2016-2017年山东省潍坊市寿光市高二上学期期中数学试卷及解析(理科)
《解析》山东省潍坊市寿光市现代中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆的焦距为2，则m的值为（）A．5 B．3 C．3或5 D．62．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣83．双曲线的焦距为（）A．3B．4C．3D．44．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．285．椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．±B．±C．±D．±6．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题7．焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．B ．C ．D ．8．过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1（x 1、y 1），P 2（x 2、y 2）两点，若y 1+y 2=6，则|P 1P 2|的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．109．双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）A ．y 2=3xB ．y 2=9xC ．y 2=xD ．y 2=x二、填空题（2014秋雅安期末）原命题：“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”．在原命题以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有 个．12．椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 ．13．命题“∀x ∈[﹣2，3]，﹣1＜x ＜3”的否定是 ．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是．15．对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．17．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点p（，），求此椭圆标准方程；（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程．18．已知抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，它的弦PQ所在直线的方程为y=2x﹣1，弦长等于，求抛物线的C方程．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？20．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．21．在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．2015-2016学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆的焦距为2，则m的值为（）A．5 B．3 C．3或5 D．6【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距2c 的值列出方程，从而求得n的值．【解答】解：由椭圆得：2c=2得c=1．依题意得4﹣m=1或m﹣4=1解得m=3或m=5∴m的值为3或5故选C．【点评】本题是基础题，考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，考查计算能力．2．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A ．B ．C ．8D ．﹣8 【考点】抛物线的定义．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x 2=my 的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax 2的标准方程是x 2=y ，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣． 故选B ．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．3．双曲线的焦距为（ ）A ．3B ．4C ．3D ．4 【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】本题比较简明，需要注意的是容易将双曲线中三个量a ，b ，c 的关系与椭圆混淆，而错选B【解答】解析：由双曲线方程得a 2=10，b 2=2，∴c 2=12，于是， 故选D ．【点评】本题高考考点是双曲线的标准方程及几何性质，在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高．4．过双曲线左焦点F 1的弦AB 长为6，则△ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．12B ．14C ．22D ．28【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得AF2+BF2 =22，△ABF2的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=4，由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣6=16，AF2+BF2 =22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故选D．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =22 是解题的关键．5．椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M 的纵坐标是（）A．±B．±C．±D．±【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】设点P的坐标为（m，n），根据椭圆方程求得焦点坐标，进而根据线段PF1的中点M在y轴上，推断m+3=0求得m，代入椭圆方程求得n，进而求得M的纵坐标．【解答】解：设点P的坐标为（m，n），依题意可知F1坐标为（3，0）∴m+3=0∴m=﹣3，代入椭圆方程求得n=±∴M的纵坐标为±故选A【点评】本题主要考查了椭圆的应用．属基础题．6．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假．【专题】常规题型．【分析】¬（p或q）为假命题既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选C．【点评】本题主要考查复合命题的真假，是基础题．7．焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】设所求的双曲线方程是，由焦点（0，6）在y 轴上，知k＜0，故双曲线方程是，据c2=36 求出k值，即得所求的双曲线方程．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，故所求的双曲线方程是，故选B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．8．过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1、y1），P2（x2、y2）两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|P1P2|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案．【解答】解：x2=4y的焦点为（0，1），设过焦点（0，1）的直线为y=kx+1则令kx+1=，即x2﹣4kx﹣4=0由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=﹣4y1=kx1+1，y2=kx2+1所以y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=6，所以k2=1所以|AB|=|x1﹣x2|====8．故选C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用，直线与圆锥曲线是高考的重点，每年必考，要着重复习．9．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先在Rt △MF 1F 2中，利用∠MF 1F 2和F 1F 2求得MF 1和MF 2，进而根据双曲线的定义求得a ，最后根据a 和c 求得离心率．【解答】解：如图在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2=30°，F 1F 2=2c∴，∴∴，故选B ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．如图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）A ．y 2=3xB ．y 2=9xC ．y 2=xD ．y 2=x 【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，作AM 、BN 垂直准线于点M 、N ，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3﹣）（1﹣）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．得y2=3x．故选A．【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．二、填空题（2014秋雅安期末）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”．在原命题以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有2个．【考点】四种命题的真假关系．【分析】只需判断原命题和其逆命题真假即可．【解答】解：原命题中，c=0时不成立，故为假命题；逆命题为：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”真命题，由原命题和其逆否命题同真假，故真命题个数为2答案：2【点评】本题考查四种命题及真假判断，属容易题．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y﹣12=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程．【解答】解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），∵P（3，2）为EF中点，∴x1+x2=6，y1+y2=4，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆4x2+9y2=144，得，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴24（x1﹣x2）+36（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），整理，得2x+3y﹣12=0．故答案为：2x+3y﹣12=0．【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用．13．命题“∀x∈[﹣2，3]，﹣1＜x＜3”的否定是∃x∈[﹣2，3]，x≤或x≥3．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈[﹣2，3]，﹣1＜x＜3”的否定是：∃x∈[﹣2，3]，x≤或x≥3．故答案为：∃x∈[﹣2，3]，x≤或x≥3．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是4．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．15．对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为③④．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错，据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围，判断出③对；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．【解答】解：若C为椭圆应该满足即1＜k＜4 且k≠故①②错若C为双曲线应该满足（4﹣k）（k﹣1）＜0即k＞4或k＜1 故③对若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4﹣k＞k﹣1＞0则1＜k＜，故④对故答案为：③④．【点评】椭圆方程的形式：焦点在x轴时，焦点在y轴时；双曲线的方程形式：焦点在x轴时；焦点在y轴时．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质求解命题p，q以及￢p和￢q，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴￢p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴￢q：x＜m﹣1或x＞m+1．又￢p是￢q的充分而不必要条件，∴2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4]．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求解p，q以及￢p和￢q的等价条件是解决本题的关键．17．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点p（，），求此椭圆标准方程；（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）所求椭圆方程为，（a＞b＞0），其焦点坐标为（，0），再由椭圆过点P（），能求出a，b，从而能求出椭圆方程．（2）由抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，得焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0），由此能求出抛物线方程．【解答】解：（1）∵椭圆x2+4y2=16，∴，其焦点坐标为（，0），设所求椭圆方程为，（a＞b＞0），其焦点坐标为（，0），∴c2=12=a2﹣b2，①又∵椭圆过点P（），∴=1，②…解①②组成的方程组得，…∴椭圆方程为．…（2）∵抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，∴焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0）．…当焦点（0，﹣3）时，设抛物线方程为x2=﹣2py，，抛物线方程为x2=﹣12y，…当焦点（4，0）时，设抛物线方程为y2=2px，，抛物线方程为y2=16x．…∴抛物线方程为y2=16x或x2=﹣12y．…【点评】本题考查椭圆方程、抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、抛物线性质的合理运用．18．已知抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，它的弦PQ所在直线的方程为y=2x﹣1，弦长等于，求抛物线的C方程．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由y=2x﹣1代入y2=2px，得4x2+（﹣4﹣2p）x+1=0，利用韦达定理，弦长公式，即可得出结论．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p≠0），由y=2x﹣1代入y2=2px，得4x2+（﹣4﹣2p）x+1=0，…，∴x1+x2=，x1x2=，…由△=（﹣4﹣2p）2﹣16＞0得p＜﹣4或p＞0．…弦长|AB|==．…解得p=﹣6或p=2，…所以抛物线方程为y2=﹣12x或y2=4x．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，．【点评】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，此题属中档题．20．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；规律型．【分析】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）【点评】本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．21．在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．【解答】解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．【点评】考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．。
山东省潍坊市高二上学期期中数学试卷
山东省潍坊市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共16分)1. （3分）已知等差数列7，x，11，y，z，则x=________，y=________，z=________．2. （1分）(2017·北京) 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．3. （1分） (2016高二上·弋阳期中) 设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则a﹣b=________．4. （1分）等差数列{an}中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ，则b5b9=________．5. （1分）表面积为24π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．6. （1分） (2017高二下·莆田期末) 若ab=0，则a=0或b=0的否命题________．7. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为________．8. （1分） (2016高一上·南京期中) 函数y= 的值域为________9. （1分） (2018高二下·定远期末) 条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．10. （1分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=， sinA=________11. （1分） (2017高一下·南京期末) 设等比数列{an}的公比q，前n项和为Sn ．若S3 ， S2 ， S4成等差数列，则实数q的值为________．12. （1分）已知|x﹣2|+|x+1|＞a恒成立，则实数a的取值范围是________．13. （1分） (2016高三上·遵义期中) 已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为________．14. （1分）(2017·成都模拟) 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为________．二、解答题 (共6题；共40分)15. （10分） (2017高二下·营口会考) 已知{an}是等比数列，a1=2，且a1 ， a3+1，a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．16. （5分） (2016高二上·叶县期中) 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．17. （5分）已知，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点M、N在△ABC的边上，将△ABC沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似．请在下列图（不一定都用，不够可添）中分别画出折痕MN各种可能的位置，并说明画法及直接写出折痕的长．18. （5分） (2018高三上·昭通期末) 已知函数．(I)求不等式f(x)≤6的解集；(II)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．19. （5分） (2016高二上·叶县期中) 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．20. （10分）(2018·南宁模拟) 已知数列满足 . （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .参考答案一、填空题： (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共40分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、。
【全国百强校】山东省寿光现代中学2016-2017学年高二12月月考数学试题解析(解析版)
山东省寿光现代中学2016-2017学年高二12月月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列命题中是真命题的为（ ） A ．{},AB x x A x B =∈∈且B ．{},AB x x A x B =∈∈或C ．如果2320x x -+=，则2x = 且1x =D ．如果2x <，则3x <【答案】D考点：命题的真假判定．2.已知命题“a ∀，b ∈R ，如果0ab >，则0a >”，则它的逆否命题是（ ） A ．a ∀，b ∈R ，如果0ab <，则0a < B ．a ∀，b ∈R ，如果0a ≤，则0ab ≤ C ．a ∃，b ∈R ，如果0ab <，则0a < D ．a ∃，b ∈R ，如果0a ≤，则0ab ≤【答案】B 【解析】试题分析：根据逆否命题的定义，命题“a ∀，b ∈R ，如果0ab >，则0a >”，则它的逆否命题是“a ∀，b ∈R ，如果0a ≤，则0ab ≤”，故选B ．考点：四种命题的改写．3.在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（ ） A ．42 B ．40C ．43D ．45【答案】A 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，则2312313a a a d +=+=，解得3d =，所以45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯=，故选A ． 考点：等差数列的通项公式及其应用．4.已知方程221y x m +=表示的曲线是焦点在y 轴上且离心率为12的椭圆，则m =（ ）A ．23B ．43C ．34D ．32【答案】B考点：椭圆的几何性质．5.在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知222a b c +=，则C =（ ） A ．2π B ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，又因为222a b c +=，所以cos C ==又(0,)C π∈，所以C =34π，故选D ． 考点：余弦定理．6.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（ ） A ．22y x = B ．24y x =C ．210y x =D ．220y x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，双曲线2211312x y -=，则5c =，所以右焦点(5,0)F ，又因为抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，所以52p=，解得10p =，所以此抛物线的方程为220y x =，故选D ． 考点：双曲线与抛物线的几何性质及其应用．7.已知椭圆的两个焦点为()1F ，)2F ，M 是椭圆上一点，若120MF MF =，128MF MF =，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=【答案】C考点：椭圆的标准方程．8.已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-【答案】A 【解析】试题分析：由条件p ：12x +>，解得3x <-或1x >，要使得p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，即q p ⊂由集合的运算可得1a ≥，故选A ． 考点：充要条件的应用．9.已知抛物线22y px =上点()1,M m 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．8x =B ．8x =-C ．4x =D ．4x =-【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线22y px =上点()1,M m 到其焦点的距离为5，根据抛物线的定义可知，152pMF =+=，解得8p =，即抛物线的方程为216y x =，所以其抛物线的准线方程为4x =-，故选D ．考点：抛物线的几何性质．10.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点(),0F c ，虚轴的一个端点为()0,B b ，如果直线FB 与该双曲线的渐近线by x a=垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） ABCD【答案】D考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程，双曲线的几何性质——离心率、渐近线、虚轴、焦点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记双曲线的几何性质，灵活应用垂直，得到22c a ac -=是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．11.已知x ，y 满足约束条件101010x y x y y ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，作出约束条件表示的可行域，如图所示，由1010x y y ++=⎧⎨+=⎩，得(0,1)A -，将0l 平移至过点(0,1)A -处时，函数2z x y =-有最大值1．考点：简单的线性规划．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，数形结合思想的而应用．此类问题的解得中有两种方法：一是画出可行域法，表明目标函数的意义，得出最优解，另一种是由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数、验证，求出最优解，试题比较基础，属于基础题．12.设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：双曲线的几何性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的定义，三角形的余弦定理，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题设条件和双曲线的定义，列出方程组，求解12,PF PF 的值，再利用余弦定理求解12cos F PF ∠是解答的关键，试题有一定的运算量，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.命题“x ∀∈R ，2240x x -+≤”的否定为___________． 【答案】x ∃∈R ，2240x x -+> 【解析】试题分析：根据命题的否定概念，可得命题“x ∀∈R ，2240x x -+≤”的否定为“x ∃∈R ，2240x x -+>”． 考点：命题的否定．14.抛物线2x ay =（0a ≠）的焦点坐标是___________．【答案】1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭考点：抛物线的几何性质．15.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的标准方程为___________．【答案】221412x y -=【解析】试题分析：由抛物线方程216y x =的焦点为(4,0)F ，即双曲线中4c =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即有b a=又22216c a b =+=，解得2,a b ==，所以双曲线的方程为221412x y -=． 考点：双曲线的标准方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，双曲线的几何性质等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中灵活应用双曲线的渐近线方程和222c a b =+是解答的关键，试题运算比较基础，属于基础题．16.椭圆2221x y a a+=的长轴长是短轴长的2倍，则a 的值为___________．【答案】4或14考点：椭圆的标准方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的应用，其中解答中涉及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，本题的解答中根据椭圆的焦点分别在,x y 上，分两种情况讨论，分别求解a 的值是解答的关键，试题容易出错，属于易错题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设函数()f x =的定义域为A ，不等式()()120x a a x --->（1a <）的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ； （Ⅱ）若BA B =，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()[),11,A =-∞-+∞；（II ）(]1,2,12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（I ）根据函数定义域的概念，得到101x x -≥+，即可求解函数的定义域；（II ）根据一元二次不等式的解法，得到解集B ，利用B A B =，即可求解实数a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由3201x x +-≥+，得101x x -≥+， 1x ∴<-或1x ≥，即()[),11,A =-∞-+∞．…………………………4分（Ⅱ）由()()120x a a x --->（1a <），得()()120x a x a ---<（1a <）．1a <，12a a ∴+>，()2,1B a a ∴=+．B A B =，B A ∴⊆，21a ∴≥或11a +≤-，即12a ≥或2a ≤-． 而1a <，112a ∴≤<或2a ≤-． 故当BA B =时，实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭………………………10分考点：函数的定义域；集合的运算． 18.（本小题满分12分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题q ：关于x 的不等式()()22110x m x m m -+++>对任意的实数x 恒成立，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．【答案】2m >或21m -≤<-．考点：复合命题的真假判定及应用．19.（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11n n n b a a +=，试比较数列{}n b 的前n 项和n S 与1的大小． 【答案】（I ）21n a n =-；（II ）1n S <．试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），则()()()2111413a d a d a d +=++，又11a =，220d d ∴-=，0d ≠，2d ∴=，故21n a n =-．……………………………5分（II ）由11n n n b a a +=得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭知111111111 1233521212211n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-==-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭..................11分 所以11 (111)n n S n n ==-<++………………………………………………………12分 考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 20.（本小题满分12分）（理）已知顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线C 过点()2,2-． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 与过点()0,1P -的直线l 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为2，求直线l 的方程．【答案】（1）22x y =-；（2）21y x =-． 【解析】试题分析：（1）由题意，可设抛物线方程为22x py =-，将点()2,2-代入方程，求得1p =，即可得到抛物线的方程；（2）设所求的直线方程为1y kx =-，代入抛物线方程化简，得：2220x kx +-=，利用韦达定理得到122x x k +=-，122x x =-，再根据直线OA 和OB 的斜率之和为2，解得2k =，即可得到直线的方程．试题解析：（1）由题意，可设抛物线方程为22x py =-，将点()2,2-代入方程可得44p =，即1p =………………………………2分 所以抛物线的方程为22x y =-．………………………………………………4分考点：抛物线的方程；直线与抛物线的位置关系．（文）如图215--，已知斜率为1的直线l 过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长．．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．21.（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两个焦点． （1）若椭圆C 上的点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到1F ，2F 两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，10,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求PQ 的最大值．【答案】（1）22143x y +=，焦点()11,0F -，()21,0F ；（2）max PQ =． 【解析】试题分析：（1）依据题意求得22,3a b ==，进而得到1c =，即可求解椭圆的标准方程和焦点坐标；（2）设(),P x y ，利用平面上两点之间的距离公式，求得PQ 的表达式，利用二次函数的性质，即可得到PQ 的最大值．考点：椭圆的标准方程；椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其几何性质，两点间的距离公式，二次函数的性质等知识点的综合考查，注重考查留学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记圆锥曲线的几何性质，灵活应用二次函数的性质是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．22.（本小题满分12分）设抛物线24y x =被直线2y x m =+截得的弦AB 长为．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）以弦AB 为底边，以x 轴上的点P 为顶点作ABP ∆，求当ABP ∆的面积为9时P 点坐标．【答案】（I ）4m =-；（II ）()1,0-或()5,0．【解析】试题分析：（I ）直线的方程和抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及韦达定理，由弦长公式列出等式，即可求解实数m 的值；（II ）由9S =且底边长为，得到三角形高h =，设设P 点坐标是()0,0x ，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解0x 的值，得到点P 的坐标．试题解析：（Ⅰ）由224y x m y x=+⎧⎨=⎩可得()224440x m x m +-+=． 设抛物线与直线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，由1221214x x m m x x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩== 所以4m =-，此时0∆>符合题意．（Ⅱ）9S =且底边长为，∴三角形高h = P 点在x 轴上，∴可设P 点坐标是()0,0x ，则点P 到直线24y x =-的距离就等于h01x ∴=-或05x =，P ∴点坐标为()1,0-或()5,0．……………………………12分考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆锥曲线的弦长公式的应用，点到直线的距离公式，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。
山东潍坊市寿光市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年（理工农医类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若b a >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．b a 11< B ．1>baC ．ab b a 2>+D ．b a 22> 2.不等式031≤--x x 的解集为（ ） A ．),3(]1,(+∞-∞ B ．)3,1[ C ．]3,1[ D ．),3[]1,(+∞-∞ 3.等差数列}{n a 中，155=a ，则8543a a a a +++的值为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．120 4.在ABC ∆中，5=a ，15=b ， 30=∠A ，则c 等于（ ）A ．52B ．5C ．52或5D ．以上都不对 5.已知数列}{n a 的前项n 和n n S n 22+=，则数列}1{1+n n a a 的前项n 和为（ ） A ．)32(3+n n B ．)32(32+n n C ．)12(31+-n n D ．12+n n6.函数)1lg(1)(--=x x f 的定义域为（ ）A ．)11,(-∞B ．]11,1(C ．)11,1(D ．),1(+∞7.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，S 表示三角形的面积，若C c B b A a sin sin sin =+，且)(41222b c a S -+=，则对ABC ∆的形状的精确描述是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形 8.等差数列}{n a 中，n S 为前项n 和，已知20162016=S ，且2000162016162016=-S S ，则1a 等于（ ）A ．2017-B ．2016-C ．2015-D ．2014-9.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸C B ,的俯角分别为 30,75，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．3240米B ．）（12180-米C ．)13120(-米D ．)1330(+米 10.在数列}{n a 中，21=a ，)2)(111ln(1≥+++=-n n a a n n ，则=n a （ ） A ．n n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n ln 2+ D ．n n ln 1++11.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，则目标函数)0,0(>>+=b a y ax z 的最小值为2，则ba 11+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．53+ D ．223+12.已知))(2(log 1++∈+=N n n a n n ，观察下列运算：23lg 4lg 2lg 3lg 4log 3log 3221=⋅=⋅=⋅a a ；37lg 8lg 6lg 7lg 3lg 4lg 2lg 3lg 8lg 7log 4log 3log 7632654321=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ a a a a a a ；…….定义使k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 321为整数的)(+∈N k k 叫做希望数，则在区间]2016,1[内所有希望数的和为（ ）A ．1004B ．2026C ．4072D ．222016-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若关于x 的不等式012>+-kx kx 的解集为R ，则实数k 的取值范围是 . 14.ABC ∆中，3=AB ，4=AC ，13=BC ，则ABC ∆的面积是 .15.《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪. 书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加 尺.（一月按30天计）16.方程022=++bx ax 的一个根在区间)1,0(上，另一根在区间)2,1(上，则b a -2的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分10分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B a A b s i n c o s 3=. （1）求角A 的大小；（2）若6=a ，ABC ∆的面积是39，求三角形边c b ,的长.18. (本小题满分12分)已知关于x 的不等式022>--ax x 的解集为1|{-<x x 或}b x >)1(->b .（1）求b a ,的值； （2）当21->m 时，解关于x 的不等式0))((>-+b x a mx . 19. (本小题满分12分)已知数列}{n a 为单调递减的等差数列，21321=++a a a ，且3,3,1321---a a a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设||n n a b =，求数列}{n b 的前项n 和n T .20. (本小题满分12分)为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120的扇形广场内（如图所示），沿ABC ∆边界修建观光道路，其中B A 、分别在线段CQ CP 、上，且B A 、两点间距离为定长360米.（1）当45=∠BAC 时，求观光道BC 段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中B A 、两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值.21. (本小题满分12分)设等比数列}{n a 的前项n 和n S ，812=a ，且321,,161S S S +成等差数列，数列}{n b 满足n b n 2=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a c =，若对任意+∈N n ，不等式122121-+≥+++n n S c c c λ 恒成立，求λ的取值范围.22.(本小题满分12分)已知二次函数c x ax x f ++=2)(2的对称轴为1=x ，)0(1)(>+=x xx x g . （1）求函数)(x g 的最小值及取得最小值时x 的值；（2）试确定c 的取值范围，使0)()(=-x f x g 至少有一个实根；（3）若c x x f x F ++-=4)()(，存在实数t ，对任意],1[m x ∈，使x t x F 3)(≤+恒成立，求实数m 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．)4,0[； 14．33； 15．2916； 16．),5(+∞ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）在A B C ∆中，∵B a A bc sin cos 3=，由正弦定理得B A A B sin sin cos sin 3=，∴3tan =A ，又π<<A 0，∴3π=A .由⎩⎨⎧=+=1236c b bc 得⎩⎨⎧==66c b ，∴三角形边c b ,的长都为6.18．解：（1）由题意知，b ,1-是方程022=--ax x 的两个实根，∴⎩⎨⎧-=⋅-=+-2)1(1b a b ，解得⎩⎨⎧==21b a ，∴1=a ，2=b .（2）由（1）知，不等式0))((>-+b x a mx 可化为0)2)(1(>-+x mx ，①当0=m 时，不等式的解集为}2|{>x x ，②当0>m 时，不等式的解集为mx x 1|{-<或}2>x ， ③当021<<-m 时，不等式的解集为}12|{m x x -<<.综上，当0=m 时，不等式的解集为}2|{>x x ；当0>m 时，不等式的解集为mx x 1|{-<或}2>x ；当021<<-m 时，不等式的解集为}12|{m x x -<<.19．解：（1）设数列}{n a 的公差为d ，由21321=++a a a 得72=a ， ∴d a -=71，d a +=73， ∵3,3,1321---a a a 成等比数列，∴)3)(1()3(3122--=-a a a ，即)4)(6(42d d +-=， 解得41=d （舍），22-=d ，∴112)2()2(7)2(2+-=-⋅-+=-+=n n d n a a n .（2）⎩⎨⎧≥-≤-=-==6,1125,211|211|||n n n n n a b n n ，设数列}{n a 的前项n 和为n S ，则n n S n 102+-=.当5≤n 时，n n S b b b T n n n 10221+-==+++= .当6≥n 时，)(7652121n n n a a a a a a b b b T +++-+++=+++=5010)5105(21022225+-=⨯+-+-=+-=n n n n S S n .∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=6,50105,1022n n n n n n T n .20．解：（1）在ABC ∆中，由已知及正弦定理得BACBCACB AB ∠=∠sin sin ，即45sin 120sin 360BC=，∴m BC 260=. （2）设x CA =，y CB =，]200,0(,∈y x ，在ABC ∆中，120cos 2222⋅⋅-+=CB AC CB AC AB ，即xy y x ++=222)360(，∴22222)(434)()()()360(y x y x y x xy y x +=+-+≥-+=， 故120≤+y x ，当且仅当60==y x 时，y x +取得最大值，∴当B A 、两点各距C 点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为m )360120(+. 21．解：（1）设数列}{n a 的公比为q ， ∵321,,161S S S +成等差数列，∴3121612S S S ++=，∴16132+=a a ， ∵812=a ，∴1613=a ，∴2123==a a q ， ∴1222)21()21(81+--=⋅==n n n n qa a . （2）设数列}{n c 的前项n 和为n T ，则n n c c c c T ++++= 321，又nn n n n nn b a c 2)21(21=⋅==+， ∴n n nT 223222132++++= ，1432223222121+++++=n n nT ， 两式相减得1111322212211221)211(2122121212121+++++-=--=---=-++++=n n n n n n n n n n n n T ， ∴nn n T 222+-=，又)211(21211)211(41n n n S -=--=， ∴对任意+∈N n ，不等式122121-+≥+++n n S c c c λ 恒成立等价于1221-+≥n n S T λ恒成立，即121121222--+≥+-n n n λ恒成立，即λ21212≥+-n n 恒成立， 令n n n f 21)(+=，022122)()1(11<-=+-+=-+++n n n nn n n f n f ，∴)(n f 关于n 单调递减，∴λ21222≥-，∴2≤λ，∴λ的取值范围为]2,(-∞.22．解：（1）∵0>x ，∴01>x， ∴21≥+x x ，当且仅当xx 1=，即1=x 时“=”成立，即2)(min =x g ，此时1=x .（2）)(x f 的对称轴为1=x ，∴1-=a ，∴c x x x f ++-=2)(2，0)()(=-x f x g 至少有一个实根，∴)()(x f x g =至少有一个实根， 即)(x g 与)(x f 的图象在)0(∞+，上至少有一个交点， c x x f ++--=1)1()(2，∴c x f +=1)(max ，2)(min =x g ，∴21≥+c ，∴1≥c ，∴c 的取值范围为)[1∞+，. （3）x x c x c x x x F 242)(22+=++--=，∴)(2)()(2t x t x t x F +++=+， 由已知存在实数t ，对任意],1[m x ∈，使x t x t x 3)(2)(2≤+++恒成立. ∴02)12(22≤++-+t t x t x .令t t x t x x h 2)12()(22++-+=，∴⎩⎨⎧≤≤0)(0)1(m h h ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤-+++≤+0)22(04222m m t m t t t ， 转化为存在]0,4[-∈t ，使0)22(22≤-+++m m t m t 成立.令m m t m t t G -+++=22)22()(，∴)(t G 的对称轴为)1(+-=m t ， ∵1>m ，∴2)1(-<+-m .①当2)1(4-<+-<-m ，即31<<m 时，13)1)(22()1()1()(22min --=-+--++--=--=m m m m m m m G t G ，∴⎩⎨⎧≤--<<01331m m ，∴31<<m .②当4)1(-≤+-m ，即3≥m 时，898816)4()(22min +-=-+--=-=m m m m m G t G ，∴⎩⎨⎧≤+-≥08932m m m ，∴⎩⎨⎧≤≤≥813m m ，∴83≤≤m .综上，实数m 的取值范围为]8,1(.。
山东省潍坊市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知「：二，匚、已，那么下列不等式一定正确的是（）A. 加■■ beB.I J JC. ：i c - [■- dD. 「I cl - l）匚【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由Ji • I〕，二、已可得呂十匸> b十d丄a-d > b-c考点：不等式性质2. 设3是等差数列心｝的前n项和，若山+己-- ^，则5 （）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】白I ，白白:.-F -； 9 丄，3 .[屯宀.；-2d .勺占匕，选A.3. 若AAB匚的三个内角满足LinA：j riE^iri匚 5:11:13，贝也AE匚（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得「二「二一 _二_ 二_ :所以C是最大a2 +b2 -e2 2^+121-169 23的角，由余弦定理「「，所以C为钝角，因lab2x5x11 110此三角形ABC一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设/是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. a.'a a成等比数列B. a. a 3成等比数列C. a: - 成等比数列D.儿.a, ,a-成等比数列【答案】D 【解析】项中 a ： = a ■ ■.a -L ■ a ■, = a'- ■ cf.. a-._ ' = a _ ■ a ■,，故 2 项说法错误；E ■项中 日：.一占一丁- a_ ■ a. - ■ q'，故2项说法错误；匸项中 日_一一 a_ ■ - a_ ■ a. -■ q ?，故匚项说法错误；故「项中 日-一a_ ■ q' -a.■ a_, -q"'，故「一：项说法正确，故选D.5. 若关于x 的不等式 I ” •］］：<的解集为V.J,则实数I ］】的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】’•■ 丁 • ⑴—厂•八TI 7 > ■0.x|. - 7⑴2• 「；解集为x 0 - x -2 .-2 IT -2—2, IT —丄，故选 A.6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 丄是较小的两份之和，则最小的一份为（【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为 £i 2d:： cl £■ - d . a - 2 d （其中J 0）；则■:a 2d - I 仁I 匚I I ：i - Ci I ci -I ：i I 2d-= 5a = 100.. a = 20.由_ a c ，：」 d •二L I c 2d d ：.丨，得3a + 3d = 7 6a-3d ）；二 24d = 11a. d =所以，最小的1分为a 2d 2D ■. : •故选A .考点：等差数列的性质1011D.:A.B.y £x7.若变量盂y满足约束条件x + y < 1,则z = 2x + y的最大值为（）y > -1A. 4B. 3C. 2D. 1（一 ?x - 7，平移直线Y = 2工可知，当直线经过点匚二1时，直线的截距最大，代值计算可得£取最大值三，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题•求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值•8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若□白，贝0 I 白B. 若-a. 屯，贝阳.•斤」C.若白I 白,贝庐I & -D.若-〔:,贝『阳• 「心白-【答案】B【解析】A选项中,，分别取1. 1.巳即可得A错误；假设—日］日.，则- Y,公差d - 0. ” C ,「+・•..日丄兀.•屯..屮-自,即E正确；C选项中日：启.，，：-=,分别取 -丄己即可得C错误；口项中无法判断公差；-：的正负，故日日・日-日-•无法判断正负，即&错误，故选B.9. 在等腰匚中，内角.2 匸所对应的边分别为m.b.j吕一2.2 ,丄人一120 ,则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4 和2B. 4 和八 MC. 2 和？二；二D. 2 和2 , 3 i 7【解析】等腰AAB匚中，日—2匕，口、、、_ 120，可得I」匚E由正弦定理可得，2^5 1 1 & l 2R'R 2 ,由面积相等••' 可得「一2上巳，故T ££*选C.10. 若J上是函数「“i _点宀；|p. C.q 的两个不同的零点，且1 「上这三个数依次成等比数列，2上倚这三个数依次成等差数列，则pc =（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D【解析】因为mb是函- px + q（p > OjQ > o）的吻个不同的零点F所以a +b = p P ab = q d p > 0P q > 0 »可得a > 0,b > 0 又比-2力这三个数依次成等比数列，-2上左这三个数依次成等差数列「可得伴解得帛=4 ；'■ p = a + b = 5r q = 1x4 = 4'贝i]pq = 20 3故选D.11. 设is 1宀，吕■■- b，若p —仃.白加，—甘：，r — U] fih：.：.，则下列关系式中正确的是（）A. P -「qB.卩一「qC. q - f ■ pD. q - f 卩【答案】B【解析】由题意可得：若 |； - f ,ab - li' ■■ ab - 1HH I J - 7 li'H 丨I II I），q - T：1 + 1—丨门—T门.己—卩,t 「. f 日I F b Ii'd liib ，'•I」r - q，故选B.12. 已知两个等差数列和的前n项和分别为•；“，丁，且■："l I丄心"li UT，则使得」为整数的正整数I】的个数是（）°门A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】；数列刁和忧；均为等差数列，且前n项和&和丁，满足咱丄+ FC"…2 口一沖，可得「十，则n -S2n-L- ，验证知，当门L2J.E；时，、为整数，即使得为整数的£n n n< 耳~| 口巧正整数11的个数是-,故选C.【方法点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：芥=+ （n-m）d; 4）若心話为等差数列「且p + q=m + n = 2ra p+ a q = a m+ a n = 2a r;⑶若厲｝是等差数列,公差^备斗+叶弘+亦…日'则是公差mcl的等差数列；⑷数列S mr S2m-S m53m-S2m..也是等差数列本题的解答运用了性质（2）.第U卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数y = x + >引的最小值为 _____________ .【答案】5【解析】「二.：、3 ' x-2 U:、「一戈一，_ - - - S - 2. z-3 _ -3-5，当且仅当x = 4 时取等号，故答案为5.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题•利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用••或•时等号能否同时成立）•14. 已知数列是递减等比数列，且心』7,乳 -',贝V数列的通项公式召=____________ .【答案】汀【解析】因为口注■■■,所以九一白；讣，4 一，一一一〔，又因为数列X a r /是递减等比数列，所以：“-:，数列心［的通项公式a. - a.q - 27 - ' ' - 3 _1,15. 已知ME ■匚中，满足匚—®丁，二一 ?的三角形有两解，则边长 二的取值范围为【答案】.；.3.2：.【解析】在ME 匚中，匚_印-2，由正弦定理可得，:卡 ；-工::，若此三角形有两解，必须满足的条件为： 二• I: - ;.：:i''iR ，即］• I 」-2，故答案为3.2 .16.寒假期间，某校家长委员会准备租赁 乩巳两种型号的客车安排 900名学生到重点高校进行研究旅行，二巳两种客车的载客量分别为 36人和60人, /辆，家长委员会为节约成本， 要求租车总数不超过 21辆,设分别租用A£两种型号的客车K 辆，y 辆，所用的总租金为z 12u0x - 1303/，得7 - ；＞■ •:,作出不等式组对应的平面区域平移y :x ■ ■ .,■，由图象知当直线F / 二…经过点虫时，直线的截距最小，此时7最 小，由广得｛ &，即当x == 时，此时的总租金z = 1200 X 5 + 1800 X 12 = 27600元，达到最小值，故答案为 27600.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）17. 解下列关于X 的不等式: （1）' ；（ 2）£才- O'：.a : R ：.金最少为 元.【答案】 【解析】 其中/■/满足不等式组；36x 十 60/ 三 900x + y < 21y-x < 73x + 5y > 75r (x,y CM)，即，x 十 y 乞 21 t (x r y G N)，由y-x 三 7租金分别为1200元/辆和1800元且三型车不多于2型车7辆，则租上元，则-1200 x - 13037,【答案】⑴ I ； x ｝；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1） \ • 2化为. •：：,等价【2工7 :": x 2）- 0;x^2：-.X - z. X -■ Z不等式求解即可；（2）分三种情况讨论j,分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I ）将原不等式化为x p，即门工7v.x ?:. - H - ? ■. 2 八所以原不等式的解集｛茂；、\ - . ｝.（II ）当门=C时，不等式的解集为｛0｝；当仁I = C时，原不等式等价于■；X - （-| I: x ? ；i - - O，因此当zi C时，亦“ 2a， a - x -当占二U时，亦.•氏I，2a - x ■ a.综上所述，当门=c时，不等式的解集为｛0｝，当己• C时，不等式的解集为，｛X a -兴-药｝，当日「C时，不等式的解集心2s - x - a ｝.18. 已知ME匚的内角所对应的边分别为日上•二，且满足 4*.2sirA.LinB.（1）判断AABC的形状；（2）若n —三，匚=E ,：二匕为角匚的平分线，求AE.CD的面积.【答案】（1）直角三角形；（2）二^【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求二「，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求匕，利用三角形内角和定理可求-AZ）C，由正弦定理可求：匚的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I ）由 A B? = 2L nAsi'iE；，得cosAcosB 十sinAsinB = 2sinAsinB,■■- cosAcosB - sinAsinB = 0,「. 十B）= 0.■ ■匚=9。
2016-2017学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞02．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．724．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．（5分）已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．46．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．（5分）如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米8．（5分）已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③9．（5分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在11．（5分）已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．（5分）已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．（5分）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．16．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k 为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．19．（12分）设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2≥0，故选：A2．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选C．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．5．（5分）已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C6．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，∴•=（+）•=•+•=×1×1×+×1×1×=，故选：D．7．（5分）如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．8．（5分）已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．9．（5分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C11．（5分）已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4【解答】解：当x 1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，f（1）=1+a是函数的最小值，当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，∴g（2）=4是函数的最小值，若∀x 1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，即1+a≥4，解得：a∈[3，+∞），故选：C．12．（5分）已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，与圆x2+y2=16，可得|y|=，∴|P i F1|•|P i F2|==14，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．14．（5分）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1故答案为：1．15．（5分）已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．【解答】解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=4，b=2，c=．椭圆的离心率为：．故答案为：．16．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k 为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．【解答】解：（Ⅰ）∵；∴；∵与垂直；∴；∴k=2；（Ⅱ）由（Ⅰ），；∴，；记向量与的夹角为θ，则：；∵0≤θ≤π；∴．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积S=absinC==…12分19．（12分）设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，此时A=（2a，a+1），②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，此时A=∅，③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，此时A=（a+1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A⊊B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴b n=3n﹣1 ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=…①．T n=…②①﹣②得T n==2×=1﹣．∴T n=．21．（12分）近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640，∴f（x）=；（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）=f（32）=92；maxx＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+）≤400，当且仅当2x=，即x=60时，f（x）max=f（60）=400，∵400＞92，∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：；…3分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右顶点为E（2，0），∴k1•k2=•====﹣，∴k1•k2为定值；…8分（ii）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得：，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2）∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0，∴﹣•==k AB，设AB的中点H（x0，y0），则k AB=﹣•，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标为：…10分，由H（x0，y0）在椭圆内部，可得：x0∈（﹣2，2），故∈（﹣，）…12分赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2016-2017年山东省潍坊市寿光市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零D．正值或负值，但不能为零2．（5分）设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C．A与是相互独立事件D．与不相互独立3．（5分）下列求导结果正确的是（）A．（a﹣x2）′＝1﹣2x B．（2）′＝3C．（cos60°）′＝﹣sin60°D．[ln（2x）]′＝4．（5分）已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX＝6，则（）A．a＝0.3，b＝0.2B．a＝0.2，b＝0.3C．a＝0.4，b＝0.1D．a＝0.1，b＝0.45．（5分）已知自然数x满足3A﹣2A＝6A，则x（）A．3B．5C．4D．66．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）以下三个命题①设回归方程为＝3﹣3x，则变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A．132B．180C．240D．6009．（5分）某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关10．（5分）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）若（1+2x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a1+a3+a5＝（）A．364B．365C．728D．73012．（5分）把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36B．48C．60D．84二、填空题：本大題共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡横线上．13．（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．14．（5分）某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是．15．（5分）∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．16．（5分）将三项式（x2+x+1）n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0＝1（x2+x+1）1＝x2+x+1（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不（x2+x+1）足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为．三、解答題：本大題共6小題，共70分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知f（x）＝1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（I）求证：CF∥平面A1DE；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．19．（12分）已知（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．20．（12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝，∠DAB＝，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（I）求甲考生通过的概率；（II）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零D．正值或负值，但不能为零【解答】解：△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，故选：D．2．（5分）设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C．A与是相互独立事件D．与不相互独立【解答】解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，∴A 错误；B中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，∴B错误；C中，当A与B是相互独立事件时，A与是相互独立事件，∴C正确；D中，A与B是相互独立事件时，与不是相互独立事件，是错误的；故选：C．3．（5分）下列求导结果正确的是（）A．（a﹣x2）′＝1﹣2x B．（2）′＝3C．（cos60°）′＝﹣sin60°D．[ln（2x）]′＝【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（a﹣x2）′＝a′﹣（x2）′＝﹣2x，故A错误；对于B、（2）′＝（2）′＝2××＝3，故B正确；对于C、（cos60°）′＝0，故C错误；对于D、[ln（2x）]′＝（2x）′＝；故D错误；故选：B．4．（5分）已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX＝6，则（）A．a＝0.3，b＝0.2B．a＝0.2，b＝0.3C．a＝0.4，b＝0.1D．a＝0.1，b＝0.4【解答】解：由表格可知：0.4+a+b+0.1＝1，又EX＝6，可得：2+6a+7b+0.8＝6，解得b＝0.2，a＝0.3，故选：A．5．（5分）已知自然数x满足3A﹣2A＝6A，则x（）A．3B．5C．4D．6【解答】解：∵自然数x满足3A﹣2A＝6A，∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）＝6（x+1）x，整理，得：3x2﹣11x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣（舍）．故选：C．6．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（a，a，a），M（），D1（0，0，a），N（），＝（﹣，﹣，﹣），＝（，0，﹣a），设B1M与D1N所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴B1M与D1N所成角的余弦值为．故选：D．7．（5分）以下三个命题①设回归方程为＝3﹣3x，则变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故错；对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r 的绝对值越接近于1，故正确；对于③，在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，符合正态分布的特点，故正确．故选：C．8．（5分）高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A．132B．180C．240D．600【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先在5人中任选一人，选择花卷，有C51＝5种情况，②、剩余4人选择其余三种食物，先将4人分成3组，有＝6种分组方法，将分好的3组全排列，对应三种食物，有A33＝6种情况；则不同的食物搭配方案有5×6×6＝180种；故选：B．9．（5分）某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关【解答】解：提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关求得Χ2＝≈8.416＞6.635所以有99%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．故选：A．10．（5分）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝，设A＝{超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过1000小时时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）＝1﹣（1﹣）2＝，P（B）＝，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝＝．故选：D．11．（5分）若（1+2x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a1+a3+a5＝（）A．364B．365C．728D．730【解答】解：令x＝1时，则36＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝729，令x＝﹣1时，则（﹣1）6＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝1，令x＝0时，a0＝1∴2（a1+a3+a5）＝728，∴a1+a3+a5＝364∴a0+a1+a3+a5＝365故选：B．12．（5分）把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36B．48C．60D．84【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3＝6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3＝6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）＝48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4＝36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48＝84种．故选：D．二、填空题：本大題共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡横线上．13．（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．【解答】解：＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，取＝（1，1，1）．则平面ABC的一个单位法向量＝＝．故答案为：．14．（5分）某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是．【解答】解：某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，基本事件总数n＝＝120，其中恰有1名女生包含的基本事件个数m＝＝60，∴其中恰有1名女生的概率p＝＝．故答案为：．15．（5分）∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．【解答】解：如图所示，设点P为OC反向延长线上的一点，且OP＝a，H为P在平面α上的射影，∵∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，∴OH平分∠AOB，∴∠POH为OC与平面α所成的角，∴cos∠POH＝＝＝＝＝．故答案为：．16．（5分）将三项式（x2+x+1）n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0＝1（x2+x+1）1＝x2+x+1（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a＝67，所以a＝．故答案为：．三、解答題：本大題共6小題，共70分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知f（x）＝1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝1﹣lnx﹣x2，∴f′（x）＝﹣﹣x，x＝1时，f′（1）＝﹣，f（1）＝，∴曲线f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17＝0；（2）x＞0，f′（x）＝﹣﹣x≤﹣1，∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（I）求证：CF∥平面A1DE；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．【解答】解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则＝（2，0，2），＝（1，2，0）．设平面A 1DE的法向量是，由，取＝（﹣2，1，2）．（1）由＝（0，﹣2，1），得，从而得出CF∥平面A1DE．（2）面DEA的一个法向量为．cos＜，＞＝．∴面角A1﹣DE﹣A的余弦值为．19．（12分）已知（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）∵（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴∁n4＝∁n6，∴n＝10，∴（+）10的通项为T r+1＝2r C10r x，∵5﹣r＝5（1﹣r），分别令r＝0，2，4，6，8，10，∴展开式中所有有理项的项数第1，3，5，7，9，11项（Ⅱ）二项式共有11项，最中间一项的系数最大，即为第6项即为26C106x﹣10．20．（12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．【解答】解：（1）男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率P＝1﹣＝；（2）P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝，∠DAB＝，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AB＝2，AD＝，∠DAB＝，∴BD＝＝1∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∴BC⊥BD∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD；（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD＝而BD＝1，所以PD＝，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，1，0），P（0，0，）所以＝（﹣，0，），＝（﹣，0，0），＝（0，﹣1，），设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），∴可解得＝（0，，1），∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝||＝．22．（12分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（I）求甲考生通过的概率；（II）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．【解答】解：（Ⅰ）∵考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成，∴甲考生通过的概率P＝1﹣＝．（Ⅱ）由题意知甲考生正确完成题数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的可能取值为：EX＝+2×+3×＝2．乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，P（Y＝0）＝（）3＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝＝，∴Y的分布列是：EY＝＝2．（Ⅲ）DX＝（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝，∵Y∽B（3，），∴DY＝3×＝∴DX＜DY，E（X）＝E（Y），∵P（X≥2）＝，P（Y≥2）＝≈0.74∴P（X≥2）＞P（Y≥2）①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强．。
山东省潍坊市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，，那么下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由，可得考点：不等式性质2. 设是等差数列的前项和，若，则（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】，，选A.3. 若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. 成等比数列B. 成等比数列C. 成等比数列D. 成等比数列【解析】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.5. 若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解集为，故选A.6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A．考点：等差数列的性质7. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】选项中，，分别取即可得错误；假设，则，公差，，即正确；C选项中，，分别取即可得C错误；项中无法判断公差的正负，故无法判断正负，即错误，故选B.9. 在等腰中，内角所对应的边分别为，，，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4和2B. 4和C. 2和D. 2和【答案】C【解析】等腰中，，，可得由正弦定理可得，，由面积相等可得，故选C.10. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数依次成等比数列，这三个数依次成等差数列，则（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D11. 设，，若，，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：若，，，，故选B.12. 已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】数列和均为等差数列，且前项和和，满足，可得，则，验证知，当时，为整数，即使得为整数的正整数的个数是，故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最小值为__________．【答案】5【解析】，，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14. 已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以,,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.15. 已知中，满足，的三角形有两解，则边长的取值范围为__________．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，，若此三角形有两解，必须满足的条件为：，即，故答案为. 16. 寒假期间，某校家长委员会准备租赁两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研究旅行，两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆，则租金最少为__________元．【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆，辆，所用的总租金为元，则，其中满足不等式组，即，由，得，作出不等式组对应的平面区域平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即当时，此时的总租金元，达到最小值，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 解下列关于的不等式：（1）；（2）.【答案】(1)；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）化为，等价不等式求解即可；（2）分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I）将原不等式化为，即所以原不等式的解集 .（II）当时，不等式的解集为{0}；当时，原不等式等价于，因此当时，，当时，，综上所述，当时，不等式的解集为{0}，当时，不等式的解集为，,当时，不等式的解集18. 已知的内角所对应的边分别为，且满足. （1）判断的形状；（2）若，，为角的平分线，求的面积.【答案】(1)直角三角形;(2)【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可求的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I）由，得,,., 故为直角三角形.(II)由（I）知，又，，,由正弦定理得,，19. 设是等差数列的前项和，已知，，.（1）求；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】(1)18;(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列的公差为，则即，解得，所以.（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知，，【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 已知的内角所对应的边分别为，且. （1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】试题分析：(1)由利用正弦定理得，再利用两角差和的正弦公式化简可得所以；（2）由余弦定理结合条件，可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：(I）,即,, 在中，可得所以.(II）∵，即，，∴由余弦定理得：，即∵，∴则21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔的高度（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆的高度米，已知，.（1）该班同学测得一组数据：，请据此算出的值；（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离（单位：米），使与的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为136米，问为多大时，的值最大？【答案】(1) 135m;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角函数的定义及直角三角形的性质可得，，，利用，化简即可得结果；（2）由得，利用两角差的正切公式以及基本不等式可的值最大.试题解析：（I）由，，,及，得，解得,因此算出观光塔的高度是135m.(II）由题设知，得，由得，所以.当且仅当，即时，上式取等号，所以当时最大.22. 已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】试题分析：(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则①，②，①-②得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1页（共18页） 2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D．2a＞2b
2．（5分）不等式≤0的解集为（ ） A．（﹣∞，1]∪（3，+∞） B．[1，3） C．[1，3] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞） 3．（5分）等差数列{an}中，a5=15，则a3+a4+a5+a8的值为（ ） A．30 B．45 C．60 D．120 4．（5分）在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 5．（5分）已知数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，则数列的前项n和为
（ ） A． B． C． D． 6．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ） A．（﹣∞，11） B．（1，11] C．（1，11） D．（1，+∞） 7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（5分）等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（ ） A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣2014 9．（5分）某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽 第2页（共18页）
度BC等于（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+）（n≥2），则an=（ ） A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn 11．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 12．（5分）已知an=logn+1（n+2）（n∈N+），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；
a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•lg78==3；…．定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k（k∈N+）叫做希望数，则在区间[1，2016]内所有希望数的和为（ ） A．1004 B．2026 C．4072 D．22016﹣2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为 ． 14．（5分）△ABC中，AB=3，AC=4，BC=，则△ABC的面积是 ． 15．（5分）《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加 尺．（一月按30天计） 16．（5分）方程ax2+bx+2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2） 第3页（共18页）
上，则2a﹣b的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB． （1）求角A的大小； （2）若a=6，△ABC的面积是9，求三角形边b，c的长． 18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1）． （1）求a，b的值； （2）当m＞﹣时，解关于x的不等式（mx+a）（x﹣b）＞0． 19．（12分）已知数列{an}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2
﹣3，a3﹣3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=|an|，求数列{bn}的前项n和Tn． 20．（12分）为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米． （1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度； （2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．
21．（12分）设等比数列{an}的前项n和Sn，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设cn=anbn，若对任意n∈N+，不等式c1+c2+…+cn≥λ+2Sn﹣1恒成立，求λ 第4页（共18页）
的取值范围． 22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）． （1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值； （2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根； （3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈[1，m]，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围． 第5页（共18页） 2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D．2a＞2b
【解答】解：取a=2，b=﹣1时，A．B．C不成立； 对于D．由指数函数y=2x在R上单调递增，a＞b，可得2a＞2b． 故选：D．
2．（5分）不等式≤0的解集为（ ） A．（﹣∞，1]∪（3，+∞） B．[1，3） C．[1，3] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞） 【解答】解：原不等式等价于（x﹣1）（x﹣3）≤0且x﹣3≠0，所以不等式的解集为[1，3）； 故选：B．
3．（5分）等差数列{an}中，a5=15，则a3+a4+a5+a8的值为（ ） A．30 B．45 C．60 D．120 【解答】解：等差数列{an}中， a5=a1+4d=15， 所以a3+a4+a5+a8=（a1+2d）+（a1+3d）+15+（a1+7d） =3（a1+4d）+15 =3×15+15 =60． 故选：C． 第6页（共18页）
4．（5分）在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【解答】解：由，利用余弦定理得： =+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0， 因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或． 故选：C．
5．（5分）已知数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，则数列的前项n和为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵数列{an}的前项n和Sn=n2+2n， ∴n=1时，a1=S1=3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，n=1时也成立． ∴an=2n+1， ∴==．
∴数列的前项n和=++…+ = =． 故选：A．
6．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ） A．（﹣∞，11） B．（1，11] C．（1，11） D．（1，+∞） 【解答】解：函数f（x）=有意义， 只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0， 即为lg（x﹣1）≤1且x＞1， 解得1＜x≤11， 则定义域为（1，11]． 故选：B． 第7页（共18页）
7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC， ∴由正弦定理可得：sin2A+sin2B=sin2C，可得：a2+b2=c2， ∴C=，△ABC是直角三角形．
又∵S==acsinB， ∴×2accosB=acsinB，解得：sinB﹣cosB=0，可得：sin（B﹣）=0， ∴B﹣=kπ，可得：B=kπ+，k∈Z， ∵B∈（0，），B﹣∈（﹣，）， ∴B﹣=0，可得：B=，A=π﹣B﹣C=， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：D．
8．（5分）等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（ ） A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣2014 【解答】解：由==n+， 可知：数列是等差数列，设公差为d． ∴﹣=2000=2000d，解得d=1． ∴1==+2015×1，解得a1=﹣2014． 故选：D．