线性方程组1.矩阵消元法
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
线性方程的应用
线性方程的应用线性方程是数学中最常见、最基础的方程类型之一。
它描述了两个变量之间的线性关系，并且具有广泛的应用领域。
本文将探讨线性方程在实际问题中的应用，以及解决这些问题时所用到的方法和技巧。
一、线性方程与代数关系线性方程可以用于描述各种代数关系，在解决实际问题中起到重要的作用。
以下是几个常见的应用场景：1. 一元线性方程：一元线性方程是最简单的线性方程形式，表达成y = mx + b 的形式，其中 m 和 b 分别表示斜率和截距。
这种方程常用于描述一维物理问题，如速度、距离和时间之间的关系。
例如，当我们知道一个车辆以匀速行驶，可以通过一元线性方程计算出其速度和行驶时间。
2. 二元线性方程组：二元线性方程组是由两个线性方程联立得到的方程组。
它常用于描述平面几何问题，如直线的交点、平行线和垂直线等。
例如，在坐标系中，通过解二元线性方程组可以确定两条直线的交点，从而解决几何问题。
3. 多元线性方程组：多元线性方程组是由多个线性方程联立得到的方程组。
它广泛应用于经济学、物理学和工程学等领域，用于描述多个变量之间的关系。
例如，在经济学中，通过解多元线性方程组可以确定供求关系、市场平衡等重要经济指标。
二、解线性方程的方法解线性方程的方法主要有代入法、消元法和矩阵法等。
下面将对这些方法进行简要介绍：1. 代入法：代入法是解一元线性方程的常用方法。
它的思路是将一个变量的值代入另一个方程中，然后求解得到结果。
例如，对于方程组 y = 2x + 1 和 y = x - 3，可以将第一个方程中的 y 用第二个方程中的x 表示，得到 x = 4，再将 x 的值代入第一个方程得到 y 的值。
2. 消元法：消元法是解二元线性方程组的常用方法。
它的核心思想是通过消去变量的方式，减少方程的数量，从而达到求解的目的。
例如，对于方程组 2x + 3y = 7 和 4x - 5y = 2，可以通过消去 x 的方式得到一个只包含 y 的方程，进而求解得出 y 的值，再代入原方程组求解 x 的值。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
考研高数总复习第三章线性方程组第一节讲解
再把 x3 = -6， 故方程组的唯
情形二 r < n
这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1 ,
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn d2 ,
crr xr cr,r1xr1 crn xn dr ,
其中 cii 0 , i = 1, 2, … , r .
把它变形，得
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
c22 x2 c2r xr d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
x1 x2 2x1 2x2
2 3x3
1
(1) (2)
x1 2x2 x3 2 (3)
STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2);
方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得
x1 x2
2
(1)
4x2 3x3 3
(4)
x2 x3 0
(5)
STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得
一个方程上去. (3) 交换两个方程在方程组中的位置;
定义 1 变换 (1)，(2)，(3) 称为线性方程组 的初等变换.
2 消元法的证明
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.
下
同解方程组 面证明，初等变换总是把方程组变成
.
证明 只证变换 (2)
对于方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
x1 x2
2 (1)
x2 x3 0
(5)
4x2 3x3 3 (4)
STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
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③× (-1/5)
9
x1 3 x2 2 x 3 4 7 x 2 x 3 1 x2 x3 1
1 3 2 4 0 7 1 1 0 1 1 1
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 7 x 2 x 3 1
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 1 2 2 4
17
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 0 0 0 0
5
由原方程组化为阶梯形方程组的过程 称为消元过程 ，而由阶梯形方程组逐次求得各未知 量的过程称为回代过程 。 在求解过程中 ，对方程组反复施行了以下三种 变换 —— 称为方程组的初等变换 。
1. 交换两个方程的位置 。 2. 用一个非零数乘某个方程的两边 。 3. 用一个数乘某个方程加到另一个方程上 。
由最后一个矩阵可得原方程组的解 ： x1= 2 ,x2= 0 ,x3= -1 . (唯一解)
12
在求解未知量个数与方程个数不等的线性方程 组时 ，也可以用上述的矩阵形式 。
x1 3 x2 x3 x4 6 例2 . 解线性方程组 3 x1 x2 5 x3 3 x4 6 2 x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1
x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5
②－①×3 ③－①×2
1 3 2 4 0 7 1 1 0 5 5 5
②－①×3 ③－①×2
③× (-1/5)
2
阶梯形矩阵 ， 它对应的阶梯 形方程组为
x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 x 5 1 5 x 2 9 x 3 12 x 4 4 x 5 10 x 3 2 x4 2 x5 4
其中最后一个方程已化成 ‘ 0 = 0 ’ ，
(②, ③ ) ③－②×2
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 10 8 0 12
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 0 0 0 4
14
由阶梯形矩阵可得对应 的阶梯形方程组 x1 3 x 2 x 3 x4 6 x2 x3 4 这是一个矛盾方程组 ， 无解 。 0 4
x1 3 x 2 2 x3 4 1 解 ： 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x 2 x 3 3 符号-3表示第二个方 -3 -2 程减去第一个方程的 3 倍3
x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 3 ×5 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ，过程 如下 ： 1 3 1 1 6 ②－①× 3 ③－①×2 3 1 5 3 6 2 1 2 2 8
13
1 3 1 1 6 0 10 8 0 12 0 5 4 0 4
利用矩阵的记号 ，例 1 的消元过程可以写成 如下形式 。
8
x1 3 x2 2 x3 4 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x2 x3 3
1 3 2 4 3 2 5 11 2 1 1 3
1 2 3 4 1 1 8 2 1 3 4 2 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
16
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 5 8 10 2 6 0 5 10 14 6 14
数表 ⑵ 中的横排称为行 ，纵排称为列 。这样的 三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 ×4 矩阵 ，且称其为线性方程组 ⑴ 的增广矩阵 。 7
对方程组⑴ 施以方程组的初等变换 ，就相当于对 矩阵 ⑵ 的各行施以相应的变换 ，它们都称为矩阵 的初等行变换 。
共有三类 ,
1 互换 i , j 两行 . 2 i 行乘数 k 0 . 3 i 行乘数 k 对应加到 j 行上 .
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 5 6 5 2 0
3 5 14 5 2 0
3 5 26 5 4 0
(这种阶梯形矩阵 称为简化阶梯 形矩阵，特点 是 ？)
21
3 2 3 x1 5 5 x4 5 x5 26 6 14 由简化阶梯形矩阵可得 x2 x4 x5 5 5 5 x 3 4 2 x4 2 x5 其中 x4 , x5为自由未知量 .
我们称 x 4 , x 5 为自由未知量 , 为了使未知量 x 1 , x 2 , x 3 都能用自由未知量表示,
我们继续对阶梯形矩阵(2)进行初等行变换 ，
19
4 1 1 1 2 3 ②+③×9 0 5 9 12 4 10 ①–③×3 0 0 1 2 2 4 ③×(-1) 0 0 0 0 0 0
说明该方程是“多余”的方程 ，不再写出 。 这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式 。
18
x1 2 x2 3 x3 1 4 x4 x5 5 x2 9 x3 10 12 x4 4 x5 x 3 4 2 x4 2 x5
可以看出只要取定x 4 , x 5 的值 , 就可以唯一的 确定 x 1 , x 2 , x 3 的值 , 从而可以得到原方程组 的 一组解 . 所以原方程组有无穷多解 。
2
一：矩阵消元法 .
在中学里 ，我们已经学过用加减消元法 解二 , 三元线性方程组 ， 下面先看一个例子 。
x1 3 x 2 2 x3 4 例 1 . 解线性方程组 3 x 2 x 5 x 11 1 2 3 2 x1 x 2 x 3 3
1
3 x③+②×47 x 2x
1 2 3
x2 x3 1
为方程组1的解 .
x1 2 , x 2 0 , x 3 1 .
6 x3 6
这种形式的线 性方程组一般 称为阶梯形方 程组 , 特点是： 自上而下的各 个方程所含未 知量的个数 依次减少 。
方程组的初等变换具有可逆性 ， 即若方程组 ⑴ 经过方程组的初等变换 变为方程组 ⑵ ，则方程组 ⑵ 必可经过方程组的初等变换 还原 成方程组 ⑴ 。
6
在例 1 的求解过程中 ， 我们只对未知量的系数与常数项进行运算 ， 因此求解过程可以写的更简单 。 线性方程组 ⑴ 可以用下面的矩形数表来表示 ：
4 1 6
x1 2 , x2 0 , x3 1 .
最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵 ，其特点是 ⑴ 自上而下的各行中 ，每行第一个非零元素 左边零的个数随行数的增加而严格增加 。 ⑵ 元素全为零的行 ( 如果有的话 ) 位于矩阵的下边 。
11
利用矩阵的初等变换, 还可以把回代过程 直接表示为如下 : 1 0 0 1 0 0 3 1 0 3 1 0 2
1
15
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 4 ×6 的矩阵)施 以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ， (下面我们给出简化过程) 8 2 1 3 4 2
1 2 3 4 1 1 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
1
第一节：矩阵消元法
本节主要介绍以下两点
一：矩阵消元法 —— 解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一 。 (引入矩阵及矩阵的初等行，列变换) 二：线性方程组解的情况 —— 初探 。 * 矩阵消元法也被称为高斯消元法 ，但是我国古 代的算书《九章算术》中早已有了许多线性方程组 的应用题 ，而且有了解线性方程组的消元法 ，这 比高斯整整早了一千年 。
1 2 0 5 0 0 0 0
11 0 6 14 26 ②×(-1/5) 1 2 2 4 0 0 0 0 5
0 2
20
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
2 6 5 2 0
5 14 5 2 0
11 26 ①–②×2 5 4 0
所以原方程组也无解 。
例 3 . 解线性方程组 2 x1 x2 3 x 3 4 x4 2 x5 8 x1 2 x2 3 x 3 4 x4 x5 1 3 x1 x 1 x 3 2 x4 x5 3 2 x x 4 x 6 x 4 x 12 1 2 3 4 5
(②, ③)
1 3 2 4 0 1 1 1 0 7 1 1
(②, ③)
③+②×7
③+②×7
10
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 6 x3 6
1 0 0
3 1 0
2 1 6
接上面的最后一个阶梯形矩阵
4 1 3 2 4 1 1 0 1 1 1 0 0 1 6 6 1 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1