高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第1节 等比数列概念
第1节 等比数列概念【基础知识】 1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q-=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．【规律技巧】 1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列； (2)等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列； (3)通项公式法 n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 是等比数列． 2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为1a 和q 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式11n n a a q-=⋅及前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q-=-，共涉及五个量1,,,,n n a q n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1na S n =；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q； 四个数成等比数列，一般设为33,,,a aaq aq q q. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 4. 等比数列的前n 项和公式 若已知首项1a 和末项n a ，则11n n a a qS q-=-，或等比数列{a n }的首项是1a ，公比是q ，则其前n 项和公式为qq a S n n --=1)1(1.5. 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【典例讲解】【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝16，则a n ＝________．(3)在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________． 【解析】(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，【答案】(1)B (2)2n －3 (3)6规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【变式探究】 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．【针对训练】1、对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a qa ⋅=⋅⋅⋅=⋅=所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.2、已知数列{}n a 是正项等比数列，若162,2432=+=a a a 则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．22-nB ．n-22C ．12-n D ．n2【答案】C3、 已知数列{}n a 满足10a =，21a =，2132n n n a a a ++=-，则{}n a 的前n 项和n S = .【答案】21n n --【解析】∵2132n n n a a a ++=-,∴2112()n n n n a a a a +++-=-，∴2112n n n na a a a +++-=-，∴数列1{}n n a a +-是以1为首项，2为公比的等比数列，∴112n n n a a -+-=,∴0212a a -=，1322a a -=，2432a a -=，……，212n n n a a ---=，∴101211122222112n n n n a a -----=+++==-- , ∴121n n a -=-,∴01112(222)2112nn n n S n n n --=+++-=-=--- . 综合点评：等比数列的基本运算，与等比数列的判定，关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．在判断一个数列{}n a 是否为等比数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立1n a +与n a 的关系式或递推关系式，表示出1n na a +，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．4、在等比数列{}n a 中，公比16,17,1121==+>-m m a a a a q ，且前m 项和31m S =，则项数m 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B5、设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A【答案】D 【解析】试题分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．A 正确；解得：q=-2C 正确；B所以数值不能确定的是选项D ．【练习巩固】1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】因为a 2a 9＝a 1a 10＝27，所以log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3. 【答案】C2．记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝ ( )A ．256B ．81C ．16D ．1【解析】依题意得Ⅱ8＝(a 1a 8)(a 2a 7)(a 3a 6)(a 4a 5)＝(a 4a 5)4＝24＝16. 【答案】C3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝ ( )A.56B.65C.23D.32【解析】设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2， 所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.【答案】D4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )69A．log371 B.2C．50 D．55。
等比数列概念知识点归纳总结
等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。
通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。
根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。
当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。
2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。
3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。
如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。
2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。
3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。
4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。
总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。
等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。
熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。
高三等比数列知识点
高三等比数列知识点解析数学作为一门重要的学科，在高中阶段占据着至关重要的地位。
而在数学学科中，等比数列与等差数列是高三学生最常接触的数列类型之一，且对学生的数学思维与分析能力有着较大的考验。
在本文中，我们将对高三等比数列的基本概念、性质和解题技巧进行详细论述。
一、等比数列的基本概念等比数列是指一个数列中，从第二个数起，每一个数都是前一个数乘以同一个常数得到的。
例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
在等比数列中，每个数与它的前一个数之比是相等的，这个比值叫做公比。
并且，公比的绝对值大于1时，数列的绝对值会呈现出递增的趋势；而公比的绝对值在0到1之间时，则数列的绝对值会呈现出递减的趋势。
二、等比数列的性质1. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式可以帮助我们求解等比数列前n项和，其中的（1-q^n）部分是通过公比的n次幂来表示的。
需要注意的是，当公比q等于1时，前n项和公式会退化为等差数列的前n项和公式Sn=n*a1。
2. 通项公式等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
通过通项公式，我们可以方便地求得等比数列中任意一项的值。
如果已知首项和公比，通过代入数值即可计算出对应的项数的数值。
3. 其他重要性质（1）对于任意等比数列，首项与公比的乘积等于第二项与公比的乘积，即a1 * q = a2。
这个性质是由等比数列的定义所确定的。
（2）等比数列任意两项的比值都是相等的。
这个性质在解题过程中有着很大的应用价值，可以帮助我们确定未知量的值。
三、等比数列的解题技巧1. 确定题目所给信息和所求结论在解题过程中，首先要仔细阅读题目，理解题目所给的条件和所要求的结果。
通过明确题目的要求，可以更加有目的地进行解题，在遇到复杂问题时能够有针对性地选择合适的方法。
2. 掌握运用前n项和公式和通项公式在解决关于等比数列的问题时，掌握前n项和公式和通项公式是必不可少的。
高中数学一轮复习等比数列及数列综合：第1节等比数列概念
(3) 如果数列 { an} 既成等差数列又成等比数列， 那么数列 { an} 是非零常数数列． 数列 { an } 是
常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4) 如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到 一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，
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【基础知识】
第 1 节 等比数列概念
1. 等比数列定义 一般地， 如果一个数列从第二．项．起．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ．．，那么这个数
列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q 表示 (q 0) ，即：
an 1 q(q 0) , （注意：“从第二项起” 、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）
, 即知三求二，
多利用方程组的思想， 体现了用方程的思想解决问题 , 注意要弄准它们的值 . 运用方程的思想
解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量
a1 、 q ，掌握好设未知数、列出方
程、解方程三个环节，常通过 “设而不求，整体代入 ” 来简化运算．
(2) 分类讨论思想： 在应用等比数列前 n 项和公式时， 必须分类求和， 当 q 1 时，Sn na1 ；
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构成什么样的新数列． 【规律技巧】
1. 等比数列的判定方法
(1) 定义法：对于数列
an
，若 an 1 an
q(q 0) ，则数列 an 是等比数列；
(2) 等比中项：对于数列
an ，若 a n a n 2
a
2 n
1
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列定义知识点归纳总结
等比数列定义知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等比数列的定义、性质和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
比值常用字母q表示，称为公比。
换言之，一个数列满足an+1 = an * q的关系，其中an表示第n项，an+1表示第n+1项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 公比的影响：公比q的绝对值决定了等比数列的性质。
当|q|<1时，等比数列的值越来越小；当|q|>1时，等比数列的值越来越大；当q=1时，等比数列的值保持不变。
2. 通项公式：对于等比数列an，第n项的通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中a1为首项。
3. 公式推导：可以通过递归或数学归纳法得到等比数列的通项公式，进而求解数列中任意一项的值。
4. 前n项和：等比数列的前n项和（部分和）可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
三、等比数列的应用等比数列在诸多领域有广泛的应用，如金融、物理、工程等。
以下列举几个常见的应用场景：1. 财务投资：与利率相关的问题往往可以转化为等比数列问题，如计算定期存款每年的本息总额。
2. 自然科学：许多自然界的现象或物理规律可以用等比数列来描述，如累积衰减、分裂增殖等。
3. 几何问题：等比数列广泛应用于几何问题中，如计算等比数列构成的等边三角形的面积。
4. 数据分析：等比数列可用于分析一些数据序列或随机变量的增长规律，如人口增长、疾病传播等。
综上所述，等比数列是一种重要的数列形式，具有较广泛的应用价值。
通过对等比数列的定义、性质和应用的归纳总结，读者可更好地理解等比数列，并能在实际问题中灵活运用。
在解决问题时，读者可以根据题目给定的条件，利用等比数列的相关公式和性质进行推导和计算，以得到准确的结果。
等比数列知识点概念归纳总结
等比数列知识点概念归纳总结等比数列是数学中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。
本文将对等比数列的基本概念、性质和常见问题进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)二、性质1. 等比数列的公比q必须为非零实数。
如果q大于1，则数列呈递增趋势；如果0<q<1，则数列呈递减趋势。
2. 等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数。
3. 当q大于1时，等比数列趋于正无穷；当0<q<1时，等比数列趋于零。
4. 若一个数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列必为常数数列，即a1 = an = a。
三、常见问题1. 如何判断一个数列是否是等比数列？若一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等，则这个数列为等比数列。
2. 如何确定等比数列的公比？等比数列的公比可以通过任意两项的比值来确定。
选择两项，例如第n项和第n+1项，计算它们的比值，如果得到的结果对于数列中的任意两项都相等，则该结果即为等比数列的公比。
3. 如何求等比数列的第n项？可以通过数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将首项和公比代入公式，计算得到第n项的值。
4. 如何求等比数列的前n项和？可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算前n项和的值。
等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在金融、自然科学和工程领域。
例如在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算中的本金增长；在自然科学中，等比数列可以用来描述物种繁衍的规律；在工程领域，等比数列可以用来描述扩大或缩小的比例关系。
总结：等比数列是一种重要的数列概念，它具有一些基本概念、性质和常见问题。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第2节 等比数列性质
第2节 等比数列性质【基础知识】 1.等比数列的性质：（1）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等比数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，m n m n q a a -=；（4）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列.如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a qa a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．【规律技巧】1. 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【典例讲解】【例1】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一 由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5.规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2【针对训练】1、设数列{}n a 是等比数列，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则6a =（ ）A ．16B ．32C ．42D ．48 【答案】B【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故24q =，2q =，11a =，所以561232a =⨯=.2、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10512S S =，则155SS 为（ ） A ．12 B ． 13 C ． 23 D ． 34【答案】D3、已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中： （1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=- 正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）． 【答案】C4、等比数列的各项均为正数，且299a a ⋅=，则＝（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2＋ 【答案】B5、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为（ ） A ． B ．2 C ．4 【答案】B【练习巩固】1．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( )A ．－15B ．－5C ．5D.15{}n a 3132310log log log a a a +++3log 5【解析】由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n＝1，解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列． 因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3， 所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】B2．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于 ( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1D.14(3n －1)【答案】B3．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是 ( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m【答案】C4．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．【解析】∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2，若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【答案】125．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1·a 2n －1＝4n ，则数列{a n }的通项公式是______．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________． 7．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．。
2023年高考数学一轮复习讲义——等比数列
§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
2021年高考数学一轮复习等比数列知识点知识点总结
2021年高考数学一轮复习等比数列知识点知识点总结
高考是高中最重要的时期，为了备战高考，为大家带来了等比数列知识点，希望能帮助大家复习本门课程，只有找到适合自己的复习方法，在复习中才会事半功倍!
(1)定义式：
(5)等比中项：
若
为
或者
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：
{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+ (3)
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
性质
(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am_an=ap_aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则”G =ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则
{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1 ，q1 …
{can}，c是常数，{an_bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
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