《线性代数》第一章行列式 第一节
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线代第一章(1)
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n
表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义
行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则
行列式的基本性质及计算方法
利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组
一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
线性代数第一节排列及其逆序数
第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。
用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。
即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线代第一章
如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
上一页 下一页
可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
线性代数 行列式
线性代数
同济大学
第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
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第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶 行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线 法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上 三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结 果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同 的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有 这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下 数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除 数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中， 则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当 至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数 非零）的运算封闭.
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
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例如
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
下三角行列式 a ij 0 ( j i )
上三角行列式
a ij 0 ( j i )
用消元法解得 令
a11
a12
a21 a22
b1a22 b2 a12 a11b2 a21b1 x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21 a11a22 a12a21 . 称为二阶行列式
a12 a11 a22 a21 , x2 a12 a11 a22 a21 b1 b2 a12 a22
二、n阶行列式的定义
定义
设有 2个数，排成行n列的数表 n n
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
作出表中位于不同的行不同列的n个数的乘积，
( 1) t , 并冠以符号
得到形如
( 1) a1 j1 a2 j2 .......anjn的项，
t
t 1） 1 j1 a2 j2 ....... nj n （ a a
2）副对角行列式
0 0 0 0 0
1
0 0
2
(1)
n ( n 1 ) 2
12 n
n
证： 记 i ai，n i 1 依行列式的定义
0 0 0 1 0 2 0 0 0
排列只有一个自然排列12……n, 所以D不可能为
t 零的项只有一项 （ 1） 11a22 ann 此时t=0 a
所以D a11a22 ann
4）上三角行列式
D
a11 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
a11a22 ann
分析：
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn .
定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列,
逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如 ： 排列312的逆序数为2，故它是偶排列。
特 点：
1）二阶行列式有2！=2项，
三阶行列式有3！=6项。
2）每项都是分别来自不同的行，不同的 列之元素的乘积。
3）当每项第一个下标按自然排列时，该项
前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。
b1 b2 则x1 a11 a21
同理引进三阶行列式
a11 a12 a13
D=
a21 a22 a31 a32
三元线性方程组
的解为： b1 a12 a13 x1 b2 a22 a23 b3 a32 a33 D
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
注 意：
n阶行列式还可以定义为 D
i1i2in
(1) ai 1ai 2 ai n
t
1 2 n
其中 (i1i2 in ), t
i1排列，
式中把列标排成一个自然排列．
三、几种特殊的行列式
1
0
1）主对角行列式 证： 记 i aii
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
线性代数
电子课件
董秋仙 主讲
行列式
矩 阵
向量 空间
线性 代数
线性方程组
相似变换及其二次型
第一章 行列式
• • • • n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则
第一节、行列式的概念
二阶和三阶行列式
n阶行列式的定义 几种特殊的行列式
一、二阶和三阶行列式
二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 设二元线性方程组 a x a x b 21 1 22 2 2
其中 j1 j2 .......jn为 12......n的某一个排列，
t为该排列的逆序数。
这样的排列共有n!个，因而形如上式共有n!项，
t （ 1） 1 j1 a2 j2 ....... nj n a a 所有这n!项的代数和
称为n阶行列式．记为：
a11 a 21 D a n1 a12 a 22 a1n a2n
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . a
33
a11 b1 a13 , x2 a21 b2 a23 a31 b3 a33 D , x3
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 D
t （ 1） 1 j1 a2 j2 .......anj n 1） 12 n a （ t
n
t为 排 列 ( n 1) 21 逆 序 数 ， n 的 n( n 1) 所 以t 0 1 2 ( n 1) 2
a11
0 a 22
一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。
以后用 ( j1 j2 .......jn )表示排列j1 j2 .......jn的逆序数
例如 排列312有2个逆序，即31；32
所 以 ( 312) 2
方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之 和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序 数之总和即为所求排列的逆序数. 求排列32514的逆序数.
简记为 det( aij ).
a n 2 a nn
数aij 称为行列式 aij )的元素， det(
特别：当n=1时，一阶行列式 不要与绝对值符号相混淆。
a a
当n =2、3时，与前面定义的二、三阶行列
式一致。
行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义 的;
小结
D
行列式的定义
j1 j2 jn
(1) a
t
1 j1
a2 j2 ....... njn a
D
i1i2in
( 1)t ai1 1ai2 2 ainn
主对角行列式 a ij 0 (i j)
副对角行列式 a ij 0 ( j n i 1)
几个特殊的行列式
0 0
3）下三角行列式 D
a 21 a n1
a11a22 ann
a n 2 a nn
证： 由于当 j i 时，aij 0,故D中可能不为0的元素
aipi ,其下标应有 pi i ,即p1 1, p2 2, pn n.
在所有排列 p1 p2 pn中， 能满足上述关系的
定义
把n个不同元素排成一列称为这n个元素
的全排列。(简称排列） 用Pn表示所有排列的种数。 注意： 不失一般性，我们将 n 个元素看成 n 个自然数，
称在 n! 种排列中从小到大次序的那个排列为自然排列
（或标准排列）.
即12n为 自 然 排 列
定义
在一个排列中,如果一个大的数排在小的 数之前,就称这两个数构成一个逆序。
1
则 0 0 0
0 0
2
0
0 0 n
12 n
2
0
0 n 0
0 0
a11
0
0 0
a 22 0
a nn
当a1 j1 0时，j1 1,即a1 j1 1 同理： 2 j 2 anj n a 2 n t为排列 12345 n的逆序数，所以 0 ..... t