1-1(线性代数 第一章)
合集下载
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数第一章知识点总结
(1)
解向量
若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 则 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.
解向量的性质 性质１ 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 则x 1 2 也
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 b j .若向量 量
１ 向量的定义
定义
n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,
第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , a1 a2 a an
若向量空间没有基 那么V的维数为 .0维向 , 0 量空间只含一个零向量 . O 若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是
向量组的最大线性无关 ,V的维数就是向量组 组 的秩.
１０ 齐次线性方程组
向量方程
记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为
件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.
线性代数第一章习题解答
2
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第一章书后解答
1 0 0 1 = ( E B)n E C1 B C 2 B2 n n 0 0
n
n 0 0
n n 1
n
0
n( n 1) n 1 2 n n 1 . n
1 1 2 3 k k 2. A 1 1, 2,3 ，仿照习题 1-1 的第 7 题，求得 A 5 1 2 3 . 2 2 4 6
10. 成立。由对称阵的定义可知结论成立。
习题 1-1
1. X
1 1 1 1 0 0
2. x 1, y 2
、ABC、ABABC 正确，依次为 5 5 矩阵、 4 1 矩阵、 4 1 矩阵。 3. BA
3 -3 3 2 6 14 3 2 1 0 5 3 4.（1） -5 -7 ； （2） ； （3） 5 9 1 ； （4） 3 2 1 ; 0 1 0 0 1 0 -4 9 15 2 1 1
2 2
( A E )( A E ) A2 E .
4. 不成立。因为矩阵的乘法不满足消去律，由 ( AB) A B ，得不出 AB BA .
2 2 2
5. 不成立。反例， A
1 1 。 1 1 1 0 。 0 0
6. 不成立。反例， A
3. 正确。
(uuT )(uuT ) u(uT u)uT (uT u)(uuT ),正确。注： uT u 是数。
4. 没有要求。 5.
AB 的第 j 列 ( AB)e j A( Be j ) Ab j ，即 AB 的第 j 列等于 A 与 B 的第 j 列 b j 的
n
n 0 0
n n 1
n
0
n( n 1) n 1 2 n n 1 . n
1 1 2 3 k k 2. A 1 1, 2,3 ，仿照习题 1-1 的第 7 题，求得 A 5 1 2 3 . 2 2 4 6
10. 成立。由对称阵的定义可知结论成立。
习题 1-1
1. X
1 1 1 1 0 0
2. x 1, y 2
、ABC、ABABC 正确，依次为 5 5 矩阵、 4 1 矩阵、 4 1 矩阵。 3. BA
3 -3 3 2 6 14 3 2 1 0 5 3 4.（1） -5 -7 ； （2） ； （3） 5 9 1 ； （4） 3 2 1 ; 0 1 0 0 1 0 -4 9 15 2 1 1
2 2
( A E )( A E ) A2 E .
4. 不成立。因为矩阵的乘法不满足消去律，由 ( AB) A B ，得不出 AB BA .
2 2 2
5. 不成立。反例， A
1 1 。 1 1 1 0 。 0 0
6. 不成立。反例， A
3. 正确。
(uuT )(uuT ) u(uT u)uT (uT u)(uuT ),正确。注： uT u 是数。
4. 没有要求。 5.
AB 的第 j 列 ( AB)e j A( Be j ) Ab j ，即 AB 的第 j 列等于 A 与 B 的第 j 列 b j 的
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数第一章
2 （ ）（ ） （2 3， 1 0， 5 1， 2 1， 0 4） （ 1， 1， 4， 3， 4） ,
1 5 1 , , 3, , 2 , 2 2 2
1 1 3 ( , , 2, , 2). 2 2 2
n维向量的基本运算
定义2 设两个n维向量＝(a1 , a2 , , an ),
(b1 , b2 , , bn )
(1)如果它们对应的分量分别相等，即 ai bi , i 1, 2, , n, 则称向量 与 相等，记作 = 。 (2)加法：称向量(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )为
16 College of Mathematics Sichuan University
注意：在上面的八条运算规律中只利用了向量 的加法和数乘。但是，利用负向量的概念，依 然可以定义向量的减法运算： - ＝ ( ). 直观地说就是对应的分量相减，
- ＝(a1 b1 , a2 b2 , , an bn ).
1 2 2 12 3 , 求。
解： (1, 1, 2) 2(1, 2,0) 12(1,0, 3)
(1, 1, 2) (2,4,0) (12,0, 36)
(1 2 12, 1 4 0, 2 0 36) (11, 5, 34).
运动的、变化的、瞬时的、高维的
《线性代数》 线性代数其实就做了一件事情，将中学的线性函数的像空间从一维扩 展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性 [X] 映射”：Y = T ，即 从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”
函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系 （1）线性映射的定义域、值域：“有穷维的向量空间”（也称有穷 维线性空间）
1 5 1 , , 3, , 2 , 2 2 2
1 1 3 ( , , 2, , 2). 2 2 2
n维向量的基本运算
定义2 设两个n维向量＝(a1 , a2 , , an ),
(b1 , b2 , , bn )
(1)如果它们对应的分量分别相等，即 ai bi , i 1, 2, , n, 则称向量 与 相等，记作 = 。 (2)加法：称向量(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )为
16 College of Mathematics Sichuan University
注意：在上面的八条运算规律中只利用了向量 的加法和数乘。但是，利用负向量的概念，依 然可以定义向量的减法运算： - ＝ ( ). 直观地说就是对应的分量相减，
- ＝(a1 b1 , a2 b2 , , an bn ).
1 2 2 12 3 , 求。
解： (1, 1, 2) 2(1, 2,0) 12(1,0, 3)
(1, 1, 2) (2,4,0) (12,0, 36)
(1 2 12, 1 4 0, 2 0 36) (11, 5, 34).
运动的、变化的、瞬时的、高维的
《线性代数》 线性代数其实就做了一件事情，将中学的线性函数的像空间从一维扩 展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性 [X] 映射”：Y = T ，即 从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”
函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系 （1）线性映射的定义域、值域：“有穷维的向量空间”（也称有穷 维线性空间）
1-1线性代数
矩阵就是一个 数表. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 是数学中一个极重要的应用广泛的工具
11
一、矩阵的定义
1 .定义 由m × n个数 a ij ( i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n) 定义
列的数表， 排成的 m 行n列的数表， 称为m 行n列矩阵.
同型， A与B相等： A = (aij )与B = (bij )同型，且 与 相等 aij = bij , i = 1,..., m; j = 1,..., n
记为 A = B.
23
例
设
1 2 3 A= , 3 1 2
1 B= y
x 3 , 1 z
已知 A = B , 求 x , y , z .
记作
A= A= diag(a11, a22 ,L, ann ).
2 0 如 A = diag( 2,−1) = 0 − 1
17
单位矩阵 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 方阵，主对角元素全为 ，其余元素都为零 记作 I n 或 I .
1 1 = diag(1,1,...,1) In = O 1 n×n × 数量矩阵
9
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 一般的 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
下三角矩阵 下三角矩阵
a11 a 21 形如 L a n1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 . （21534） =3 21,53,54 因此
在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31
（32541） =6 21,54,51,41,因此
定义3 如果排列 i1 ,i2 ,in 的逆序数为偶数，则
称它为偶排列; 它为奇排列. 例3 试求 123n , nn 1321 ,并讨论其奇偶性. 解 易见在n阶排列1,2,3,…n中没有逆序,所以 如果排列的逆序数为奇数,则称
（is，it ) 的位置，称为一次交换，记为 1,3 如 21534 23514 一般,我们有以下结论.
定理1
任意一个排列经过一次对换后,改变其奇偶性.
定理2
n 2 ),奇偶排列各占一半. 在全部n级排列中(
三、小 结
1.（重点）会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。
（1）标准排列（偶排列）（2）奇排列（3）偶排列 掌握求排列逆序数的方法
第一章
行列式
行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性 代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、 技术及经济等众多领域.
本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入
手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性
质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列
式解法------克莱姆法则.
第一章
§1.1
123n 0 ,这是一个偶排列,它具有自然顺序,
故又称为自然排列. 在n,n-1,…3,2,1中,只有逆序,没有顺序,故有
1 (n(n 1) 21) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) 2
可以看出，排列n,n-1,…3,2,1的奇偶性与n的取 值有关,从而当 n=4k 或 n=4k+1 时这个排列为 偶排列,否则为奇排列. 定义4 排列i1 ,i2 ,in 中，交换任意两数 i t 与 i s
n
n
n 1
t 1
在本课程中,我们还要采用双重和号,如
a
i 1 j 1
m
n
ij
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
表示 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 的连加和.
行列式
预备知识
一、和号和积号
二、排列及其性质 三、小结
一、和号和积号
1.和号 如
a
i 1
n
i
a1 a2 an ,表 称为下标,下标是虚拟变量,可由 任意字母替代,如
a a a
i 1 i k 1 k t 0
２.积号
在学习中还要用到求积的符号,如 表示 再如
a
i 1
n
i
a1a2 an
a1a2 a3 an 的连乘积．
i
1 j i n
x
xj
x2 x1 x3 x1 xn x1 x3 x2 xn x2 xn xn1
2. 了解对换的概念 对换一次改变排列的奇偶性。
表示所有可能的 xi x j i j 的连乘积 .
二、排列及其性质
定义1 由自然数 1, 2, 3, , n 组成的一个无
重复有序数组 i1 , i2 ,in 称为一个 n 级排列.
例１ 由自然数1, 2,3, 可组成几级排列？分别
是什么？
解 组成一个三级排列,它们是 231, 213,
321,312,123,132
显然，三级排列共有 3!=6 个，所以 n 级排列
的总数为 n！ 个.
定义２ 在一个 n 级排列 i1,i2 ,in 中，如果较大 ， 数 i s 排在较小数 i t 之前，即i i s t 则称这一对数 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数,称为 它的逆序数. 可表示为 (i1 ,i 2 ,i n ) . 例２ 求 （21534）, （32541）