平行线的判定公理同位角相等,两直线平行
平行线的性质和判定
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。
平行线的判定和性质学案平行线的判...
平行线的判定和性质_学案平行线的判定、性质由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）．由公理推出：内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理．本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。
能用平行线的性质进行简单的推理和计算。
理解平行线的判定方法和性质区别。
点击一：平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行点击二：两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行点击三：平行线的基本性质：平行公理：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
点击四：平行线的判定方法同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．针对练习1:1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是毛A.平行或相交B.垂直或相交;C.垂直或平行D.平行、垂直或相交2.下列说法正确的是A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列说法正确的有①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;③若线段AB与CD没有交点,则AB‖CD;④若a‖b,b‖c,则a与c不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个5.过一点画已知直线的平行线,则A.有且只有一条B.有两条;C.不存在D.不存在或只有一条6.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.7.若AB‖CD,AB‖EF,则_____‖______,理由是__________________.8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________.9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.10.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L 平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________.11.如图所示,已知∠1 ∠2,AC平分∠DAB,试说明DC‖AB.12.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF 600,∠E •30°,试说明AB‖CD.答案：1.A2.D3.C4.B5.D6.不相交的两条直线7.CD EF 平行于同一条直线的两条直线平行8.1个 0个9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行11. 解:∵AC平分∠DAB,∴∠1 ∠CAB,又∵∠1 ∠2,∴∠CAB ∠2,∴AB‖CD.12.解:∵EG⊥AB,∠E 30°,∴∠AKF ∠EKG 60°∠CHF,∴AB‖CD.点击五：平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．点击六：平行线的距离同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。
【暑假分层作业】第02练 平行线的性质与判定-2022年七年级数学(人教版)(原卷)
第02练平行线的性质与判定知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a ∥b ，∴∠4+∠1=180°.知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.1．如图所示．点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB //CD 的是（ ）A ．3A ∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒2．如图，AB //CD ，DB ⊥BC ，垂足为点B ，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°3．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点G ，H ．GM 平分∠BGH ，且∠GHM =48°，那么∠GMD 的度数为（ ）A ．96°B ．104°C ．114°D ．124°4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF ＝∠GFE ＝45°，∠H ＝60°，∠EFH ＝30°），满足点E 在AB 上，点F 在CD 上，AB ∥CD ，∠AEG ＝20°，则∠HFD 的大小是（ ）A ．70°B ．40°C ．35D ．65°5．如图，点E 在AC 的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A =∠DCE ；④∠D ＋∠ABD =180°．能判断AB ∥CD 的是__________．（填正确条件的序号）6．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，250∠=︒，若要使木条a 与b 平行，则1∠的度数应为______．7．如图，AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠DCE =110°，则∠BEC =______°．8．如图，a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，13625'∠=︒，那么2∠=______．9．如图，∠1＝30°，∠B ＝60°，AB ⊥AC ．试说明AD //BC ．10．如图，已知AC ⊥BC 于点C ，∠B ＝70º，∠ACD ＝20º．(1)求证：AB //CD ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC //AD ．11．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EF∥CD，∠1+∠2＝180°．(1)求证：GD∥CA；(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．∠=∠．12．如图，在△ABC中，40B∠=，D，E分别是边BC，CA上的点，A DEC(1)求∠BDE的大小；(2)DF AC∥交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．1．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠4=∠6；③∠4+∠5=180°；④∠2+∠3=180°.其中能判定a∥b的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示）3．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ 的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．。
第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
平行线判定的六种方法
平行线的判定方法6：
垂直于同一条直线的两条直线平行。 几何书写： ∵b⊥a且c⊥a
∴b∥c（垂直于同一条
直线的 两条直线平行。）
二．学会分析，应用方法
问题3 如图，当∠1=∠2时,AB 与CD平行吗？ 为什么？ 答： AB∥CD . 1 A B 理由如下： 3 ∵ ∠1=∠2， C D 2 又∵ ∠2=∠3 ， ∴ ∠1=∠3 . F ∵∠1和∠3是同位角， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
2.已知直线l1,l2被l3所截，1=45º ，2=135º ， 判断l1 与 l2 是否平行，并说明理由。 解： l1 // l2 理由如下： 由已知，得2+3=180º ， 2=135º
3=180º -2 =180º -135º =45 º
l3 2 1 l1
又∵ 1=45º ，
D A 2 1 E F 3 C B
二．学会分析，应用方法
问题2 在同一平面内，如果两条直线都垂 直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？ 为什么？ 已知条件： 直线b与直线c都垂直于 直线a.
要说明的结论： 直线b与直线c平行。
二．学会分析，应用方法
已知：b⊥a且c⊥a 说明：b∥c吗？ 答：b∥c 理由如下： ∵ b⊥a， 2 1 ∴ ∠1= 90°. 同理∠2= 90°. 你还能用其他方 ∴ ∠1=∠2. 法说明理由吗？ ∵ ∠1和∠2是同位角， ∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
D A 2 1 E F C 3 B
一．梳理旧知，归纳方法源自（2）结合图形回答问题： ②如果∠1=∠3，能判定哪两条直线平行？ 为什么？ 答： DE∥FB.根据同位角相等，两直线平 行．
D A 2 1 E F 3 C B
一．梳理旧知，归纳方法
5.4平行线的性质定理和判定定理
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．
把你所悟到的 证明一个真命 题的方法,步骤, 书写格式以及 注意事项内化 为一种方法.
借助“同位角相等,两直线平行”这一基本事实,你还 能证明哪些熟悉的结论?
☞ 几何的三种语言
基本事实: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a b a b a b
5.4平行线的性质定理和判定定理
在七年级下册我们探索了哪些平行线的性质 和判定方法？ 其中“两条直线被第三条直线所截，如果同 位角相等，那么两直线平行”作为基本事实、
言必有“据”
基本事实： 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直线平行. 这一基本事实可以简单说成:同位角相等, 两直线平行. 利用这个基本事实,我们来证明下面的定理 定理 两条直线被第三条直线所截,如果同 旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补,两 直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步骤:
1
平行线的 判定
c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
分析下面的两个命题，你发现他们的条件 和结论之间有什么关系？
(完整版)平行线知识点(初一)
平行线知识点
1. 平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.
2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）
5.平行线的判定：（证明题常用）
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行。
）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行。
）
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行。
）
（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6. 平行线的性质(证明题常用)
(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等。
）
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等。
）
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补。
）
7. 图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
8. 图形平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
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A
1 F
2
B
CD
5.如图，CD⊥AB,GF⊥AB,D,F分别为垂足,G 在BC上, ∠1＝∠2，则DE∥BC,请说明理由
A
D
E
2
F
1
B
G
C
6.已知∠B=28°,∠C=56°,AD是高线， AE是∠BAC的平分线，则∠DAE等于几 度？
B
ED
C
7.已知如图,AB∥CD,∠B＝45°， ∠D＝60°，求∠BED的度数。
前提
条件
结论
平行公 无 经过直线 有且只有一条平行线
理
外一点
垂线基 在同一 经过一点 有且只有一条垂线 本性质 平面内
1.如图：∠B＝∠D，若BC∥DE，
则AB∥GD，试说明理由。
A
解：∵BC∥DE（已知）
∴∠1＝∠D
G （两直线平行，同位角相等） ∵∠B＝∠D（已知）
B
1
C ∴∠1＝∠B
F
∴AB∥DG
（三）平行线的判定公理
同位角相等，两直线平行
（四）平行线的性质公理
两直线平行，同位角相等。
区别判定公理和性质公理：
平行线的判定公理
条件 同位角相等
结论 两直线平行
平行线的性质公理 两直线平行
同位角相等
（五）平行公理
平行公理：经过直线外一点，有一条而 且只有一条直线和这条直线平行。 区别平行公理和垂线的基本性质：
A
B
E
C
D
D
E（同位角相等，两直线平行）
2.如图，AB⊥AF，GA⊥AE （1）∠FAE与∠BAD有何关系？ （2）若∠CDG与∠FAE互补，则 AB∥CD，试说明理由。
B C
F
A
D
G
E
3.图∠1＝∠2＝∠3，l2⊥l5已知∠4＝15°， 求∠5,∠1的度数。
l1 1
A
l2 2
l3
l4 3
5
4
M
C
l5
4.如图，CD是BC的延长线，AE是CA 的延长线，F在线段AB上，连接EF， 则∠2>∠1，请说明理由。
复习
（一）同位角、内错角、同旁内角
组成的 与被截直线的 与截线的位
图形 位置关系
置关系
同位角
F 被截直线的同 截线的同旁 一方向
内错角
Z 被截直线之间 截线的两旁
同旁内角 C 被截直线之间 截线的同旁
（二）平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。
强调：1、在同一平面内 2、直线
平行线的判定：在同一平面内，垂直于同 一条直线的两条直线是平行线。