21.2.3二次函数表达式的确定
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
2.3确定二次函数的表达式
§2.3确定二次函数的表达式学习目标：1．掌握已知二次函数图象上两点或三点坐标时，确定函数表达式的方法；2．会用待定系数法灵活的求二次函数的表达式。
学习重点：会求二次函数的表达式学习过程：一、复习旧知，温故知新1、二次函数的一般式为：，其顶点坐标为：。
2、二次函数的顶点式为：，其顶点坐标为：。
3、二次函数的交点式为：，其交点坐标为：。
二、创设情境，引入新知已知二次函数图象上两个点或三个点的坐标，你能否求出该二次函数的表达式呢?三、合作探究，发现新知1、已知二次函数图象上一点坐标确定二次函数表达式例1、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2），求这个函数的表达式。
练1、已知函数y=a x2＋x－2的图象经过点（1，2），求这个函数的表达式。
2、已知二次函数图象上两点坐标确定二次函数表达式例2、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。
（1）求这个函数的表达式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标。
练2、已知一个二次函数，当x=2时，有最小值－4，它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1，求此二次函数的表达式。
3、已知二次函数图象上三点坐标确定二次函数表达式例3、已知二次函数的图象如图所示，求此二次函数的表达式。
练3、已知二次函数的图象经过A（0，－1）、B（1，－2）、C（－1，2）三点，求这个函数的表达式。
四、课堂小结，归纳新知用待定系数法确定二次函数的表达式：(1)已知顶点坐标及图象上另一点坐标，可设表达式为顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)；(2)①已知图象上任意三点的坐标，可设表达式为一般式：y=ax2＋bx＋c (a≠0)；②若其中有两点为与x轴的交点坐标时，可设为交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)。
五、当堂检测，巩固新知1.请你写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为–1，且经过点（1，3）的抛物线的表达式。
2.开口向下的抛物线y=(m2－2)x2+2mx+1的对称轴经过点（－1，3），则m=。
确定二次函数的表达式课件
跟踪练习1．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
1.通过知识回顾,交流思考,明确待定系数法求二次 函数解析式的方法和步骤; 2.通过例题的学习和跟踪练习的训练,熟练得根据 条件设顶点式.交点式.一般式(恰当的情势)求二次 函数解析式
3.通过一题多变,一题多解等变式训练,培养发散思 维
4.通过典例学习,跟踪训练,综合运用和拓展提升等 环节,学会用数形结合,方程,转化,优选的数学思想 解决数学问题.
1、用待定系数法确定二次函数的关系式的 基本步骤是什么？
设
代
解
写
2、如何选择设法？
①已知三点，设y=ax2+bx+c ②已知顶点，设y=a(x-h)2+k
3、求待定系数时需要几个条件？ 几个待定系数需要几个点
4、体会用到了什么样的数学思想？ ①特殊到一般 ②方程 ③ 数形结合
综合应用
一题多解
例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它y与x 轴 的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。
一般式： 例3 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
三个点设一般式 代入有先后
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x
二次函数表达式的确定(原创)
二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC 的表达式为 ，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。
确定二次函数的表达式
【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。
21.2.3 二次函数表达式的确定1
*3.二次函数表达式的确定1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究 探究点：用待定系数法求二次函数解析式【类型一】 用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的关系式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的关系式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值． 【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式．解：设二次函数关系式为y ＝a (x ＋h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)， ∴h ＝2，k ＝3.依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的关系式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x ＋h )2＋k .顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h ，极值为当x ＝－h 时，y 极值＝k .【类型三】 用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x 轴相交于点A (－1，0)，B (1，0)，且过点M (0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x 轴的两个交点，所以可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)求解．解：因为点A (－1，0)，B (1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M (0，1)，所以1＝a (0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.方法总结：此题也可设y ＝a (x ＋h )2＋k ，因为与x 轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y 轴．三、板书设计二次函数表达式的确定⎩⎪⎨⎪⎧设y ＝ax 2＋bx ＋c 设y ＝a （x ＋h ）2＋k 设y ＝a （x －x 1）（x －x 2）教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．。
2.3确定二次函数的表达式
【跟踪训练】
1.（西安· 中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的表达式. 【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, 解之 得 c 1.
4a 2b 1 13,
解得：a=2,b=-2. ∴这个二次函数关系式为
y 2x2 2x 1 .
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过 点（2，5）和（-2，13由题意可 解：设抛物线关系式为 分析：设二次函数式为y=ax²+bx+c，确定这个二次函数需要三个条件来确定 系数a,b,c的值，由于这个二次函数图象与 y轴交点的纵坐标为 知，图象经过点（ 0，1） ，(2,5) 和(-2,13) 1，所以过点 （0 ），因此可把三点坐标代入关系式 ,求出a,b，c的值即可。 c1 1 ， ∴
1 a , 3 2 b , 3 c 1.
y
A
C
O
B
x
∴所求抛物线的表达式为 y
1 2 2 x x 1. 3 3
2.某高尔夫球手击出高尔夫球的运动路线是一条抛物线 ，当球水平运动了24m时，达到最高点。落球点比击 球点的海拔低1m，水平距离为50m。 （1）建立适当的直角 坐标系,求球的高度h(m)关于水平 距离x(m) 的二次函数表达式. （2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？
2.3 确定二次函数的表达式
1
复习引入 1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴． 温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式． 已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。
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典型例题
例1 已知一个二次函数的图象经过(0,0)，(1，3)，(2，-8)，求这个二次函数的表达式.
§21.2
二次函数的图象与性质
典型例题
例2
已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值 为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7, 求这个二次函数的解析试.
§21.2
二次函数的图象与性质
沪科版数学教材九年级上学期
21.2.3二次函数 表达次函数的图象经过(-3,4)与(2,0)两点，求 这个一次函数的表达式.
课前热身
待定系数法
已知一个一次函数的图象经过(-3,4)与(2,0) 两点，求这个一次函数的表达式. 待定系数法求函数解析式的步骤：
•设——根据题意，判断函数模型，设成相应的函数解析式； •代——将点的坐标带入所设解析式，建立相应的方程（组）； •解——解所得的方程（组），求出未知系数； •答——将求得的未知系数代回所设函数解析式，得出结果.
典型例题
例3
已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-1)， 且经过原点(0，0)，求这个二次函数的表达式.
§21.2
二次函数的图象与性质
针对性训练1
1. 已 知 二 次 函 数 y ax2 bx c的 图 象 经 过 A(1,0)， 9 B(-1,4)，C (0， )三 点 ， 求 二 次 函 数 的 析 解 式. 4
§21.2
二次函数的图象与性质
拓展例题
例5
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点， 点A的坐标是（-2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B， 连接OA． （1）求B点的坐标； （2）若抛物线y=-x2+bx+c 经过点A、B． ①求抛物线的解析式及顶 点坐标； ②将抛物线竖直向下平移 m个单位，使平移后得到的 抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边 界），求m的取值范围．
§21.2
二次函数的图象与性质
2. 已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 为 标( 2,-4)， 它 与 x轴 的 一 个交点的横坐标为 1， 求 它 的 解 析 式 .
3. 已知抛物线与 x轴交于点 A(-1,0)，B(1,0)，且经 过点M (0,1)，求抛物线的解析式 .
§21.2
二次函数的图象与性质
拓展例题
例4
如图，有一开口向上的抛物线与x轴交于 A(m-2,0)，B(m+2,0)两点，抛物线的顶点为C，且 AC⊥BC. (1)若m为常数，求抛物 线的关系式； (2)若m为小于0的常数， 那么(1)中的抛物线经 过怎样的平移可以使顶 点在坐标原点？