线性代数第一章 第一节线性方程组的消元法
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用解线性方程组的消元法及其应用朱立平曲小刚)教学目标与要求通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.教学重点与难点教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.教学方法与建议先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
教学过程设计1. 问题的提出由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.引例解线性方程组4x1 2x2 5x3 4 (1)x1 2x2 7 (2)2x1 x2 3x3 1 (3)x1 2x2 7 (1)(1) ( 4) (2)x1 2x2 7 (1)解(1)(1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2)(1) ( 2) (3)6x2 5x3 24 (2)2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3)5 X i 2x 2 7（2）（）（3）66x 2 5x 3 24 7 X 3 7 6用回代的方法求出解即可.问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1 ）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.2. 矩阵的初等变换定义1阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.定义2下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作r i r j ），ii.用数k 0乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘k ，记作kr i ），iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i kr j ）.同理可以定义矩阵的初等列变换 .定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵 A 与B 等价，记作A ~B .注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵3.咼斯消兀法对」般口丁 II 阶线性方程组a 〔1 X 1812X 2 a 1n Xnb (1)a 21 X 1 a 22X 2a 2n X nb 2 (2)(3.1)an 1 X1a n2X 2ann Xnb n(n)若系数行列式detA 0,即方程组有唯一解，则其消元过程如下:第一步，设方程（1）中X i 的系数a M 0将方程（I ）与（1）对调，使对调后的第一个方程 X i第二步，设a 22） 0，保留第二个方程，消去它以下方程中的含X 2的项，得(1) ⑵(3)的系数不为零.作i並(D(i 2,3,a 11n ），得到同解方程组(0)anX1(0)a 12 X 2 (0) a 1 n Xn b 1(0) (1) a ?2 X 2(1) a 2n X nby(1)a n2X 2(1)a nn X n(3.2)接下来的回代过程首先由（3.4）的最后万程求出X n ，依次向上代入求出 X n1,X n 2, X 1即可?高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换（某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置），将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵?因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知兀也要对换4.应用（1）化矩阵为阶梯形例1试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，1 2 1 0 22 4 2 6 6A2 1 0 2 33333 4解(0) 耳1 X1a^x 2 a 22)x 2(0)&13 X 3(1) a 23 X3a 33)X 3(0) a 1n Xn a 2nX n a 3?X n附 byb 32)a%a n^X nb n (3)照此消兀，直至第 n 1步得到三角形方程组J0)」o ）jo) J°)a 〔i x 〔 a 〔2 X 2 a 13 X 3 a1 n Xnb 1(1) a ?2 X 2 (1) a 23 X 3 (1) a 2n Xn by(2)a 33 X 3(2)a 3n X nb 32)(3.3)(3.4)a11a 12a1 nb 1 (A,b)a21 a22a2nb 2an1n2annb na (0)a (0)a11a12 a*a (0)a1n b 1(0) a22a 23)a2nbyf 2)33a(2)b 32)f 2)n3a(2)nnb n (2)r2 —r 1 a11r 931『afa(0)12「3b (0)a (1) a 22 )2a 42)rr3r 1*11a(1)22a 2^r4by于 arn Ta11a(1)an2事 byr n吧r矿a ：0〉aja(0)a 13 a，0〉 a (0) a 22)a23 a*b 21)f 2)33a 3?b 32)(n 1)(n 1)annn(n 1) ann xn』1)b n1 2 1 02 121 02 『2 2r 1r 32r10 0 0 6 2 r 2 『332 2 1 『4 3r 2 Ar 44r10 3 2 2 10 0 6 20 9 6 3 2 09 632110 2 1121 020 32 2 1 r4-r 3 232 2 1B0 0 0 6 2 0 0 0 6 20 031则B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步 :a ）将矩阵A 与冋阶的单位方阵 I 拼成(A, I) ;b ）对A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ;c ）当A 变换为时，原来的 I 变换成A 1，即（A,1）(I, A 1)主：若将A, I 拼成 A，只能施行初等列变换，A II A1?求矩阵A 的逆矩阵11 1A1 02 .1 2 11 11 1 0 01 11 1 0（ 1）『1解(A, 1)=1 020 1 00 1 1 1 112 1 10 0 1 『3『10 1 1 2 1 0 “『3『211 1 1 i 1 0 0『1 『『3 1 『3 0 0 ； 4 3 20 1 1! 11 0 0 1 0\ 32 10 0 1 : 2 1 『1 1 『20 0 1 21 14 3 2 1所以A 32 12 1 1。
线性代数第二版 主编 吴传生 第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换)
a22 x2 a2 n xn b2
am 2 x2 am n xn bm
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组 （1） 分析系数
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
两边同乘以已知常数 ，得到一个新的线性方程：
a1 x1 a2 x2 L an xn b.
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合
将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 L
方程组转换成 x2 ， ，xn 的方程组来解 ，
若 x1 的系数不全为0，则利用变换（1），使 a11 0 . （2） 化简：利用初等变换（3），分别把第一个方程的 ai1 倍
a11 加到第 i 个方程，则方程组可以变成：
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
00
00
（II）当 dr1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
ii）r n . 这时阶梯型方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1，r1 xr1 c1n xn d1
定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成 同解方程组 ．
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
加减消元法的步骤
加减消元法的步骤加减消元法，也称为线性方程组的消元法，是一种常用的解线性方程组的方法。
它通过逐步消除方程组中的未知数，最终得到唯一的解，从而解决了线性方程组的问题。
在本文中，我们将详细介绍加减消元法的步骤。
步骤一：列出线性方程组首先，我们需要将给定的线性方程组写成一个矩阵形式。
假设有n 个未知数和m个方程，我们可以将线性方程组写成如下形式：```A · X = B```其中，A为一个m×n的系数矩阵，X为n维列向量表示未知数，B 为m维列向量表示常数项。
步骤二：选取主元在加减消元法中，为了使计算更简明，我们需要选取一个主元。
主元可以是系数矩阵中的某一行或某一列的某个元素。
通常情况下，我们选择系数矩阵的第一列或第一行作为主元。
步骤三：消除主元以下的元素在这一步骤中，我们将对主元以下的元素进行消去操作，使其变为0。
我们使用加减运算来实现消去。
具体操作为，将主元以下的每一行与主元所在行相减，并将结果放回原来的行中。
例如，假设我们选择系数矩阵的第一列的第一个元素作为主元。
首先，我们将第一行的倍数加给其他行，使得主元以下的元素变为0。
然后，我们将第二行的倍数加给其他行，使得主元以下的第二行元素变为0。
以此类推，直到所有的主元以下的元素都变为0。
步骤四：选取新的主元在完成第三步的消去后，我们需要选择新的主元。
通常情况下，我们会选择消去后的第二列或第二行的元素作为新的主元。
然后，我们重新进行第三步的消去操作，将新的主元以下的元素消为0。
步骤五：重复步骤三和步骤四重复进行步骤三和步骤四，直到所有的未知数都消去为止。
在每一次的迭代中，我们都会选择一个新的主元，并将主元以下的元素消去。
步骤六：回代求解经过前面的步骤，我们已经得到一个上三角矩阵。
接下来，我们可以通过回代求解的方法，得到未知数的解。
回代求解的步骤是从最后一行开始，将已知的未知数代入方程中，求解出最后一个未知数。
然后，将求得的未知数代入方程中，求解出倒数第二个未知数。
Gauss消元法
a12 a22
a1n a2n
am1
am 2
amn
mn
增广 系数 矩阵
综上，设方程组(2.1)中x1的系数不全为零，总可以通过对
换，使得a11≠0,
于是，把第一个方程的െ
ࢇ 倍加到第j个方程上
ࢇ
(2≤ j ≤ m)，即可在第2～m个方程中消去未知量x1. 按类似的步
骤，考察第2～m个方程，对其他未知量继续做下去。以此类推
，便可求解线性方程组.
这样的计算方法就称为Gauss消元法.
特别地，行数与列数相同的矩阵(即m = n)，称为 n 阶方阵，全体n
阶方阵组成的集合，记为Mn(Թ).
11
线性方程组
a11x1 a12 x2 a1nxn b1
a21x1 a22 x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm来自系数 矩阵a11 a21
Q6 线性方程组 Q1
无解 有解
Q2
求近似解 唯一解 解不唯一
Q5 Q3 Q3,Q4
例1（教材例2.1） 解三元线性方程组
x1
3x2 2x2
x3 x3
9 0
解:
3x1 3x2 x3 6
x1
-
3x2 2x2
x3 x3
9 0
3x1 3x2 - x3 6
(1)(2)
x1
2x2 3x2
x1 x2
1 2
x3 3
总结一下，中学所用的消元法解方程组，只是对方程进行 如下变形：
交换两个方程的位置 用一个非零数乘以某个方程 把一个方程的倍数加到另一个方程上
把上述操作简称为：
对换 倍乘 倍加
统称为方程组的初等变换
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
数学消元法
数学消元法
数学消元法，也叫做高斯消元法，是一种求解线性方程组的有效方法。
线性方程组是一组由线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知量都是线性的，形如：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。
这种方程组在实际应用中非常常见，如经济学、物理学和工程学等领域。
消元法的基本思路是将方程组中的未知量逐一消去，从而达到求解的目的。
方法是通过“初等变换”来使方程组变换成一种容易求解的形式。
初等变换包括以下三种操作：
1. 交换任意两行或任意两列；
2. 用一个非零常数乘任意一行或任意一列；
3. 用一个非零数乘任意一行或一列，加到另外一行或一列上。
经过这些初等变换，原方程组将变换成形如三角形的方程组，易于求解。
这个过程被称为高斯消元法。
高斯消元法不仅可以用于解决线性方程组的问题，还可以用于求矩阵的逆、求解线性方程组的解空间等。
同时，消元法还具有一定的数值稳定性和误差小的特点，也是数值线性代数中的重要内容。
总之，消元法是解决线性方程组和相关问题的一种基本方法，它在实际应用中有着广泛的应用。
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第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换◆线性方程组的消元法◆矩阵的的初等变化引例（物资调运问题）ijC j B i A 12,,B B 有三个生产同一产品的工厂其年产量分别为40、20和10，单位为吨；该产品每年有两个用户其用量分别为45和25，单位为吨；由各产地到各用户的距离为（千米）假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？123,,,A A A ()1,2,3;1,2i j ==表C ij A1A2A3 B1455892 B258723614253640,(1)20,(2)10.(3)x x x x x x +=+=+=1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有解：假设到的产品数量，到的产品数量，到的产品数量；3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：2A 1A 3A 12,B B 12,B B 25,x x 12,B B 36,x x 14,x x12345645,(4)25.(5)x x x x x x ++=++=123456455892587236.(6)S x x x x x x =+++++2. 对用户来讲，调查的产品刚好为其所需，因而有：3. 考虑总运费S ：（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.因此方程（1）－（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组.不少实际问题可以化为线性方程组的问题.这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多.因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.11112211211222221122(7)n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 形式如下：它是第个方程中第个未知量的系数；i j j x ij a (1,2,,;1,2,)i m j n == 这里为已知数i b (1,2,,)i m = i 是已知数，称为第个方程的常数项。
当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组所谓方程组（7）的一个解就是指个数n 1122,,,n nx x x ξξξ=== 12n ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭组成的有序数组方程组（7）的解的全体称为它的解集合解方程组实际上是找出它的全部解;如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为是同解的.2、线性方程的线性组合线性方程的加法：式与式的和(11)(12)1111221121122222,n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= (11)(12)()()()()11211122221212n n n a a x a a x a a x b b ++++++=+ (13)线性方程乘常数：()()()11112211n n a x a x a x b λλλλ+++= 线性方程的线性组合：()()()()1112211112222211221122n n n a a x a a x a a x b b λλλλλλλλ++++++=+ (14)注意为任意常数，也可以为0.λ式与式的一个线性组合。
(11)(12)其中为任意常数。
12,λλ两个线性方程组（1）和（2），如果方程组（2）中的每个方程都是方程组（1）中的方程的线性组合，就称方程组（2）是方程组（1）的线性组合。
方程组（1）的每一个解都是方程组（2）的解。
如果方程组（1）和方程组（2）互为线性组合，就称这两个方程组等价（可互推）。
将方程组（1）变成同解方程组（2）的过程称为同解变换。
123123132314254(8)226x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩1232323231425x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩例1解线性方程组（消元法）解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得1232323231542x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩将第三个方程减去第二个方程的4倍，得1232332315318x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩将第三个方程两边乘，得131232332315(9)6x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个方程加上第三个方程，得122321916x x x x -=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩将第一个方程加上第二个方程,得12321816x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩将第一个方程两边乘得12123916x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩即：12391(10)6x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消元过程从（9）到（10）叫回代过程从整个消元过程可以看到，它实际上是对方程组进行了以下3种变换：（１）交换两个方程的次序；（２）用一个非零的常数乘以某个方程（３）把一个方程的适当倍数加到另一个方程.定义2上述三种变换均称为线性方程组的初等变换.定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组。
证方程组进行3种初等变换11112211211222221122(7)n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 不妨设把第二个方程的倍加到第一个方程得到新方程组k()()()11211122221212211222221122n n n n n m m mn n m a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b++++++=+⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (16)1111221121122222n n n n a c a c a c b a c a c a c b +++=+++= 设是的任一解，则满足的前两个方程(7)12(,,,)Tn c c c (7)()()()11211122221212n n n a ka c a ka c a ka c b kb ++++++=+ k 把二式的倍，再与第一式相加，即12(,,,)Tn c c c (16)(16)(7)因此满足的第一个方程，又和的后个方程相同，所以也是的解。
(16)方程组的第二个方程乘以倍加到第一个方程，得到方程组，因此，的任一解也是的解。
方程组和是同解的。
(16)(16)(16)k -(7)(7)(7)线性方程组的初等变换是一种同解变换。
2、利用初等变换解一般线性方程组方程组，如果的系数全为0，方程组可以看成是的方程组；如果的系数不全为0，假设。
(7)(7)1x 2,,n x x 110a ≠1x 利用初等变换，把第一个方程的倍分别加到第个方程，则111i a a -(2,,)i i m = ()iii 11112211'''22222'''22n n n n m mn n m a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ (17)对按类似的方法进行变换，最后得到一个阶梯形方程组。
(17)111122*********100000r r n n r r n n rr r rn n rr c x c x c x a x d c x c x a x d c x c x d d ++++++=⎧⎪++++=⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩(18)(7)其中，方程组与是同解的。
0,1,2,,ii c i r ≠= (18)1、若中有方程，而，则矛盾，方程组无解，所以无解。
(18)10r d +=10r d +≠(7)(18)2、当或没有时：10r d +=00=（1），阶梯形方程组为r n =1111221122222n n n n nn n n c x c x a x d c x a x d c x d +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩ (19)(7)其中，方程组与有唯一解。
0,1,2,,ii c i n ≠= (19)（2），阶梯形方程组为r n <11112211,111122222,1122,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r rn n r c x c x c x c x a x d c x c x c x a x d c x c x c x d ++++++++++++=⎧⎪+++++=⎪⎨⎪⎪++=⎩111122111,111222222,112,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x a x c x c x d c x a x c x d c x c x +++++++++=---⎧⎪++=---⎪⎨⎪⎪=---⎩(20)其中，方程组为0,1,2,,ii c i r ≠= 由知，可以通过表示出来，这样一组表达式称为方程组的一般解，称为一组自由未知量。
12,,,r x x x 1,,r n x x + (20)(7)1,,r n x x +)1(123412341234123422,24,46224,36979.x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩1342例：分析用消元法解下列方程组的过程．解：)(1B 2÷3↔12)(2B32-2-133-14)(1B )1(2÷3↔12)(1B)(2B 32-2-133-14)(3B 221⨯5+323-42)(2B )(3B 221⨯5+323-42)(4B ↔342-43用“回代”的方法求出解：.3为任意取值其中x )(3B )(4B ↔342-43.3为任意取值其中x 3,x c =令方程组的解可记作,3344321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c x x x x x .为任意常数其中c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30340111c x 即该解表示方程组的任一解，为线性方程组的通解定理2在齐次线性方程组111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ，那么它必有非零解。