线代4-1、2、3
线代习题1-4解答
习题1-4解答1. 求行列式122305403--中元素2和2-的代数余子式。
解：元素2的代数余子式为03040)1(13=-+， 元素2-的代数余子式为293543)1(23=---+。
2. 已知四阶行列式D 中第3列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，7-，4，求D 。
解：利用行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（n i ,,2,1 =），或 nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（n j ,,2,1 =），所以 1541)7(0325)1(-=⨯--⨯+⨯-⨯-=D 。
3. 按第3列展开下列行列式，并计算其值：⑴11111110101dc b a------； 解：原式01111111)1(011111110)1(3231-----+-------=++b a 11111011)1(01111011)1(3433------+----+++d c()()()()d b a d c b a ++=---+-++---++-=11111111111。
⑵ 00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a 。
解：原式000000)1(00000)1(525142413231151412112332525142413231252422211331=-+-=++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
4. 证明：))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a dc b a+++------=。
证：)()()(0)()()(001111111122222222244442222a d d a c c ab b a d d ac c a b b ad a c a b d c b a d c b a d c b a ---------========)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= yx b d b c a d a c a b 00111))()((-----============，其中：))(()()()(222c b a b c c ab b ac c c a b bc a c c x ++-=--+=+-+=，))(()()()(222d b a b d d ab b ad d d a b bd a d d y ++-=--+=+-+=，故)()(11))((d b a d c b a c b d b c y x b d b c ++++--=-- )]()()[)((c b a c d b a d b d b c ++-++--=]))()[()((22c d b a c d b d b c -++---=))()()((d c b a c d b d b c +++---=，因此，左式=+++------=))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b 右式。
《线性代数B》各章知识点整理
《线性代数B 》各章知识点整理第一章 行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章 矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式 三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组 线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组 线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章 向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章 相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（ 即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理 例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。
同济线代期末试题及答案
同济线代期末试题及答案
1. 选择题（共10题，每题2分，共计20分）
（题目略）
答案：
1. B
2. C
3. A
4. D
5. A
6. B
7. D
8. C
9. B 10. A
2. 填空题（共5题，每题4分，共计20分）
（题目略）
答案：
1. (1, -4, 2)
2. 3
3. Rank(A) = 2
4. 6
5. -2
3. 证明题（共2题，每题15分，共计30分）
（题目略）
答案：
1. （证明过程略）
2. （证明过程略）
4. 计算题（共3题，每题15分，共计45分）
（题目略）
答案：
1. （计算过程略）
2. （计算过程略）
3. （计算过程略）
5. 应用题（共2题，每题20分，共计40分）
（题目略）
答案：
1. （解答过程略）
2. （解答过程略）
小结：
本文为同济线代期末试题及答案，共包括选择题、填空题、证明题、计算题和应用题五个部分。
试题分别按题型进行呈现，答案则包括了
各题的具体解答过程和结果。
本文格式整洁美观，语句通顺，希望能
满足您的需求。
第三版线代第四章
推论： 对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至 少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的 先用反证法证明，其中的 不可能等于零 不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与 之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子 式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断 定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
线性代数1-4行列式的展开定理
2 2 ( 1 x ) D x D n 1 n 2
证明： 将上式右端的所有代数余子式都按行列式的定 义完全展开，得到一个包含 n(n 1)! 个项的代数和，共
n ! 个项，如 ak jA k的展开式中的一般项为： j
a a a a a k j 1 j kj 1 kj 1 n j 1 k 1 k 1 n
显然这些项都是 D 的 n ! 个展开项中的某一项，
2 3
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34 a41 a42 a44
M A 1 M . 23 23 23
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 , a34 a44
x3 x 1 x3 x 1
xn x 1 xn x 1
按第1列展开，提取公因式得：
D x x x n 2 1x 3 1
x x n 1
1 x 2 2 x 2
1 x 3 2 x 3
1 x n 2 x n
n 2 x n
n 2 n 2 x x 2 3
D x x x x x x D n 2 1 3 1 n 1 n 1
a a a a a a a a a a 11 22 33 23 32 12 23 31 21 33
a a a a a 13 21 32 22 31
a a a 2 2 a 2 3 2 1 a 2 3 2 1 a 2 2 a a a 1 1 1 2 1 3 a a a a a 3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 a 3 2
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数复习
线性代数复习题（一）行列式（计算）1、二阶行列式计算：主对角线元素的乘积（减去）次对角线元素的乘积（填空） 例：()2324311114=×−×−=−； 2222a b ab ba ab=−2、三阶、四阶行列式（计算）利用()i j i j r kr c kc ++把行列式化为上三角行列式求解（足够多的0，降阶）。
例：121244104150********D −−==−−−；22957152217341642D −−=−−−；31111124813927141664D = 22957011311311315221522302160309173402163312003316420120D −−−−===−−=−−=−=−−−−−− 解: 31111137013728260282631563031563D == 5分 1242612242601220221=== 10LLL 分（二）矩阵 1 矩阵的运算矩阵加法运算（同型）；数乘（矩阵与行列式的区别）；矩阵乘法（条件+结果） 运算规律：()TT T AB B A =；()111AB B A −−−=；AB BA ≠；()()22A B A B A B −≠−+；AB BA A B ==；n kA k A =；T A A =；1*n A A −=；11A A −−=1**11A A A A A A−−=⇒=；()()11T T A A −−=（填空+选择） 例：设A 、B 均为三阶方阵，且3A =−，2=B ，则12T A B −−= 16/3 解：()13122163T A B AB −−−=−=例：设A 、B 均为三阶方阵，且2=A ，3=B ，则13T A B −−= -18 解：()1313318T A B A B−−−=−=−例：设A ，B 都是n 阶可逆阵，则下列运算正确的是（ C ） (A) ()111−−−=B A AB (B) AB BA =(C) B A AB ⋅= (D) ()()22B A B A B A −=−+ 例：设A ，B 都是n 阶可逆阵，则下列运算错误的是（ D ） （A ）()111−−−=A B AB （B ） ()T T T A B AB = （C ） ()()TTA A 11−−= （D ）()()B A B A B A −+=−22例：设A 、B 都是n 阶方阵，则下列运算正确的是（ D ）（A ） k k k B A AB =)( （B ） A A −=− （C ） ))((22A B A B A B +−=− （D ）BA AB = 2 矩阵方程（计算）（1）()()1||A E E A −→ 1AX B X A B −=⇒=；（2）()()1||A B E A B −→（推荐方法）例：设矩阵A ,B 和X 满足方程X B AX 3+=，求矩阵X , 其中−=111151214A ， =332011B . 解： ()11211100733,12102010221123300131A E B −−−=→−− 8LLL 分 ∴ 732231X −−= 10LLL 分 例：解矩阵方程AX B =，其中211111101A =− − ，141342B=−.解： Q−−→ −−−=121005301012001241013111141112),(B A ∴−−=125312X 例：解矩阵方程012111140121010X=−−解：参看线性代数书第47页。
线性代数第一章第3-4节
当把每一项乘积的元素的第一 元素所在的列数.
个下标按自然顺序排列时,第二个下标分别是
123, 231, 312, 321, 132, 213.
它们是数码1, 2, 3的所有排列, 其中123, 231, 312是偶 排列, 对应的项
2
a11 a22 a33，a12 a23 a31，a13 a21 a32
§3 n阶行列式的定义
分析三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a13 a 22 a 31 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a 33
若j k , 则新排列比原排列减少了一个逆序,
所以两个排列的奇偶性相反.
(2) 设j与k 之间有s个数码, 排列为
A B
j i1i2 is k
17
经过对换( j , k ), 得到新排列
A B
k i1i2 is j
易知,这样一个对换可以通过一系列相邻两数码的 对换来实现:先将j依次与i1 , i2 , , is , k 作s 1次相邻 对换,变为
a n1
n1
, n an, 即 , = 1
a1n a2,n1
n
( 1) t a1n a2, n an1 ( 1)t 1 2 n 1
其中t为排列n (n 1) 的逆序数 故 21 , n( n 1) t 2
11
例3 证明下三角行列式(主对角线以上元素全为0)
p1 p2 p3