江苏省扬州中学20182019学年高二数学12月月考试题

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2019-2020学年江苏省扬州中学2018级高二上学期12月月考数学试卷及答案

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期月考高二数学（试题满分：150分考试时间：120分钟） 2019.12一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．等差数列{a n }中，a 3=−6，a 7=a 5+4，则a 1=（） A ．−10 B ．2− C ．2 D ．102．方程x 2m−2+y 23−m =1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（） A ．2＜m ＜3 B ．2＜m ＜52 C ．52＜m ＜3 D ．114＜m ＜33．数列2，43，85，167，329…的一个通项公式a n 等于（） A ．2n2n−1B ．2nnC ．2n2n−1D ．2n2n+14．已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为,,A B C ，若双曲线E 以A,B 焦点，并经过顶点C ，该双曲线E 的离心率是（）A ．√2−1B ．√22C ．√2D ．√2+15．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （） A ．5×230B ．5×229C ．230−1D ．5×(230−1)6．如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，试用a ，b ⃗ ，c 表示A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A ．−a +b ⃗ +12cB ．−a +b ⃗ +cC ．−a −b ⃗ +12cD ．a −b ⃗ +12c7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3的最小值为（） A ．4B ．3C ．2√3−2D ．28．已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为（） A．B ．4√6 C ．12√6D ．8√6二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．下列说法中正确的是（）A ．“|x |=2019”是“x =2019”的充分条件B ．“x =−1”的充分不必要条件是“x 2−2x −3=0”C ．“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D ．若b <a <0，则1a <1b 10．已知等比数列{a n }中，满足a 1=1,q =2，则（） A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{1a n}是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10,S 20,S 30仍成等比数列11．已知三个数1,a,9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率为（）A ．√5B ．√33C ．2D ．√312．已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（） A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B ．四边形ACBD 面积最小值为16p 2C ．1|AB |+1|CD |=12p D ．若|AF |⋅|BF |=4p 2，则直线CD 的斜率为−√3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知空间向量a =(−√32,12,1)b ⃗ =(−√32,12,0),若空间单位向量c 满足:c ⋅a =c ⋅b⃗ =0，则c =______. 14．己知命题p ：∃m ∈[−1,1]，a 2−5a −3<m +2，且p 是假命题，则实数a 的取值范围是______． 15．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n +3(n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n+1=a b n (n ∈N ∗)且b 1=a 1，则数列{b n }的通项公式b n =________．16．抛物线x 2=2py(p >0)上一点A(√3,m)(m >1)到抛物线准线的距离为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，ΔOAB 的内切圆与OA 切于点M ，点N 为内切圆上任意一点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为_______．四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(1)已知x >2，求3x +1x−2的最小值; (2) 已知a >0,b >0,且1a +2b =2，求a +b 的最小值.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2n+1−2(n∈N∗), {b n}是等差数列,且a3=b4−2b1,b6=a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{(−1)n b n2}的前2n项和2nT．19.（本小题满分12分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为2，利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A−B1C−A1的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．利用空间向量方法完成以下问题：（1）求二面角E−AC−D的余弦值；（2）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．C1已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2n(n−1)na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n;（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=12（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1y1+1y2=1y3+1y4，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.。

扬州市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

扬州市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下列关系正确的是（）A ．1∉{0，1}B ．1∈{0，1}C ．1⊆{0，1}D ．{1}∈{0，1}2．如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若=+x +y ，则（）A ．x=﹣B ．x=C ．x=﹣D ．x=3．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（） A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）4．点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A ．B ．C ．D ．5．直线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．6．用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（） A ．1B ．7C ．﹣7D ．﹣57．已知命题“如果﹣1≤a ≤1，那么关于x 的不等式（a 2﹣4）x 2+（a+2）x ﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个8． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（）（A ） 13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 899．设集合（）A． B．C．D．10．已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A，若，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．11．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （） A ．10 B ．180 C ．36 D ．5612．若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．﹣1或1二、填空题13．已知函数f （x ）=有3个零点，则实数a 的取值范围是． 14．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围．15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()210{ 21(0)xxx ex x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____． 16．满足tan （x+）≥﹣的x 的集合是．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R xf x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是．三、解答题19．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+（m ﹣1）i 分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？20．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．21．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．（1）求角C的大小；（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．22．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．23．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．24．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．扬州市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，故选：B【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．【答案】A【解析】解：根据题意，得；=+（+）=++=﹣+，又∵=+x+y，∴x=﹣，y=，故选：A．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．3．【答案】B【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．∵f（2）=4，则2f（2）=8，f（x）﹣＞0化简得，当x＜2时，⇒成立．故得x＜2，∵定义在（0，+∞）上．∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．故选B．【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．4．【答案】A【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．由图可得面积S==+=+2．故选：A．【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．5．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．6．【答案】C【解析】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2，∴v0=a6=1，v1=v0x+a5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，故选C．7．【答案】C【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当a2﹣4=0时，即a=±2，若a=2时，原不等式为4x ﹣1≥0，解得x≥，故舍去，若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意； ②当a 2﹣4≠0时，即a ≠±2，∵（a 2﹣4）x 2+（a+2）x ﹣1≥0的解集是空集，∴，解得，综上得，实数a的取值范围是．则当﹣1≤a ≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：C ．【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．8．【答案】C【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422()()33333AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.9．【答案】B【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x＞；当x ＜0时，解得：x＜，集合B 中的解集为x＞，则A ∩B=（，+∞）．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．【答案】 A 【解析】解：取a=﹣时，f （x ）=﹣x|x|+x ，∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．11．【答案】D【解析】考点：1.斜率；2.两点间距离.12．【答案】A【解析】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数，∴m+1=0，解得m=﹣1，故选A．二、填空题13．【答案】（，1）．【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．14．【答案】[，1]．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．15．【答案】11[133ee ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得110x xe+-=，得x=0，由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2，即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，作出函数f （x ）的图象如图：y=1xxe +≥1（x ≥0）， y ′=1xx e-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，x=1时，函数取得最大值：11e+，当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1e ）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1e 时则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，当a ＞3+1e 时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点当a=1+1e时，则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，当11{ 21a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．综上a ∈11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，），函数有3个零点．故答案为：11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．【答案】 [kπ，+k π），k ∈Z ．【解析】解：由tan （x+）≥﹣得+k π≤x+＜+k π，解得kπ≤x＜+k π，故不等式的解集为[kπ， +k π），k ∈Z ，故答案为：[kπ，+k π），k ∈Z ，【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．17．【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】结合函数的解析式：122e e 1x x y +=+可得：()()122221'1x x x e e y e +-=+，令y ′=0，解得：x =0，当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，结合函数的解析式：()()R lnxf x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x -+=， x ∈（0，e ），()'0f x >，则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．令函数()ln xf x x a x x =+-=．设()ln x g x x =，求导()21ln 'xg x x -=，当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e=，当x →0时，a →-∞， ∴a 的取值范围1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 18．【答案】（﹣3，21）．【解析】解：∵数列{a n }是等差数列，∴S 9=9a 1+36d=x （a 1+2d ）+y （a 1+5d ）=（x+y ）a 1+（2x+5y ）d ，由待定系数法可得，解得x=3，y=6．∵﹣3＜3a 3＜3，0＜6a 6＜18， ∴两式相加即得﹣3＜S 9＜21． ∴S 9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数．【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，∴，，∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，∴，P（X=6）=，P（X=7）=，∴随机变量X的分布列为5 6 7【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．【答案】【解析】（本小题满分10分）解：（1）∵，∴，…2分在锐角△ABC中，，…3分故sinA≠0，∴，．…5分（2）∵，…6分∴，即ab=2，…8分∴．…10分【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：（Ⅱ）=，==80，=[（74﹣80）2+（76﹣80）2+（78﹣80）2+（82﹣80）2+（90﹣80）2]=32，=[（70﹣80）2+（75﹣80）2+（80﹣80）2+（85﹣80）2+（90﹣80）2]=50，∵=，，∴在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，应该派甲去．23．【答案】【解析】解：（1）依题意，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005．∴图中a的值0.005．（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分），【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解24．【答案】【解析】【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程；（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0，即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1；曲线C2的参数方程为（t为参数），可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．则由点到直线的距离公式可得d==4，则切线长为=．故这条切线长的最小值为．【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．。

江苏省扬州中学2018-2019学年高二年级第二学期五月检测数学(文)试题(解析版)

江苏省扬州中学2018-2019学年第二学期月考高二数学(文)试卷 2019.5一、填空题.1.已知全集为R，集合20,1,0A x x x B，则A B___________.【答案】1,0,1【解析】【分析】先化简集合A,再求A∪B得解.【详解】由题得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案为：{-1,0,1}【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.直线3 x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．【答案】3【解析】【分析】先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.【详解】由题得直线的斜率3tan3,(1)3 k.故答案为：3【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.sin 1740=_____．【答案】32【解析】根据三角函数的诱导公式可得，31740360360602sin sin sin ，故答案为32. 4.已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m ＝________.【答案】 3【解析】【分析】解方程23sin =516m m ，再检验即得解.【详解】由题得23sin =,3516m m m .当m=-3时，点P 在第四象限，不满足题意.所以m=3.故答案为： 3【点睛】本题主要考查三角函数的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.设(1)1i x yi ，其中,x y 都是实数，则x yi ＝________.【答案】2【解析】【分析】根据复数相等列方程组求出,x y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可.。

扬州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

扬州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数f（x）=（）x2﹣9的单调递减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣9，+∞）D．（﹣∞，﹣9）2．十进制数25对应的二进制数是（）A．11001 B．10011 C．10101 D．100013．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=﹣x|x|5．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，下列说法正确的是（）A．①对②错B．①错②对C．①对②对D．①错②错6．已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣67．已知命题p：存在x0＞0，使2＜1，则￢p是（）A．对任意x＞0，都有2x≥1 B．对任意x≤0，都有2x＜1C．存在x0＞0，使2≥1 D．存在x0≤0，使2＜18．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.59．设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R10．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A． B．8 C． D．11．已知x，y满足约束条件，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．112．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4二、填空题13．函数y=lgx的定义域为．14．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ其中正确命题的序号是．15．设p ：实数x 满足不等式x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＜0），q ：实数x 满足不等式x 2﹣x ﹣6≤0，已知￢p 是￢q 的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是．16．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为．17．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是．18．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为．三、解答题19．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．20．已知函数2(x)1ax f x =+是定义在（-1，1）上的函数, 12()25f =（1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性（2）用定义法证明函数(x)f 在（-1，1）上是增函数；21．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y=log a （x+3）在（0，+∞）上单调递减，q ：函数y=x 2+（2a ﹣3）x+1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．23．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．24．（本小题满分10分）已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求的取值范围.扬州市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：原函数是由t=x2与y=（）t﹣9复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=（）t﹣9其定义域上为减函数，∴f（x）=（）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，∴函数ff（x）=（）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．2．【答案】A【解析】解：25÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故25（10）=11001（2）故选A．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．3．【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，底面是一个边长是的等边三角形，侧棱长是，∴三棱柱的面积是3××2=6+，故选C．【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．4．【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．5．【答案】A【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，故①正确；但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，故②错．故选A．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．6．【答案】C【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．7．【答案】A【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．故选：A8．【答案】A【解析】解：∵60.5＞60=1，0＜0.56＜0.50=1，log0.56＜log0.51=0．∴log0.56＜0.56＜60.5．【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．9．【答案】B【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}；∴P⊊M．故选B．10．【答案】C【解析】【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值．【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8，底面面积为：=4，另一个侧面的面积为：=4，四个面中面积的最大值为4；故选C．11．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．12．【答案】D【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA=2，AB=2，高为，1根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．二、填空题13．【答案】{x|x＞0}．【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．14．【答案】②③．【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，②函数=cosx是偶函数，故②正确，③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数的一条对称轴方程，故③正确，④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，故答案为：②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．15．【答案】．【解析】解：∵x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，则3a＜x＜a，（a＜0），由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，∵￢p是￢q的必要非充分条件，∴q是p的必要非充分条件，即，即≤a＜0，故答案为：16．【答案】8．【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，∴p=4，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=x+=x+2=10，∴x=8，故答案为：8．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．17．【答案】﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．18．【答案】2【解析】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，∴点（0，1）在圆内．如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，∴|AB|min=2=2．故答案为：2．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n ，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．故tan 2a n+1==1+tan 2a n ，∴数列{tan 2a n }是等差数列，首项tan 2a 1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan 2a n }的前n 项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n ＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina 1•sina 2•…•sina m =（tana 1cosa 1）•（tana 2•cosa 2）•…•（tana m •cosa m ） =（tana 2•cosa 1）•（tana 3cosa 2）•…•（tana m •cosa m ﹣1）•（tana 1•cosa m ） =（tana 1•cosa m ）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

2019-2020学年江苏省扬州中学高二(上)12月月考数学试卷

2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.102.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜33.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+14.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+15.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（）A.4B.3C.2 √3 -2D.28.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√659.（多选题.3分）下列说法正确的是（） A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件 B.“x=-1”是“x 2-2x-3=0”充分不必要条件 C.“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数” D.若b ＜a ＜0.则 1a ＜1b10.（多选题.3分）已知等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则（）A.数列{a 2n }是等比数列B.数列 {1a n} 是递增数列C.数列{log 2a n }是等差数列D.数列{a n }中.S 10.S 20.S 30仍成等比数列 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（）A. √5B. √33 C.√102 D. √312.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√313.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12.1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134.点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值；（2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．18.（问答题.0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n+1-2（n∈N*）.{b n}是等差数列.且a3=b4-2b1.b6=a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n2}的前2n项和T2n．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD21.（问答题.0分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n= 2n(n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．22.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0) .与x轴负半轴交于A（-2.0）.离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M（x1.y1）.N（x2.y2）两点.连接AM.AN并延长交直线x=4于E（x3.y3）.F（x4.y4）两点.若1y1+1y2=1y3+1y4.求证：直线MN恒过定点.并求出定点坐标．2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.10【正确答案】：A【解析】：由a7=a5+4得到：a5+2d=a5+4.由此求得d的值；然后代入a3=-6来求a1的值．【解答】：解：∵数列{a n}是等差数列.a7=a5+4.∴a5+2d=a5+4.（d是公差）.解得d=2.∵a3=a1+2d=-6.即a1+4=-6.解得a1=-10．故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.属于基础题.熟记公式即可解题．2.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜3【正确答案】：A【解析】：根据方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆可得出{m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.从而可解出52＜m＜3 .然后根据必要不充分条件即可得出正确选项．【解答】：解：方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆时. {m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.解得52＜m＜3 .由52＜m＜3可得出2＜m＜3；而由2＜m＜3得不出52＜m＜3 .∴方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是2＜m＜3．故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程.焦点在x轴上的椭圆的特点.必要不充分条件的定义.考查了计算和推理能力.属于基础题．3.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+1【正确答案】：C【解析】：分别判断出分子和分母构成的数列特征.再求出此数列的通项公式．【解答】：解：∵2.4.8.16.32.…是以2为首项和公比的等比数列.且1.3.5.7.9.…是以1为首项.以2为公差的等差数列.∴此数列的一个通项公式是a n= 2n2n−1.故选：C．【点评】：本题考查数列的通项公式.以及等差、等比数列的通项公式.考查学生分析解决问题的能力.属于基础题．4.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用已知条件列出方程.转化求解双曲线的离心率即可．【解答】：解：△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.A或B为三角形的直角顶点.可得2c= b 2a = c2−a2a.可得e2-2e-1=0.解得e=1+ √2 .（1- √2舍去）．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查.基础题．5.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）【正确答案】：D【解析】：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.由等比数列的前n项和公式分析可得答案．【解答】：解：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.则该人共屠了30天.则一共屠肉S30= 5(1−230)1−2=5×（230-1）；故选：D．【点评】：本题考查等比数列的应用.注意将原问题转化为等比数列的前n 项和问题.属于基础题．6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c 【正确答案】：A【解析】：根据平面向量的线性表示.利用 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解： A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - a = b ⃗ + 12 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ - a= b ⃗ + 12c - a ．故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用.是基础题目． 7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（）A.4B.3C.2 √3 -2D.2【正确答案】：A【解析】：a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1.可得：a 32=a 1a 13.即（1+2d ）2=1+12d.d≠0.解得d ．可得a n .S n ．代入 2S n +16a n +3利用分离常数法化简后.利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】：解：∵a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1. ∴a 32=a 1a 13.∴（1+2d ）2=1+12d.d≠0. 解得d=2．∴a n =1+2（n-1）=2n-1． S n =n+n (n−1)2×2=n 2． ∴ 2S n +16a n+3 = 2n 2+162n+2 = (n+1)2−2(n+1)+9n+1 =n+1+ 9n+1 -2≥2 √(n +1)×9n+1 -2=4.当且仅当n+1= 9n+1 时取等号.此时n=2.且 2S n +16a n +3取到最小值4.故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式.等比中项的性质.基本不等式求最值.解题的关键是利用分离常数法化简式子.凑出积为定值． 8.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√65【正确答案】：A【解析】：利用双曲线的定义.确定△APF 周长最小时.P 的坐标.即可求出△APF 周长最小时.该三角形的面积．【解答】：解：由题意.设F′是右焦点.则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A.P.F′三点共线时.取等号）. 直线AF′的方程为x−3+6√6=1 与x 2-y 28=1联立可得y 2+6 √6 y-96=0.∴P的纵坐标为2 √6 .∴△APF周长最小时.该三角形的面积为12×6×6√6−12×6×2√6 =12 √6．故选：A．【点评】：本题考查双曲线的定义.考查三角形面积的计算.确定P的坐标是关键．9.（多选题.3分）下列说法正确的是（）A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件B.“x=-1”是“x2-2x-3=0”充分不必要条件C.“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D.若b＜a＜0.则1a ＜1b【正确答案】：BD【解析】：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件；在B中.“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b．【解答】：解：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件.故A错误；在B中.“x=-1”⇒“x2-2x-3=0”.“x2-2x-3=0”⇒“x=-1或x=3”.∴“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件.故B错误；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件.故C错误；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b.故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．10.（多选题.3分）已知等比数列{a n}中.满足a1=1.q=2.则（）A.数列{a2n}是等比数列B.数列{1a n}是递增数列C.数列{log2a n}是等差数列D.数列{a n}中.S10.S20.S30仍成等比数列【正确答案】：AC【解析】：由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.判断各个选项是否正确.从而得出结论．【解答】：解：等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则a n =2n-1.∴a 2n =22n-1. ∴数列{a 2n }是等比数列.故A 正确；数列 {1a n} 是递减数列.故B 不正确；∵log 2a n =n-1.故数列{log 2a n }是等差数列.故C 正确；数列{a n }中.S 10= 1−2101−2 =210-1.S 20=220-1.S 30=230-1.故D 错误.故选：AC ．【点评】：本题主要考查等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.属于基础题． 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（）A. √5B. √33C.√102 D. √3【正确答案】：BC【解析】：运用等比数列的中项性质.解方程可得a.分别运用椭圆和双曲线的a.b.c 的关系和离心率公式.计算可得所求值．【解答】：解：三个数1.a.9成等比数列.可得a 2=9.即a=±3. 若a=3.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1即为椭圆 x 23 + y 22 =1.可得离心率为 √3−23 = √33；若a=-3.则圆锥曲线x 2a+y 22 =1即为双曲线 y 22 - x 23=1.可得离心率为 √2+32 = √102．故选：BC ．【点评】：本题考查等比数列的中项性质和椭圆、双曲线的离心率.考查方程思想和运算能力.属于基础题．12.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√3 【正确答案】：ACD【解析】：设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.利用韦达定理可得|AB|=2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2.x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ． A.由 OC⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4即可判定； B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ.即可判定； C.由 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.即可判定； D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.⇒m= √3 . θ=π6 ．则直线CD 的倾斜角为 2π3 .即可判定【解答】：解：如图所示：F （ p2 .0）.设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）．设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立直线AB 与抛物线的方程整理得：y 2-2pmy-p 2=0． ∴ y 1y 2=−p 2.x 1x 2=y 122p•y 222p = p 24．y 1+y 2=2pm ． |AB|= √1+m 2 • √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2p （1+m 2）=2p •(1+cos 2θsin 2θ) = 2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2 .x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ．对于A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4= p 24−p 2=−3p 24.故正确；对于B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ .故其最小值为8p 2.故错；对于C. 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.故正确；对于D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.则 p2(x 1+x 2)=7p2⇒x 1+x 2=7p ．⇒2pm 2=6p.⇒m= √3 .（m ＞0）. θ=π6 ．则直线CD 的倾斜角为 2π3 .其斜率为- √3 ．故选：ACD ．【点评】：本题考查了抛物线的性质.韦达定理.弦长公式.考查了数学运算.属于中档题．13.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12 .1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___ 【正确答案】：[1]± (12，√32，0) 【解析】：设 d = λc =（x.y.z ）.由 c •a =c •b ⃗ =0.可得 d •a = c • b ⃗ =0.即 −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12y=0.令x=1.解得y.z 即可得出．【解答】：解：设 d = λc =（x.y.z ）.∵ c •a =c •b ⃗ =0. 则 d •a = c • b ⃗ =0. ∴ −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12 y=0. 令x=1.则y=- √3 .z=0． ∴ d=（1. √3 .0）． ∴ c =± d|d |=± (12，√32，0) ．故答案为：．± (12，√32，0) ．【点评】：本题考查了空间向量、数量积运算性质、单位向量.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-1]∪[6.+∞）【解析】：命题p 是假命题.利用分离m.通过二次函数的最值转化求解．【解答】：解：∵命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则 ∴∀m∈[-1.1].a 2-5a-3≥m+2恒成立. ∴a 2-5a-3≥3. ∴a≤-1或a≥6.故答案为：（-∞.-1]∪[6.+∞）．【点评】：本题考查复合命题真假的关系.参数取值范围.考查转化、逻辑推理、计算能力． 15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ．【正确答案】：[1]2n+2-3【解析】：首先利用数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 建立等量关系式.进一步求出数列的通项公式．【解答】：解：数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) . 则：b n+1=2b n +3.所以b n+1+3=2（b n +3）.整理得b n+1+3b n +3=2 （常数）.所以数列{b n +3}是以b 1+3=8为首项.2为公比的等比数列．所以 b n +3=8•2n−1=2n+2 . 故 b n =2n+2−3 （首项符合通项）. 故 b n =2n+2−3 ．故答案为：2n+2-3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134 .点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [3−√3，3+√3]【解析】：利用点 A(√3， m) 在抛物线上.求出m.点A 到准线的距离为 32p +p2=134.求出p.即可解出抛物线方程.设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.化简数量积.求解范围即可．【解答】：解：因为点 A(√3， m) 在抛物线上.所以 3=2pm ⇒m =32p.点A 到准线的距离为 32p +p2=134. 解得 p =12 或p=6．当p=6时. m =14＜1 .故p=6舍去.所以抛物线方程为x 2=y.∴ A(√3， 3)， B(−√3， 3) .所以△OAB 是正三角形.边长为 2√3 .其内切圆方程为x 2+（y-2）2=1.如图4.∴ E (√32， 32) ．设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32cosθ+3+32sinθ=3+√3sin (θ+π6) .∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[3−√3， 3+√3] ．故答案为： [3−√3，3+√3] ．【点评】：本题考查抛物线的简单性质.直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用.考查转化思想以及计算能力．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值；（2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）把 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6+6.利用基本不等式求出即可；（2）利用柯西不等式求出即可．【解答】：解：（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6 +6 ≥2√3+6 .当且仅当 x =2+√33时.取等号.3x +1x−2 的最小值 2√3+6 ；（2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .a+b= 12 （a+b ）（ 1a +2b ）≥ 12 （1+ √2 ）2= 3+2√22.当且仅当 b =√2a 时.取等号.故a+b 的最小值为 3+2√22．【点评】：考查基本不等式和柯西不等式的应用.中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n+1-2（n∈N *）.{b n }是等差数列.且a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n 2}的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）通过 S n =2n+1−2 .转化求解 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.转化求解b n =3n-2．（2）利用分组求解数列的和转化求解即可．【解答】：解：（1）因为 S n =2n+1−2 .所以数列{a n }是以2为首项.公比为2的等比数列.所以 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.由a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4.所以8=3d-b 1.16=5d+b 1. 所以3=d.b 1=1.所以b n =3n-2．（2） T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）.又因为b n=3n-2.所以T2n=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）=3（b1+b2+…+b2n）.所以T2n=3×2n(b1+b2n)2=3n[1+3×(2n)−2]=18n2−3n．【点评】：本题考查数列的求和.等差数列以及等比数列的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.能求出点A1到平面ACB1的距离．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.推导出∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.由此能求出二面角A-B1C-A1的余弦值．【解答】：解：（1）∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴ S△ACB1 = 12×2√2×2√2×sinπ3=2 √3 .∵ V C−A1AB1 = 13×2×12×2×2 = 43.设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.得13×d×2√3=43.解得d= 2√33．故点A1到平面ACB1的距离为2√33．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴AE⊥B1C.AE= 2√2×sinπ3= √6 .∵△A1B1C是直角三角形.EF是△A1B1C的中位线. ∴EF || A1B1.EF⊥B1C.EF=1.∴∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.在△AEF中. AF=12A1C=√3 .∴cos∠AEF= 1+6−32√6= √63．∴二面角A-B1C-A1的余弦值为√63．【点评】：本题考查点到平面的距离的求法.考查二面角的余弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ．推导出EF || PD ．由此能证明PD || 平面ACE ．（II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ．推导出PO⊥平面ABCD ．建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角E-AC-D 的余弦值．（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ．利用向量法能求出在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PM PD =12 ．【解答】：（共14分）证明：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ．因为底面ABCD 是矩形.所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点.所以EF || PD ．因为PD⊄平面ACE.EF⊂平面ACE. 所以PD || 平面ACE ．…．（4分）（II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ．因为底面ABCD 为矩形.所以BC⊥CD ．因为PC=PD.O 为CD 中点.所以PO⊥CD .OF || BC ．所以OF⊥CD ．又因为平面PCD⊥平面ABCD.PO⊂平面PCD.平面PCD∩平面ABCD=CD. 所以PO⊥平面ABCD ．如图.建立空间直角坐标系O-xyz.则 A(1，−1，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E (12，12，12)设平面ACE 的法向量为m=（x.y.z ） AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，32，12)所以 {AC⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0⇒{−x +2y =0，−12x +32y +12z =0⇒{x =2y ，z =−y. 令y=1.则x=2.z=-1.所以m=（2.1.-1）．平面ACD 的法向量为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) . cos ＜m ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=m•OP ⃗⃗⃗⃗⃗|m|•|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√66 ．如图可知二面角E-AC-D 为钝角.所以二面角E-AC-D 的余弦值为 −√66．…．（10分）（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ．因为（x.y.z-1）=λ（0.-1.-1）.所以M （0.-λ.1-λ）. AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1−λ，1−λ)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，0) ．因为AM⊥BD .所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ．所以1-2（1-λ）=0.解得 λ=12∈[0，1] ．所以在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PMPD =12 ．…．（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查空间想象能力.考查数形结合思想.是中档题． 21.（问答题.0分）已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n 2+a n -2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =2n (n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n }的前n 项和T n ．（3）是否存在实数λ使得T n +2＞λ•S n 对n∈N +恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论.进一步求出数列的通项公式．（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．【解答】：解：（1）当n=1时.a 1=2．当n≥2时. 2a n =2(S n −S n−1)=2[(a n 2+a n −2)−(a n−12+a n−1−2)] .整理可得：（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0. 可得a n -a n-1=1.∴{a n }是以a 1=2为首项.d=1为公差的等差数列． ∴ a n =2+(n −1)×1=n +1(n ∈N ∗) ．（2）由（Ⅰ）得a n =n+1. ∴ b n =2n (n−1)n (n+1)=2n+1n+1−2nn ． ∴ T n =(222−2)+(233−222)+⋯+(2n+1n+1−2n n)=2n+1n+1−2 ．（3）假设存在实数λ.使得 2n+1n+1＞λn (n+3)2对一切正整数恒成立. 即 λ＜2n+2n (n+1)(n+3) 对一切正整数恒成立.只需满足 λ＜(2n+2n (n+1)(n+3))min即可.令 f (n )=2n+2n (n+1)(n+3).由数列的单调性可得.所以f （1）=1.f （2）= 815 .f （3）= 49 . f (4)=1635 ＜f （5）＜f （6）＜… 当n=3时有最小值 f (3)=49 ．所以 λ＜49 ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.恒成立问题的应用.数列的求和的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型． 22.（问答题.0分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) .与x 轴负半轴交于A （-2.0）.离心率e =12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）两点.连接AM.AN 并延长交直线x=4于E （x 3.y 3）.F （x 4.y 4）两点.若 1y 1+1y 2=1y 3+1y 4.求证：直线MN 恒过定点.并求出定点坐标．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出a 、c.得到b.即可求椭圆C 的方程；（2）法1： {y =kx +m ，x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0 .通过韦达定理.结合k AM =k AE 推出y=kx+m=k （x-1）.说明直线MN 恒过定点（1.0）．法2：设直线AM 的方程为：x=t 1y-2.通过 {x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0 求出E(4，6t1)同理F(4，6t2) .得到直线系方程说明直线过定点（1.0）．【解答】：解：（1）由题有a=2. e=ca =12．∴c=1.∴b2=a2-c2=3．∴椭圆方程为x24+y23=1．（2）法1：{y=kx+m，x24+y23=1．⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0 .△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0⇒m2＜12k2+9.x1+x2=−8km3+4k2 . x1x2=4m2−123+4k2．又k AM=k AE∴ y1−0 x1+2=y3−04+2⇒y3=6y1x1+2同理y4=6y2x2+2又1y1+1y2=1y3+1y4∴ y1+y2y1y2=x1+26y1+x2+26y2=x1y2+x2y1+2(y1+y2)6y1y2⇒4（y1+y2）=x1y2+x2y1⇒4（kx1+m+kx2+m）=x1（kx2+m）+x2（kx1+m）⇒（4k-m）（x1+x2）-2kx1x2+8m=0.⇒(4k−m)−8km3+4k2−2k(4m2−12)3+4k2+8m=0⇒24(k+m)3+4k2=0．∴m=-k.此时满足m2＜12k2+9∴y=kx+m=k（x-1）∴直线MN恒过定点（1.0）．法2：设直线AM的方程为：x=t1y-2则{x=t1y−2x24+y23=1⇒(3t1+4)y2−12t1y=0 .∴y=0或y1=12t3t12+4.∴ x1=t1y1−2=t112t13t12+4−2=6t12−83t12+4同理x2=6t22−83t22+4. y2=12t23t22+4.当x3=4时.由x3=t1y3-2有y3=6t1．∴ E(4，6t1)同理F(4，6t2) .又1y1+1y2=1y3+1y4.∴ 3t12+412t1+3t22+412t2=t16+t26. ⇒(t1+t2)(3t1t2+4)12t1t2=t1+t26.当t1+t2≠0时.t1t2=-4.∴直线MN的方程为y−y1=y1−y2x1−x2(x−x1)⇒y−12t13t12+4=12t13t12+4−12t23t22+46t12−83t12+4−6t22−83t22+4(x−6t12−83t12+4)⇒y−12t13t12+4=4t1+t2(x−6t12−83t12+4)⇒y=4t1+t2x−4t1+t2•6t12−8 3t12+4+12t13t12+4=4t1+t2x−4(3t12+4)(3t12+4)(t1+t2)=4t1+t2(x−1) .∴直线MN恒过定点（1.0）当t1+t2=0时.此时也过定点（1.0）综上直线MN恒过定点（1.0）．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用.考查发现问题解决问题的能力.是难题．。

江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考数学试卷+参考答案

1秘密★启用前江苏省扬州中学2019届高三上学期12月质量检测数学试题2018.12一.填空题：1．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设2(2)(z i i =-为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3．若角α的终边经过点()3,2-A ,则αtan 值为 ▲ ．4．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ ． 6. 若函数()11x m f x a =+-是奇函数，则m 为 ▲ ．7. 已知35(0,),(,),sin(),cos 22513ππαβπαββ∈∈+=-=- ，则sin α的值等于 ▲ ．8. 在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9．抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ ．2 10．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 ▲ ． 11.若函数()f x 在定义域D 内某区间H 上是增函数，且()f x x 在H 上是减函数，则称()y f x =的在H 上是“弱增函数”．已知函数()()24g x x m x m =+-+的(]0,2上是“弱增函数”，则实数m 的值为 ▲ ．12.已知实数0a b >≥,满足111a b a b+=+-，则32a b +的最小值为 ▲ ．13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点M 恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为▲ ．14.已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二.解答题：15.(本小题满分14分)已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，0βαπ<<<.（1）若a b ⊥，求||b a -的值；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求α，β的值.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面A B C D ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于。

江苏省扬州中学-学年高二12月月考数学试题Word版含答案

江苏省扬州中学高二年级１2月质量检测数学(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分,共７0分.)１.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．3.“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的” 条件.(填“充要条件”、“ 充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一）4.已知函数)1(2)('2--=xf x x f ,则)1('-f = .５．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则的值为 . 6．已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增,则实数的取值范围是． 7．若函数x a ax x x f )2(ln )(2+-+=在21=x 处取得极大值，则正数的取值范围是 .８．若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，且过点(2,3),则曲线C 的方程为．9.在平面直角坐标系xoy 中,记曲线)2,(2-≠∈-=m R x xmx y 在1=x 处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . １0．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的的取值范围是 . 1１．在平面直角坐标系ｘO ｙ中,圆C 的方程为(x －１)2＋（y -1)２=9，直线l ：y ＝ｋｘ＋3与圆C 相交于A ，Ｂ两点，M 为弦ＡB 上一动点,以Ｍ为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于B A ,两点.若BF AF ⊥,则双曲线的渐近线方程为 .2016.121３．已知函数2)(1-+=-x e x f x （为自然对数的底数).3)(2+--=a ax x x g ．若存在实数21,x x ,使得0)()(21==x g x f ．且121≤-x x ，则实数的取值范围是 .14．设函数axee xf 2)(-=,若)(x f 在区间)3,1(a --内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题,共９0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分)已知命题p :函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在),(+∞-∞上有极值,命题：双曲线1522=-ax y 的离心率)2,1(∈e .若q p ∨是真命题,q p ∧是假命题，求实数的取值范围．1６.(本小题满分１4分）设函数()2ln 2x f x k x =-,0k >．(１)求()f x 的单调区间和极值；(2)证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.１7．（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B . (1)若直线平行于AB ,与圆C 相交于M ,N 两点，MN AB =，求直线的方程；（2)在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=?若存在，求点P 的个数;若不存在,说明理由．1８.（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ,与轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点,过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. （1)求椭圆E 的标准方程；（2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程;（3)求BCD ∆面积的最大值.19.（本小题满分１６分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ,AB =k ｍ,BC =km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口,其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. （１)请确定入口F 的选址范围;（２)设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?xyDCOBA20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.(1)若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线,求实数的值;（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -(为自然对数的底数),求实数的值;(3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假２.xy 43±= 3. 充分不必要 4. 32- ５. １ 6. [1,1]- 7. （0，2）８．225x y -= 9．－３或-4 10.(,1)(0,1)-∞-11．1-错误!，+∞) 12. 2y x =±1３． 12，３]． 14.解：当x≥２a 时，f （x)=｜e x ﹣e 2ａ|=e x ﹣ｅ2a ,此时为增函数, 当ｘ<２a 时，f(x)=|ｅx ﹣e 2ａ|＝﹣e ｘ+e 2a ,此时为减函数, 即当x=２a 时,函数取得最小值0，设两个切点为M （x 1,ｆ（x １））,N((x 2，f(x 2））, 由图象知,当两个切线垂直时,必有,ｘ1＜2a ＜x 2，即﹣１<２a<3﹣ａ，得﹣＜ａ<1，∵k 1k 2=f′（x １）f′(ｘ2)=e ｘ１•（﹣e x ２)=﹣e x １+x2=﹣1, 则eｘ1+x2=１，即x 1+x ２=０，∵﹣1<x 1<0,∴0＜ｘ2<1，且x 2>2a ， ∴2a<1,解得a ＜, 综上﹣<a ＜, 故答案为：(﹣，)．1５．解：命题p:ｆ′（x)=３ｘ２+2ax+a+， ∵函数ｆ（ｘ）在（﹣∞，＋∞)上有极值, ∴f′(x ）＝0有两个不等实数根,∴△＝4ａ2﹣４×３(ａ＋）=４a 2﹣4（3a+4)>0, 解得ａ＞4或ａ<﹣1；命题q ：双曲线的离心率ｅ∈（1，２),为真命题，则∈(１,2),解得0＜a<15.∵命题“p ∧q”为假命题,“ｐ∨q”为真命题, ∴p 与q 必然一真一假, 则或，解得:ａ≥１5或0<a≤4或a ＜﹣１. 16.所以,()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是()k +∞；()f x 在x k =(1ln )2k k f k -=. (Ⅱ）由(Ⅰ)知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )(2k k f k -=. 因为()f x 存在零点,所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥．当k e =时,()f x 在区间)e 上单调递减，且(0f e =，所以x e =()f x 在区间e 上的唯一零点．当k e >时,()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<，所以()f x 在区间e 上仅有一个零点．综上可知,若()f x 存在零点，则()f x 在区间e 上仅有一个零点.考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题. 17．．（2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ,则22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， 0因为22|22|(20)(01)22--+-<+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为．…………………………………………………………14分１８. 解:(1）由题意得53c a =,2455a c c -=,解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．………4分(2)设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在,设为1234,,,k k k k ,则001200,33y y k k x x ==+-+,00340033,x x k k y y +-=-=, 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++,消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++,化简得3x =, 故点D 在定直线3x =上运动． ……１０分(3)由(2)得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+,又2200194x y +=, 所以220994y x -=-，则20000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-,所以点D 到直线BC 的距离为00005944D y y y y y -=--=, 将0y y =代入22194x y +=得x =±，所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =,BCD ∆面积的最大值为274． ……１６分１９.解:（1)以Ａ为原点，AB 所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为, 而EG AF ⊥,故EG 的斜率为1a-, 则EG 的方程为()11y a x a-=--, 令0x =,得1G y a a=+; ………2分令0y =，得21E x a =+; … …4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩, 21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位:km).……６分（2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭, 故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-, ……９分所以要使21S S 最大，只需1S 最小. 设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……1０分则()()())()2224222222111311132132a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===令()0f a '=，得a =a =(舍）, ………12分()(),,a f a f a '的情况如下表:22⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭ 1 ()f a '0 +()f a减极小增故当3a =，即入口F满足BF =km 时,该商业区的环境舒适度指数最大1６分 20.解：（1)()ln f x ax x=-+，()1f x ax'∴=-，设切点横坐标为0x ,则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩…………2分消去，得0ln 0x =,故01x =，得 2.a =- ………4分（２)()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时,()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去； ……………５分 ②当1a ≥时,()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-，舍去; ………６分 ③当211a e <<时,由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩,得11x a ≤<;由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭,得2ln 0ae a --=, ……8分设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()10g a e a '=-<,()g a 单调递减, 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增，故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③,1a e=. ……………1０分(3)方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-，令()1ln 2h x x x =+,故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-,………１2分由（2)可知()h x 在()0,+∞上单调递增,故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=(※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根, ……………1３分①当410t ∆=+=,即14t =-时，方程(※）的实数根为1124x =>-,满足题意；---- ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ)若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =,当0t =时方程(※)的两根为0,1,符合题意;当2t =时方程(※）的两根为2,1-，不合题意,舍去; Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<; 综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-.…………16分。

江苏省扬州市扬州中学2018-2019学年高二12月月考试数学试题(含解析)

��
故答案是2 + 2 先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的性质求得最值．本题主要考查建模和解模的能力．如图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为______．【答案】170 【解析】解：由茎叶图知，该组数据从小到大排列为： 78，84，84，84，86，87，92，94，97；则该组数据的中位数为 86，众数是 84，且86 + 84 = 170．故答案为：170．由茎叶图中的数据求出中位数和众数的值，再求和．本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．如图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为______．
>0
，化为：(�� + 2)(�� ‒ 1) < 0，解得 ‒ 2 < �� < 1．
∵ ��是 q 的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是( ‒ ∞, ‒ 2]．故答案为：( ‒ ∞, ‒ 2]．利用不等式的解法化简 q，根据必要不充分条件即可得出范围．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10. 若函数��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 2)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，则��'(2) = ______．【答案】2 【解析】解：设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)； ∴ ��(��) = (�� ‒ 2)��(��)； ∴ ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)； ∴ ��'(2) = ��(2) + (2 ‒ 2)��'(2) = ��(2) = (2 ‒ 1)(2 ‒ 3)(2 ‒ 4) = 2．故答案为：2．可设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，从而得出��(��) = (�� ‒ 2)��(��)，求导得出 ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)，带入�� = 2即可求出��'(2)的值．考查基本初等函数的求导，以及积的导数的求导公式．

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S ←9i ←1While S ≥0S ←S -i i ←i +1End WhilePrint i （第4题）江苏省扬州中学2018-2019学年高二数学12月月考试题一、填空题（每小题5分共70分）1．命题“,x R ∀∈20x >”的否定是 ▲ . 2．若点（1,1）到直线cos sin 2x y αα+=的距离为d ，则d 的最大值是 ▲ ．3. 右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上,某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为▲ .4．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按 000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ▲ . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 1206 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 6258 7973 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 0279 54 6．函数21()2ln 2f x x x x =-+的极值点是____▲_______. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ▲ .8．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差为2，则xy 的值是 ▲ __. 9. 已知条件a x p >:，条件021:>+-x xq . 若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.若函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则(2)=f ' ▲ .11．已知直线2y x =-与x 轴交于P 点，与双曲线C :2213y x -=交于A 、B 两点，则7 88 4 4 4 6 7 9 2 4 7 第3题图||||PA PB += ▲ .12．已知函数1()sin cos f x x x =+，函数1()n f x +是函数()n f x 的导函数，即'''*21321()=(),()=(),,()=(),n n f x f x f x f x f x f x n N +∈，则122019()()()=222f f f πππ+++▲ .13．设F 是椭圆C ：221(0)x y m n m n+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ . 14．若函数()xf x e =，g()ln x a x =的图像关于直线y x =对称. 则在区间),21(+∞上不等式2)()1(x x g x f <+-的解集为 ▲ ．二、解答题（共90分）15．（14分）从扬州中学参加2018年全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？分组频数频率 [70，80） [80，90） [90，100）③ [100，110） 16 ① [110，120）[120，130） ② [130，140]合计 50组距频率040.0036.0032.0028.0024.0020.0016.0012.0008.0004.016. （14分）已知0,1c c >≠且，设p ：函数xy c =在R 上单调递减；q ：函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数.（1）若p 为真，q ⌝为假，求实数c 的取值范围；（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.17．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ．（1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．18. （16分）某小区为解决居民停车难的问题，经业主委员会协调，现决定将某闲置区域改建为停车场. 如图，已知该闲置区域是一边靠道路且边界近似于抛物线)11(12≤≤--=x x y 的区域，现规划改建为一个三角形形状的停车场，要求三角形的一边为原有道路，另外两条边均与抛物线相切.（1）设AC AB ，分别与抛物线相切于点),(),,(2211y x Q y x P ，试用Q P ,的横坐标表示停车场的面积；（2）请问如何设计，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小？19．（16分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，右准线:2l x =，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），直线AP 交l 于M （点M 在x 轴下方）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于,C D 两点，若6CD =，求圆H 的方程；（3）若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．20．（16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x ；（3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.高二数学参考答案Mlx yFOAPQ（第19题图）1．,x R ∃∈使得20x ≤ 2.2＋ 2 3. 170 4． 5 5. 719，050，717 6. 1 7．3x =- 8. 60 9. 2a ≤- 10. 2 11．62 12．-1 13. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭14. ()1,+∞ 15. 解：（1）；2；（2）如图．（3）在随机抽取的50名同学中有7名出线,75007050⨯=．答：在参加的500名中大概有70名同学出线． 16.解：函数xy c =在R 上单调递减，01c ∴<<即:01p c <<2分函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数，12c ∴≤即21:≤c q 4分（1）p 为真，q ⌝为假由0110122c c c <<⎧⎪⇒<≤⎨≤⎪⎩ 所以实数c 的取值范围是1{|0}2c c <≤ （2）又“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，∴p 真q 假或p 假q 真所以由112c c >⎧⎪⎨≤⎪⎩或0112c c <<⎧⎪⎨>⎪⎩解得112c <<, 所以实数c 的取值范围是1{|1}2c c <<17．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1221a b =+即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或a =4,b =3,c =5两种情况．∴直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的概率是213618= （2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种当a =5时，b =1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．18解（1）因AC AB ，为分别与抛物线)11(12≤≤--=x x y 相切于),(),,(2211y x Q y x P不妨设11x ≤-<0<12≤x则直线AB ：12121++-=x x x y 直线AC ：12222++-=x x x y可得)0,21(),0,21(),1,2(2221122121x x C x x B x x x x A ++-+所以停车场的面积ABC S ∆=22221121212211211(1)()11()(1)2224x x x x x x x x x x x x ++--=--=其中[)(]1,0,0,121∈-∈x x（2）ABC S ∆=[][]21221122122121)(1)(41)1)((41x x x x x x x x x x x x --+-+⋅=--⋅ []21221)(121x x x x --+⋅≥，当且仅当021=+x x 时等号成立令t x x =-21，则tt t t t t f 12)1()(322++=+=（01t <≤）， 22123)(t t t f -+='，令33,0)(=='t t f 得当0<t <33时，)(t f '<0,)(t f 单调递减；当1>t >33时，)(t f '>0,)(t f 单调递增所以938),9316)33()(min mi ===∆ABC n S f t f 故（，所以当AC AB ，分别与闲置区的抛物线的边界相切于点)3233(),3233(，，Q P -时，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小19．解（1）由222212b ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1a b =．所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）设(2,)M m ，由CD OM ⊥得12CD OMk k m=-=-，则CD 方程为2(1)y x m=--，即220x my +-=．因为圆心(1,)2m H ，则圆心H 到直线CD 的距离为2222|22|2424m d m m+-==++ 圆半径为242OM m r +==，且62CD =，由222()2CD d r +=，代入得2m =±．因为点M 在x 轴下方，所以2m =-，此时圆H 方程为22(1)(1)2x y -++=．（3）设PQ 方程为：(1)y kx b b =+≠-，(0,1)A -，令1122(,),(,)P x y Q x y ，由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得1212112y y x x +++=，由1122,y kx b y kx b =+=+得1212(1)()22b x x k x x +++=，①联立方程2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kbx b +++-=，所以122412kbx x k -+=+，21222212b x x k -=+代入①得，(1)(1)0b b k ++-=，由1b ≠-得10b k +-=，即1b k =-，所以PQ 方程为1(1)1y kx k k x =+-=-+，所以直线PQ 过定点，定点为(1,1)． 20解（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根，令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-，从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减. ∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<.（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abc a c b ++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴131138a b c t ⎧=-⎪=⎪⎨=+⎪⎪=⎩，所以，32()(638)x f x x x x e =-++.（3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<，故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.。