江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面所成的角 教案
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角教学设计
9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】1．平面的斜线如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．AB2．直线与平面所成的角从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0的角．一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角．如图，设线段AB 在平面内的射影为A B ，且AB 与平面所成的角为 ．易证|A B |＝|AB | cos ．练习设线段AB ＝l ，且AB 与平面 所成的角为 ，求线段AB 在平面内的射影A B 长：（1）l ＝6，＝3；（2）l ＝10，＝0；（3）l ＝8，＝2．例1 如图长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝1，AA 1＝2．求对角线A 1C 与平面ABCD 所成的角． 解 连接AC ，由题意知△A 1AC 为直角三角形，且A 1AC ＝90．又由题意，可知AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋12＝2．而AA 1＝2，所以ACA 1＝45．因此A 1C 与平面ABCD 所成的角为45．例2 如图，已知 P A 是平面的斜线，PO ，a ，a AO ． 求证：a P A ． P AO a A BC D A 1 B 1C 1D 1 BA B A证明：因为 PO ，a ，所以 PO a ．（线面垂直的定义） 又因为AO a ，且PO ∩AO ＝O ，所以a 平面P AO ．（线面垂直的判定）又因为P A 平面 P AO ，所以a P A ．（线面垂直的定义）例2中，AO 是斜线P A 在平面内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．练习1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，写出对角线B 1D 1 与平面AC ，平面BA 1，平面BC 1所成的角，并求这些角的余弦值．2．如图所示，PA 为平面 的斜线，PO ，a ，a PA ．求证：a AO ．该结论叫做三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．P A O a。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
高中数学选修2—1直线和平面所成的角教案
直线和平面所成的角（一）学习目标：（1）知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.（2）明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程，并记忆定理内容（3）会在具体几何体中求直线与平面所成的角； 自学指导：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：3线所成的角的关系如何？4、如图，怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么？ 5、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定：（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 . （3）直线和平面所成的角的范围是 . （4）三余弦公式是自学检测：1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，（1）试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. （2）试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中，a AD AA ==1，1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45，求斜线与平面所成角的大小。
合作探究：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结：定义法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法 （1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.A（3）下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
高二数学最新教案-9.7直线和平面所成的角与二面角(2) 精品
CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角（2） 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念；2、掌握求直线与平面所成的角的方法；3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。
【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；2、直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。
直线和平面所成的角范围：[0，2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。
在长方体ABC D －A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，AA'=5，试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。
解：作B'E ⊥A'B ，又因为A'D'⊥平面ABB'A'， 所以A'D'⊥B'E 。
由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影， 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角； 在直角B D E ''∆中，有sin EB B D E D B '''∠=''但是，5D B ''==，又1122A BB SA B EB A B BB ''∆'''''==A B '=EB '∴==sin B D E ''∴∠==解法2：如图建立空间直角坐标系，则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B '''，()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-，设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩。
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 平面与平面的位置关系(2)教案
教学重点、难点:重点：两个平面垂直的判定定理与性质定理。
难点：两个平面垂直的判定定理与性质定理的灵活应用。
教学过程:一、复习回顾：1.在平面几何中“角”是怎样定义的？2.在立体几何中,“异面直线所成的角”是怎样定义的？3.在立体几何中,“直线和平面所成的角”是怎样定义的？思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？二、问题情境：情境：发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度；使用手提电脑时，为了便于操作，需将显示屏打开成一定的角度；问题：如何刻画两个平面形成的这种“角”呢？三、建构数学1、____________________________________________________________________叫做半平面。
2、____________________________________________________________叫做二面角，___________________ 叫做二面角的棱， _______________________叫做二面角的面。
3、二面角的表示方法：________________________________________4、二面角的画法：___________ ____________5、______________________________________________________________________________________________________________________________叫做二面角的平面角。
6、二面角的平面角的三个特征：1._______________2.________ _______ 3._______________7、二面角的范围：___________________8、______________________________________叫做直二面角。
直线与平面所成角教案
专题探究 直线与平面所成角教学目标：1． 明确直线与平面的各种位置关系，会求直线与平面所成角的大小；2．在探索、计算直线与平面所成角的过程中，提高空间想像力与几何演绎推理能力， 增强空间问题转化为平面问题的能力；3．引导学生经历数学学习的过程，体验探索的乐趣，增强学习立体几何的积极性。
重点：作出并计算线面角； 难点：作出线面角。
设计说明立体几何是高中数学的重点内容，它是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科。
线面关系是立体几何教材的一个重要部分，也是近年高考中的一个重要内容。
在本课的设计中力求体现以学生发展为本的理念。
比如，课前有预学单，一方面以提高学生的自学能力；另一方面，为本节课对线面关系的进一步研究打基础。
在选题时，充分考虑了问题的曲型性。
现在设计的四个问题都有其代表性：问题1，已知两平面的二面角前提下，求线面角大小；问题2，正三棱锥中求侧棱与底面所成的大小；问题3，是动直线与直三棱柱侧面的线面角问题；问题4，是线面垂直的问题。
问题3与问题4又是两个结论不定的开放式题目。
这样的选题会提高课堂教学的效率。
教案设中我十分重视数学思想。
比如，转化思想是立体几何解题中的一种十分重要的数学思想，只有把线面问题转化为线线问题，问题才能得以解决。
在问题设计中我充分考虑了线面角转化为线线角的三个步骤：一作，二证，三算。
其中作是在猜测到垂足位置基础上才能完成的，这一步很重要。
问题中既有用比较常规的思维就能找到垂足的问题，也有要化一些周折才能找到垂足的问题，这对提高学生的学习积极性很有帮助。
:立体几何是学生第一次接触到的需要严格论证的空间问题，学生的空间想象力与演绎推理能力还比较弱，设计中要充分考虑到学生的学情。
另外，从近年高考情况年，立体几何的要求不是太高。
因此，我们设计的问题的目的是重在理清概念，提高学生观察问题、分析问题的能力，掌握操作的关键步骤，题目的难度不宜太高。
预学交流：一、直线与平面的位置关系 ； 二、直线与平面所成角的范围 ； 三、直线a 与平面α所成的角为3π，则直线a 与平面α内所有直线所成角的取值范围是 ；四、由点P 引出三条射线PA PB PC 、、，若2,3ππ=∠=∠=∠APB CPB CPA ，求PC与平面PAB 所成角的大小。
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案
【教学目标】
1. 知识与技能：了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2.过程与方法：注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
3.情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成角的求法．
【教学方法】
问题探索法及启发式讲授法。
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江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面所成的角
教案
2、如图，在棱长为a 正方体中， （1）A 到面BCC 1B 1的距离为______
（2）A 到平面BDD 1B 1的距离为____________
（3）AD 到平面BCC 1B 1的距离为___________ （4）AA 1到平面BDD 1B 1的距离为__________ （5）AA 1与BC 1所成的角为_______ 二、问题情境
观察如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 1、直线AA 1和平面ABCD 是什么关系? 2、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 和平面ABCD 的位置关系?
3、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢？ 三、建构数学
1、__________________________________________________这条直线叫做这个平面的斜线 ________________________叫斜足.____________________________________叫斜线段. ______________________________________叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影)
2、______________________________________________叫做这条直线与这个平面所成的角。
3、____________________________________________，我们说它们所成的角是直角； ____________________________________________，我们说它们所成的角是00
的角。
4、斜线与平面所成角的范围：_____________。
直线与平面所成角的范围：______________。
B B 1
A
D C D 1 C 1 A 1 B B 1 A D C
D 1 C 1 A 1
四、数学运用
1．例题
例1、如图，已知AC 、AB 分别是平面的垂线和斜线，C 、B 分别是垂足和斜足，a ⊂，a ⊥BC 。
求证：a ⊥AB
[变]：上图，已知AC 、AB 分别是平面的垂线和斜线，C 、B 分别是垂足和斜足，a ⊂，a ⊥AB 。
求证：a ⊥BC
例2、如图，已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线，PO 是∠ABC 所在平面的垂线，垂足为O 。
（1）若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线。
（2）若∠PAB=∠PAC ，求证：AO 是∠BAC 的平分线.
a C B A
A B C E F O
P
例3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,找出A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，并证明之。
2．练习： 1、如图，∠BCA ＝900,PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ,△PAC 的边所在的直线中:
（１）与PC 垂直的直线_________________________；
（２）与PA 垂直的直线_________________________；
2、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面ABCD 所成的角_________。
3、若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（ ） A.只有一条 B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
4、判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（ ）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（ ）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（ ）
（5）两条平行直线和一个平面所成的角一定相等（ ）
（6）若两条直线和一个平面所成的角相等，则两直线平行（ ）
（7）若平面外的直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于平面（）
5、已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，则斜线和平面β所成的角为_________.
6、点P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变1]点P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变2]点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 点到△ABC 三个顶点距离相等，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变3]点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 点到△ABC 三条边距离相等，则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
五、回顾小结
六、课外作业：教材第38页第6题。
B B 1 A D
C
D 1 C 1 A 1 C B A P
补充1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C⊥平面BC 1D
补充2、如图，已知ABCD 是矩形，AB=a ，AD= b ，PA 平面ABCD ，PA=2c ，Q 是PA 的中点．求
（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离
E Q P
D C
B A B B 1 A D
C
D 1 C 1 A 1。