扬州中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(文)

2014.4注：本试卷考试时间120分钟，总分值160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知全集},3,2,1,0{=U集合},3,2,1{},1,0{==BA则=BAC U)(▲2．函数()f x=的定义域为▲3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．4．“sin sinαβ=”是“αβ=”的▲条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）5.若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg1,1)(2xxxxxf，则f(f(10)= ▲．6.函数1()f x xx=+的值域为▲．7.若方程3log3=+xx的解所在的区间是(), 1k k+,则整数k=▲．8. 设357log6,log10,log14a b c===，则,,a b c的大小关系是▲．9．如果函数2()21xf x a=--是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数, 则a的值为▲10．由命题“02,2≤++∈∃mxxRx”是假命题，求得实数m的取值范围是),(+∞a，则实数a的值是▲.11.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：3122+=53132++=753142+++=5323+=119733++=1917151343+++=根据上述分解规律，则9753152++++=，若)(*3Nnm∈的分解中最小的数是91，则m的值为▲。

12.定义域为R的函数()f x满足(1)2()f x f x+=，且当]1,0[∈x时，2()f x x x=-，则当[2,1]x∈--时，()f x的最小值为▲．13. 已知函数),()(2Rbabaxxxf∈++=的值域为),0[+∞，若关于x的不等式cxf<)(的解集为)8,(+mm，则实数c的值为▲.江苏省扬州中学2013—2014学年度第二学期期中考试高二数学（文）试卷14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足对任意x R ∈都有(4)()f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6)-内函数()()log (2)a g x f x x =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2． （1）求z 1；（2）若z 1·z 2是纯虚数，求z 2．16.已知集合A={}2|230x x x --<，B={}|(1)(1)0x x m x m -+--≥，（1）当0m =时，求A B ⋂（2）若p ：2230x x --<，q ：(1)(1)0x m x m -+--≥，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为x （米），外周长（梯形的上底．．．．．线段．．BC 与两腰长的和．．．．．．）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.6018．已知函数xxx f -+=11log )(3. （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）当,21,0时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x 函数[]1)()(2+⋅-=x f a x f y 的最小值为2a-，求实数a 的值。

19．已知函数2()21,(0)g x ax ax b a =-++>在区间]3,2[上的最大值为4，最小值为1， 记()()f x g x =． （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式21(log )()2f k f >成立，求实数k 的取值范围； （3）定义在[,]p q 上的一个函数()m x ，用分法011:i i n T p x x x x x q -=<<<<<<=将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得不等式11()()nii i m x m xM -=-≤∑恒成立，则称该函数()m x 为[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为[1,3]上的有界变差函数？若是，求出M 的最小值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数2()f x ax x =-⋅，(),)g x a b =∈R .(1)当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；(2)求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是的最小值；(3)对满足(2)中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z 上的函数()h x ：使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =.命题人：高一年级组江苏省扬州中学2013～2014学年第二学期期中考试高二（文科）数学试卷答题纸成绩一、填空题（每小题5分，计70分）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．（14分） 16．（14分）17．（14分）_______________ 学号_____ 班级___________座位号__________ 姓名_____________………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………18．（16分） 19．（16分）（请将20题解答写在答题纸反面）高二数学（文科）期中试卷参考答案 2014.41. {2,3}2. (1,2)3. 44. 必要不充分5. 26. (,2][2,)-∞-⋃+∞7. 2 8. a b c >> 9.-1 10.1 11.10 12. 116-13. 16，14. ⎤⎦15．解 （1）因为z 1·i ＝1＋i ， 所以z 1＝1＋ii ＝1－i ．（2）因为z 2的虚部为2，故设z 2＝m ＋2i (m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2．所以z 2＝－2＋2i ．16、解析（1）：{}{}2|230|13A x x x x x =--<=-<<，{}{}|(1)(1)0|11B x x x x x x =+-≥=≥≤-或{}|13A B x x ∴⋂=≤<（2） p 为：(1,3)-，而q 为： (,1][1,)m m -∞-⋃++∞， 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ⇒所以 11m +≤-或13m -≥ ⇒ 4m ≥或2m ≤- 即实数m 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞。

17．⑴1()2AD BC h =+，其中22x AD BC BC x =+⋅=+，2h x =， ∴1(22BC x =+，得182x BC x =-，由1802h x x BC x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，得26x ≤< ∴1832,(26)2xy BC x x x =+=+≤<； ⑵18310.52x y x =+≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)⊂ ∴腰长x 的范围是 [3,4]⑶1832x y x =+≥=，当并且仅当1832x x =，即[2,6)x =时等号成立．∴外周长的最小值为18．（1）证明：,011>-+xx)1,1(-∈∴x 函数的定义域为)1,1(-关于原点对称，33311()()log log log 1011()(),()x xf x f x x x f x f x f x -+-+=+==+-∴-=-又故函数为奇函数。

（2）令[]1(),0,,0,12f x t x t ⎡⎤=∈∴∈⎢⎥⎣⎦函数[]41)2(11)()(2222a a t at t x f a x f y -+-=+-=+⋅-=设函数[]1)()(2+⋅-=x f a x f y 的最小值为)(a g① 若0≤a ，当0=t 时，函数取到最小值1)(=a g ；由2a-=1，得2-=a ② 若20<<a ，当2a t =时，函数取到最小值41)(2a a g -=由4122a a -=-，得51±=a （舍）③ 若2≥a ，当1=t 时，函数取到最小值a a g -=2)(由a a-=-22，解得4=a ，42=-=∴a a 或 19．解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（2）由已知可得2()()21f x g x x x ==-+，为偶函数． 所以不等式21(log )()2f k f >，可化为210log 2k ≤<，或23log 2k >解得，2(,2)(22,)k ∈+∞． （3）函数)(x f 为[1,3]上的有界变差函数函数)(x f 是[1,3]上的单调递增函数，且对任意划分 011:13i i n T x x x x x -=<<<<<<=011(1)()()()()(3)n n f f x f x f x f x f -∴=<<<<=11021101()()()()()()()()()()(3)(1)4ni i n n n i f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f --=∴-=-+-++-=-=-=∑∴存在常数4M ≥，使得11()()ni i i f x f x M -=-≤∑（n i ,,2,1 =）恒成立，所以，M 的最小值为4.20、解： (1)当0b =时，()24f x ax x =-，若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意； 若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩ ∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1(2)若0a =，()f x =-，则()f x 无最大值， 故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且11b ≤+，此时，0x ()f x 有最大值．又()g x 取最小值时，0x a =，a =∈Z ，则2a =∵0a <且11b ≤≤，∴)20a a <≤∈Z ，得1a =-，此时1b =-或3b =． ∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---. (3)当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =-- (2)()h x h x +=，()h x ∴是以2为周期的周期函数，又当()2,0x ∈-时，()()h x f x =,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则，()()()()()222222h x h x k f x k x k x k =-=-=----， 故()()()()2222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z。