,2D. (]1,2 【答案】D【解析】 由集合{}24{|2}xA x x x =≤=≤， (){}{}lg 11B x y x x x ==-=，所以{|12}A B x x ⋂=<≤，故选D.2．直线0x y +=的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D【解析】由直线0x y +=，可得直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=-1，∴α=135°． 故选D3．sin 600 的值是（ ）A ．12B ．．12-【答案】C【解析】解：因为001sin 600sin 240sin302==-=- ，选C4．已知半径为1的扇形面积为316π，则扇形的圆心角为（ ） A. 316π B. 38π C. 34π D. 32π 【答案】B【解析】 设扇形的圆心角为α，所以扇形的面积为2211312216S R παα==⨯=， 解得38πα=，故选B. 5．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A. 224250x y x y ++--= B. 224250x y x y +-+-= C. 22420x y x y ++-= D. 22420x y x y +-+=【答案】C【解析】设直径的两个端点分别A （a ，0）、B （0，b ），圆心C 为点（-2，1），由中点坐标公式得002,122a b++=-=解得a=-4，b=2．∴半径=（x+2）2+（y-1）2=5，即x 2+y 2+4x-2y=0． 故选C ．6．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数 【答案】B【解析】 由sin 2cos22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期为2T w ππ==， 又()()()cos 2cos2f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，故选B. 7．下面结论正确的是（ ）A. sin400sin50︒>︒B. sin220sin310︒<︒C. cos130cos200︒>︒D. ()cos 40cos310-︒<︒ 【答案】C 【解析】由()()cos130cos 18050cos50,cos200cos 18020cos20︒=︒-︒=-︒︒=︒+︒=-︒，又当()0,90x ∈︒︒时，函数cos y x =是单调递减函数，所以cos50cos20︒<︒，所以cos50cos20-︒>-︒，即cos130cos200︒>︒，故选C.8．已知实数,x y 满足250x y ++=的最小值为（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】 由题意知，表示点(),x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.9．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，下面结论错误的是（ ）A. BD 平面11CB DB. 异面直线AD 与1CB 所成的角为45°C. 1AC ⊥平面11CB DD. 1AC 与平面ABCD 所成的角为30° 【答案】D【解析】BD //11B D ,所以BD //平面11CB D ；因为AD // BC ,所以异面直线AD 与1CB 所成的角为1BCB ∠= 45°;因为11111,AC B D AC B C⊥⊥，所以1AC ⊥平面11CB D ; 1AC 与平面ABCD 所成的角为1CAC ∠≠30°,选D.10．定义运算,:{ ,a a ba b b a b≤⊗⊗=>，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =， R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A. []1,1-B. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎢⎣⎦ D.1,⎡-⎢⎣⎦【答案】C【解析】 由题意()()(),{,sinx sinx cosx F x f x g x cosx sinx cosx≤=⊗=>，由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π， 故只须在一个周期[]0,2π上考虑函数的值域即可， 分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如图所示，观察图象可得： ()F x 的值域为⎡-⎢⎣⎦，故选D.11．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】B【解析】试题分析：由函数图像知实数k 的取值范围是()()1,1,1,2,12OA k A ⎛⎫=⎪⎝⎭其中 【考点】函数图像 【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.12．已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点在轴上，则的最小值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】A【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.关于轴的对称点为，所以，故为其最小值.二、填空题13．已知角β的终边在直线y =上，且180180β-︒≤≤︒，则β=__________． 【答案】-60°或120°【解析】 在直线y =上任取一点()(),0x y x ≠，由三角函数的定义可知tan y x β=== 因为180180β-︒≤≤︒，所以060β=-或0120β=.14．化简：=__________．【答案】1sin θ-【解析】 ==sin 11sin θθ==-=-.15．过点()2,3P -且在两轴上的截距相等的直线方程为__________． 【答案】10x y ++=或320x y +=【解析】 当所求直线过原点时，设所求直线方程y kx =，把点()2,3P -代入直线y kx =，即32k -=，解得32k =-，即所求直线方程32y x =-，即320x y +=； 当所求直线不过原点时，设所求直线方程1x ya a+=，把点()2,3P -代入直线1x ya a +=， 即231a a-+=，解得1a =-，即所求直线方程10x y ++=， 综上所求直线的方程为320x y +=或10x y ++=.点睛：本题考查了直线方程的求解问题，其中解答中根据所求直线在两轴上的截距相等，分别设出相应的直线方程y kx =和1x ya a+=是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时正确理解直线的截距相等是解答本题的难点. 16．函数2sin cos y x x =-的值域为__________． 【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 由22215sin cos 1cos cos cos 24y x x x x x ⎛⎫=-=--=-++ ⎪⎝⎭，因为[]cos 1,1x ∈-，当cos 1x =时，函数取得最小值2min151124y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，当1cos 2x =-时，函数取得最大值2min 11552244y ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，所以函数的值域为51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：本题主要考查了三角函数的最大值与最小值，以及二次函数的性质，其中解答中利用三角函数的基本关系式，得到关于cos x 的二次函数，利用配方法求的函数的最值是解答的关键，着重考查了函数与方程思想的应用，同时注意三角函数的值域的应用.三、解答题17．已知圆C ： 228120x y y +-+=，直线l ： 20ax y a ++=． （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A ， B 两点，且AB =时，求直线l 的方程． 【答案】（1）34a =-（2）7140x y -+=或20x y -+=． 【解析】试题分析：(1)将圆C 的方程228120x y x +-+=化成标准方程为()2244x y -+=，则此圆的圆心为()4,0，半径为2，根据圆心到圆心的距离等于半径列方程可求a 的值；（2）由AB =a 的值，从而可得直线l 的方程．试题解析：将圆C 的方程228120x y x +-+=化成标准方程为()2244x y -+=，则此圆的圆心为()4,0，半径为2． （1）若直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）过圆心C 作CD AB ⊥，则根据题意和圆的性质，得2222{2 12CD CD DA ACDA AB =+====，解得7a =-或1a =-，故所求直线方程为7140x y --=或20x y --=．18．已知角的终边经过点，且为第二象限.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由任意角的三角函数定义得，从而得的值；（2）由（1）知，利用诱导公式化简得原式，再由同角三角函数的关系上下同时除以，进而可利用正切求解.试题解析：（1）由三角函数定义可知，解得，∵为第二象限角，∴. （2）由（1）知，.19．如图，在三棱锥V ABC -中， 1VA VC AB BC ====， 90AVC ABC ∠=∠=︒，二面角V AC B --的大小为60°. （1）求证： VB AC ⊥；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）取AC 的中点D ，连结VD BD 、，得到VD AC ⊥， BD AC ⊥，进而证得AC ⊥平面VDB ,利用线面垂直的性质，即可得到VB AC ⊥；（2）解：由（1）可得VDB ∠是二面角V AC B --的平面角，即60VDB ∠=︒，进而求得VDB S ∆，再利用V ABC A VDB C VDB V V V ---=+，即可求得几何体的体积. 试题解析：（1）证明：取AC 的中点D ，连结VD BD 、， ∵VA VC AB BC ===，且D 为AC 的中点 ∴VD AC ⊥， BD AC ⊥，又VD BD D ⋂=，∴AC ⊥平面VDB , ∵VB ⊂平面VDB ，∴VB AC ⊥.（2）解：由（1）知AC ⊥平面VDB ， ∴VDB ∠是二面角V AC B --的平面角， ∴60VDB ∠=︒，∵90AVC ABC ∠=∠=︒， 1VA VC AB BC ====，∴AC 2VD DB ==∴VDB ∆为等边三角形，∴2VDBS ∆==⎝⎭，∴13V ABC A VDB C VDB VDB V V V S AC ---∆=+=⋅ 13==. 20．已知函数()4sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（其中R x ∈， 0ω>）的最小正周期为23π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且213122f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan2α的值.【答案】(1) 单调递增区间为22,43123k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ ()Z k ∈ (2) -【解析】试题分析：（1）依题意得()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质，即求得函数的递增区间； （2）由213122f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1cos28α=，利用三角函数的基本关系得sin2α，进而可得tan2α的值.试题解析： 依题意得223T ππω==，∴3ω= ∴()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令232242k x k πππππ-+≤+≤+， ()Z k ∈解得223434123k x k πππππ-+≤+≤+， ()Z k ∈ 故函数()f x 的单调递增区间为22,43123k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ ()Z k ∈.（2）214sin 24cos231222f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1cos28α=∵,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()2,2αππ∈，∴sin2α==∴sin28tan21cos28ααα===-21．已知圆，直线，. （1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由； （3）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径可证得相交；（2）利用圆心到直线的距离为，可求得；（3）设中点为，利用，即可得解.试题解析： 证明：（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离.所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；（2）假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为化简得，解得或.（3）设中点为，因为直线恒过定点，当直线的斜率存在时，，又，∵，∴化简得. 当直线的斜率不存在时，，此时中点为，也满足上述方程.所以的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆.点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程及椭圆的性质，是中档题；求轨迹方程常见的解法由：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法. 22．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x=.（1）求a b 、的值；（2）若不等式()2?20xx f k -≥在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围； （3）若()221?3021x xfk k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1{a b ==（2）(],1-∞（3）()0,+∞【解析】试题分析：（1）由函数()()211,0g x a x b a a =-++->， ()g x ∴在区间[]2,3上是增函数，故()()21{34g g ==，由此解得,a b 的值；（2）不等式化为12222x x x k +-≥⋅，故有2121,,22k t t t ⎡⎤≤-+∈⎢⎥⎣⎦，求出()221h t t t =-+的最小值，第 11 页 共 11 页 从而求得k 的取值范围；（3）方程，令21k t -=，原方程等价于()()()2231200t k t k t -+++=≠，构造函数()()()22312h t t k t k =-+++，通过数形结合与等价转化的思想可求得k 的范围.试题解析：（1）()()211g x a x b a =-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[]2,3上是增函数，故()()21{ 34g g ==，解得1{ 0a b ==，（2）由已知可得()1+2f x x x=-， 所以()2?20x x f k -≥可化为12+2?22x x x k -≥， 化为2111+2?22x x k ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，令12x t =，则221k t t ≤-+，因[]1,1x ∈-，故1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 记()221h t t t =-+，因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()max 1h t =，所以k 得取值范围是(],1-∞. （3）原方程可化为()()22132?21210x x k k --+-++= 令21x t -=，则()0,t ∈+∞， ()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解2,t t ， 其中1201,1t t <，或1201,1t t <<=.记()()()23221h t t k t k =-+++，则()210{ 10k h k +>=-<① 或()210{10 32012k h k k +>=-=+<<② 解不等组①，得0k >，而不等式组②无实数解，所以实数k 的取值范围是()0,+∞.。
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(一)
广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（一）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，则11i i -+＝（ ） A ．1i + B ． i - C ．1i - D ．i 2．设全集为U ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．U AB I ðB ．U B A I ðC ．()U A B I ðD ．()U A B U ð3．已知函数2()ln()1f x a x =+-，（a 为常数）是奇函数，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．－3C ．3D ．－14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13C ．12D ．325．高等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33932S a ==，则{}n a 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．12-D ．1 6．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤，是3z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．3C ．11D ．12 7．算法如图，若输入210,117m n ==，则输出的n 为（ ） A ．2B ．3C ．7D ．11 8．函数sin(())x f x A ωϕ=+（其中π0,2A ϕ>＜）的图像如图所示，为了得到()cos2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 9．如图，OA 是双曲线实半轴，OB 是虚半轴，F 是焦点，且30BAO ∠=︒，1(633)2ABF S =-△，则双曲线的标准方程是（ ） A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．22133x y -= D ．22133x y -= 10．已知点G 是ABC △的重心， 120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u r g ，则AG u u u u r 的最小值是（ ） A ．33 B ．22 C ．23 D ．3411．已知正方形123APP P 的边长为2，点B ，C 是边12P P 、23P P 的中点，AB ，BC ，CA 拆成一个三棱锥P －ABC （使1P ，2P ，3P 重合于点P ）则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为（ ）A ．9πB ．8πC ．6πD ．4π12．已知212(0)(0)()e x a x x x f x x -⎧--⎪=⎨⎪⎩＜≥，且函数()1y f x =－恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,]∞－+ B ．(2,0]- C ．(2,]-+∞ D ．(0,1]第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年4月广东省揭阳市高三数学联考(附答案)
2017年4月广东省揭阳市高三联考数 学第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，则11ii-+＝（ ） A ．1i +B ．i - C ．1i - D ．i 2．设全集为U ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ） A ．UA B B ．UB AC ．()UA BD ．()UA B3．已知函数2()ln()1f x a x=+-，（a 为常数）是奇函数，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．－3C ．3D ．－14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13C ．12D ．325．高等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33932S a ==，则{}n a 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．12- D ．16．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤，是3z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．3C ．11D ．12 7．算法如图，若输入210,117m n ==，则输出的n 为（ ）A ．2B ．3C ．7D ．118．函数sin(())x f x A ωϕ=+（其中π0,2A ϕ>＜）的图像如图所示，为了得到()cos2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度9．如图，OA 是双曲线实半轴，OB 是虚半轴，F 是焦点，且30BAO ∠=︒，1(633)2ABF S =-△，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．22133x y -=D ．22133x y -= 10．已知点G 是ABC △的重心， 120A ∠=︒，2AB AC =-，则AG 的最小值是（ ）A ．33B ．22C ．23D ．3411．已知正方形123APP P 的边长为2，点B ，C 是边12P P 、23P P 的中点，AB ，BC ，CA 拆成一个三棱锥P －ABC （使1P ，2P ，3P 重合于点P ）则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为（ ） A ．9πB ．8πC ．6πD ．4π12．已知212(0)(0)()e x a x x x f x x -⎧--⎪=⎨⎪⎩＜≥，且函数()1y f x =－恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,]∞－+B ．(2,0]-C ．(2,]-+∞D ．(0,1]第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷
2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．124．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+46．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或48．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．39．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）A．2 B．2 C．4 D．410．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．412．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18=．15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：不满意满意合计男 4 7女合计P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．选修4-5：不等式选讲23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出N，从而得到C R N，由此能求出M∩∁R N．【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，∴C R N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩∁R N={0，1}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵（2a+i）（1﹣2i）=2a+2+（1﹣4a）i是纯虚数，∴，解得a=﹣1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，可得a+b=20，①以及（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②；解可得a、b的值，计算可得|a﹣b|的值，即可得答案．【解答】解：一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则有a+b+9+10+11=50，即a+b=20，①[（a﹣10）2+（b﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2，即（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②联立①、②可得：或，则|a﹣b|=4；故选：B．【点评】本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a、b的值．4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得．【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23=8，满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=π×13=π，故概率P==．故选：A．【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A．2 B．4+2C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S==6+4，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，（2+d）2=2×（2+4d），解得d，即可判断出结论．【解答】解：由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1•a5，∴（2+d）2=2×（2+4d），解得d=0或4．∴“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A．3 B．4 C．3或D．3或4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，求出P，Q的坐标，得出答案．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，∴|PF|=x1+1=2，|QF|=x2+1=5．∴x1=1，x2=4．∴P（1，±2），Q（4，±4），∴|PQ|==或=3故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意求出（x﹣）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数，列出方程求出a的值．【解答】解：（x﹣）10展开式的通项公式为：=•x10﹣r•=（﹣1）r••x10﹣2r；T r+1令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为﹣=﹣120；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为=45；所以（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数为：﹣120+45a=﹣30，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题．9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，通过分割补形，求出B到底面ACD的距离，代入体积公式求解．【解答】解：如图，在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，连接BE、BF、EF，则四面体B﹣AEF为正四面体，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，连接AO并延长，交EF于G，则AG=，AO=，∴BO=．=．∴．故选：A．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[﹣，]，建立关系，讨论常数ω所有可能的值．【解答】解：函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx，化简可得：f（x）==sin（2ωx+），∵x∈[，]，f（x）∈[，]，∴﹣1≤sin（2ωx+）≤0，则，而T=，那么：，即．sin（2ωx+）=0的结果必然是或．当时，解得ω=满足题意．当x=时，解得ω=满足题意．∴常数ω所有可能的值的个数为2．故选C：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由对称性可得（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，代入可得f（x）的解析式，设出切点（m，n），求出f （x）的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（1，t），化简整理可得t+3=3m2﹣2m3，由g（m）=3m2﹣2m3，求出导数和单调区间、极值，由题意可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即为y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，设切点为（m，n），则n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，f（x）的导数为f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），可得切线的方程为y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），代入点（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），化简可得t+3=3m2﹣2m3，由g（m）=3m2﹣2m3，g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解得t＞﹣2或t＜﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查转化思想的运用，以及化简整理能力，属于中档题．二、填空题已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：【点评】本题考查了向量加减法的坐标运算以及有向量坐标求模；属于基础题．14．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），f（）+lg18= 1．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意化简f（）+lg18=f（﹣）+lg18=﹣lg（+1）+lg18=lg10．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，∴f（）+lg18=f（404﹣）+lg18=f（﹣）+lg18=﹣f（）+lg18=﹣lg（+1）+lg18=lg（18×）=lg10=1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的性质的应用及对数运算的应用．15．某组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为32+8π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】整体思想；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，于是可求其体积．【解答】解：依题意知，该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体，故其体积为：V=．故答案为：32+8π．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，分析出该几何体是上面长与宽均为4，高为2长方体下接半径为2的半圆柱的组合体是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．16．已知△ABC中，角A、、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值是2．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】由已知及等差数列的性质可得A+C=3B，结合三角形内角和定理可求B的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式即可解得AC边的最小值．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，∴A+C=3B，又∵A+B+C=π，∴，∴由得，∵b2=a2+c2﹣2accosB=，及a2+c2≥2ac，∴，解得：b≥2，∴b的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=n﹣n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．可得）a n=1﹣n（n≥2），再检验n=1时，是【分析】（Ⅰ）依题意，当n≥2时，由2a n=2S n﹣2S n﹣1否适合，以确定是分是合，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由可得T2n=（b1+b3+…+b2n）+﹣1（b2+b4+…+b2n），分组求和即可．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即：a n=1﹣n（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当n=1时，由得a1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣显然当n=1时上式也适合，∴a n=1﹣n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴T2n=（b1+b3+…+b2n）+（b2+b4+…+b2n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查裂项法、公式法与分组求和法的综合应用，属于中档题．18．某公司做了用户对其产品満意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得K2=3.7781，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“満意”与“否”与性别有有关？附：不满意满意合计男 4 7女合计P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635（2）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（3）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈3.7781＜3.841，从而得到在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，由此能求出在3人中恰有2人满意的概率．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据已知资料完成2×2列联表：不满意满意合计男 3 4 7女11 2 13合计14 6 20P（K2≥k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635∵K2≈3.7781＜3.841，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“満意”与“否”与性别有有关．（2）由频率估计“满意”的概率为=0.3，∴在3人中恰有2人满意的概率为．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）+=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，P（ξ=2）=1﹣=．ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．（Ⅰ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则可证四边形ABNM是矩形，于是BN⊥MN，利用勾股定理的逆定理可得PB=BC，故BN⊥PC，于是BN⊥平面PCD，故平面BPC⊥平面DPC．（2）求出棱锥P﹣ABC的体积，将平面PBC作底面即可求出点A到平面PBC的距离．【解答】解：（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD，MN=．∵AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，∴四边形ABNM是平行四边形．∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，又AB⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，∴AB⊥AM，∴平行四边形ABNM是矩形．∴BN⊥MN．∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PDA=45°，∴PA=AD=2，∴PB==．取CD中点E，连结BE，则BE=AD=2，CE=CD=1，∠BEC=90°，∴BC=．∴PB=BC，∴BN⊥PC．∵PC⊂平面PCD，MN⊂平面PCD，PC∩MN=N，∴BN⊥平面PCD，∵BN⊂平面PBC，∴平面BPC⊥平面DPC．（II）连结AC，则AC=．PD=．∴PC=．BN=AM=2．∴S△PBC==．S△ABC=．设A到平面PBC的距离为h，=S△ABC×PA=．则V棱锥P﹣ABC∴h=．【点评】本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．已知p，m＞0，抛物线E：x2=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k AB+4k CD=0，求证：直线AB经过一个定点．【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义列出关于p的方程，求出p，得到抛物线的方程，把点M（m，2）的坐标代入，解得m．（Ⅱ）解法1：设AB、AC的方程为y=k1x+b，与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，结合k AB+4k CD=0，求解即可．解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AC的方程为，，与抛物线方程联立，得x2﹣2kx﹣1=0，推出x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，求出直线AB的方程为化简得直线AB恒经过点（0，﹣2）．【解答】解：（Ⅰ）由点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为，结合抛物线的定义得，，即p=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣抛物线的方程为x2=2y，把点M（m，2）的坐标代入，可解得m=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：显然直线AB、AC的斜率都存在，分别设AB、AC的方程为y=k1x+b，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2k1x﹣2b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2k2x﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2=﹣2b，x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故得x1x2=4，﹣2b=4，∴b=﹣2，即直线恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），显然直线AC的斜率都存在，设AC的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立，得x2﹣2kx﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴x1x3=﹣1，同理，x2x4=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣注意到点A、B在第一象限，x1+x2≠0，∴，故得x1x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线AB的方程为化简得即直线AB恒经过点（0，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，另一回事的极值为0，求解a，然后验证即可．（Ⅱ）解法1：方程f（x）=4e2只有一个根，转化为曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．设，通过①当a≤0时，②当0＜a≤1时，③当a＞1时，判断函数的单调性，求出极大值，转化为，即，所以，然后推出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由x=e是f（x）的极值点，得，解得a=e或a=3e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验，符合题意，所以a=e或a=3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，当0＜x＜a时，＞0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又极大值f（a）=0，所以曲线f（x）满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，∴∃x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，可得f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，又f（a）=0，若要曲线f（x）满足题意，只需，即，所以，由x0＞1知g（x）=x2ln3x＞0，且在[1，+∞）上单调递增，由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，所以1＜a＜3e；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上知，a∈（﹣∞，3e）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及分类讨论思想的应用，难度比较大．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知参数方程为（t为参数）的直线l经过椭圆的左焦点F1，且交y 轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．（I）求点C对应的参数t C（用θ表示）；（Ⅱ）若|F1B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆方程，求出焦点坐标，利用，在直线l的参数方程中，令x=0，求解即可．（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，求解即可．解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程利用韦达定理，以及|F1B|=|AC|，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆中，∵a2=3，b2=1，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故，在直线l的参数方程中，令x=0，解得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设点A、B对应的参数为t A、t B，由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t A+t B=t C，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，依题意知，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：设A、B两点的横坐标分别为x A、x B，将直线l的普通方程代入椭圆方程并整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，解得，依题意知，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．选修4-5：不等式选讲23．设a∈R，f（x）=|x﹣a|+（1﹣a）x．（I）解关于a的不等式f（2）＜0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）解法1：通过分类讨论，将f（2）=|2﹣a|+2（1﹣a）中的绝对值符号去掉，再分段解f（2）＜0，最后取并即可；解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），利用绝对值的几何意义，可得﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解之即可；（Ⅱ）依题意，f（x）≥0恒成立⇒，解之即可．【解答】解：（I）解法1：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣不等式f（2）＜0等价于或者，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a＞2或，即，∴所求不等式的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：由f（2）＜0，得|2﹣a|+2（1﹣a）＜0，即|a﹣2|＜2（a﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2（a﹣1）＜a﹣2＜2（a﹣1），解得，解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）≥0恒成立，故有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查分段函数的应用，考查等价转化思想与函数恒成立问题，突出考查运算求解能力，属于中档题．。
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷-答案
解：(Ⅰ) 等价于 ，
解得： 。
故不等式 的解集为 。…………5分
(Ⅱ)因为： （当 时等号成立）
所以： …………8分
由题意得： ，解得 ，∴ 的取值范围 。…………10分
，故 …………2分
又平面 ，平面PAC 平面ABC=AC，
BC 平面PBC， 平面 ----4分
(Ⅱ)无论M点在PA在何处，MC 平面PAC， ，所以△MBC总为直角三角形。----6分
，当 的面积最小时，只需MC最短。
----8分
又△PAC是等边三角形，所以M在PA中点时，MC最短，此时点M到平面PBC的距离是点A到平面PBC的距离的一半。----10分
又 ∴ 。…………4分
(Ⅱ)∵ 为⊙ 的切线， 是过点 的割线
∴ 。
又∵ …………7分
由（Ⅰ）知， ，∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∴AC= …………10分
23．(10分)
解：（1）由
曲线 的直角坐标方程为 …………4分
（2）将直线 的参数方程代入 ，得
设A、B两点对应的参数分别为 则 …………7分
当 时，|AB|的最小值为2．…………10分
∴ 。…………6分
令 ，
∵ ，且 ，
由 。
∴ 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，…………8分
故 在区间 内恰有两个相异实根 ……10分
即 解得： 。
综上所述， 的取值范围是 。…………12分
21．(12分)解：(ຫໍສະໝຸດ )所以椭圆方程为 …………4分
(Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：
由 得
解法二：依题意“预备生”与“非预备生”的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的3名“预备生”记为a．b．c，2名“非预备生”为m、n。则基本事件是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个。其中2名都是“非预备生”的基本事件有1个，故所求的概率为 。…………12分
第一中学高三数学下学期第一次阶段考试试题 理(2021年整理)
广东省揭阳市惠来县第一中学2017届高三数学下学期第一次阶段考试试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省揭阳市惠来县第一中学2017届高三数学下学期第一次阶段考试试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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惠来一中2016—2017学年度第二学期第一次阶段考高三级数学(理科）试题注意事项:1.答卷前,考试务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、座位号填写在答题卡上。
2.所以的题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分,每题中只有一个正确答案) 1．集合{}0lg |>=x x M ,{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ） A. [)2,1 B. ()2,1 C 。
(]2,1 D 。
[]2,1 2、已知向量,，若∥，则实数等于或3、i 是虚数单位，复数iiz +-=37( ） A ． B ． C ． D ．4、在中，，则A 的取值范围是（ ）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0πB 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πD 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,35、 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x 则目标函数的取值范围是(A ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 （B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 （C ） []6,1- (D ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,66、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积：A 、B 、20C 、24D 、327．函数的定义域为，2)1(=-f ，对任意，2)(/>x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ） A. B 。
2017届广东省揭阳一中、金山中学高三第二学期联考理科数学试题及答案
2017-2018学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m ni m ni+=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2.已知a b a b -=+=r r r r a b ⋅=r r（）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年均分x 及方差2s 的大小关系为（A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲 6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()(sin f x x =及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D.56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部； ③f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f (x )＝2x ，则x ＜0时的解析式为f (x )＝－2－x ；④若两个非零向量a b 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμ+=0.A ．4B ．3C ．2D ．18. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数xx y -+=11lg 的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出12.[x ∈-13则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题) 14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lED C三．解答题16．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)cos 3f x x x x π=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。
2017届广东省揭阳一中、金山中学高三三模联考理科数学试卷及答案 精品
2016-2017学年度第二学期高三三模联考理科数学试题命题学校：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:标准差公式：()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题（满分40分） 1.i 是虚数单位，=-ii1（ ） A ．i 2121+- B ．i 2121+ C ．i 2121- D ．i 2121--2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 3.ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2>+-∈∀x x R x q ．则命题“q p ⌝∧”是真命题B ．已知ξ服从正态分布()2,0δN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()3.02=>ξPC ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位D ．已知直线01:,013:21=++=-+by x l y ax l ,，则21l l ⊥的充要条件是3=ba5.已知向量()()θθcos 2,1,cos ,1=-=b a且b a ⊥,则cos 2θ=（ ）A ．1-B ．0C ．12D6.在等差数列}{n a 中，已知1693=+a a ，则该数列前11项和=11S （ ）(A)58 (B)88 (C)143 (D)1767. 若函数x y 2=图像上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．12 B.2 C. 32D.1 8．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f （x ）构成的集合：R x x ∈∀21,且2x ＞1x ,有-α（2x -1x ）＜f （2x ）-f （1x ）＜α（2x -1x ）.下列结论正确的是（ ）A.2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则若 w ks5uB.121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈＞212)()(ααα-∈-M x g x f ，则C.若2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x f M x g M x f 则D.2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若 二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s = （克）（用数字作答）． 10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .）图题（11题（10）图11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得 辗转相除法．若输入11077m =，2014n =，则输出m = ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←” 或“：＝”）12．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为 .13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
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2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）理科数学试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1. 若复数z 满足，()3443i z i -=+，则z 的虚部为（ ）A ．-4B ．45-C ．4D ．452. 已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x 3.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ．a b d c > B ．a b d c< C ．a bc d > D ．a bc d <4. 如图所示的程序框图运行后输出的结果是（ ）A.4B.8C.16D.325. 函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关 于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是( )A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭6. 在△ABC 中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC ⋅=⋅，则AD AB ⋅的值为（ ） A ．0 B ．4C ．8D ．4-7. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A ．22 B ．21 C ．42D ．418. 将甲，乙，丙3本不同的书籍放到6个书柜里，每个书柜最多放2本书，那么不同的放法有（ ）A ．150种B ．180种C ．210种D ．240种 9. 将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到 )(x g 的图象.若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ） A ．625π B ．635π C ．1249π D ．417π10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，())1,0(,,∈c b a ，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则ba 312+的最小值为 A ．332 B ．328 C ．314 D ．316 11. 等差数列{}n a 中，首项01>a ，公差0≠d ，前n 项和为n S ()*∈N n ．有下列命题①若113S S =，则必有014=S ； ②若113S S =，则必有7S 是n S 中最大的项； ③若87S S >，则必有98S S >； ④若87S S >，则必有96S S >； 其中正确的命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上。
13.设2321(2)x x+-展开式中的常数项为 . 14. 已知实数,x y 满足不等式组22041020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最小值为______________．15. 定义{}()2,1min ,min ,,a a b a b f x x b a bx ≤⎧⎧⎫==⎨⎨⎬>⎩⎭⎩，设，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为 ．16. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．(12分)设n S 为各项不相等的等差数列}{n a 的前项和，已知7533a a a =，93=S .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n T 为数列}1{1+n n a a 的前项和，求1+n n a T 的最大值.18．（12分）2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表：（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取4位,记其中生二胎的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）根据调查数据,是否有 0090以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由： 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）19.（12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求二面角B EF D --的余弦值. 20．(12分)已知双曲线221x y -=的焦点与椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点重合, 且椭圆C 的长轴长为4，M 、N 是椭圆C 上的动点. （1）求椭圆C 标准方程；（2）若点M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴的射影为点A ，连接NA 并延长其交椭圆C 于点B ，求证：以NB 为直径的圆经过点M 。
21. (12分) 已知函数()()()()()ln ,,x xf x x xg x F x f x g x e===-． （1）证明()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记()F x 在区间()1,2内的实根为0x ，函数()()(){}min ,m x f x g x =， 若方程()(),m x n n R =∈在区间()1,+∞有两不等实根()1212,,x x x x <， 试判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．选做题：（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
） 22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ⋅-=（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 切线，切点为B A ,，求四边形AMBC 面积的最小值.23．(10分)已知函数()21f x x x =-++.（1）解关于x 的不等式()4f x x ≥-；（2）设(){},|a b y y f x ∈=,试比较()2a b +与4ab +的大小.2016——2017学年度高三正月两校联考理科数学参考答案一、选择题：DDBCA BDCCD DD 二、填空题：13. 20-14.14 15. 1ln 23+16.三.解答题17．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++=++92233)6(3)4)(2(1111d a d a d a d a ...…….(2分) 解得⎩⎨⎧==301a d （舍去）⎩⎨⎧==211a d ，∴11)1(2+=⨯-+=n n a n …… (5分) （2）∵2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n …… (7分) ∴)2(22121)2111()4131()3121(11113221+=+-=+-+++-+-=+++=-n nn n n a a a a a a T n n n…… (9分)∴161)424(21)44(21)44(2)2(2221=⋅+≤++=++=+=+nn n n n n n n n a T n n …… (12分)18. 解：（1）由条件可知70后生二胎的概率为23，且24,3xB ⎛⎫⎪⎝⎭.……………1分 故X 的可能取值为0,1,2,3,4，且()()44210,1,2,3,433kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()04042110=3381P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()13142181=3381P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222421242=3381P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()313421323=3381P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()44421164=3381P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………6分X 的分布列为28433EX ∴=⨯=……………………………………………………………………8分 (2)因为()()()()()()22210030104515100= 3.030 2.7067525455533n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯由表格可知有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.……………………12分19. 证明：（1）在梯形A B C D 中，//A B C D， A D D C C B a ===,60A B C ∠=∴四边形AB C D 是等腰梯形， 且30,120;D C A D A C D C B ∠=∠=∠= ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 又 平面A C F E ⊥平面AB C D ，交线为AC ， B C ∴⊥平面A C F E ( 5分) （2）（法一）根据已有垂直关系，,以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ， )0,0,3(a A ， ),0,0(a F ，),0,3(a a E ∴),,0(a a FB -=→)0,0,3(a -= ，),2,23(a aa DF -= 可得平面BEF 的法向量)1,1,0(=，平面EFD 的法向量为=（0，-2，1）， … (10分) ∴ 1010||||,cos -=⋅>=<n m n 又∵二面角B-EF-D 的平面角为锐角，即D EF B --的余弦值为1010．…… (12分) （法二）过D 作//DG AC 交BC 的延长线于G ，连接FG .因为//AC EF ，所以//DG EF ，所以FG ⊂面DEF .…………………………6分 由（1）知2DGC ACB π∠=∠=，又6GDC DCA CAB π∠=∠=∠=，故2a CG =因为AC FC ⊥，AC BC ⊥，所以AC ⊥面GFB因为//EF AC ，所以EF ⊥面GFB ………………………………………………8分故有,EF FB EF FG ⊥⊥所以BFG ∠为二面角B EF G --的平面角.………………………………9分在Rt BCF中，BF =，在Rt GCF中，2GF ==又322a aBG BC CG a =+=+=…………………………………………11分 故在BFG中，222222592cos 2a a a BF GF BG BFG BF GF +-+-∠===⋅所以二面角B EF G --12分 20.解：(1)由题设可知：双曲线221xy -=的焦点为(，…… (1分)所以椭圆中的c = 又由椭圆的长轴为4得2,a =故2222b a c =-= ， 故椭圆的标准方程为：22142x y +=…… (4分) （2）证明：设1122(,),(,)M x y B x y由题设可知1122121110,0,0,0,,(,0),(,)x y x y x x A x N x y >>>>≠-- 由题设可知AB l 斜率存在且满足1211212NA NB y y yk k x x x +=∴=+.③…… (5分)1211211 1.........MN MB y y y k k x x x -⋅+=⋅+-④…… (7分) 将③代入④可得：222221212211222121212()(2)(2)11MN MB y y y y x y x y k k x x x x x x +-+-+⋅+=⋅+=+--⑤…… (9分) 点,M B 在椭圆22142x y +=，故 2222221122222121(2)(2)4410MN MB x y x y k k x x x x +-+-⋅+===--…… (11分) 所以101MN MB MN MB k k k k MN MB ⋅+=∴⋅=-∴⊥因此以NB 为直径的圆经过点M …… (12分)20. 解：（1）证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()()10,,1ln xx x F x x e-'∈+∞=-+， 而()1,2x ∈．故()0F x '>，即()F x 在()1,2上单调递增， 又()()21210,22ln 20F F e e=-<=->， ∴()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根． …… (3分) （2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0x xg x e=>，故此时有()()f x g x <， 由（1）知，()11ln xx F x x e -'=++，当1x >时，()0F x '>， 且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <； 当0x x >时，()()f x g x >．∴()00ln ,0,xx x x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩， …… (5分) 显然当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x '==+>，因而()m x 单增； 当0x x >时，()()1,0x xx xm x m x e e-'==<，因而()m x 递减； ()m x n =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞．∴要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，…… (7分)∵()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =， ∴即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<， …… (8分)记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e---+--'=++=++-，…… (9分) 记()()1,t t t tt t e eϕϕ-'==，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max 1t e ϕ=，而()0t ϕ>故()10t eϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--'=++=++->->，…… (11分)即()h x 单调递增，从而01x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x xx x e --<，故1202x x x +>得证．…… (12分)22．解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数），所以圆C 的普通方程为4)4()3(22=++-y x ，由2)4cos(=-πθρ，得2sin cos =+θρθρ，∵y x ==θρθρsin ,cos ，∴直线l 的直角坐标方程为02=-+y x .…… (5分)（2）圆心)4,3(-C 到直线l ：02=-+y x 的距离为2232|243|=--=d ， 由于M 是直线l 上任意一点，则223||=≥d MC ，∴四边形AMBC 面积 2424||2||||||||||2122222=-≥-=-⋅=⨯⨯⨯=d MC AC MC AC MA AC S∴四边形AMBC 面积最小值为2.…… (10分)23．解：（1）()()()()2111312,3214212x x x f x x x x x x x -+<-⎧<-⎪⎧=-≤≤∴⇒≤-⎨⎨-+≥-⎩⎪->⎩()()()2111312,3214212x x x x x x x x x -+<-⎧<-⎪⎧=-≤≤∴⇒≤-⎨⎨-+≥-⎩⎪->⎩,或122,12,,234214x x x x x x x -≤≤>⎧⎧⇒≤≤⇒>⎨⎨≥--≥-⎩⎩或.所以不等式的解集为(][),31,-∞-+∞.…… (5分)（2）由（1）已知()3,3,3f x a b ≥∴≥≥.∵()()()()()()2422422222a b ab a ab b a b b a b +-+=-+-=-+-=-- 又()()3,3,20,20,220,a b a b a b ≥≥∴->-<∴--<()24a b ab ∴+<+.…… (10分)。