2015届上学期高三数学第二次月考试题(东山一中)
【精编】2015-2016年福建省漳州市东山二中高一(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年福建省漳州市东山二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=2D．y=log22x3．（5分）若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．34．（5分）函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）5．（5分）计算：log29•log38=（）A．12 B．10 C．8 D．66．（5分）三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．（5分）如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数8．（5分）某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是（）A．f（x）=10x B．f（x）=5x2﹣5x+10C．f（x）=5•2x D．f（x）=10log2x+109．（5分）使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[2，4]C．（﹣∞，2]D．[0，2]11．（5分）设奇函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）12．（5分）设函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．14．（5分）已知函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，则f（﹣）=．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，若f（m﹣1）＞f （2m﹣1），则实数m的取值范围为．16．（5分）给出下列四个命题：①函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x2﹣|x|；③若log a＜1，则a的取值范围是（0，）∪（2，+∞）；④若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算下列各式的值（1）log3+lg25+lg4（2）已知a+a=3，求值：．18．（12分）已知函数f（x）=+lg（2﹣x）的定义域为A，g（x）=﹣x2+1的值域为B．设全集U=R．（1）求集合A，B；（2）求A∩（∁U B）．（3）已知C={x|a≤x≤a+2}，若B∩C=C，求a的取值范围．19．（12分）已知二次函数f（x）满足f（1）=0，且f（x+1）﹣f（x）=4x+3．（1）求f（x）的解析式，（2）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．21．（12分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．22．（12分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省漳州市东山二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=2D．y=log22x【解答】解：对于A，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于B，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于C，y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于D，y=log22x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．3．（5分）若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，即g（3）=5．故选：C．4．（5分）函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）【解答】解：∵函数f（x）=a x+1，其中a＞0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，点的坐标为（0，2），故选：D．5．（5分）计算：log29•log38=（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：log29•log38=2log23•3log32=6．故选：D．6．（5分）三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0，所以ln0.3＜0.37＜70.3故选：A．7．（5分）如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【解答】解：定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）==f（x），则为偶函数，当x＞0时，y=（）x为减函数，则x＜0时，则为增函数，故选：D．8．（5分）某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是（）A．f（x）=10x B．f（x）=5x2﹣5x+10C．f（x）=5•2x D．f（x）=10log2x+10【解答】解：对于选项A，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，对于选项B，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，对于选项C，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，80，185，对于选项D，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log25，而表中所给的数据为，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，39，81，160，通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y=5•2x能更好的反映y 与x 之间的关系．故选：C．9．（5分）使得函数f（x）=lnx +x﹣2有零点的一个区间是（）A ．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点故选：C．10．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[2，4]C．（﹣∞，2]D．[0，2]【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+5转化为f（x）=（x﹣2）2+1∵对称轴为x=2，f（2）=1，f（0）=f（4）=5又∵函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1∴m的取值为[2，4]；故选：B．11．（5分）设奇函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）；∴可化为：＞0＜0；又f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣1）=0，画出函数示意图，如图；则＜0的解集为：﹣1＜x＜0，或0＜x＜1；∴原不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，1）；故选：D．12．（5分）设函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，∴可作出如右图所示的函数f（x）的图象，结合图象得：2+a2＞22+a，∴a2﹣a﹣2＞0，解得a＜﹣1或a＞2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，则f（﹣）=．【解答】解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，∴函数f（x）与函数g（x）=log2x互为反函数，∴f（x）=2x，∴f（﹣）=，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，若f（m﹣1）＞f （2m﹣1），则实数m的取值范围为（0，）．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，∴不等式f（m﹣1）＞f（2m﹣1）可化为：﹣2＜m﹣1＜2m﹣1＜2，解得：m∈（0，），故答案为：（0，）16．（5分）给出下列四个命题：①函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x2﹣|x|；③若log a＜1，则a的取值范围是（0，）∪（2，+∞）；④若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．其中所有正确命题的序号是②④．【解答】解：对于①，由2x﹣1=1，得x=1，∴函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），设x ＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x（﹣x+1）=x（x﹣1），则f（x）的解析式为f（x）=x2﹣|x|，故②正确；对于③，由log a＜1，得log a＜log a a，当a＞1时，不等式成立，当0＜a＜1时，解得0．则a的取值范围是（0，）∪（1，+∞），故③错误；对于④，由2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），得2﹣x﹣lnx＞2y﹣ln（﹣y），∵函数f（x）=2﹣x﹣lnx为定义域内的减函数，∴x＜﹣y，即x+y＜0，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算下列各式的值（1）log3+lg25+lg4（2）已知a+a=3，求值：．【解答】解：（1）log3+lg25+lg4=．（5分）（2）∵a+a=3，∴，∴a+a﹣1=7，（7分）∴（a+a﹣1）=a2+a﹣2+2=49，∴a2+a﹣2=47，（9分）∴．（10分）18．（12分）已知函数f（x）=+lg（2﹣x）的定义域为A，g（x）=﹣x2+1的值域为B．设全集U=R．（1）求集合A，B；（2）求A∩（∁U B）．（3）已知C={x|a≤x≤a+2}，若B∩C=C，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵，解得﹣1≤x＜2，∴A=[﹣1，2），∵g（x）=﹣x2+1的值域为B，∴B=（﹣∞，1]（2）C U B=（1，+∞），∴A∩（∁U B）=（1，2），（3）∵B∩C=C⇔C⊆B，∴a+2≤1，∴a∈（﹣∞，﹣1]．19．（12分）已知二次函数f（x）满足f（1）=0，且f（x+1）﹣f（x）=4x+3．（1）求f（x）的解析式，（2）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设y=f（x）=ax2+bx+c，∵f（1）=0且f（x+1）﹣f（x）=4x+3，∴a+b+c=0且a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=4x+3，∴2a=4，a+b=3，解得a=2，b=1，c=﹣3，函数f（x）的表达式为f（x）=2x2+x﹣3，（2）∵f（x）=2x2+x﹣3的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，若f（x）在区间[a，a+1]上单调，则a≥﹣，或a+1≤﹣，∴a≥﹣，或a≤﹣．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．证明如下：∵2x+1≠0，∴f（x）的定义域为R，又∵，∴f（x）为奇函数．（2），任取x1、x2∈R，设x1＜x2，∵==，∵，∴，又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在其定义域R上是增函数．21．（12分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴f（3）=log3（9×3）•log3（3×3）=3×2=6，（2）令t=log3x，∵f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴≤t（x）≤log39，∴实数t的取值范围：﹣2≤t≤2，（3）g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，对称轴t=﹣，根据二次函数的性质可得：g（）=﹣，，x=，g（2）=12，log3x=2，x=9故函数y=f（x）的最大值12，x=9，最小值，x=，22．（12分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣．（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k 有零点，则函数y=2x 的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1．（Ⅲ）∵当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，即1﹣＞m•2x﹣2恒成立．令t=2x，则t∈（1，2），且m＜﹣==+．由于+在∈（1，2）上单调递减，∴+＞+=，∴m≤．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【数学】2015-2016年福建省漳州市东山二中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)(b卷)
2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（文科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）A．{﹣1，0，1，2，4}B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4}D．{0，1，2，4} 2．（5分）如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．03．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）4．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．566．（5分）已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题7．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（）A．30°B．45°C．60°D．135°9．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（5分）已知f（x）=，则f（2016）等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．（5分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．1个二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则=．14．（5分）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．15．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．16．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．三、解答题（本大题共6题，共70分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．19．（12分）已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．21．（12分）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）A．{﹣1，0，1，2，4}B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4}D．{0，1，2，4}【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}．故选：A．2．（5分）如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．0【解答】解：因为，而（m∈R，i表示虚数单位），所以，m=1．故选：A．3．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故选：A．4．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．56【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13====26故选：B．6．（5分）已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，即：+＜0，显然是假命题，∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，故选：C．7．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A．8．（5分）过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，在点的切线的斜率为k=2×=1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故选：B．9．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选：A．10．（5分）已知f（x）=，则f（2016）等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵f（x）=，∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2，故选：D．11．（5分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数的周期为T==，∴ω=又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴=，其中k∈Z取k=1，得φ=因此，f（x）的表达式为，故选：B．12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则=．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且，∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2），解得S6=21S2，∴==．故答案为：．14．（5分）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5）2+y2=9．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9故答案为：（x﹣5）2+y2=9．15．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．【解答】解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．16．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6题，共70分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣18．（12分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．19．（12分）已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．21．（12分）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为ρ=4sinθ． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为（﹣2，1），求|MA |+|MB |的值．【解答】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，整理得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4y=0．（2）由消去t ，得直线l 的普通方程为y=x +3，因为点M （﹣2，1）在直线l 上，可设l 的标准参数方程为，代入圆C 的方程中，得．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理，得＞0，t 1t 2=1＞0，于是|MA |+|MB |=|t 1|+|t 2|=，即|MA |+|MB |=．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
【数学】2015年福建省漳州市东山二中高三(上)期末数学试卷(理科)和解析
2014-2015学年福建省漳州市东山二中高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）1．（5分）设复数z满足，则=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合P={x|=0}，则集合P的所有子集个数是（）A．2B．3C．7D．83．（5分）下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞04．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．35．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27B．81C．243D．7296．（5分）设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，），B．f（x）的一个对称中心是（，0）C．f（x）在[，]上是减函数D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象7．（5分）图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高在[150，155）内的人数）．图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160，180）内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s值分别是（）A．i＜6，1000B．i＜7，1500C．i＜8，1850D．i＜9，2050 8．（5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A．B．4C．D．910．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=．12．（4分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则=，|+2|=．13．（4分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x ≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为．14．（4分）设，则函数的最大值为．15．（4分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为．三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x ∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB ）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．17．（13分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．18．（13分）如图，△ABC的外接圆⊙O半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE ∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2．（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．19．（13分）已知x∈[0，1]，函数f（x）=x2﹣ln（x+），g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．20．（14分）已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．（1）求抛物线F的方程；（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）四、（本小题满分14分）本题设有21、22、23三个选答题，每小题14分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.[选修4-2：矩阵与变换] 21．（14分）已知矩阵M=，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．（Ⅰ）求矩阵N；（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（其中t为参数），圆C的极坐标方程为，（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程．（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，（Ⅰ）求f（x）的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．2014-2015学年福建省漳州市东山二中高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）1．（5分）设复数z满足，则=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i【解答】解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，∴z=2﹣i，=2+i，故选：C．2．（5分）设集合P={x|=0}，则集合P的所有子集个数是（）A．2B．3．7D．8【解答】解：=（t3﹣5t2+6t）|=x3﹣5x2+6x=x（x﹣2）（x﹣3）=0，解得x=0，或2，或3，∴P={0，2，3}，∴集合P的所有子集个数23=8，故选：D．3．（5分）下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0【解答】解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选：A．5．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27B．81C．243D．729【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选：C．6．（5分）设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，），B．f（x）的一个对称中心是（，0）C．f（x）在[，]上是减函数D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象【解答】解：因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=π对称，所以由f（x）=3sin（2x+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），可知2×π+φ=kπ+，φ=kπ﹣，﹣＜φ＜，所以k=1时φ=．∴函数的解析式为：f（x）=3sin（2x+）．当x=0时f（0）=，所以A不正确．当x=时f（x）=0．函数的一个对称中心是（，0）B正确；当＜x＜，2x+∈[，]，函数不是单调减函数，C不正确；f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ﹣ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；故选：B．7．（5分）图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高在[150，155）内的人数）．图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160，180）内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s值分别是（）A．i＜6，1000B．i＜7，1500C．i＜8，1850D．i＜9，2050【解答】解：为了统计身高在[160，180）内的学生人数，先算出从160到180的小组分别有[160，1165），[165，170），[170，175），[175，180）共有四组，分别为第4组、第5组、第6组和第7组．因此，当i=4时开始，直到i=7时算出这四组的频数之和，说明i≥8时结束循环而输出结果，可得判断框内应填写的条件是：“i＜8”∵第4组的频数A4=450，第组的频数A5，第6组的频数A6=500，第7组的频数A7=350，∴输出的和s=A4+A5+A6+A7=450+550+500+350=1850故选：C．8．（5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=，∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为．故选：D．9．（5分）已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A．B．4C．D．9【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．10．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．=••（﹣1）【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．12．（4分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则=．，|+2|=2．【解答】解：设=（x，y），则=1，=2x=2×1×cos60°，解得x=，y=．∴．=．|+2|==2．故答案分别为：；2．13．（4分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x ≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为．【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，由圆的面积公式可得Ω1的面积S=π×42=16π，集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，∴由三角形的面积公式可得Ω2的面积S′=×4×4=8，∴点M落在区域Ω2的概率P==，故答案为：．14．（4分）设，则函数的最大值为．【解答】解：∵，∴2x∈（0，π），变形可得y==﹣，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，结合图象可得当直线倾斜角为150°（相切）时，函数取最大值﹣tan150°=，故答案为：．15．（4分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．【解答】解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．故答案为：21．三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x ∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．【解答】解：（1）由题意知．3分∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得∴f（x）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．∴b=3，c=2.12 分．17．（13分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据数据，完成表格如下： …（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3． ∵，，．…（8分）∴ξ的分布列为：所以．…（11分）答：ξ的数学期望为2个．…（12分）18．（13分）如图，△ABC的外接圆⊙O半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE ∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2．（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵CD⊥⊙O所在的平面，AC⊂⊙O所在的平面，∴CD⊥AC，又BE∥CD，∴BE⊥⊙O所在的平面，∴BE⊥AB，又tan∠AEB=2=．∴AB=2，∴AB是圆的直径，∴AC⊥BC，CD∩BC=C，∴平面ADC⊥平面BCDE；…（6分）（2）假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，计算易得，DN=x，MF=4﹣x，故AM===，sin∠MAN===，解得：x=﹣（舍去）x=，…（13分）故MN=CB，从而满足条件的点M存在，且DM=DE．19．（13分）已知x∈[0，1]，函数f（x）=x2﹣ln（x+），g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x﹣=；令f′（x）＜0解得，0≤x＜；故函数f（x）的单调减区间为[0，]，此时，≤f（x）≤ln2；令f′（x）＞0解得，＜x≤1；故函数f（x）的单调增区间[，1]，此时，≤f（x）≤ln3﹣ln2；故函数f（x）的值域为[，ln2]．（2）根据所给条件，设g（x）在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b≤且c≥ln2；g′（x）=3x2﹣3a2＜0，g（x）在[0，1]上是单调减函数，故g（0）=﹣4a≥ln2，解得a≤﹣；g（1）=1﹣3a2﹣4a≤，解得a≤﹣或a≥；故a≤﹣．20．（14分）已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．（1）求抛物线F的方程；（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）【解答】解：（1）由题意设抛物线的方程为：x2=2py，（p＞0），由焦点为F（0，1）可知=1，∴p=2，∴所求抛物线方程为：x2=4y；（2）设切点A、B坐标为（x1，），（x2，），设P（m，﹣1），易知直线PA、PB斜率必存在，可设过点P的切线方程为：y+1=k（x﹣m），由，消去y并整理得：x2﹣4kx+4（km+1）=0，…①，∵切线与抛物线有且只有一个交点，∴△=（4k）2﹣16（km+1）=0，整理得：k2﹣mk﹣1=0，…②，∴直线PA、PB的斜率k1，k2为方程②的两个根，故k1•k2=﹣1，由△=0可得方程①的解为x=2k，∴x1=2k1，x2=2k2，假设存在一定点，使得直线AB恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在y轴上，设该定点为C（0，c），则=（x1，﹣c），=（x2，﹣c），∴∥，∴x1（﹣c）﹣（﹣c）x2=0，∴c（x1﹣x2）=（x2﹣x1），∴x1≠x2，∴c=﹣=﹣=1，∴直线AB过定点（0，1），（3）若点P为直线l：y=t（t＜0）上的任意一点，过点P作抛物线F：x2=2py（p ＞0）的切线PA、PB的切点分别是A、B，则直线AB恒过定点（0，﹣t）．四、（本小题满分14分）本题设有21、22、23三个选答题，每小题14分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.[选修4-2：矩阵与变换] 21．（14分）已知矩阵M=，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．（Ⅰ）求矩阵N；（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N=．…（3分）（Ⅱ）矩阵MN=，它所对应的变换为解得把它代人方程xy=1整理，得（y′）2﹣（x′）2=4，即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y2﹣x2=4…（7分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l 的参数方程是（其中t为参数），圆C的极坐标方程为，（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程．（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x ﹣y，即（x﹣）2+（y +）2=1，∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆化直线l 的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…（3分）（Ⅱ）∵圆心M （，﹣）到直线l的距离为d==5，…（5分）要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M （，﹣）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为==2．…（7分）第21页（共22页）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，（Ⅰ）求f（x）的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）法2：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）x≥4时，f（x）≥1；x＜3时，f（x）＞1，3≤x＜4时，f（x）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故a2+b2+c2≥﹣…（6分）当且仅当时取等号…（7分）第22页（共22页）。
2015年福建省高考模拟试题_福建省东山二中高三期中考试试题化学卷
2014-2015学年东山二中高三阶段性测试化学试卷（试卷满分100分；考试时间90分钟）第I 卷（选择题，共40分）可能用到的相对原子质量：H －1 C －12 O －16 Fe －56一、选择题（本题包括20小题，每小题2分，共40分，每小题只有一个正确答案）1. 金属钛对体液无毒且惰性，能与肌肉和骨骼生长在一起，有“生物金属”之称。
下列有关Ti Ti 50224822和的说法中正确的是( )。
A ．Ti Ti 50224822和原子中均含有22个中子 B ．Ti Ti 50224822和互为同位素C ．分别由Ti Ti 50224822和组成的金属钛单质互称为同分异构体D ．Ti Ti 50224822与为同一核素2．下列变化属于漂白性的是( )A ．SO 2使酸性KMnO 4溶液退色B ．乙烯使溴水退色C ．氯水使石蕊先变红，又退色D ．SO 2使NaOH 酚酞溶液退色3．下列关于0.5 mol ·L -1 Ba(NO 3)2溶液的叙述中，不正确的是（ ）。
A ．1 L 溶液中所含阴、阳离子总数是0.5N A 个B ．1 L 溶液中含N A 个NO 3－C ．500 mL 溶液中Ba 2+的浓度是0.5 mol ·L -1D ．500 mL 溶液中含有0.5N A 个NO 3－ 4．设阿伏加德罗常数的数值为N A ，下列说法正确的是（ ）A ．5.6g 铁与足量的Cl 2反应失去电子数为0.2N A 个B ．1 mol NH 3中共价键总数为3N AC ．1.5 mol NO 2与足量H 2O 反应，转移的电子数为2N AD ．标况下22.4L O 2和O 3组成的混合物中总原子数为2N A 个5．用经Cl 2消毒的自来水配制下列溶液：①Na 2SO 3；②KI ；③AlCl 3；④FeCl 2；⑤AgNO 3；⑥稀盐酸，发现部分药品变质，它们是( )A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①②④D ．③⑥6．已知某溶液中存在较多的H +、SO 42－、NO 3－，则该溶液中还可能大量存在的离子组是( ) A ．Al 3+、CH 3COO －、Cl － B ．Na +、 NH 4+、Cl －C ．Mg 2+、Cl －、 Fe 2+D ．Mg 2+、Ba 2+、Br －7．下列离子方程式书写正确的是（ ）A ．金属铝溶于氢氧化钠溶液：Al ＋2OH －=AlO 2－＋H 2↑B ．碳酸钡中加入过量盐酸：CO 32-＋2H ＋=CO 2↑＋H 2OC ．偏酸铝钠溶液中加入过量盐酸：AlO 2－＋4H ＋=Al 3＋＋2H 2O D ．铁粉加入到FeCl 3溶液中：Fe ＋Fe 3＋=2Fe 2＋8．甲醇质子交换膜燃料电池有两种反应原理：①CH 3OH(g)＋H 2O(g)===CO 2(g)＋3H 2(g)ΔH 1＝＋49 .0 kJ/mol②CH 3OH(g)＋12O 2(g)===CO 2(g)＋2H 2(g) ΔH 2＝－192 .9 kJ/mol 。
2015年福建省高考模拟试题_福建省东山二中高三期中考试数学(理)卷
2014-2015学年东山二中高三阶段性测试数学试卷一、 选择题二、 集合2{|lg 0},{|4},M x x N x x =>=≤则M N =( ).A (1,2) .B [1,2) .C (1,2] .D [1,2]1.( ) .A .B 7 .C.D 7-2. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ).A 2 .B 3 .C 4 .D 53. 函数()312f x ax a =+-在区间(1,1)-上存在零点，则a 的取值范围是（ ）.A.B .C .D 1a <-； 4. 设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为 ( ).A 20 .B 35 .C 45 .D 555. 已知2:1431,:(21)(1)0p xq x a x a a -??+++，若p Ø是q Ø的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）.A.B .C .D6. 用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 ( ).A 288个 .B 240个 .C 144个 .D 126个7. 在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是 ( ) .A [1,)-+∞ .B (1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1)-∞-8. 的展开式中x 的系数是 ( ).A 4- .B 3- .C 3 .D 49. 对于定义在[,]a b 上的两个函数()f x 与()g x ，如果对于任意[,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的。
若函数222y x x =-+与函数2y x m =+在区间[1,3]上是接近的，则实数m 的取值范围是 （ ）.A 2m ≤- .B 20m -≤≤ .C 31m -≤≤- .D 21m -≤≤- 二、填空题10.11. 已知向量(3,1),(1,3),(,7)a b c k ===，若()//a c b -，则k = 。
福建省东山一中2015届高三第二次月考数学试题 Word版含答案
东山一中2015届高中毕业班第二次月考文科数学试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1、已知全集{}4,3,2,1,0=U ，集合}3,2,1{=A ，}4,2{=B ，则B A C U )(为（ ）A ．}4,2,1{B ．}4,3,2{C ．}4,2,0{D ．}4,3,2,0{ 2、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则A 、4-B 、3-C 、-2D 、-1 3 【2014高考安徽卷文第1题】设i 是虚数单位，复数321iii++＝（ ） A .i - B . i C . 1- D . 14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则（）A 、6,21,21πϕω===kB 、3,21,21πϕω===kC 、6,2,21πϕω==-=kD 、3,2,2πϕω==-=k6 【2014高考广东卷文第7题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件 7. 【2014高考安徽卷文第5题】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A .c a b <<B .b a c <<C .a b c <<D .b c a << 8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1238a a a =，34518a a a =， 则234a a a =（ ） A ．512 B ．64 C ．1D ．15129已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度10．已知数列{n a }是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则2a 为（ ） A ．2-B ．3-C ．2D ．311. 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a 确定的平面区域中，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．412. 【2014高考全国2卷文第11题】若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A .(],2-∞-B .(],1-∞-C .[)2,+∞D .[)1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数()()1fx x ln =+-的定义域是14．某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．15、若命题“02,2≤--∈∀ax ax R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．若角α的终边落在直线x+y=0上，则的值等于( ) A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．0考点：三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值．解答：解：∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角．∵+=+，∴当角α为第二象限角时，原式=﹣+=0；当角α为第四象限角时，原式=+=0．综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D．点评：本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想．3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，∵底面长和宽分别为3和6，∴其底面面积S=3×6=18，又∵棱锥的高h=3，故该几何体的体积V=Sh=×3×18=18．故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=( ) A．﹣2 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：先用向量表示出向量，再求内积即可得解解答：解：∵∴=∴====故选A点评：本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积，须特别注意向量的线性表示，求数量积时须注意两个向量的夹角．属简单题6．设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为( )A．（﹣∞，﹣3]∪C．∪（0，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．10．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=( ) A．B．C．﹣D．0考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．解答：解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6个一循环2015÷6=370余5f=f（5）=．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．已知曲线y=x在点（1，1）处的切线为直线l，则l与两坐标轴所围成的三角形面积为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到．解答：解：求导数可得y′=﹣，所以在点（1，1）处的切线斜率为﹣，切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），令x=0，得y=；令y=0，得x=3．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3=，故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．12．从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，则使得|x|+|y|≤4的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论．解答：解：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，如图所示，面积为2××（2+8）×3=30，∴所求概率为=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，确定区域的面积是解决本题的关键．13．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种1080（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，先分组，再分配；先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A44种方法，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有=45种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A44=24种方法，则共有45×24=1080种方法；故答案为1080．点评：本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式．14．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈r恒成立，且sinφ＜0，则f（x）的单调递增区间是；（k∈Z）考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由若f（x）≤|f（）||对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合sinφ＜0，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．解答：解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2×+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，k∈Z，又sinφ＜0，令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈，k∈Z，解得x∈（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．故答案为：（k∈Z）．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于基础题．15．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）=；A（10，10）=181．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=，再求出A（1，10），即可求出A（10，10）．解答：解：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=，∴A（1，10）==55，∴A（10，10）=55+10+11+…+18=181，故答案为：，181．点评：本题考查推理知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且•=﹣．（1）求cos2θ；（2）求sin（α+β）的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．分析：（1）由点P、Q的坐标即、坐标，结合向量数量积坐标运算公式得θ的三角函数等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可；（2）首先由余弦的倍角公式求出cos2θ，再根据同角正余弦的关系式求出sin2θ，即明确点P、Q的坐标，然后由三角函数定义得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，最后利用正弦的和角公式求得答案．解答：解：（1）∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，，∴，∴，，，，∴．点评：本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义，同时考查向量坐标的定义及向量数量积坐标运算．17．坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）按有放回抽取，甲中奖概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，乙中奖的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，丙中奖的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）按不放回抽取，甲中奖概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，乙中奖的概率是：p5=（1﹣）×=，丙中奖的概率是：p4=（1﹣）×（1﹣）×=．（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000．且由题设，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=10000）==．故ξ的分布列为：ξ6000 10000PEξ=6000×+10000×=9800．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．18．如图，四面体A﹣BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是△BMD的外心，点Q在线段AC上，且=4．（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求四面体A﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG，从而得到tanθ，由此可得∠BDC，进而可求四面体A﹣BCD的体积．解答：解：（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG===∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°，∵BD=2，∴CD=，∴S△BCD==，∴V A﹣BCD==．点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．19．甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n2﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n ﹣1a万元．（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n，b n万元，求a n，b n的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S n，则S n=（n2﹣n+2）（n≥2），从而a n=，由此能求出b n=a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，a n≥3a，而b n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．解答：解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S n，则S n=（n2﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，则n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣n+2）﹣=a（n﹣1），故a n=，又b1=a，n≥2时，b n﹣b n﹣1=（）n﹣1a，故b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=a= a=a，显然n=1也适合，故b n=a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，a n≥3a，而b n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．当n≥4时，令a n＞b n，则（n﹣1）a＞an﹣1＞6﹣4•（）n﹣1．即n＞7﹣4•（）n﹣1．又当n≥7时，0＜4•（）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4•（）n﹣1．即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．20．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．21．记函数的导函数为f′n（x），函数g（x）=f n（x）﹣nx．（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若实数x0和正数k满足：，求证：0＜x0＜k．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）由g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n，分n（n≥2）为偶数与n为奇数讨论导数的符号，即可求得其单调区间和极值；（Ⅱ）由可求得x0=，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，从而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；进一步可求得x0﹣k=＜0，从而得证0＜x0＜k．解答：解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，所以g′（x）=n．…①当n≥2且n为偶数时，n﹣1是奇数，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞），极小值为g（0）=0．…②当n≥2且n为奇数时，n﹣1是偶数，由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣2，0），递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），此时g（x）的极大值为g（﹣2）=2n﹣2，极小值为g（0）=0．…（Ⅱ）由得，所以1+x0=，x0=…显然分母（n+1）＞0，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0）则h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n﹣1（nk﹣1）=n（n+1）k（1+k）n﹣1＞0，所以h（k）是（0，+∞）上的增函数，所以h（k）＞h（0）=0，故x0＞0…又x0﹣k=，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx是（0，+∞）上的增函数，故当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）n＞1+nx，所以1+k（n+1）＜（1+k）n+1所以x0﹣k＜0，从而x0＜k．综上，可知0＜x0＜k．…点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，突出转化思想与分类讨论思想的运用，突出构造函数的思想的应用，熟练掌握导数法研究函数的单调性与极值与最值是解决这类问题的关键，属于难题．。
2015-2016年福建省漳州市东山二中高三(上)数学期中试卷和答案(文科)(a卷)
）
4． （5 分）已知向量| |=2，| |= A． B． C．
）
D．以上都不对 ， 则 a＞b． 则
5． （5 分） 设命题 p： x＞2 是 x2＞4 的充要条件， 命题 q： 若 （ ）
A．“p 或 q”为真B．“p 且 q”为真 C．p 真 q 假 D．p，q 均为假命题 ﹣ =1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦 ）
（3）若数列{bn}是等比数列且满足 b1+b2=3，b4+b5=24．设数列{an•bn}的前 n 项 和为 Hn，求 Hn． 21． （12 分）设函数 f（x）=alnx﹣bx2（x＞0） ； （1）若函数 f（x）在 x=1 处与直线 ①求实数 a，b 的值；
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相切
②求函数
A．第一象限
2． （5 分）设集合 A={x|﹣1＜x＜4}，B={﹣1，1，2，4}，则 A∩B=（ A．{1，2} B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}
3． （5 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A．y=x B．y=﹣x3 C．y= D． ，且 • =3，则 与 的夹角为（
命题 q：实数 x 满
18． （12 分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到 难共 12 关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种 网络虚拟币） ．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励 40 慧币； 第二种，闯过第一关奖励 4 慧币，以后每一关比前一关多奖励 4 慧币；第三种， 闯过第一关奖励 0.5 慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加 1 倍） ，游 戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案． （Ⅰ）设闯过 n （ n∈N，且 n≤12）关后三种奖励方案获得的慧币依次为 An， Bn，Cn，试求出 An，Bn，Cn 的表达式； （Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？ 19． （12 分）已知向量 =（sinx，1） ， =（ Acosx， cos2x） （A＞0） ，函数 f
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高三月考不仅是一个阶段性评测，还会影响到考生接下来的学习重点和策略，下面是2015届上学期高三数学第二次月考试题，其中包括数学基础知识、向量、函数知识点练习题，希望大家认真复习。
(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1、已知全集，集合，，则为( )A. B. C. D.2、已知向量A、 B、 C、 D、3 【2014高考安徽卷文第1题】设是虚数单位，复数 =( )A. B. C. D.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为 ( )A.1 B.2 C.3 D.45. 函数的图象如下图，则()A、B、C、D、6 【2014高考广东卷文第7题】在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的( )A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件7. 【2014高考安徽卷文第5题】设则( )A. B. C. D.8.已知各项均为正数的等比数列中，，，则( )A.512 B.64 C.1D.9已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象( )A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度10.已知数列{ }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为( )A. B. C.2D.311. 在不等式组x-y0，x+y0，ya确定的平面区域中，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是()A.1 B.2 C.3 D.412. 【2014高考全国2卷文第11题】若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.函数的定义域是14.某工厂的某种型号机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元(结果保留两位小数).15、若命题是真命题，则实数的取值范围是。
16.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3bsinA，则cosB= .三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(12分)【2014高考山东文第16题】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测地区数量50150100(1)求这6件样品中来自各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.18. (本题满分12分)设为等差数列，为数列的前项和，已知 .(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设，求数列的前项和 .19. (本题满分12分)下图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气质量优良的概率;20.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin( x+ )(A0,0 )在一个周期内的图象如图所示,P是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M是线段PQ与x轴的交点，且，(I) 求函数y=f(x)的解析式;(II)将函数y =f (x)的图象向右平移2个单位后得到函数y = g(x)的图象，试求函数h(x)= f(x).g(x)图象的对称轴方程.21.(本题满分12分)设是公差大于零的等差数列，已知， .(1)求的通项公式;(2)设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和22.(本小题满分14分)已知函数 .(Ⅰ)若曲线过点，求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值;(Ⅲ)若函数有两个不同的零点，求证： .解：(Ⅰ)因为点在曲线上，所以，解得 .因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为 . 4分(Ⅱ)因为 .①当时，，，所以函数在上单调递增，则 .②当，即时，，，，所以函数在上单调递增，则 .③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则 . 7分④当，即时，，，函数在上单调递减，则 . 9分综上，①当时， ;②当时， ;③当时， . 10分(3)不妨设 .因为，所以，，可得， .要证明，即证明，也就是 .因为，所以即证明，即 .12分令，则，于是 .令 ( )，则 .故函数在上是增函数，所以，即成立.所以原不等式成立. 14分已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)
设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.22、解：(1)由已知， 1分，所以斜率，2分又切点，所以切线方程为 )，即故曲线在处切线的切线方程为。
3分(2) 4分①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为 .5分②当时，由，得 . 6分在区间上，，在区间上，，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 7分(3)由已知，转化为 . 8分，所以 9分由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 10分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，， 12分所以，解得 . 14分总结：2015届上学期高三数学第二次月考试题就为大家介绍到这儿了，希望小编的整理可以帮助到大家，祝大家学习进步。
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