两直线平行,同位角相等
初一数学下册：平行线的性质相关知识点
1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、平行线间的距离，处处相等。
3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.平行线的性质书写(1)∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）(2)∵AB∥CD（已知）∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）(3)∵AB∥CD（已知）∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
★要点提示★1.由性质1推导性质2，进一步导出性质3，再运用平行线的知识得出平行线的传递性，体现了几何演绎的思想和方法，要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”，要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性，可用符号语言表示为：对于直线a、b、c，如果a∥b，b∥c，则a∥c.3.有了平行线间的距离，至此就学了几何中的三种距离：两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度，后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离（点到直线的距离），而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，即点到垂足（点到点）的距离.。
高中证明线线平行的方法
高中证明线线平行的方法
在高中数学中，证明两条直线平行的方法有多种，主要包括以下几种：
1. 定义法：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
2. 同位角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
3. 内错角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相同，这两条直线平行。
4. 垂直于同一条直线的两条直线平行：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
5. 平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
6. 平行四边形的对边平行：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。
7. 梯形的两底平行：梯形的两底是平行的。
8. 三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）：三角形（或梯形）的中位线平行于第三边（或两底）。
9. 线段比例法：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
这些方法在实际证明过程中可以灵活应用，需根据具体的几何图形和条件选择最适合的方法进行证明。
平行线的判定条件
平行线的判定条件平行线是在同一个平面上且永不相交的两条直线。
在几何学中，判定两条直线是否平行的条件有以下三种：1. 同位角相等定理：如果一条直线与两条平行直线相交，那么这两条平行直线上的同位角（同位角是指两条直线被截取的相对位置相同的两个角）相等。
为了更好地理解同位角相等定理，我们可以通过以下例子进行解释。
假设有两条平行线l和m，直线n与l和m相交，如图所示： n|l———————————————m根据同位角相等定理，角A等于角B，角C等于角D。
这意味着同一边两个对应的角度是相等的，如角A和角B，角C和角D。
2. 三角形内角定理：如果两条直线被一条第三条直线截取，并且该直线上的两个内角相等，那么这两条直线是平行的。
以一个三角形作为示例，如图所示：///a //// b----------/----------//// c如果线段a与线段b平行，那么线段c与线段b也平行。
3. 平行线的传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c 平行。
此定理在平行线的判定中起到重要作用。
它表示如果两条直线均与同一直线平行，那么这两条直线本身也是平行的。
总结：以上所述的三种判定条件可以帮助我们确定两条直线是否平行。
在几何学中，平行线的判定非常重要，并且可应用于解决各种相关问题，例如角度相等和直线的相对位置等。
需要注意的是，在判断平行线时，我们必须确保所讨论的直线都在同一个平面上。
如果两条直线不在同一个平面上，那么它们无法被判定为平行。
通过了解和应用这些判定条件，我们可以有效地判断两条直线是否平行，并在几何学问题中应用这些知识。
平行线的概念和判定条件在数学和物理学中均有广泛的应用，对于进一步理解和解决相关问题具有重要意义。
证明平行线同位角相等
证明平行线同位角相等平行线是指在同一平面内，永不相交的两条直线。
在平行线的研究中，同位角是一个重要的概念。
同位角是指两条平行线被一条横截线所切割所形成的角，同位角有一个重要的性质，即同位角相等。
本文将从几何角度出发，给出平行线同位角相等的证明。
我们需要明确一些基本定义和性质。
在同一平面内，如果两条直线被一条横截线所切割，那么我们将这两条直线分别称为被切割的直线，横截线称为切割线。
在切割线与被切割的直线形成的角中，我们将与切割线同侧的角称为同位角。
同位角有一个重要的性质，即同位角相等。
接下来，我们将通过证明来证明平行线同位角相等的性质。
假设有两条平行线AB和CD，它们被一条横截线EF所切割（如图1）。
我们要证明的是角AEF与角CED相等，角BEF与角CED相等。
我们假设角AEF的度数为x，角CED的度数为y。
根据同位角的定义，我们可以得出以下等式：x + y = 180°（1）由于平行线AB和CD是平行线，所以它们对应的内错角是相等的。
根据内错角的性质，我们可以得到以下等式：角AEF = 角BEC （2）角CEF = 角DEF （3）由于角AEF和角CEF是平行线与横截线所形成的内角，根据内错角的性质，我们可以得到以下等式：角AEF = 角CED （4）结合等式（2）、（3）和（4），我们可以得到以下等式：角BEC = 角CED （5）角DEF = 角CED （6）由于角BEC和角DEF是平行线与横截线所形成的内角，根据内错角的性质，我们可以得到以下等式：角BEC = 角DEF （7）结合等式（5）和（7），我们可以得到以下等式：角BEC = 角CED = 角DEF （8）由于角BEC和角DEF是同位角，根据同位角的性质，我们可以得到以下等式：角BEF = 角CED = 角DEF （9）根据等式（8）和（9），我们可以得出以下结论：角BEF = 角CED （10）我们证明了平行线同位角相等的性质。
证明两直线平行的方法
证明两直线平行的方法
要证明两条直线平行，我们可以利用几何学中的一些基本定理和性质来进行推导和证明。
下面我们将介绍几种常用的方法来证明两条直线平行的方法。
方法一，同位角相等定理。
同位角相等定理是证明两条直线平行的常用方法之一。
当一条直线被一条截线分成两个角时，如果这两个角的同位角相等，那么这条直线与截线所形成的另一条直线就是平行的。
这个定理可以通过角的对顶角、内错角、同位角等性质来进行证明。
方法二，平行线的性质。
平行线的性质也是证明两条直线平行的重要方法之一。
根据平行线的性质，我们可以利用平行线与截线所形成的对应角、内错角、同位角等性质来进行证明。
通过对角的性质进行分析，可以得出两条直线平行的结论。
方法三，利用平行线的判定定理。
平行线的判定定理是证明两条直线平行的重要定理之一。
根据平行线的判定定理，我们可以通过证明两条直线所形成的对应角、内错角、同位角等性质来判定两条直线是否平行。
如果这些角相等，那么可以得出两条直线平行的结论。
方法四，利用平行线的性质和定理。
除了上述方法外，我们还可以结合平行线的性质和定理来进行证明。
例如，可以利用平行线的性质和同位角相等定理、内错角相等定理等来进行推导和证明。
通过分析角的性质和直线的性质，可以得出两条直线平行的结论。
综上所述，证明两条直线平行的方法有很多种，可以根据具体的情况选择合适的方法进行证明。
在实际问题中，我们可以根据已知条件和待证结论来灵活运用这
些方法，从而得出正确的结论。
希望以上介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握证明两条直线平行的技巧。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
证明平行线同位角相等
证明平行线同位角相等平行线同位角相等是几何学中的一个基本定理，它在解决平行线和其它几何图形的性质时起到了重要的作用。
本文将详细说明平行线同位角相等的原理和证明过程。
我们先来了解一下平行线的概念。
在平面几何中，如果两条直线在同一平面内没有交点，并且它们的方向相同或者互为反向，则这两条直线被称为平行线。
平行线之间的距离是始终相等的，它们永远不会相交。
在这个基础上，我们来研究平行线的同位角。
同位角是指两条平行线被一条直线截断时，在同一边的对应角。
具体来说，我们可以将一条直线与两条平行线相交，形成两对同位角，这两对同位角中的角度是相等的。
为了更好地理解平行线同位角相等的原理，我们可以通过几何图形来进行说明。
假设有两条平行线AB和CD，并且它们被一条直线EF 截断。
根据同位角的定义，我们可以得到四对同位角，分别为∠AEG、∠BEF、∠FEH和∠DEG。
接下来，我们需要证明这四对同位角中的角度是相等的。
首先，我们将证明∠AEG和∠DEG的大小相等。
根据等腰三角形的性质，我们可以得知AE=DE，因此△AEG≌△DEG。
由于△AEG≌△DEG，我们可以得到∠AEG≌∠DEG。
接着，我们来证明∠BEF和∠FEH的大小相等。
同样地，根据等腰三角形的性质，我们可以得知BF=HF，因此△BEF≌△FEH。
由于△BEF≌△FEH，我们可以得到∠BEF≌∠FEH。
通过以上证明，我们可以得知在平行线AB和CD被直线EF截断时，同位角∠AEG、∠BEF、∠FEH和∠DEG的大小是相等的。
换言之，平行线同位角相等的定理得到了证明。
平行线同位角相等的定理在几何学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们解决各种与平行线相关的问题，比如证明两条线段平行、证明两个三角形相似等等。
通过利用平行线同位角相等的定理，我们可以简化解题过程，提高解题效率。
总结起来，平行线同位角相等是几何学中的一个重要定理，它能帮助我们解决与平行线相关的各种几何问题。
通过对平行线同位角的定义和证明过程的详细说明，我们可以更好地理解和运用这个定理。
平行线的判定定理
平行线的判定定理
首先,先理顺下关于平行线的判定所可能用到的公理、定理
公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（即：同位角相等,两直线平行）
定理：1、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行；
2、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行；
3、两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）.
既然是公理,也就是劳动人民在日常生活中总结出来的常识,这是不需要证明的.其他的几个定理,均是依托公理而展开,可以算是公理的特殊化、简单化、具体化.
另外,有关其他定理的证明,比如：如何将相等的内错角转换成相等的同位角,这需要做图,分析角.
最后,提醒下,关于平面几何方面的证明题目,一定要有规范的步骤,谨遵口诀：
条件：同位角相等结论：两直线平行。
条件：内错角相等结论：两直线平行。
条件：同旁内角互补结论：两直线平行。
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3
探索1
方法一
方法二
练一练
证明:过A作EF∥BC
B
）
C
探索2 方法1 方法2
所以∠B=∠2（两直线平行,内错角相等
∠C=∠1（ 两直线平行,内错角相等 ）
因为∠2+∠1+∠BAC=180°（ 平角定义 ） 所以∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
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方法一
方法二
练一练
探索2 方法1 方法2
(2)∵∠ ∴∠ = =
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1 B 80 40（等量代换） 2
B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚ (三角形的内角和为180 ˚ ) C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC (等式的性质) 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚ 70 ˚
1
探索1
方法一
方法二
练一练
探索2 方法1 方法2
2
பைடு நூலகம்
3
首页
复习导入
学习目标
探索新知
知识应用
课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
拼角
1 ４ 1 2 2 3
图1
探索1
方法一
方法二
５
练一练
3
４ 1 ５
探索2 方法1 方法2
2
图2
3
首页
你能用说理的方式证明该结论正确吗？
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因为∠1+ ∠2+ ∠ACB=180° (平角定义) 所以∠A+ ∠B + ∠ACB=180° (等量代换)
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结束
9.1.2 三角形的内角和
三角形的三个内角和是180° 已知：△A B C.求证：∠A +∠B +∠C =180° A E F ４ ５ 1 2 1
⒉什么是三角形的内角？ ⒊什么是三角形的外角？ ⒋三角形的外角与内角有什么 关系呢？
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相邻的内角
知识应用 课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
学习目标
1、理解并掌握三角形的内角和及外角的 性质。 2、会用三角形的内角和及外角和性质来 进行相关计算。
探索1
方法一
方法二
探索2 方法1 方法2
蓝用量角器量了量自己和红一样，就不再
学习目标 探索新知 知识应用 课堂小结
说话了！
同学们，你们知道其中的道理吗？
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结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1.三角形的内角和 你有什么办法可以验证它呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和 方法二:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
学习目标 探索新知 知识应用 课堂小结
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结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1
小结：
1.三角形的内角和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余.
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. 4.三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角．
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练一练
探索2 方法1 方法2
预习导视
1.三角形内角和等于多少？
2.直角三角形两锐角关系
3.三角形外角与内角的关系
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结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1
问题
方法一
方法二
练一练
三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀地说： “我的体积比你大，所以我的内角和也比你 大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自 己量量看！”
即：∠ACD= ∠A+ ∠B
B
C
D
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学习目标
探索新知
知识应用
课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1
方法二：
方法一 方法二
证明: ∵∠ACD+∠ACB=180° ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B
练一练
探索2 方法1 方法2
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探索新知
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9.1.2 三角形的内角和
探索1
∠ACD = ∠A+ ∠B ∠ACD > ∠A
方法一
∠ACD > ∠B
方法二
练一练
思考：怎样用文字来表述这个结论？
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角．
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方法二
练一练
探索2 方法1 方法2
∠ACD(外角)+∠ACB(相邻的内角)=180 ˚（互补）
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探索新知
知识应用
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9.1.2 三角形的内角和
探索1
思考：三角形的一个外角与不相邻的两个内 角又有什么关系呢？
方法一
A
1
方法二
E
４ 1
练一练
探索2
2
3
５
2
方法1
B
从拼角的过程中你发现什么？
练一练
探索1
方法一
方法二
练一练
探索2 方法1
思考：在直角三角形中，两个锐角有怎样的关系呢？
方法2
结论：直角三角形的两个锐角互余。
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知识应用
课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
探索2：三角形的外角与内角有什么关系呢？
探索1
方法一
思考：三角形的一个外角与相邻的内角 有什么关系呢？
结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1
方法一
三角形的内角和性质
文字语言：三角形的内角和等于180° 符号语言： 因为∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角 所以∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的 内角和等于180°）
方法二
练一练
探索2 方法1 方法2
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学习目标
探索新知
知识应用
课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
探索2 方法1 方法2
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结束
知识应用
9.1.2 三角形的内角和
探索1
例1如图，D是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ˚ ， ∠BAC=70˚. 求： (1) ∠ B的度数；(2) ∠ C的度数.
解：(1)∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知) ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚ (三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和) 又∵ ∠B=∠BAD(已知)
发现：∠ACD=∠A+ ∠B
C
D
方法2
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学习目标
探索新知
知识应用
课堂小结
结束
9.1.2 三角形的内角和
探索1
思考：如何说明∠ACD=∠A+ ∠B 方法一：
证明:作CE∥AB 所以 ∠1= ∠A ∠2= ∠B 因为∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 1
方法一
方法二
A
练一练
E
2
探索2 方法1 方法2
方法一
方法二
练一练
探索2 方法1 方法2
首页
结束
9.1.2 三角形的内角和
遵谭中学陈美佑
进入
9.1.2 三角形的内角和
旧知回顾
⒈我们学习了平行线的哪些性质呢？ ⑴两直线平行，同位角相等． ⑵两直线平行，内错角相等． ⑶两直线平行，同旁内角互补．
3 1
c
探索1
方法一
2 a
方法二
练一练
如果a∥b，
则 ∠1= ∠2
则 ∠1= ∠3
不相邻的内角
外角
b
探索2 方法1 方法2
结束
9.1.2 三角形的内角和 三角形的内角和等于 1800.
探索1
已知：△A B C .求证：∠A +∠B +∠AC B=180° A
1 ４ 1 ５
方法一
E
3
方法二
练一练
2
2
探索2
B
证明:作CE∥AB ,并延长ＢＣ至Ｄ 所以 ∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
C
D
方法1 方法2
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等)